Segundo Trabalho de Econometria 2009

Segundo Trabalho de Econometria 2009 1.. Estimando o modelo por Mínimos Quadrados obtemos: Date: 06/03/09 Time: 14:35 Sample: 1995Q1 2008Q4 Included observations: 56 C 0.781089 0.799772 0.97664 0.3332 LER 0.700587 0.064091 10.93112 0 LPIB 1.822037 0.158562 11.491 0 R squared 0.916291 Mean dependent var 8.604046 Adjusted R squared 0.913133 S.D. dependent var 0.385235 S.E. of regression 0.113541 Akaike info criterion 1.46122 Sum squared resid 0.683257 Schwarz criterion 1.35272 Log likelihood 43.91404 Hannan Quinn criter. 1.41915 F statistic 290.0748 Durbin Watson stat 0.748075 Testes de Autocorrelação Teste Ordem Estatística Valor Crítico a 5% Conclusão Durbin-Watson 1 0.748075 1.49 e 1.64 Autocorrelação de ordem 1 Breusch-Godfrey 1 20.93019 3.84146 Autocorrelação de ordem 1 Breusch-Godfrey 1 a 2 22.44996 5.99146 Autocorrelação de ordem 1 a 2 Breusch-Godfrey 1 a 4 25.02468 9.48773 Autocorrelação de ordem 1 a 4 2. Usando erros-padrão robustos a autocorrelação (Newey-West), obtemos: Date: 06/03/09 Time: 14:47 Sample: 1995Q1 2008Q4 Included observations: 56 Newey West HAC Standard Errors & Covariance (lag truncation=3) C 0.781089 0.971941 0.803638 0.4252 LER 0.700587 0.08294 8.446911 0 LPIB 1.822037 0.201387 9.047431 0 R squared 0.916291 Mean dependent var 8.604046 Adjusted R squared 0.913133 S.D. dependent var 0.385235 S.E. of regression 0.113541 Akaike info criterion 1.46122 Sum squared resid 0.683257 Schwarz criterion 1.35272 Log likelihood 43.91404 Hannan Quinn criter. 1.41915 F statistic 290.0748 Durbin Watson stat 0.748075 Supondo que esta amostra seja grande o su ciente, as conclusões sobre a signi cância de cada variável praticamente não mudaram. 1

3. Adotamos a seguinte estratégia: começar do modelo mais simples, AR(1) e ir aumentando, AR(2), AR(3), etc, até que se aceitasse a hipótese nula de não-autocorrelação de todos os testes Breusch-Godfrey feitos acima. Para isso, foram necessárias 5 defasagens autoregressivas do erro. As estimativas são: Date: 06/03/09 Time: 14:53 Sample (adjusted): 1996Q2 2008Q4 Included observations: 51 after adjustments Convergence achieved after 28 iterations C 3.93929 1.910281 2.062152 0.0453 LER 0.197449 0.115296 1.712534 0.094 LPIB 2.705333 0.394637 6.855237 0 AR(1) 0.539041 0.152899 3.525474 0.001 AR(2) 0.491853 0.169468 2.902344 0.0058 AR(3) 0.090463 0.192908 0.468945 0.6415 AR(4) 0.100764 0.165979 0.60709 0.547 AR(5) 0.296981 0.150991 1.966875 0.0557 R squared 0.960925 Mean dependent var 8.633546 Adjusted R squared 0.954564 S.D. dependent var 0.390809 S.E. of regression 0.083304 Akaike info criterion 1.98954 Sum squared resid 0.2984 Schwarz criterion 1.68651 Log likelihood 58.73336 Hannan Quinn criter. 1.87375 F statistic 151.0636 Durbin Watson stat 2.04633 Inv erted AR Roo ts.86+.05i.86.05i.18+.68i.18.68i 0.81 Quando refazemos os testes de Breusch-Godfrey acima nos erros deste modelo, vemos evidências de que o problema foi resolvido. Por curiosidade, como foram necessárias 5 defasagens, fazemos também o mesmo teste para autocorrelação de ordem 1 a 5. Testes de Autocorrelação Teste Ordem Estatística Valor Crítico a 5% Conclusão Breusch-Godfrey 1 0.452013 3.84146 Sem autocorrelação de ordem 1 Breusch-Godfrey 1 a 2 0.452517 5.99146 Sem autocorrelação de ordem 1 a 2 Breusch-Godfrey 1 a 4 1.199577 9.48773 Sem autocorrelação de ordem 1 a 4 Breusch-Godfrey 1 a 5 2.497927 11.0705 Sem autocorrelação de ordem 1 a 5 4. Adotamos a mesma estratégia para estimar o modelo ADL. Começamos do modelo mais simples, só com uma defasagem das variáveis, e fomos aumentando, 2, 3, etc, até que se aceitasse a hipótese nula de nãoautocorrelação de todos os testes de Breusch-Godfrey feitos acima. Foram necessárias 2 defasagens das variáveis dependente e explicativas para atingir esta meta. As estimativas são: 2

Date: 06/03/09 Time: 14:53 Date: 06/03/09 Time: 15:12 Sample (adjusted): 1995Q3 2008Q4 Included observations: 54 after adjustments C 0.274261 0.528042 0.519392 0.606 LER 0.259981 0.101363 2.564835 0.0137 LP IB 1.97708 0.260725 7.583018 0 LM( 1) 0.390108 0.122758 3.177864 0.0027 LER( 1) 0.028745 0.150319 0.191224 0.8492 LPIB( 1) 0.330332 0.41268 0.800456 0.4277 LM( 2) 0.347698 0.116273 2.990354 0.0045 LER( 2) 0.021396 0.128241 0.166843 0.8682 LPIB( 2) 1.711339 0.345504 4.953167 0 R squared 0.976907 Mean dependent var 8.613105 Adjusted R squared 0.972801 S.D. dependent var 0.389244 S.E. of regression 0.064195 Akaike info criterion 2.50278 Sum squared resid 0.185443 Schwarz criterion 2.17128 Log likelihood 76.5751 Hannan Quinn criter. 2.37494 F statistic 237.95 Durbin Watson stat 1.797695 Quando refazemos os testes de Breusch-Godfrey acima nos erros deste modelo, vemos evidências de que o problema foi resolvido. Testes de Autocorrelação Teste Ordem Estatística Valor Crítico a 5% Conclusão Breusch-Godfrey 1 0.186712 3.84146 Sem autocorrelação de ordem 1 Breusch-Godfrey 1 a 2 1.433073 5.99146 Sem autocorrelação de ordem 1 a 2 Breusch-Godfrey 1 a 4 1.461781 9.48773 Sem autocorrelação de ordem 1 a 4 Breusch-Godfrey 1 a 5 2.368997 11.0705 Sem autocorrelação de ordem 1 a 5 5. A matriz de correlação amostral entre o ln (ER t ) e suas duas defasagens é: LER LER_1 LER_2 LER 1 0.949132 0.900556 LER_1 0.949132 1 0.956139 LER_2 0.900556 0.956139 1 Observamos que há correlação muito intensa entre essas variáveis, o que deixa as estimativas individualmente pouco precisas na regressão feita acima. Entretanto, para saber se o câmbio é importante, vamos fazer um teste de hipóteses de que seus parâmetros são conjuntamente iguais a zero. 3

Wald Test: Equation: EQ02 Test Statistic Value df Probability F statistic 6.172182 (3, 45) 0.0013 Chi square 18.51655 3 0.0003 Null Hypothesis Summary: Normalized Restriction (= 0) Value Std. Err. C(2) 0.259981 0.101363 C(5) 0.028745 0.150319 C(8) 0.021396 0.128241 Restrictions are linear in coefficients. Pelo visto acima, rejeitamos a hipótese nula que os parâmetros do câmbio sejam conjuntamente iguais a zero. Assim, apesar de não conseguirmos dizer com precisão o efeito de cada defasagem do câmbio sobre as importações, sabemos que elas são importantes para o modelo. 6. ln (M t ) = 0 + 1 ln (ER t ) + 2 ln (P IB t ) + 3 ln (M t 1 ) + 4 ln (ER t 1 ) + 5 ln (P IB t 1 ) + 6 ln (M t 2 ) + 7 ln (ER t 2 ) + 8 ln (P IB t 2 ) + " t Efeito de Curto Prazo: b 1 = 0:259981. Efeito de Longo Prazo: b1 + b 4 + b 7 = 1 3 b 6 b = ( 0:259981 + 0:028745 0:021396) = (1 0:390108 0:347698) = 0:96353 7. Para o cálculo das previsões, precisamos substituir valores nas variáveis explicativas o que pode incluir variáveis defasadas. Neste caso, utilizamos os verdadeiros valores amostrais para calcular a previsão do período adiante. Utilizando o critério de menor erro absoluto médio (EAM) nas previsões, concluímos que o modelo da questão 4 produz as melhores previsões dentro da amostra. Modelo EAM 2 0.092126 3 0.063944 4 0.048554 Onde EAM = TX jby t y tj T t=1 8. Queremos saber os impactos de longo e curto prazo sobre as importações do aumento de 1.25% do PIB em t. Modelo 2: ln (M t ) = 0 + 1 ln (ER t ) + 2 ln (P IB t ) + " t Os efeitos de curto e de longo prazo serão iguais a 1:25 b 2 = 1:25 1:822037 = 2:28%. Modelo 3: ln (M t ) = 0 + 1 ln (ER t ) + 2 ln (P IB t ) + u t u t = 1 u t 1 + 2 u t 2 + 3 u t 3 + 4 u t 4 + 5 u t 5 + " t 4

Os efeitos de curto prazo e de longo prazo serão iguais a: 1:25 b 2 = 1:25 2:705333 = 3:38%. Modelo 4: ln (M t ) = 0 + 1 ln (ER t ) + 2 ln (P IB t ) + 3 ln (M t 1 ) + 4 ln (ER t 1 ) + 5 ln (P IB t 1 ) + 6 ln (M t 2 ) + 7 ln (ER t 2 ) + 8 ln (P IB t 2 ) + " t Efeito de Curto Prazo: b 2 1:25 = 2:47135%. Efeito de Longo Prazo: 1:25 b2 + b 5 + b 8 = 1 3 b 6 b = 1:25 (1:97708 + 0:330332 1:711339) = (1 0:390108 0:347698) = 2:8418% 9. No modelo 3 os efeitos de curto e de longo prazo já são iguais. Note que o modelo 4 pode ser derivado a partir de uma equação sem defasagens mas com erro autoregressivo de ordem 2: ln (M t ) = 0 + 1 ln (ER t ) + 2 ln (P IB t ) + u t u t = 1 u t 1 + 2 u t 2 + " t Resolvendo para u t na primeira equação e substituindo em u t, u t 1, u t 2 da segunda equação, temos um modelo ADL restrito: ln (M t ) = 0 (1 + 1 + 2 ) + 1 ln (ER t ) + 2 ln (P IB t ) + 1 ln (M t 1 ) 1 1 ln (ER t 1 ) 1 2 ln (P IB t 1 ) + 2 ln (M t 2 ) 2 1 ln (ER t 2 ) 2 2 ln (P IB t 2 ) + " t O modelo irrestrito que estimamos é: ln (M t ) = 0 + 1 ln (ER t ) + 2 ln (P IB t ) + 3 ln (M t 1 ) + 4 ln (ER t 1 ) + 5 ln (P IB t 1 ) + 6 ln (M t 2 ) + 7 ln (ER t 2 ) + 8 ln (P IB t 2 ) + " t O modelo irrestrito será igual ao restrito se valer: H 0 : 1 3 + 4 = 0; 2 3 + 5 = 0; 1 6 + 7 = 0; 2 6 + 8 = 0 Utilizando o teste de Wald no modelo 4, obtemos: Wald Test: Equation: EQ02 Test Statistic Value df Probability F statistic 7.616031 (4, 45) 0.0001 Chi square 30.46412 4 0 Null Hypothesis Summary: Normalized Restriction (= 0) Value Std. Err. C(2)*C(4) + C(5) 0.07268 0.124582 C(3)*C(4) + C(6) 1.101606 0.267882 C(2)*C(7) + C(8) 0.11179 0.127445 C(3)*C(7) + C(9) 1.02391 0.25709 Delta method computed using analytic derivatives. Baseado nisso, temos evidências para rejeitar a hipótese de COMFAC, ou seja, o efeito de curto e de longo prazo são diferentes. 5

10. Primeiramente, testamos se cada uma das três séries possui raiz unitária através do teste ADF só com constante. O número de defasagens foi escolhido automaticamente pelo E-Views, utilizando o Critério de Informação de Schwarz, para um máximo de até 10 defasagens. Concluímos que há evidências de raiz unitária em todas as séries. Série Defasagens Estatística P-Valor sob H 0 Conclusão ln (M t ) 4 0.18 97% possui raiz unitária ln (ER t ) 0-0.79 81% possui raiz unitária ln (P IB t ) 4 1.64 100% possui raiz unitária Para o teste de cointegração de Engle-Granger estimamos por OLS: ln (M t ) = 0 + 1 ln (ER t ) + 2 ln (P IB t ) + " t Method: Least Squares Date: 06/03/09 Time: 16:03 Sample: 1995Q1 2008Q4 Included observations: 56 C 0.781089 0.799772 0.97664 0.3332 LER 0.700587 0.064091 10.93112 0 LPIB 1.822037 0.158562 11.491 0 R squared 0.916291 Mean dependent var 8.604046 Adjusted R squared 0.913133 S.D. dependent var 0.385235 S.E. of regression 0.113541 Akaike info criterion 1.46122 Sum squared resid 0.683257 Schwarz criterion 1.35272 Log likelihood 43.91404 Hannan Quinn criter. 1.41915 F statistic 290.0748 Durbin Watson stat 0.748075 Prob(F statistic) 0 O próximo passo consiste em testar a presença de raiz unitária (teste ADF com constante) nas séries dos erros do modelo acima. Como estamos utilizando as séries dos resíduos, os valores críticos para o teste de raiz unitária são diferentes dos valores críticos do teste ADF com constante, e foram obtidos a partir da tabela 18.4 do Wooldridge (2a. Edição em Inglês). São eles: -3.90 (1%), -3.34 (5%), -3.04 (10%). A estimação da equação do teste produziu os seguintes resultados: Augmented Dickey Fuller Test Equation Dependent Variable: D(RESID00) Method: Least Squares Date: 06/08/09 Time: 15:53 Sample (adjusted): 1995Q2 2007Q1 Included observations: 48 after adjustments RESID00( 1) 0.441209 0.122319 3.607046 0.0008 C 0.005804 0.012829 0.452391 0.6531 R squared 0.220481 Mean dependent var 0.00042 Adjusted R squared 0.203535 S.D. dependent var 0.098916 S.E. of regression 0.088278 Akaike info criterion 1.97588 Sum squared resid 0.358477 Schwarz criterion 1.89792 Log likelihood 49.42117 Hannan Quinn criter. 1.94642 F statistic 13.01078 Durbin Watson stat 2.211312 Prob(F statistic) 0.00076 Com a estatística-t de -3.61, rejeitamos a hipótese nula de raiz unitária nos erros a 5% e a 10%, mas não a 1%. Dessa forma, há evidências de cointegração no modelo estimado. As estimativas OLS ainda são consistentes 6

neste caso, mas as distribuições das estatísticas podem não valer dado que as variáveis são não-estacionárias. A partir de agora, o modelo correto a ser utilizado é o Modelo de Correção de Erro. 7