CARACTERIZAÇÃO DEPROCESSOS

CARACTERIZAÇÃO DEPROCESSOS ESINTONIA DECONTROLADORES PORMÉTODOSEMPÍRICOS Profa. Cristiane Paim Semestre 2014-2

Caracterização de Processos Considere a configuração série de um sistema de controle: Dado um conjunto de especificações de desempenho, é necessário projetar-se o controlador C(s) de modo a atendê-las. Para sintonizar o controlador é necessário o conhecimento do modelo matemático que representa o processo.

Caracterização de Processos Se o modelo matemático que representa o processo é conhecido, podemos utilizar métodos analíticos, baseados no Lugar das Raízes e/ou Resposta em Frequência, para determinar os parâmetros do Controlador. Caso não exista um modelo matemático conhecido para o processo, podemos utilizar métodos de identificação de sistemas, relativamente sofisticados, para obter modelos precisos para estes. Caso não seja possível fazer uma identificação precisa do processo, seja pelas características do mesmo ou por questões financeiras, é possível obter-se modelos mais simples uma vez que a maioria dos processos industriais têm um comportamento que pode ser aproximado por sistemas de 1ª ou 2ª ordem com atraso.

Caracterização de Processos 1ª Ordem G ( s) = Ls Ce Ts+1 2ª Ordem - sobre ou criticamente amortecido Ls Ce G( s) = Ts+ Ts 1 ( )( ) 1 1 2 + 2ª Ordem subamortecido Ls Ce G( s) = 2 s s + 2ξ + 1 ωn ωn

Caracterização de Processos Modelos de 1ª ordem com atraso podem ser obtidos a partir da resposta ao degrau considerando o sistema em malha aberta(ensaio de malha aberta). Neste caso, a resposta y(t) é a chamada curva de reação e teráumaformade S.

Caracterização de Processos

Caracterização de Processos Estacurvapodeseraproximadaporummodelode1ªordem com atraso: G M ( s) = Ls Ce Ts+1 O parâmetro C é obtido diretamente da curva, valor de regime permanente. Os demais parâmetros, L e T, podem ser determinados através de diversos métodos.

Caracterização de Processos Método1: Traça-se umareta tangente à curva de reação, no ponto de maior inclinação. L: é o ponto onde a reta intercepta o eixo do tempo T: é o intervalo entre L e o ponto em que a reta tangente intercepta o valor de regime permanente L T

Caracterização de Processos Método2: Traça-se umareta tangente à curva de reação, no ponto de maior inclinação. Obtêm-se L da intersecção desta retacomoeixodotempo. (L+T) é o instante em que a saída vale 63,2% do valor de regime permanente. ( L+ T) =0, C y 632

Caracterização de Processos Método 3: os parâmetros L e T são obtidos considerando a região que apresenta maior taxa de variação. y ( L + T) = 0,632C L + T = t2 ( L + T 3) = 0,283C L + T 3 = t1 y T L = = 3 2 t 2 ( t t ) 2 T 1 L T/3 2T/3

Caracterização de Processos Exemplo: aplicação dos métodos Resposta ao Degrau 1 0.8 y(t) 0.6 0.4 0.2 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 t

Caracterização de Processos Método 1 Resposta ao Degrau L = 1 1 C = 1 0.8 T = 1,6 1= 0,6 y(t) 0.6 G 1 ( s) = s e 0,6s+ 1 0.4 0.2 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 t

Caracterização de Processos Método 2 Resposta ao Degrau L = 1 1 C = 1 0.8 L + T = 1,4 T = 0,4 y(t) 0.6 0.4 G 2 ( s) = s e 0,4s+ 1 0.2 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 t

Caracterização de Processos Método 3 1 0.8 Resposta ao Degrau t t 1 2 T = 1,2 = 1,4 = 1,5 ( t t ) L = t2 T = 1,1 2 1 = 0,3 y(t) 0.6 0.4 G 3 ( s) = 1,1s e 0,3s+ 1 0.2 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 t

Caracterização de Processos Resposta ao Degrau 1 0.8 y(t) 0.6 0.4 G G1 G2 G3 0.2 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 t

Sintonia de Controladores A sintonia de controladores pode ser feita utilizando métodos analíticos ou empíricos. Métodos Analíticos A sintonia é feita a partir de ferramentas de análise tais como Lugar das Raízes e Resposta em Frequência. O modelo do sistema normalmente é exato e obtido por análise fenomenológica. Métodos Empíricos A sintonia é feita através de valores tabelados para os parâmetros do controlador. Os parâmetros de sintonia foram definidos através de testes práticos utilizando modelos aproximados do sistema.

Métodos Empíricos Com base nos modelos de 1ª e 2ª ordem com atraso, diversos métodos empíricos de sintonia foram propostos: Métodos da Curva de Reação (Malha Aberta) 1º Método de Ziegler-Nichols(1942) Método de Cohen-Coon (1953) Método CHR (Chien, Hhornese Reswick) (1952) Métodos baseados na minimização de integrais de erro (1967) Método do IMC (InternalModelControl) (1986) Métodos de Sintonia com Oscilação Constante (Malha Fechada) 2º Método de Ziegler-Nichols(Ganho Crítico) Ziegler-Nichols Modificado Parâmetros de Tyreus-Luyben Relé Realimentado

Sintonia de Controladores Métodos de Ziegler-Nichols São métodos empíricos definidos de modo a obter uma taxa de decaimento de ¼ (relação entre a amplitude da 1ª e 2ª oscilação da resposta). São os métodos empíricos mais antigos, desenvolvidos em 1942.

Sintonia de Controladores 1º Método de Ziegler-Nichols: malha aberta Obtém-se experimentalmente a resposta ao degrau unitário para o sistema em malha aberta. A saída y(t) terá a forma da curva em s mostrada anteriormente. O modelo do controlador PID é dado por: R = C T C 1 ( s) = K 1+ + T s P T I s D (PID série ideal )

Sintonia de Controladores Os parâmetros de sintonia do controlador serão dados por: Controlador K P T I T D P 1/RL - - PI 0,9/RL L/0,3 - PID 1,2/RL 2L L/2 R = C T Aplicando os parâmetros da tabela: C 1 ( s) = K 1+ + T s P T I s D Portanto,ocontroladortemumzeroduploem-1/Leumpólonaorigem. C( s) = 1,2 RL 1+ 1 2Ls L + s = 2 0,6 R ( s+ 1L) s 2

Sintonia de Controladores Método CHR Semelhante ao 1º Método de Ziegler-Nichols. Os parâmetros de sintonia são definidos para garantir uma resposta sem sobressinal ou com sobressinal em torno de 20%. Mp= 0% Mp= 20% Controlador K P T I T D K P T I T D P 0,30/RL - - 0,70/RL - - PI 0,35/RL 1,2T - 0,60/RL T - PID 0,60/RL T 0,50L 0,95/RL 1,4T 0,47L

Sintonia de Controladores Método de Cohen-Coon Semelhante ao 1º Método de Ziegler-Nichols. Os parâmetros de sintonia são alterados para: Controlador K P T I T D P 1 R +3 NL P - - P R 30+ 3R PI 0,9+ L - NL 12 9+ 20R PID P NL R 1,33+ 4 32+ 6R L 13+ 8R 4 L 11+ 2R com C N = R = T L T

Sintonia de Controladores 2º Método de Ziegler-Nichols: malha fechada O ensaio é realizado em malha fechada, considerando um controlador proporcional(ganho K). Aplica-se como referência um degrau unitário e aumenta-se o ganho K até atingir o limite da estabilidade, no qual a resposta apresenta oscilações não amortecidas.

Sintonia de Controladores A saída terá a forma Obtém-se então o período crítico Tu, para o ganho crítico Ku associado. A estrutura do controlador PID é a mesma do método anterior(configuração ideal).

Sintonia de Controladores Os parâmetros de sintonia do controlador serão dados por: Controlador K P T I T D P 0,50Ku - - PI 0,45Ku Tu/1,2 - PID 0,60Ku 0,5Tu 0,125Tu Aplicando os parâmetros da tabela: C( s) = 0,6K U 1+ 2 T s U + 0,125T U s = 0,075K U T U ( s+ 4T ) s U 2 Neste caso, o zero duplo do controlador é definido por-4/tu.

Sintonia de Controladores Parâmetros de Tyreus-Luyben Semelhante ao método de Ziegler-Nichols em malha fechada. Os valores de Ku e Tu são obtidos da mesma forma. Entretanto, os parâmetros de sintonia são modificados para: Controlador K P T I T D PI 0,31Ku 2,2Tu - PID 0,45Ku 2,2Tu 0,158Tu

Sintonia de Controladores Ziegler-Nichols Modificado O ganho Ku é ajustado de modo que se obtenha um decaimentode¼do1ºparao2ºpicodarespostaaodegrau.

Sintonia de Controladores O ganho e o período de oscilação são chamados de K¼ (ganho deamplitudede¼) et¼(períododeamplitudede¼). A partir deste valores são determinados os parâmetros Ku e Tu da tabela de Ziegler-Nichols: Ku= 2 K¼ Tu = T¼ Controlador K P T I T D P 0,50Ku - - PI 0,45Ku Tu/1,2 - PID 0,60Ku 0,5Tu 0,125Tu

Sintonia de Controladores Os métodos empíricos de sintonia de servem como ponto de partida para o ajuste de parâmetros. Exemplo: Ensaios em malha aberta

Sintonia de Controladores Processo 1 Solução utilizar o 1º método de Ziegler-Nichols, CHR ou Cohen-Coon

Sintonia de Controladores Processo 2 Solução utilizar métodos de malha fechada.

Sintonia de Controladores Processo 3 Solução utilizar método de malha fechada.

Sintonia de Controladores Exemplo 1: Sintonia com métodos de malha aberta 1.2 Step Response Do gráfico: 1 L=0,5 C=1 T=0,6-0,5=0,1 Amplitude 0.8 0.6 0.4 G( s) e 0,1s 0,5s + 1 0.2 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Time (seconds)

Sintonia de Controladores Exemplo 1: Sintonia com métodos de malha aberta PI K P T I CHR (0%) (0,35/RL) = 0,07 1,2T = 0,12 CHR(20%) (0,60/RL) = 0,12 T = 0,10 C C CHR0 CHR20 ( s) ( s) = 0,071 + = 0,121 + 1 0,12 1 0,10 s s s+ 8,33 = 0,07 s s+ 10 = 0,12 s

Sintonia de Controladores 1.4 1.2 CHR - 0% CHR 20% 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

Sintonia de Controladores Exemplo 2: Sintonia com métodos de malha fechada. Determinação de ganho Crítico.

1.4 K=1 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Resposta ao degrau malha fechada

1.6 K=2 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Resposta ao degrau malha fechada

1.8 K=3 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Resposta ao degrau malha fechada

2 K=4 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Resposta ao degrau malha fechada Limite da estabilidade

2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Resposta ao degrau malha fechada T u = 3, 7 K U = 4 TU

Sintonia de Controladores Exemplo 3: Projetar um controlador, usando as regras de sintonia de Ziegler-Nichols, de modo que o sobressinal seja no máximo 25% para uma entrada em degrau unitário. DADOS O ensaio de malha aberta indicou a presença de um integrador. A resposta para o ensaio de malha fechada é dada a seguir, considerando um ganho crítico Ku=30.

Ku Tu = 30 = 2,5 T u

Sintonia de Controladores Da tabela de parâmetros de sintonia tem-se: Ku Tu = 30 = 2,5 Controlador K P T I T D PI 0,45Ku Tu/1,2 - PI 13,5 2,083 - OcontroladorPIé,então,dadopor: C 1 1 = P + TIs 2,083 s ( s) K 1 C( s) = 13,5 1 + C( s) = 13,5 s+ 0,48 s

Resposta ao degrau para o controlador PI projetado 2 Step Response 1.8 1.6 1.4 1.2 Amplitude 1 0.8 System: T Settling time (seconds): 42.5 0.6 0.4 0.2 0 0 10 20 30 40 50 60 Time (seconds)

Sintonia de Controladores Seja agora um controlador PID. Da tabela de parâmetros de sintonia tem-se: Ku Tu = 30 = 2,5 Controlador K P T I T D PID 0,60Ku 0,5Tu 0,125Tu PID 18 1,25 0,3125 O controlador PID é, então, dado por: C 1 ( s) = K 1+ + T s P T I s D C( s) = 5,625 ou C( s) = ( s+ 1,6) s 2 0,075K U T U ( s+ 4T ) s U Controlador Ideal 2

Resposta ao degrau para o controlador projetado 1.8 System: T Peak amplitude: 1.71 Overshoot (%): 71.3 At time (seconds): 1.69 Step Response 1.6 1.4 1.2 Amplitude 1 0.8 System: T Settling time (seconds): 15.4 0.6 0.4 0.2 0 0 5 10 15 20 25 Time (seconds)

Sintonia de Controladores Refinamento do Projeto O sobressinal elevado é decorrente da presença do zero duplo introduzido pelo controlador. Para reduzir o sobressinal os zeros serão deslocados em direção à origem. Escolhendo z=1, reajusta-se os demais parâmetros: 4 T K U P = 1 = 18 T D T = U = 4 0,5T U = 2 T I = 0,125 T U = 0,5 O novo controlador PID fica: C( s) = 0,075K U T U 2 ( s+ 4T ) 9( s+ 1) s U = s 2

Resposta ao degrau para o controlador projetado com refinamento 1.4 System: T Peak amplitude: 1.38 Overshoot (%): 37.9 At time (seconds): 1.52Step Response 1.2 1 System: T Settling time (seconds): 4.54 0.8 Amplitude 0.6 0.4 0.2 0 0 1 2 3 4 5 6 Time (seconds)

Resposta ao degrau:pid projetado x PID refinado 1.8 1.6 Step Response PID projetado PID refinado 1.4 1.2 Amplitude 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 5 10 15 20 25 Time (seconds)

Sintonia de Controladores Escolhendo agora z=0,75, teremos 4 T K U p = = 0,75 18 T D = T U 2,67 = 5,33 T I = 0,67 O novo controlador PID fica: C( s) = 0,075K U T U 2 ( s+ 4T ) 12( s+ 0,75) s U = s 2

Resposta ao degrau para o controlador projetado com o 2º refinamento 1.4 1.2 System: T3 Peak amplitude: 1.24 Overshoot (%): 23.7 At time (seconds): 1.31 Step Response System: T3 Settling time (seconds): 4.36 1 0.8 Amplitude 0.6 0.4 0.2 0 0 1 2 3 4 5 6 7 Time (seconds)

Sintonia Baseada em Integrais de Erro Uma alternativa para a sintonia de controladores é utilizar índices de desempenho baseados em integrais de erro. Estes índices são obtidos através da ponderação do sinal de erro, seja devido a uma perturbação, seja devido a uma mudança de referência. Os parâmetros do controlador são sintonizados de modo a minimizar um índice de desempenho.

Sintonia Baseada em Integrais de Erro IAE - Integral do Erro Absoluto IAE = e( t) dt 0 Adequado quando os erros são pequenos. Pondera mais fortemente os erros maiores. Muito usado para fins de estudo. ISE -Integral do Quadrado do Erro ISE = 2 e 0 ( t) dt Apresenta convergência lenta para erros grandes.

Sintonia Baseada em Integrais de Erro ITAE - Integral do Erro Absoluto com Ponderação de Tempo ITAE = t e( t) dt 0 Um erro inicial grande é ponderado com peso baixo enquanto erros que ocorrem mais tarde são bastante ponderados. ITSE -Integral do Quadrado do Erro com Ponderação de Tempo ITSE = 2 te 0 ( t) dt Observação: as integrais anteriores foram definidas considerando que o erro é nulo em regime permanente. Caso isto não ocorra, dever-se trocar, no cálculo destas, e(t) por y(t)-y( ).

Sintonia Baseada em Integrais de Erro O ITAE fornece a melhor seletividade dentre os índices de desempenho. Ex1: Seja o sistema de controle com realimentação unitária. A função de transferência de malha fechada é dada por: T ( s) = s 2 + 1 2ζs+ 1

Sintonia Baseada em Integrais de Erro Os índices de desempenho ISE, ITSE e ITAE calculados para diversos valores de ζ, considerando uma entrada em degrau unitário, são mostrados na figura a seguir. As curvas mostram a seletividade do Índice de Desempenho ITAE em comparação com ISE e ITSE.

Sintonia Baseada em Integrais de Erro O valor mínimo da relação de amortecimento com base no índice ITAE é de 0,7, que para um sistema de segunda ordem resulta em uma resposta rápida ao degrau com um sobressinal máximo de4,6%. Para o índices ISE e ITSE o amortecimento mínimo fica entre 0,5 e 0,6, o que representa uma resposta ao degrau com um sobressinal máximo entre 9,5% e 16%.

Sintonia Baseada em Integrais de Erro Em particular, o ITAE é bastante utilizado para alocação de polos de malha fechada. Neste caso, os coeficientes que minimizarão este critério de desempenho para uma entrada em degrau foram determinados para a função de transferência de malha fechada genérica da seguinte forma: T ( s) b = 0 n n 1 n 2 s + bn 1s + bn 2s + L+ b 2 s 2 + bs 1 + b 0 Observe que esta função de transferência possui erro nulo em regime permanente para uma entrada em degrau.

Sintonia Baseada em Integrais de Erro Os coeficientes ótimos de T(s) baseados no critério ITAE para uma entrada em degrau unitário são: As respostas usando coeficientes ótimos para uma entrada em degrau são dadas a seguir para os critérios ISE, IAE e ITAE. As respostas são fornecidas para o tempo normalizado,. ω n t

Sintonia Baseada em Integrais de Erro

Sintonia Baseada em Integrais de Erro

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Sintonia Baseada em Integrais de Erro Ex: Controle de duas câmeras A função de transferência de malha fechada é dada por: T a m 0 ( s) = 3 2 2 2 s 2 K K ω + 2ζω s + ω s+ K K ω 0 Deseja-se que a resposta seja relativamente rápida, com tempo de acomodação inferior a 1 segundo. 0 a m 0

Sintonia Baseada em Integrais de Erro Da tabela de coeficientes ótimos Comparando o polinômio acima com: ( s 3 2 2 2 ) = s + 2ζω s + ω s+ K K a ω 0 0 m 0 Tem-se: ζω ω ω ω ω = ω 2 2 2 3 2 0 = 1,75 n 0 = 2, 15 n KaKm 0 n

Sintonia Baseada em Integrais de Erro Para n=3, da figura abaixo, obtém-se um tempo de acomodação de aproximadamente 8 segundos (tempo normalizado).

Sintonia Baseada em Integrais de Erro Portanto, estima-se que ω n t s =8 Para obter-se uma resposta rápida, com tempo de acomodação menor do que 1 segundo, escolhe-se uma frequência de 10 rad/s, ou seja, ω n 10 t =0,8 = s Assim, os coeficientes ITAE podem ser calculados. ζω0 = 1,75ωn 2 2 ω0 = 2,15ωn 2 3 KaKmω0 = ωn 2 0 ω = 14,67 ζ = 0,597 KaKm = 4,65

Sintonia Baseada em Integrais de Erro A função de transferência de malha fechada será ou T a m 0 ( s) = 3 2 2 2 s 2 K K ω + 2ζω s + ω s+ K K ω 0 0 a m 0 T ( s) = s 3 1000 2 + 17,5s + 215s + 1000

Sintonia Baseada em Integrais de Erro 1.4 Step Response 1.2 1 System: G Settling Time (sec): 0.754 0.8 Amplitude 0.6 0.4 0.2 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 Time (sec)

Sintonia Baseada em Integrais de Erro Para uma entrada em rampa, os coeficientes ótimos que minimizam o critério ITAE foram determinados considerando a função de transferência de malha fechada da seguinte forma T ( s) 1 = n n 1 n 2 s + bn 1s + bn 2s bs+ b0 + L+ b 2 s 2 + bs+ b Os coeficientes ótimos de T(s) baseados no critério ITAE são: 1 0

Sintonia Baseada em Integrais de Erro Para uma entrada em parábola, os coeficientes ótimos que minimizam o critério ITAE foram determinados considerando a função de transferência de malha fechada da seguinte forma T 2 bs + bs+ b n n 1 s + b 2 s + L + b2 s + bs 1 + b0 2 1 0 ( s) = 1 2 2 s n + bn n + Neste caso, os coeficientes ótimos de T(s) são

Sintonia Baseada em Integrais de Erro As integrais de erro podem ser utilizadas tanto como medida de desempenho do sinal de controle como também para definir parâmetros de sintonia de controladores. No segundo caso, deve-se lembrar que: As sintonias para os problemas de regulação e seguimento de referência são diferentes. As sintonias para os diferentes tipos de entrada (degrau, rampa, etc.) também serão diferentes.

Sintonia Baseada em Integrais de Erro A seguir serão apresentadas outras tabelas de parâmetros de sintonia considerando integrais de erro. Os parâmetros foram definidos considerando o seguinte modelode1ªordemcomatraso: G ( s) Ce Ls = Ts +1 Os valores de C, L e T foram determinados a partir da resposta ao degrau para o sistema em malha aberta (1º método). Caso Regulador (rejeição de perturbação) Lopes et al(1967) Caso Servo (seguimento de referência) Rovira(1981)

Caso Regulador

Caso Regulador

Caso Servo

Caso Servo

Sintonia Baseada em Integrais de Erro Exemplo: Projetar um controlador PI, considerando as tabelas de sintonia baseadas em critérios de erro, para o processo cuja resposta do ensaio de malha aberta, é dada no gráfico abaixo:

Sintonia Baseada em Índices de Desempenho Do gráfico: L= 1 T = 2 C= 10 G( s) = s 10e 2s+ 1 Considerando o problema de regulação:

Sintonia Baseada em Índices de Desempenho Substituindo os dados tem-se: Critério K P T I ISE 0,245 2,44 IAE 0,195 2,02 ITAE 0,169 1,85 Resposta a um degrau unitário de perturbação:

Resposta ao Degrau 5 4 Resposta ao Degrau ISE IAE ISE ITAE IAE ITAE 3 2 1 0-1 0 5 10 15 20 25 30

1 Sinal de Erro Sinal de Erro ISE IAE ITAE 0-1 -2-3 -4 ISE IAE ITAE -5 0 5 10 15 20 25 30 Erro =0 ISE IAE ITAE tempo 54,53 35,29 28,44

Sintonia Baseada em Integrais de Erro Considerando agora o problema seguimento de referência:

Sintonia Baseada em Índices de Desempenho Substituindo os dados tem-se: Critério K P T I IAE 0,14 2,33 ITAE 0,11 2,11 Resposta ao Degrau:

1.4 Resposta ao Degrau IAE ITAE 1.2 1 0.8 0.6 Critério Sobressinal Tempode Resposta Tempode Acomodação IAE 13% 2,65 7,41 0.4 ITAE 5% 2,18 5,45 0.2 0 0 5 10 15 20 25

1.2 1 Sinal de erro IAE ITAE 0.8 0.6 0.4 0.2 0-0.2 0 5 10 15 20 25 Erro =0 IAE ITAE tempo 20,58 17,45