Topologia de Zariski Jairo Menezes e Souza 25 de maio de 2013 Notas incompletas e não revisadas 1
Resumo Queremos abordar a Topologia de Zariski para o espectro primo de um anel. Antes vamos definir os conceitos de Anéis, Ideais e Ideais Primos. Este é um assunto de Álgebra Comutativa que é utilizado na visão moderna da Geometria Algébrica. Sumário 2
1 Introdução 1.1 Anéis Definição 1. Um anel ou anel comutativo com identidade (A, +, ) é um conjunto A com pelo menos dois elementos, munido de uma adição (+) e uma multiplicação ( ) que satisfazem as condições seguintes: (A) (A, +) é um grupo abeliano. (M.1) A multiplicação é associativa.. x, y, z A, (x y) z = x (y z) (AM) A adição é distributiva relativamente à multiplicação. (M.2) A multiplicação é comutativa. x, y, z A, x (y + z) = x y + x $ x, y A, x y = y x (M.3) Existe elemento neutro com respeito à multiplicação. 1 Atal que, x A, 1 x = xex 1 = x Definição 2. Um anel (D, +, ) é um domínio ou domínio de integridade se satisfaz a seguinte condição: (M.4) Se x, y D e x y = 0 então ou x = 0 ou y = 0. Um anel (K, +, ) é um corpo se ele satisfaz a seguinte condição: (M.4 ) Todo elemento não nulo tem um inverso multiplicativo. x K \ {0}, y Ktal quex y = 1 Exemplo 1. Nos três primeiros exemplos + a adição em C e a multiplicação em C. 1. (Z, +, ) é um domínio. 2. (Q, +, ), (R, +, ), (C, +, ) são corpos. 3. ( Z nz,, ) é um anel para todo n Z. Onde e são a adição e multiplicação induzida. 3
1.2 Ideais e anéis quociente Definição 3. Seja A um anel e a um subconjunto não vazio de A. Dizemos que a é um ideal de A se: ˆ x + y a, x, y a ˆ a x a, x a e a A Exemplo 2. Alguns exemplos de ideais 1. se K é corpo seus únicos ideais são {0} e K. 2. O conjunto 2Z = {2k : k Z} é um ideal de Z. Mais geralmente o conjunto nz, para n Z são ideais de Z. Teorema 1.1. Seja A um anel e a um ideal de A. Definimos a relação: x y x y a. Então esta é uma relação de equivalência. Ainda mais definimos no conjunto quociente as operações x ȳ = x + y e x ȳ = x y. Estas operações são bem definidas e (A/a,, ) é um anel. Exemplo 3. Seja A = Z e a = 2Z temos que A/a = Z 2Z = { 0, 1}. 1.3 Ideais Primos e Ideais Maximais Definição 4. Seja A um anel. Um ideal p de A é dito um ideal primo se p A e se para x, y A com xy p implica que ou x p ou y p. Exemplo 4. 2Z é ideal primo de Z, mas 4Z não é ideal primo de Z. Definição 5. Um ideal m de A é dito ideal maximal se m A e se para todo a ideal de A com m a A temos que a = m ou a = A. Exemplo 5. 2Z é ideal maximal de Z. Teorema 1.2. Seja A um anel e a um ideal de A. Então: i se a é ideal maximal então a é ideal primo. ii a é ideal primo se e somente se A/a é um domínio. iii a é ideal maximal se e somente se A/a é um corpo. Teorema 1.3. Todo anel A possui ao menos um ideal maximal. Corolário 1.4. Se a (1) é um ideal de A então existe um ideal maximal de A conténdo a. 4
Corolário 1.5. Todo elemento de A que não é uma unidade está contido em um ideal maximal. Proposição 1.6. Seja A um anel, então o conjunto dos ideais primos de A tem um elemento minimal com respeito a inclusão. 1.4 Homomorfismos de Anéis Definição 6. Sejam A e B anéis uma função f : A B é um homomorfismo de anéis, se para todos x, y A valem: 1. f(x + y) = f(x) + f(y). 2. f(xy) = f(x)f(y). 3. f(1) = 1. Exemplo 6. Para A um anel e a um ideal de A então temos o homomorfismo (chamado homomorfismo canônico) ϕ : A A /a dado por ϕ(x) = x. Teorema 1.7. Sejam A e B anéis, b B um ideal e f : A B um homomorfismo. temos que: 1. f 1 (b) A é um ideal. 2. Se b é primo então f 1 (b) também é primo. Definição 7. Seja f : A B um homomorfismo de anéis. Definimos o núcleo de f por: ker(f) = {x A : f(x) = 0}. Como ker(f) = f 1 (0) temos que ker(f) é um ideal de A. Teorema 1.8 (Teorema dos homomorfismos). Seja f : A B um homomorfismo de anéis. Então a função f : A /ker(f) B x f(x) está bem definida e é um homomorfismo injetor. Portanto A /ker(f) = Img(f) Teorema 1.9 (Correspondência de Ideais). Seja A um anel e a ideal de A. Então o homomorfismo canônico ϕ : A A /a induz uma correspondência biunívuca entre os conjuntos {ideais b A tais que b a} {ideais de A /a} b ϕ(b) 5
1.5 Nilradical e Jacobson Radical Dado um anel A dizemos que um elemento x A é nilpotente se existe n Z, n > o tal que x n = 0. Um anel que tenha um elemento nilpotente diferente de 0 não é domínio. Chamamos de uma unidade de A um elemento u A que divide 1, isto é, existe v A com uv = 1. O elemento v é unicamente determinado por u, e chamamos v = u 1. Chamamos A ao conjunto das unidades de A, temos que (A, ) é um rupo. Definição 8. Seja A um anel, o conjunto R = {x A : chamado de nilratical de A. x é nilpotente} é Teorema 1.10. Seja A um anel o conjunto nilradical R é um ideal de A e A /R não tem nenhum elemento nilpotente não nulo. Teorema 1.11. O nilradical de um anel A é a interseção de todos os ideais primos de A. Definição 9. O Jacobson radical J do anel A é a interseção de todos os ideais maximais de A. Teorema 1.12. x J 1 xy é uma unidade em A y A 1.6 Operações com Ideais Definição 10. Sejam a, b ideais de um anel A. Definimos a soma a + b = {x + y : x a e y b}. Mais geralmente podemos definir a soma λ L a λ, onde L é um conjunto de índices, como o conjunto dos elementos λ L x λ onde x λ a λ e no máximo um número finito de x λ é diferente de zero. Temos que a soma de dois ideais é um ideal. Este é o menor ideal contendo a e b. Do mesmo modo a soma infinita de ideais é um ideal. A interseção de uma família de ideais {a λ } λ L é um ideal. Definição 11. O produto de dois ideais a, b em A é o conjunto ab = { x λ y λ : com x λ a, y λ b e a soma é finita}. Recursivamente definimos o produto de uma família finita de ideais. Assim a n é o conjunto das somas finitas onde as parcelas são x 1 x 2 x n onde x i a. O produto de ideais é um ideal. Exemplo 7. 1. Se A = Z, a = mz,, b = nz então a + b = dz onde d = mdc(m, n). a b = lz onde l = mmc(m, n). E ab = mnz. Neste caso ab = a b m, n são coprimos. 6
2. Seja A = k[x, y] e a = (x, y). Então a n é o conjunto dos polinômios que não têm termos de grau menor que n. Em geral a união a b de dois ideais não é um ideal. Teorema 1.13. 1. Sejam p 1,... p n ideais primos de um anel A e a um ideal tal que a n i=1 p i. Então a p i para algum i. 2. Sejam a, b ideais e p ideal primo com (a b) p. Então p a ou p b. Se p = (a b), então p = a ou p = b. Demonstração. Para provarmos (1) vamos mostrar por indução que a p i para 1 i n a n p. Para n = 1 a implicação vale. Suponha então que vale para n 1 então existem x 1,..., x n a com x i / p j para todo 1 j n, com i j. Se existir algum i com x i / p i então temos o que queríamos. Se não então x i p i para todo i. Considere o elemento n y = x 1 x i x n i=1 temos que y / p i para 1 i n. Assim a n i=1 p i. Agora para vermos (2) suponha que a p e b q daí existe x a e y b com x, y / p. Agora xy (a b) p, o que contradiz a hipótese de p ser primo. i=1 Definição 12. Seja A um anel e a um ideal de A, o radical de a é definido por a = {x A : x n a para algum n > 0}. Proposição 1.14. 1. a a. 2. a = a. 3. ab = a b = a b. 4. a + b = a + b. 5. Se p é ideal primo, p n = p para todo n > 0. Teorema 1.15. O radical do ideal a é a interseção de todos os ideais primos que contém a 7
Definição 13. Dois ideais a, b são coprimos se a + b = (1). Para ideais coprimos nós temos que a b = ab. Teorema 1.16. Seja a, b ideais em um anel A tais que a, b são coprimos. Então a, b são coprimos. 2 O Espectro Primo de um Anel 2.1 O espectro primo de um anel Definição 14. Seja A um anel, chamamos de Spec(A) (espectro primo de A) ao conjunto de todos os ideais primos de A. Se ϕ : A B é um homomorfismo de anéis definimos Spec(ϕ) : Spec(B) Spec(A) q ϕ 1 (q) Exemplo 8. (0) Spec(A) se e somente se A é domínio. Exemplo 9. Se A é um Domínio Fatorial e x é irredutível, então (x) é um ideal primo. Exemplo 10. Se A é um Domínio de Ideais Principais, então. Deste modo Spec(A) = (0) {(x) : x é irredutível} Spec(Z) = (0) {(p) : p é primo} (1) Spec(C[X]) = (0) {(X a) : a C} (2) Exemplo 11. Se A é um DIP então todo ideal primo não nulo é maximal. Exemplo 12. Se a é um ideal de A Exemplo 13. Seja a um ideal de um anel A e ϕ : A A /a o homomorfismo canônico. Então o teorema da correspondência nos diz que Spec(ϕ) : Spec( A /a) Spec(A) é injetor com imagem dada pelos primos b que contém a. Daí temos que: Spec( Z ) = {( p) : p primo, p n} nz Spec( C[X] ) = {(X a); (X a) f(x)} (f(x)) 8
Teorema 2.1. Para todo anel A existe um ideal maximal m A. Como consequência para todo ideal próprio a A, temos que a m para algum m maximal. 2.2 A topologia de Zariski 2.2.1 Espaços Topológicos Definição 15. Seja X um conjunto e T = {A λ : λ I} uma coleção de subconjuntos de X para I um conjunto de íncices quaisquer. Dizemos que o par (X, T ) é um espaço topológico, para os abertos A λ se: (i) T e x T (ii) α L A α T para qualquer L I. (Uniões quaisquer de abertos é um conjunto aberto). (iii) Se A T e B T então A B T. (Interseção finita de abertos é um conjunto aberto). Chamamos o conjunto T de uma topologia para X. Exemplo 14. Tome X = R o conjunto dos números reais, seja T = {uniões de intervalos abertos}. Então temos que (R, T ) é um espaço topológico. Esta topologia tem uma propriedade interessante, é que se dermos x, y R com x y então existem abertos A, B T com x A, y B e A B =. Uma topologia que satisfaz essa condição é chamada de separável por Hausdorff. Definição 16. Seja (X, T ) um espaço topológico. Um conjunto F X é dito fechado se existe A T com F = X \ A. Temos que um conjuto é fechado numa topologia se for o complentar de um aberto. Usando as leis de De Morgan para conjuntos podemos enuciar as propriedades para os conjuntos fechados em uma topologia. Proposição 2.2. Seja (X, T )um espaço topológico e seja F = {F X : F é fechado}. Então (i) F e x F 9
(ii) α L F α F para qualquer família {F α } α L em F. (Interseções quaisquer de fechado é um conjunto fechado). (iii) Se A F e B F então A B T. (União finita de fechados é um conjunto fechado). Demonstração. Basta usar as leis de De Morgan: (A B) c = A c B c (A B) c = A c B c Esta proposição implica que para definirmos uma topologia em um conjunto X podemos começar dizendo quem são os conjuntos fechados satisfazendo as condições da proposição. Assim os conjuntos abertos serão os complementares dos fechados. 2.2.2 Topologia de Zariski Teorema 2.3. Para cada subconjunto E de A, seja V (E) o conjunto de todos ideais primos de A que contem E. (i) Se a é o ideal gerado por E, então V (E) = V ((a)) = V ( a) (ii) V ({0}) = Spec(A), V ({1}) =. (iii) Se {E λ } λ L é uma família de subconjuntos de A, então ( ) V E λ = V (E λ ) λ I. (iv) V (a b) = V (ab) = V (a) V (b) para qualquer a, b de A. λ I Demonstração. Primeiro note que V reverte inclusões, isto é, paraf E A temos que V (E) V (F ). De fato, se p V (E) então p E F, logo p V (F ). Então para provarmos (1), já que E a = (E) então V (a) V (E). Recíprocamente tome p V (E), então E p como a = (E) é o menor ideal que contém E então a p, e daí p V (a). Agora para provarmos a igualdade V (a) = V ( a), temos primeiro que a a daí V ( a) V (a). 10
Agora tome p V (a) então a p, se t a então t n a p para algum n > 0, logo t p. Daí a p e p V ( a). Agora temos que (0) p para todo ideal p. Daí, V (0) = Spec(A). Agora se 1 p então p = A, logo p não é primo. Temos que V (1) =. Provamos (ii). p V ( λ L E ) λ λ L E λ p E λ p, para todo λ L p V (E λ ), para todo λ L p V ( λ L E λ). Provando (iii) Para provarmos (iv) observamos que ab a b segue que V (a b) V (ab). Agora temos que se p V (ab) então ab p Seja t a b, daí t 2 ab p daí t p pois p é primo. Portanto temos a igualdade V (ab) = V (a b). Agora temos que a b a e a b b portanto V (a) V (a b) e V (b) V (a b) e daí (V (a) V (b)) V (a b). Por outro lado se p V (a b) então (a b) p pelo 1.13 a p ou b p então p V (a) ou p V (b). Logo V (a b) (V (a) V (b)). Este teorema mostra que os conjuntos V (E) satisfazem as condições para conjuntos fechados em um espaço topológico. A topologia de Spec(A) dada pelos fechados V (E) é chamada de Topologia de Zariski Proposição 2.4. Dado t A seja X t = [V (t)] c, então os conjuntos X t são abertos e formam uma base para a topologia de Zariski em Spec(A) Demonstração. Vamsos mostrar que os conjuntos X t, para t A formam uma base para a topologia de Zariski em Spec(A). Dado X um aberto de Spec(A) então X = Spec(A) \ V (a) para algum a Spec(A). Então [ ( c [ ] c X = V {t})] = V (t) = t a t a t a V (t) c = t a X t Proposição 2.5. Os abertos X t gozam das seguintes propriedades: 1. X t X v = X tv 2. X t = t é nilpotente. 3. X t = Spec(A) t é uma unidade. 4. X t = X v (t) = (v). 5. Spec(A) é quasi-compacto (isto é, toda cobertura de Spec(A) por abertos tem uma subcobertura finita). 11
6. Mais geralmente, cada X t é quasi-compacto. 7. Um aberto de Spec(()A) é quasi-compacto se e somente se é uma união finita de conjuntos X t. Demonstração. 1. X t X v = V (t) c V (v) c = [V (t) V (v)] c = [V ((t)(v))] c = [V (tv)] c = X tv. 2. X t = V (t) c = V (t) = Spec(A) t R. Pelo teorema 1.11 (onde R é o nilradical de A). 3. X t = Spec(A) V (t) = p Spec(A), t / p t / p para p maximal (p, (t)) = (1), para todo p maximal t é uma unidade. 4. Seja {X i } i L uma coleção de abertos com i L X t i = Spec(A) Temos que Spec(A) = i L X t i = i L [V (t i)] c = [ i L V (t i) ] c [ = V ( i L {t i} )] c V ( i L {t i} ) = i L {t i} p, para p maximal (1) = ( i L {x i} ) 1 = n j=1 v jt ij para i 1,..., i n L com v j A (1) = ( n ) (t i1,..., t in ) = V (1) = V j=1 t i j = n j=1 V (t i j ) Spec(A) = [ n ] c j=1 V (t i j ) = n j=1 X t ij 5. Seja X t = i L X t i é uma cobertura aberta de X t, podemos completar esta cobertura até termos uma cobertura de Spec(A). Assim Spec(A) = ( i L X ) ( ) t i j L 0 X tj como Spec(A) é quasi-compacto ( n ) ( temos uma subcobertura finita, Spec(A) = l=1 X m ) t il l=1 X t jl o que implica que X t = Spec(A) X t = ( n ( m [( n ) X t = l=1 X t il X t ) l=1 X t jl X t = que é uma cobertura finita de X t. ( m ) l=1 X t il l=1 X t jl )] ) ( m ) ( n l=1 X t il t l=1 X t jl t Por razões psicológicas, as vezes é conveniente denotar um ideal primo de A com a letra x ou y pensando em um ponto de Spec(A). Quando pensarmos em x como um ideal primo de A, denotamos por p x. É claro que x e p x é a mesma coisa. Proposição 2.6. 1. O conjunto {x} é fechado em Spec(A) se e somente se p x é maximal. 12
2. {x} = V (p x ). 3. y {x} p x p y. 4. Spec(A) é um espaço T 0 ( Isto é, para x, y pontos distintos de Spec(A), então ou existe um aberto contendo x e que não contenha y, ou existe um aberto contendo y que não contenha x). Demonstração. 1. se {x} = V (a) para algum a ideal de A. Temos que a m para algum ideal maximal m. Logo p x = m. Agora se p x é maximal então V (p x ) = x. 2. {x} V (p x ) {x} V (p x ). Se {x} V (a) então para y V (p x ) temos que a p x p y Daí y V (a). Assim temos que V (p x ) é o menor fechado que contém x. 3. Consequência imediata do item anterior. 4. Sejam x y em Spec(A), então p x p y. Isto é ou p x p y ou p y p x, então y / V (p x ) = {y} ou x / V (p x ) = {x}. Daí x [{x}] c ou y [{x}] c. Definição 17. Um espaço topológico X é dito irredutível se não se decompõe como união de fechados próprios. Isto é X é irredutível se e somente se X = X 1 X 2, com X 1, X 2 fechados X 1 = ou X 2 =. Proposição 2.7. Para um espaço topológico X são equivalentes: 1. X é irredutível. 2. Quaisquer dois abertos não vazios em X se intersectam. 3. Todo aberto não vazio em X é denso. Demonstração. (1) (2) Sejam A 1 e A 2 abertos não vazios de X com A 1 A 2 = então X = [A 1 A 2 ] c = A c 1 A c 2. Assim X 1 = A c 1 X e X 2 X são fechados com X = X 1 X 2. (2) (3) Seja A aberto de X com Ā X, então A 0 = X \ Ā é aberto com A 0 A =. (3) (1) Sejam X 1 X e X 2 X, fechados com X = X 1 X 2. Tome A = X \ X 1 então Ā X 2 X. Teorema 2.8. Spec(A) é irredutível se e somente se o nilradical de A é um ideal primo. 13
Demonstração. Vamos mostrar que Spec(A) é redutível se e somente se o nilradical de A não é primo. Spec(A) é redutível existem dois abertos básicos X t e X v não vazios com X tv = X t X v = v é nilpotente mas t e v não são nilpotentes. R não é primo. Proposição 2.9. Seja X um espaço topológico. 1. Se Y é um subespaço irredutível de X então o fecho Y de Y em X é irredutível. 2. Todo subespaço irredutível de X está contido em um subespaço irredutível maximal. 3. Os subespaços irredutíveis maximais são fechados e cobrem X. 4. Se A é um anel e X = Spec(A), então as componentes irredutíveis de X são os conjuntos fechados V (p), onde p é um ideal primo minimal de A. Demonstração. 1. Tome Y = Y 1 Y 2 com Y 1 e Y 2 fechados em Y. Daí Y = (Y 1 Y ) (Y 2 Y ). Se (Y 1 Y ) = então Y 1 Y. Com isto Y = Y 2 Y. E então Y = (Y 2 Y ) (Y 2 Y ) = Y 2. Então Y = Y 2 e Y 1 =. 2. Seja Y um subespaço irredutível, tome o conjunto P dos subespaços irredutíveis Z Y, ordenado pela inclusão. Se temos uma cadeia em P dada por Y Z 1 Z 2 Z n, vamos mostrar que n=1 Z i. é irredutível. Tome A ( n=1 Z n) aberto, A = ( n=1 (Z n A). Assim A = ) ( n=1 (Z ) n A) n=1 (Z n A) = n=1 Z n. Logo A é denso. Daí pelo Lema de Zorn temos que todo subespaço irredutível Y está contido num subespaço irredutível maximal. 3. Se Y é um subespaço irredutível maximal temos que Y Y que é irredutível. Logo Y = Y. Temos que o subespaço x dado por um ponto é irredutível. Então X = ( x X {x}) x X Y (x) onde Y (x) é a componente irredutível maximal que contém x. 4. Vejamos que V (p x ) é irredutível para p x primo. Se V (p x ) = V (a) V (b) = V (ab) é a união de dois fechados, então x V (p x ) = V (ab), daí ab p x logo a p x ou b p x. E então V (p x V (a) ou V (p x ) V (b). Portanto ou V (p x ) = V (a) ou V (p x ) = V (b). Agora se p x p y então V (p y ) V (p x ). Assim as componentes irredutíveis são V (p) com p ideal primo minimal. 14
Teorema 2.10. Seja ϕ : A B um homomorfismo de anéis. A aplicação ϕ : Spec(B) Spec(A) satisfaz as seguintes condições: 1. Para t A temos que Spec(ϕ) 1 (X t ) = Y ϕ(t). Daí Spec(ϕ) é contínua. Demonstração. 1. Tome qã 15