Cap. 2 Conceitos Iniciais 2.1 Introdução O objetivo do presente curso é apresentar critérios que possam avaliar a rentabilidade dos investimentos, comparando as alternativas existentes e auxiliando o processo decisório da escolha das melhores alternativas. Na avaliação e seleção de projetos por critério quantitativos, estuda-se o melhor modo de efetuar investimentos sob o ponto de vista da rentabilidade, dentre diversas alternativas. É preciso ter em mente que as alternativas todas competem entre si pela obtenção do capital de investimento, o qual é um recurso escasso (não existe em quantidade ilimitada). Entre as diversas alternativas sempre existe a de não fazer nada, por exemplo, guardar o dinheiro num cofre, ou dentro do colchão Estas alternativas são facilmente superadas pelo deposito deste numerário em caderneta de poupança. Da análise que faremos espera-se que existam alternativas ainda mais atraentes. Na estrutura sócio-econômica em que vivemos, o dinheiro tem a função de facilitar o processo de transações entre os elementos da sociedade, e também a de servir de elemento de transação no próprio processo de produção dos bens e serviços, assim como a distribuição destes entre a população. Esta ação de participar do processo produtivo se dá através do investimento. O investimento é, pois, uma aplicação de dinheiro em projetos de implantação de novas atividades, expansão, modernização etc., da qual se espera obter uma boa rentabilidade. Neste contexto inicial conviria uma visualização das razões da rentabilidade dos investimentos. Sob a ótica marxista e neoclássica. Segundo o ponto de vista marxista, o processo produtivo consiste, essencialmente, na aplicação de trabalho humano para resultar em bens e serviços disponíveis para a população. A eficiência do trabalho humano pode ser alterada por meio de mudanças na organização, se artesanal ou produção em massa, mas só o trabalho humano dá valor aos produtos finais. Entretanto, o bolo total produzido não é repartido somente entre os trabalhadores. Há uma divisão do produto entre trabalhadores e capitalistas. Trabalhadores são todos os indivíduos que são remunerados pelo seu esforço direto no processo de produção. Capitalistas são todos os indivíduos que recebem dividendos, juros, lucros, aluguéis etc., ou seja, remuneração por serem donos de capital. Evidentemente, esta é uma visão bem esquemática, pois é possível que um determinado indivíduo receba parte de sua renda como trabalhador, e parte como capitalista. O importante é que a posse de capital dê ao seu proprietário o direito a uma fatia do bolo que foi produzido. Argumenta Marx que o acúmulo de capital só pode ser feito por meio de não-remuneração de trabalho. Desse modo, capital é uma forma de armazenamento de trabalho humano passado e apropriado pelo capitalista. Segundo os economistas neoclássicos, nosso mundo se caracteriza por escassez de produtos para satisfazer todos os desejos de toda a população e escassez de meios para produzir tudo o que é demandado. Tudo o que é escasso tem que ser repartido por um mecanismo de mercado 2 03/08/09 1:55 2
para os consumidores (quem paga mais leva a mercadoria), e este processo também é válido para os meios de produção. Tanto mão-de-obra como capital são meios de produção, sendo, até mesmo (dentro das possibilidades técnicas), freqüente a substituição de um pelo outro, resultando em diferentes tecnologias de fabricação. Assim, se houver falta de mão-de-obra, os salários serão altos, se houver falta de capital a remuneração do capital (renda dos capitalistas), como fator de produção, será alta. O capital não aplicado não é remunerado. Cabe, pois aos capitalistas verificar as atividades mais demandadas para satisfazer os desejos da população, aquela onde o capital é mais escasso e, portanto melhor remunerado para maximizar o retorno sobre seus investimentos. Este processo é que dá dinamismo ao capitalismo. O ponto que queremos atingir neste curso, é quanto à necessidade de o investidor analisar as alternativas para garantir um bom retorno. Não entraremos em discussões de satisfação dos desejos humanos, justiça social, finalidades da atividade econômica etc... Se os recursos monetários fossem ilimitados, não haveria necessidade deste estudo. Todas as propostas de aplicação de fundos seriam aceitáveis, desde que obedecessem a um simples critério: a renda total deve exceder o total de gastos. Em nosso mundo real, com capital finito, está claro que os recursos são limitados, e, a oferta de capital disponível não e suficiente para satisfazer toda demanda imaginável. Numa firma, embora seja verdade que o capital disponível possa ser aumentado através de empréstimo, emissão de ações, ou por meio da realização de uma sociedade, a administração se vê impossibilitada de aproveitar todas as oportunidades disponíveis de investimento devido às limitações de capital. Este, então, é o problema central: da aplicação de capitais: Quais dentre as muitas alternativas de investimento disponíveis devem ser selecionadas e quais devem ser rejeitadas, a fim de que os fluxos monetários, a longo prazo sejam maximizados? A estrutura que se apresenta a seguir estrutura o desenvolvimento de uma base matemática aplicável à análise dessa questão. 2.2. Definições Preliminares Em economia e finanças, custo marginal é a mudança no custo total de produção decorrente da variação de uma unidade da quantidade produzida. A expressão receita marginal designa a variação da receita total provocada pela variação de uma unidade na produção de determinado bem. Conceitualmente, a solução para o problema da aplicação de capital pode ser vista como a determinação do ponto (Ponto de Equilíbrio) em que o custo marginal da oferta de capital é igual à receita marginal esperada deste capital. Dito de outra forma, as alternativas devem ser aceitas até o ponto em que a última alternativa (marginal) aceita, seja aquela para a qual se espera um retorno não menor que o custo de capital necessário para financiá-la. Além deste ponto, não deverá ser obtido nenhum capital adicional e nenhuma proposta de investimento adicional deve ser aceita. (Vide Fig.1) 3 03/08/09 1:55 3
Figura 1 Definição do Ponto de Equilíbrio A solução do problema requer a definição de uma medida adequada de custo de capital, lucratividade e determinação de retorno do projeto, e tratamento da incerteza inerente a todas as previsões de resultados futuros. Esses e outros temas relevantes serão discutidos no presente curso. Ante de desenvolver a estrutura matemática necessária para a avaliação das propostas de aplicação do capital, é conveniente apresentar alguns princípios qualitativos que fundamentam a racionalização das decisões. Além disso, alguns desses princípios levam diretamente a técnicas quantitativas desenvolvidas ao longo do texto. 1) Todas as decisões são tomadas a partir de alternativas. Se não houver alternativas, não há opção de escolha, e, portanto, não há decisão a tomar. 2) É necessário um denominador comum, para se analisar as alternativas comensuráveis. É possível ordenar alternativas de projetos segundo maior rentabilidade ou então segundo maior número de empregos criados. Não é possível misturar as duas ordens. É um problema de unidades imcompatíveis. 3) Apenas as diferenças entre alternativas são relevantes. Como as alternativas competem entre si, uma delas serve como referência para a outra dentro do processo de seleção. Isto quer dizer que analisamos projetos que são mutuamente exclusivos. 4) Os critérios para decisões de investimento devem reconhecer o valor do dinheiro no tempo e os problemas relativos ao racionamento de capital. 5) Decisões separáveis devem ser tornadas isoladamente. Não há por que misturar assuntos independentes. E preciso manter a visão clara e não entrar em comparações irrelevantes para o processo decisório. 6) Um certo peso deve ser dado para os graus relativos de incerteza associados com as várias previsões. Quanto maiores as incertezas na rentabilidade de um empreendimento, maiores serão os requisitos de retorno esperado. 7) As decisões devem pesar as conseqüências não redutíveis a termos monetários. Este assunto foge do âmbito do presente curso, mas é preciso ter em mente que prestígio, imagem etc. podem ter um peso enorme no processo decisório, apesar de dificilmente redutíveis a termos monetários. De fato, a seleção de alternativas é um problema 4 03/08/09 1:55 4
complexo e multidimensional. No presente curso só trataremos de uma dimensão: a análise econômico-financeira. 8) A eficácia dos procedimentos de aplicação de capital é uma função de sua implantação nos vários níveis dentro da organização. 9) Para o processo de decisão, é indiferente se os investimentos dos processos sendo avaliados, visam implantação, expansão, modernização ou qualquer outra finalidade. Desde que o critério seja maximizar o retorno sobre o capital investido, o tipo de aplicação é irrelevante. 10) É preciso observar a diferença entre boas decisões e bons resultados. Uma boa decisão é a melhor possível, considerando os conhecimentos disponíveis que se têm do fenômeno sobre o qual se quer atuar. Eventualmente uma boa decisão pode redundar num péssimo resultado. 11) As auditorias pós-decisão permitem uma análise do processo decisório passado e aperfeiçoam a qualidade das decisões futuras. E um processo que educa os responsáveis por decisões para melhorarem seu desempenho, 12) As decisões sempre devem enfocar o quanto uma ação no presente resultará no resultado futuro. As ações tomadas no passado podem, até certo ponto, ajudar-nos a antever resultados no futuro, mas não devem condicionar as ações no presente. Assim para um empreendimento em curso, a decisão presente em continuá-lo ou mudar deve basear-se nas perspectivas futuras e nos resultados do passado. 13) Só se decide sobre ações relativas ao futuro. O passado já ocorreu e sobre ele nada há que decidir. Em relação ao futuro só temos expectativas. De modo que as decisões são sempre formadas sobre expectativas. 2.3 Decisões Decisões conduzem a ações no presente com as quais desejamos controlar eventos no futuro. Assim, decido investir no presente com o intuito de obter um retorno no futuro. O presente já é conhecido (momento de decisão), mas o futuro ocorrerá dentro de um universo que podemos classificar em quatro tipos: a) Universo determinístico é o caso no qual sabemos precisamente que eventos ocorrerão no futuro em função de ações presentes. Por exemplo, ao depositar R$ 1.000,00 no FGTS que rende 0,5% ao mês, terei R$ 1.005,00 dentro de 30 dias. b) Universo aleatório: é o caso no qual os eventos futuros ocorrerão segundo uma lei estatística conhecida. Por exemplo, se ao investir R$ 1.000,00 hoje, sei que receberei, dentro de um período, um valor caracterizado por uma variável aleatória com distribuição normal de média R$ 1.200,00 e desvio-padrão R$ 200,00 resultando estatisticamente num montante igual a (R$ 1200,00±R$ 600,00) com 99,7% de certeza. 5 03/08/09 1:55
c) Universo antagônico: é o caso no qual o universo não é neutro, mas maligno e inteligente. Por exemplo, ao investir em uma atividade, meus concorrentes tomarão ações procurando prejudicar-me. Recai-se na teoria dos jogos. d) Universo incerto: é o caso no qual tenho que considerar um futuro sobre o qual tenho poucas informações. Por exemplo, investir numa atividade cujo resultado depende do preço do petróleo dentro de cinco anos. Recai-se nos modelos da teoria das decisões. No tocante às valorações de um projeto em análise, pode-se ter o caso de multi-atributos (como, por exemplo, retorno financeiro, participação de mercado, imagem da empresa, empregos criados etc.) ou um só atributo (como, por exemplo, só o retomo financeiro). A Engenharia Econômica, ou Matemática Financeira propõe-se a resolver o caso mais simples no qual o universo é determinístico e só consideramos um atributo: o financeiro. Por ser o mais simples, ele é de longe o mais utilizado e um ponto de partida essencial para qualquer análise mais complexa. Apesar do caso determinístico e considerando um só atributo ser o mais simples, é necessário dominar bem os conceitos básicos apresentados no presente curso. Problemas reais podem requerer cálculos trabalhosos a serem resolvidos com o auxílio de Planilhas Eletrônicas, por ex. utilizando Excel em microcomputadores ou por meio de pacotes financeiros apropriados. Para a tomada de decisões sempre ocorrem questões do tipo e se? Por exemplo, e se os custos aumentarem em 20%? E se as máquinas atrasarem e só entrarem em operação um ano após o inicialmente previsto? Nestes casos, observamos como é fundamental ter um modelo bem estruturado e procedimentos de cálculos bem especificados. Os cálculos em si, que nos conduzem às respostas, podem ser feitos numa Planilha Eletrônica, por ex. utilizando o Excel. Este tipo de análise é chamado análise de sensibilidade. 2.4 Custo de Oportunidade Um conceito importante a ser apresentado é o de custo de oportunidade. Se os bancos locais estiverem pagando 10% ao ano de juros, manter uma quantia qualquer de dinheiro em casa, no colchão, faz incorrer num custo de oportunidade de 10% ao ano que este dinheiro deixa de render. Denomina-se Custo de Oportunidade, pois é um custo para aquele que decide apenas guardar o dinheiro em casa. Se, entretanto, existir a possibilidade de investir este dinheiro de modo que ele renda 15% em um ano, o custo de oportunidade de manter o dinheiro no colchão será de 15%, e o de pôr o dinheiro no banco será de 5%. Vemos, portanto, que o custo de oportunidade depende das oportunidades existentes. Estas oportunidades podem ser diferentes de um indivíduo para outro. Para o proprietário de uma empresa, o custo de oportunidade de um dinheiro pode ser 20% quando comparado à remuneração dos bancos (15%), desde que, reinvestindo na própria empresa, o mesmo dinheiro rendesse 35% ao ano. Entretanto, o custo de oportunidade do dinheiro no banco pode ser também nulo, desde que eu não tenha acesso a outro investimento que renda mais do que os juros que o banco se dispõe a me pagar. 6 03/08/09 1:55 6
EXEMPLO 1 A rede de lojas Récife efetuou uma análise a fim de determinar o número de vendedores a serem contratados no setor de eletrodomésticos. O salário médio anual de um vendedor é R$ 3.200,00 Chegou-se à conclusão de que os clientes não esperam mais do que dez minutos para serem atendidos. As perdas devidas a clientes que desistem da compra (por demora no atendimento) são inversamente proporcionais ao número de vendedores segundo a tabela que se segue. Cada cliente que desiste corresponde a uma perda estimada de R$ 1.000,00. Número de vendedores 2 3 4 5 6 Número de clientes desistentes por ano 270 170 70 19 16 Quantos vendedores devem ser contratados a fim de minimizar os custos? Vamos analisar o custo total entre os salários e as vendas não efetuadas. Nº Vendedores Total em Salários (R$) Oportunidades perdidas em R$ Custo Total (R$) 2 6.400 270.000 276.400 3 9.600 170.000 179600 4 12.800 70.000 82.800 5 16.000 19.000 35.000 6 19.200 16.000 35.200 RESPOSTA: 5 vendedores, pois é o ponto correspondente ao mínimo de Custos Totais. 2.5 - Ponto de Equilíbrio (Break-Even) Um conceito importante é o do ponto de equilíbrio. Ele representa o ponto do nível de atividade de um empreendimento a partir do qual ele se torna lucrativo. Este conceito já foi abordado no tópico 1.2. Vejamos o mesmo conceito através de um exemplo prático. EXEMPLO 2 Uma empresa que produz objetos tem custos fixos mensais de R$ 24.000 entre aluguéis, salários, conta de água, segurança, etc... Cada objeto produzido implica um custo adicional (custo variável) de R$ 200 entre matéria-prima, energia etc. Toda a produção de objetos pode ser vendida a um preço unitário de R$ 1.000. Deseja-se calcular o ponto de produção mínima mensal para que a empresa não tenha prejuízo. Este ponto é chamado de ponto de equilíbrio (ou simplesmente PE). Seja x o total de itens produzidos no mês. No ponto de equilíbrio resulta: 7 03/08/09 1:55 7
Custo = Receita 24000 + 200x = 1000x 800x = 24000 x = 30 Um modo usual de visualizar o Ponto de Equilíbrio resultante igual a 30 é através da Figura 2. Figura 2 Ilustração do Ponto de Equilíbrio Outro modo de se efetuar o cálculo é través da margem de contribuição unitária definida como MC ou a diferença entre a Receita e a Despesa Variável, isto é: MC = 1000 200 = 800 Observe que esta é a contribuição na receita de cada item comercializado. Este montante deve suportar os custos fixos, então: 24000 quantidade = x = = 800 30 Vale ressaltar que neste exemplo, a receita é tão-somente variável, ou seja, é proporcional ao volume de vendas (receita = preço, unitário x volume de vendas). As despesas são em parte fixas (aluguel, impostos,...) e em parte variáveis (salário da mão de obra direta que depende diretamente da quantidade produzida, energia, telefone, restaurante, transporte,...). Nas despesas é possível, em médio prazo, modificar sua composição de variável para fixa através por exemplo, de automatização de um processo de fabricação, de terceirização, por exemplo da segurança. 8 03/08/09 1:55 8
A análise do Ponto de Equilíbrio conduz-nos a um primeiro efeito de alavancagem, a alavancagem operacional (o segundo será estudado mais tarde). Como mostra a Figura 2, quanto maior a parte fixa da despesa; maior é o ângulo formado entre a receita bruta e as despesas isto faz com que tanto os eventuais lucros (diferença, na vertical, entre as duas retas à direita ao ponto de equilíbrio) como eventuais prejuízos (diferença, na vertical, entre as duas retas à esquerda do ponto de equilíbrio) sejam maiores. Em casos nos quais se tem muita incerteza quanto ao volume que podemos esperar nas vendas (x), pode ser vantajoso manter este ângulo pequeno por meio de uma redistribuição entre as despesas fixas e as variáveis (por exemplo, usar menos automatização e mais mão-de-obra). Se o ângulo entre as duas retas é pequeno temos pequenos lucros e perdas pequenas; em contrapartida a um grande ângulo, teremos grandes lucros e grandes perdas. 2.6 Produtividade Marginal do Capital A questão que devemos responder neste momento é até que ponto o investimento deve ser conduzido para que o retorno sobre o mesmo seja o máximo possível. Quando empreendemos uma atividade temos como preocupação realizá-la a um mínimo custo total. Se caracterizarmos a atividade por um investimento I e um custo operacional anual C, observamos que a existência do investimento I corresponde a um custo anual deste investimento igual a ii onde i é o custo anual do capital. Desse modo, o custo total para esse empreendimento é C + ii onde constatamos as duas parcelas: a da parte operacional e a do investimento. Desejamos determinar até quanto devemos investir em equipamentos a fim de desempenhar determinada tarefa. Quanto mais se investe menores serão os custos operacionais. Existem - diversas alternativas que em matéria de tempo de vida apresentam o mesmo horizonte, cada qual correspondente a certo investimento e permitindo executar a tarefa com um determinado custo operacional (operação e manutenção). Assume-se que a manutenção é tal que a qualidade da tarefa não se deteriora com o tempo. Chamaremos de C k o custo operacional anual associado a uma alternativa que exige um investimento I k. No gráfico da Figura 3, o ponto I k, C k, é dominante em relação a qualquer outro ponto localizado na região hachurada. De fato, qualquer outro ponto na região dominada está em situação anti-econômica, por apresentar custos operacionais ou investimentos, ou ambos, maiores que o ponto dominante. 9 03/08/09 1:55 9
Figura 3 Região de Oportunidades de Investimento Assim, o lugar geométrico dos pontos dominantes resulta numa curva como a mostrada no gráfico da Figura 4. Figura 4 Região dos pontos dominantes segundo as várias oportunidades de investimento Enquanto a economia de custos operacionais (C 1 C 2 ) for maior que o custo do capital correspondente ao investimento adicional (I 2 I 1 ), devemos continuar a aumentar o investimento. O ótimo ocorrera quando os dois se igualarem. Imaginando um horizonte infinito, deveremos continuar a aumentar o investimento enquanto C 1 C 2 > i(i 2 I 1 ), e o 10 03/08/09 1:55 10
ótimo ocorrerá no ponto em que (C 1 C 2 )= i(i 2 I 1 ). Caso o horizonte não seja infinito, deve-se calcular o custo do capital no seu equivalente anual ao longo do horizonte em consideração. No presente caso, a produtividade do capital é medida pela economia nos custos operacionais. C A produtividade marginal do capital pode ser medida por, que dá o acréscimo de I economia operacional por acréscimo de capital investido. Vemos que a produtividade marginal do capital é decrescente (a curva vai ficando mais horizontal quanto mais à direita), e que o ponto ótimo ocorre quando a produtividade marginal é igual ao custo marginal (i), ou seja ΔC = i. ΔI Em termos matemáticos a derivada do custo operacional em função do investimento deve ter a inclinação i. Figura 5 Ilustração do ponto ótimo da decisão de investimento 2.7 O Custo do Capital Quando pensamos em custo de capital para empreender certa atividade, é sempre necessário pensar em custo de oportunidade do capital. Vejamos dois casos: a) Uma firma tem acesso a um crédito ilimitado para capital a juros de 25% a.a. (ao ano). Neste caso, o custo de oportunidade da firma é tão-somente o de não tomar este capital emprestado e resulta em 25% a.a. Evidentemente, esta firma empreenderá todo o projeto que lhe for 11 03/08/09 1:55 11
disponível para render mais do que 25%, a.a. Neste caso, a firma poderá pagar os juros a quem lhe emprestou o capital e ainda ter lucros. b) Uma firma só tem acesso a um crédito limitado para capital a juros de 25% a.a. Deseja-se estudar a conveniência de empreender um projeto A. Entretanto, se o projeto A for implementado, devido ao capital que ele vai requerer, deixar-se-á de efetuar outro projeto (B), que renderia 40% a.a. Neste caso, apesar de os juros a serem pagos sobre o capital emprestado significarem apenas 25% a.a., o custo do capital para analisar o projeto A será o da oportunidade de não empreender o projeto B. Dever-se-á utilizar, na análise do projeto A, o custo do capital como sendo o de oportunidade, que é 40% a.a. No caso de avaliações de alternativas, pagar de fato ou deixar de ganhar é a mesma coisa. Custo de oportunidade é o que se deixa de ganhar por não se poder fazer o investimento correspondente àquela oportunidade. Juros é o que se paga, de fato para obter o capital necessário para fazer o empreendimento. Em muitos exemplos que seguirão, não entraremos nos aspectos conceituais e não enfatizaremos a distinção entre taxa de juros e custo de oportunidade, usaremos freqüentemente o nome matemático para ambos que é taxa de desconto, ou juros. 2.8 Exercícios 2.8.1. A fábrica de parafusos Rosca Falha pretende lançar uma nova linha de parafusos de semi fios. O Sr. Cabeçon, engenheiro-chefe da produção, está muito entusiasmado com a idéia e sugeriu comprar um equipamento inteiramente automático que implicará custos fixos de R$ 350.000 e resultará num custo operacional de apenas R$ 35 por caixa de parafusos produzidos. O Sr. Moneda, do departamento financeiro, está um pouco assustado com o custo fixo e sugere ao Sr. Cabeçon que se contente com máquinas semi-automáticas, que implicarão um custo fixo de somente R$ 200.000, e que se bem operadas gastarão, entre mão-de-obra, material, eletricidade, ferramentas etc., R$ 50 por caixa produzida. O Sr. Sales, chefe do departamento de vendas, analisou o mercado para este tipo de parafusos e recomenda que a caixa do novo produto sejam vendidos a R$ 100. O presidente da firma tem de tomar a decisão final; para isto, ele convoca uma reunião com os senhores Cabeçon, Moneda, Sales e você, pois você que é expert em análises financeiras e de tomadas de decisão. Você será o assessor do presidente na decisão? Como assessorá-lo? Observe que o Sr. Sales estimou o preço de venda, mas não tem idéia do volume de vendas, já que é um produto novo que ainda vai ser lançado. Procure discutir o conceito de alavancagem, ou Ponto de equilíbrio. Mostre o ponto (volume de vendas) a partir do qual uma solução prevalece sobre a outra. Resposta: O ponto de equilíbrio para a primeira alternativa é 5385 caixas e para a segunda alternativa 4000 caixas. A primeira alternativa é melhor que a segunda a partir do volume 10000 caixas. Em todo o caso você recomenda que seja consultado o Sr. Marqueteiro, responsável pelo departamento de Marketing para avaliar o possível volume de Vendas do novo produto e então subsidie a decisão a ser tomada. 12 03/08/09 1:55 12
2.8.2. A panificadora Pão Pedra pretende comercializar um novo tipo de pão muito especial denominado Quebra-Dente e recomendado por vários dentistas da região. O Sr. Pani proprietário da panificadora fez um estudo detalhado dos fatos a serem considerados: Preço de Venda da centena de Pães R$ 45,00 1ª Opção a) Aquisição de um novo equipamento que requer um investimento de R$ 70.000,00. b) Um incremento no custo operacional de R$ 10,00 por centena de pães produzidos. 2ª Opção a) Aquisição de um equipamento de segunda linha que requer um investimento de R$ 40.000,00. b) Um incremento no custo operacional de R$ 15,00 por centena de pães produzidos. O Sr. Pani por desconhecer como conduzir a melhor decisão, optou por fazer um curso de análise de investimentos e solicitou aos demais colegas de classe que o ajudem nesta difícil missão. Seu colega Dr. Dentadura fez um excelente estudo e apresentou a melhor proposta. Qual foi a recomendação dada a partir do volume de Vendas (variável livre). Determine o ponto de equilíbrio (volume de vendas) a partir do qual uma opção prevalece sobre a outra. Resposta: O ponto de equilíbrio para a primeira alternativa é 2000 centenas de pães e para a segunda alternativa 4000 caixas. A primeira alternativa é melhor que a segunda a partir do volume 1333 centenas de pães. A segunda alternativa é melhor que a primeira a partir do volume 6000 centenas de pães. 13 03/08/09 1:55 13