Proposta de teste de avaliação Matemática A 10º ANO DE ESCOLARIDADE Duração: 90 minutos Data: O teste é constituído por dois grupos, I e II O Grupo I inclui quatro questões de escolha múltipla O Grupo II inclui dez questões de resposta aberta, algumas delas subdivididas em alíneas, num total de catorze
Grupo I Os quatro itens deste grupo são de escolha múltipla Em cada um deles, são indicadas quatro opções, das quais só uma está correta Escreva, na sua folha de respostas, apenas o número de cada item e a letra correspondente à opção que selecionar para responder a esse item Não apresente cálculos nem justificações Se apresentar mais do que uma opção, a resposta será classificada com zero pontos, o mesmo acontecendo se a letra transcrita for ilegível 1 Sejam a e b duas proposições Sabe-se que a proposição a b é falsa Então necessariamente o valor lógico de: (A) a b é verdadeiro; (B) a b é verdadeiro; (C) a b é falso; (D) a b é falso Qual das seguintes proposições é verdadeira? (A) n N, n > 0 (B) x R, x 1 x (C) x ( x ) Z : = 5 (D) n N = : n 8 Considere o conjunto A = { x : 1 < 1x 6} Seja A o complementar do conjunto A Qual dos seguintes é o conjunto A? R (A) A = { x R : x <5 x } (B) A = { x R :1 1 x > 6} (C) A = { x R : x <7 x 0} (D) A = { x R : x 5 x } Sejam a e b dois números reais positivos 1 a b ab A expressão b a é equivalente a: (A) 7 a (B) 7 a b (C) 1 b (D) 5 a Proposta de teste de avaliação Matemática A, 10 o ano Página
Grupo II Nas respostas aos itens deste grupo, apresente todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações que entender necessárias Atenção: quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, apresente sempre o valor exato 1 Sejam p e q duas proposições Sem recorrer a tabelas de verdade, mostre que a proposição ( p q) ( p q) p p q é uma proposição falsa independentemente dos valores lógicos de p e de q Sejam a, b e c três proposições Complete a seguinte tabela de verdade a b c a b b c ( b c) ( a b) V F F V F Considere, em R, as condições: a x + x > b( x) : x + x + = 0 c ( x):1 x x : 0 Classifique cada uma das condições e indique o seu conjunto-solução Considere as proposições p e q tais que: p: x R, x > 0 q: n N : < n 1 0 1 Indique, justificando, o valor lógico das proposições p e q Escreva em linguagem simbólica e sem utilizar o símbolo, a negação das proposições p e q 5 Mostre que + 18 6 7 5 = Proposta de teste de avaliação Matemática A, 10 o ano Página
6 Considere, em R, os conjuntos definidos por: { R :9 0 15 0 } A = x x > x > { R :6 x } B = x > { R : 1 x 6} C = x < 61 Determine, na forma de intervalo ou união de intervalos de números reais, cada um dos seguintes conjuntos: a) A b) \ 6 Considere a proposição x C, x A A C \ R B A c) 0 Mostre, através de um contraexemplo, que a proposição é falsa 7 Em N, considere as proposições: a(n): n é divisor de 1 b(n): n não é primo c(n): n é ímpar d(n): n é não superior a 6 Represente, em extensão, o conjunto: 71 P = { n: a( n) c( n) } 7 Q = { n: b( n) d( n) } 8 Considere as proposições: a(n): n não é múltiplo de b(n): b é ímpar Considere, ainda, a implicação an b( n) 81 Escreva a implicação contrarrecíproca da implicação dada 8 Demonstre, por contrarrecíproco, que a implicação dada é universal em N 9 Na figura está representado um retângulo ABCD Sabe-se que: D A C B BC = + 1 a área do retângulo ABCD é igual a + Mostre que o perímetro do retângulo ABCD é igual a 0 + 8 10 Mostre que 5 1 1 9 + + 8 = 8 Grupo I Grupo II Total 61 61 61 1 1 5 6 71 7 81 8 9 10 a) b) c) 1 1 0 10 10 1 6 8 10 10 8 8 6 1 1 1 00 Proposta de teste de avaliação Matemática A, 10 o ano Página
PROPOSTA DE RESOLUÇÕES Grupo I 1 A implicação a b é falsa se e só se a é verdadeira e b é falsa, ou seja, se e só se a e b são ambas falsas A proposição a b é falsa, uma vez que a e b têm valores lógicos diferentes A proposição a b só é verdadeira quando a e b forem simultaneamente verdadeiras, o que não acontece A proposição a b é falsa apenas quando a e b são ambas falsas, o que acontece A implicação a b é verdadeira uma vez que o antecedente, a, é falso Resposta: (C) A proposição n N, n > 0 é falsa, pois 1 N e 1 > 0 é uma proposição falsa A proposição x R, x 1 x é falsa, pois para uma proposição falsa 1 6 é x =, A proposição x Z ( x ) : = 5é falsa, pois: 11 ( x ) = 5 x 6 = 5 x = 11 x = Z A proposição n = N : n 8 é verdadeira, pois para 1 n = obtém-se uma proposição verdadeira Resposta: (D) A { x R: 1 1 x 6 } { x R: 1 1 x 6 1 } { x R : x 5} = < = < = < = { x R: 5 x } { x R : x 5 x } = < = < Portanto, A = { x : x <5 x } Resposta: (A) R 1 1 1 1 1 1 a b a b ab ( ab ) a b a b a b = = = = 8 1 b a a b a b a b 8 1 1 5 = = a = a 1 1 1 a b a a b a Resposta: (D) Proposta de teste de avaliação Matemática A, 10 o ano Página 5
p p q 1 ( p q) ( p q) ( ) p q p q p p q ( ) V q p p q Grupo II q F q q q F Portanto, a proposição dada é uma proposição falsa independentemente dos valores lógicos de p e de q a b c a b b c ( b c) ( a b) V F V V V V F V F F F V F F V F V F + x > 0 x > x > Como x R, x 0, a condição x > é universal em R, ou seja, x 0 + > é uma condição universal em R e o seu conjunto-solução é R 1 ± 1 1 ± 11 x + x + = 0 x = x = Como 11 R, a condição é impossível em R, pelo que o seu conjunto-solução é 1 x x x + x 1 x x A condição 1 x x é possível não universal em R O seu conjunto-solução é, Proposta de teste de avaliação Matemática A, 10 o ano Página 6
1 A proposição p é falsa, pois basta substituir x por 0 e obtém-se uma proposição falsa Por outro lado, < n 1 0 + 1 < n 1 < n 1, logo a proposição q é verdadeira, já que substituindo n por 1 obtém-se uma proposição verdadeira p: x R, x > 0 x R : x 0 q: n N, < n 1 0 n N : n 1 > n 1 0 n N, n 1 n 1 > 0 n N, n n > 1 5 : : 18 + 6 + 6 6 6 + 6 6 6 + 6 6 6 6 6 1 7 = = = = = = 5 6 6 6 6 6 6 6 6 61 a) A = { x R:9 x > 0 x 15 > 0 } = { x R:x < 9 x > 15 } = { x R : x < x > 5} Portanto, { } { } A = x R: x x 5 = x R : x 5 =, 5 b) { R } { R } { R } B = x :6 x > = x : x > 6 = x : x < =, Assim, B\ A = B A =,, 5 =, c) { R } { R } { R } C = x : 1 < x 6 = x :1 > x 6 = x : > x =, Assim: ( A C) ( ) \ R0 =, 5, +, \ 0 =, 5, + \ 0 = 0, 5, + R R 6 Por 61, temos que C =, e A =, 5 Assim, um contraexemplo poderá ser 1, pois 1 C e 1 A 71 Seja A = { n N : a( n) }, então { 1,,,,6,1 } A = Assim, os elementos de A que são ímpares são o 1 e o Portanto, P = { 1,} 7 Seja D = { n N : d( n) }, então D = { 1,,,,5, 6} Assim, os elementos de D que são primos são o, o e o 5 Portanto, Q = {,,5 } Proposta de teste de avaliação Matemática A, 10 o ano Página 7
81 A contrarrecíproca da implicação dada é: Isto é, se n é par, então b n an n é múltiplo de 8 Pretende-se provar que n, an bn N Seja n um número natural qualquer Sabe-se que an bn b( n) an Sendo n um número par, existe um número natural k tal que n = k Por outro lado, n = k = 16k = k, pelo que existe um número natural p tal que p k =, ou seja, n p =, portanto n é múltiplo de Assim, demonstrou-se que n N, bn an, ou seja, n, an bn N 9 A área do retângulo ABCD é igual a +, pelo que BC AB = + 1 1 9 BC AB = + + AB = + AB = + AB = + + 1 + 1 ( + 1)( 1) 1 1 + 9 1 1 1 + 18 9 AB = AB = AB = + 6 Por outro lado, o perímetro P do retângulo ABCD é dado por: + 1 0 + 8 P = AB + BC = ( + 6) + = 6 + 1 + + = 10 5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + 8 = + + 8 = + + = + + = 5 1 5 1 7 7 7 16 9 = + + = = = = 8 8 8 8 Proposta de teste de avaliação Matemática A, 10 o ano Página 8