Fenômenos e Tanspote I Aula 8 of. D. Gilbeto Gacia Cote
6- Equações ifeenciais o escoamento e fluios paa sistemas isotémicos (Capítulo 5 Intoução à Mecânica os Fluios, Robet W. Fo, Alan T. McDonal, hilip J. itcha) As equações são baseaas em leis funamentais, tais como: - Lei a Conseação e Massa Equação a Continuiae; - ª Lei e Newton Equação o Moimento 6.- Equação a continuiae Esta equação é baseaa na lei a conseação e massa. Vamos consiea um balanço e massa paa um fluio ciculano em uma egião fia no espaço em um elemento e olume. Fluo Figua Elemento e olume
O balanço mateial paa um olume e contole apopiao é: Taa e massa que enta no olume e contole Taa e massa que sai o olume e contole Taa e acúmulo e massa no olume e contole ( ) Assim, fa-se um balanço mateial à pati a equação e Figua : ( ρ ) ( ρ) Elemento e olume (V ) ( ρ ) ( ρ ) Figua ( ρ ) ( ρ ) 3
Sabeno que a taa e massa é ao pela equação: Taa e massa massa tempo ρa kg s (Sistema Intenacional) ( ) O balanço e mateial ealiao na ieção fica: - Entaa o fluio ataés a face ABCD: massa ( ρ ) tempo ( 3 ) - Saía o fluio ataés a face EFGH: massa ( ρ ) tempo ( 4 ) 4
3- Taa e acúmulo ou aiação e massa o fluio no inteio o elemento e olume po uniae e tempo: Taa e acúmulo m t m ρ ; m ρv ; m ρv; V V m t ρ t massa tempo ( 5 ) 5
Utiliano-se a efinição e eiaa pacial: f ( ) f ( ) f ( ) aplicaa ao fluo mássico absoluto e A nas ieções, e, este ficam: ( ρ ) (ρ ) (ρ ) ( ρ) (ρ) (ρ ) ( ρ) (ρ) (ρ ) 6
Realiano um balanço e mateial análogo nas ieções e e substituino os esultaos na equação e conseação e massa, temos: t ) (ρ ) (ρ ) (ρ ) (ρ ) (ρ ) (ρ ) (ρ ) (ρ ) (ρ Simplificano os temos comuns e iiino po temos: ) (ρ ) (ρ ) (ρ t 7
ρ ρ ; ; Consieano que: ) (ρ one: ) otanto: ρ t (ρ ) (ρ (ρ ( i i i i ) ) ρ t ρ t (ρ ).(ρ ).(ρ ).(ρ ) (ρ ) Opeao Diegente eρ ( 7 ) ( 6 ) A equação (6) ou (7) é a equação a continuiae o moimento o fluio em cooenaas etangulaes. 8
Gealmente, é pefeíel moifica a eq. (6) efetuano a eiaa em t elociae Diegente a DeiaaSubstantia t ( ) Dt Dρ ( 8 ) A equação a continuiae, escita nesta foma, escee a elociae a aiação a ensiae, tal como ê um obseao que flutua com o fluio. aa um fluio com massa específica constante ( cte), a eq. (8), tona-se: ( 9 ) 9
ρ t.(ρ )
6.- Equação o moimento Esta equação se funamenta na ª Lei e Newton o moimento, na qual se fa um balanço e foças (taa e quantiae e moimento) em um elemento e olume. O balanço e foças atuano no olume e contole é escito a seguinte maneia: Foças e Inécia Foças e essão Foças Viscosas Foças e Campo ( 9 ) F m.a F m. F t Quantiae e Moimento tempo
6..- Foças e Inécia (F i ): a F i m.a t A ifeencial total o eto elociae em egime aiao é ao po: t t t t t t t a t t t t t a m ρ V (,, ) V m V ρv V ρ t t ( )
Da efinição e eiaa substantia e um eto A, obsea-se que: Assim: a DA Dt A ( A)A ( ) t t F i m.a Foças e inécia po olume m ρ D F ρ Dt F i D ρ Dt i D Dt ( ) D a Dt D a Dt 3
6..- Foças e essão (F p ): -.A Elemento e olume (V ).A.A -.A -.A.A F p A A A A F F F ( ) ( ) ( )... F p F F F 4
5... 3!! 3 3 3 Consieano a séie e Talo paa tuncaa no seguno temo: Então teemos paa caa caso:. F. F. F
6 F F F F p F p F p ( 3 ) Foças e pessão po olume
6..3- Foças Viscosas (F ): As tensões sobe o elemento e olume são:, e são tensoes nomais, os emais são tangenciais. 7
Consieano somente os tensoes na ieção sepaaamente, temos: Elemento e olume (V ), e são tensoes nomais, os emais são tangenciais. 8
9 Temos, então, o balanço e foças na ieção : ( ) ( ) ( ) F F Se leamos ao limite o membo quano, e, então: F F F ; e analogamente, na ieção e : Diiino po, fica:
F F F F F V V F V ( 4 ) Foças iscosas po olume
6..4- Foças e Campo (F c ): F c m.g F c m.g F c ρ.g ; g g(g,g,g ) Foças e campo po olume F c ρg ( 5 ) Substituino as equações (), (3), (4) e (5) na equação (9), temos: D ρ Dt ρg ( 6 ) A equação (6) é a Equação Geal o Moimento, seno também chamaa e Equação e Cauch.
aa caa eio, temos: D Dt ρ ρg (eio ) D ρ Dt ρg (eio ) D Dt ρ ρg (eio )
6..5- Fluio Newtoniano e incompessíel ( e cte):.. Substituino a lei e Newton na equação geal o moimento, temos: como é constante, fica: (Lei e Newton a iscosiae) A equação (7) é a Equação e Naie-Stokes. D ρ Dt D ρ Dt (.) ρg ρg ( 7 ) 3
Equação o moimento em cooenaas etangulaes (,, ) Em temos e 4
5
Em temos e gaiente e elociae paa um fluio Newtoniano com e constantes 6
Equação o moimento em cooenaas cilínicas (,, ) Em temos e 7
8
Em temos e gaiente e elociae paa um fluio Newtoniano com e constantes 9
Equação o moimento em cooenaas esféicas (,, ) Em temos e 3
3
Em temos e gaiente e elociae paa um fluio Newtoniano com e constantes 3
6..6- Efeitos iscosos nulos ( o Fluio ieal): D ρ ρg Dt D ρ ρg ( 8 ) Dt A equação (8) é chamaa e Equação e Eule. 6..6- Fluio em epouso (M.R.U. cte):. D ρ Dt ρg ρg ( 9 ) Esceeno a equação (9) em uma só ieção obtemos a equação a estática os fluios:.g.h (Lei e Stein) 33
7- oblemas utiliano a equação o moimento. 7.- Escoamento ataés e um tubo cicula. Consieamos então o escoamento lamina pemanente e um fluio e ensiae constante e iscosiae em um tubo etical e compimento L e aio R. O Líquio escoa paa baio sob a influência e uma ifeença e pessão e a gaiae; o sistema e cooenaas é aquele mostao na Figua. Supomos que o compimento o tubo é muito gane quano compaao ao aio o tubo, e moo que efeitos e etemiaes seão pouco impotantes na maio pate o tubo; isto é, poemos ignoa o fato e que na entaa e na saía o tubo o escoamento não seá necessaiamente paalelo as paees o tubo. Detemine o pefil e elociae o fluio no inteio o tubo e compimento L.
p L R Figua p L
Aplicano a equação o moimento em cooenaas cilínicas paa um fluio newtoniano com e constantes, temos: Componente : g p t Hipóteses: - Consieano somente a elociae o fluio na ieção ( ) - Consieano a simetia o tubo, não seá função e, mas sim o aio 3- Regime pemanente g p ( )
Aplicano-sea equação a continuiae em cooenaas cilínicas, temos: ρ t ( ρ ) ( ρ ) ( ρ ) ( ) Como é constante no eio, e que não há elociae o fluio nas ieções e, a equação () em egime pemanente e constante, tem-se que: otanto a equação ( ) fica: ( 3 ) ( 4 ) p g ( 5 )
Como: p g p g Assim a equação ( 5 ) fica: cte ( 6 ) A solução a equação ( 6 ) é po sepaação e aiáeis
C L C L L L L CL C C L L ( 7 ) C L L ( 8 )
L L L L,, C C ( 9 ) ( ) ( ) L L ( ) L 4L C3 ( )
R, aa: ( ) 4 3 R L C L ( ) ( ) 4 4 R L L L L ( ) ( ) 4 R L L 4 R R L L ( 3 ) ( efil paabólico a elociae )
7.- Fluo tangencial e um fluio newtoniano em tubos concênticos. Detemina as istibuições a elociae, o esfoço cotante (tensão e cisalhamento) e a Foça (toque) necessáia paa fae gia o eio eteno o cilino, paa o fluo lamina tangencial e um fluio incompessíel no espaço compeenio ente ois cilinos eticais coaiais, quano o cilino eteio gia com uma elociae angula
Hipóteses: - Fluo lamina em estao estacionáio: t - Fluio segue um moimento cicula, seno - Não eiste gaiente e pessão na ieção, somente em e ; - Fluio incompessíel e newtoniano, constante e constante. - A elociae em aia somente em, ou seja: - A foça gaitacional atua somente na ieção : g g f ( ), - A elociae o fluio no tubo em R e.r
Equação e moimento em cooenaas cilínicas Componente : ( ) g p t Componente : ( ) g p t
Componente : g p t
46 ( ) g p t Aplicano as hipóteses, temos: Componente : p ( )
47 Componente : ( ) ( ) ( ) g p t
Componente : g p ( 3 ) g p t
Solução a equação (componente ) paa o pefil a elociae V : ( ) ( ) ( ) C ( ) C 49
kr, CC: paa C C C C ( 4 ) kr C kr C ( 5 ) CC: paa R, R R C R R C ( k) kr Ck Rk C ( 6 ) R
Substituino a equação (5) em (6), temos: C Ck Rk kr R Ck C Rk R kr C R k k k ( 7 ) Substituino a equação (7) em (5), temos: C kr R k kr k k C R kr k k ( 8 )
k k k R k k kr R Substituino a equação (7) e (8) em (4), temos: k k kr R k R k k kr Rk R ( 9 )
O esfoço cotante ( ) obtio a componente em cooenaas cilínicas seá: Como não há V, a equação () fica: ( ) Substituino a equação (9) em (), temos: R Rk ( ) k k cte ( ) kr cte
k Rk kr 3 R k ( k ) k R k ( ) Foça (toque) necessáia paa fae gia o eio eteno o cilino: F ( ). R RL. R foça Baço a alaanca ( 3 )
k R R k R R k k ( 4 ) k 4L R k F ( 5 )