FÍSICA EXPERIMENTAL III José Fernando Fragalli Departamento de Física Udesc/Joinville TEORIA DE ERROS A Ciência está escrita neste grande livro colocado sempre diante dos nossos olhos o Universo mas não podemos lê-lo sem aprender a linguagem e entender os símbolos em termos dos quais está escrito. Este livro está escrito na linguagem matemática Galileu Galilei
1. Introdução O Método Científico 2. Algarismos Significativos 3. Precisão do Instrumento de Medida 4. Prefios do SI e Notação Científica 5. Critérios de Arredondamento 6. Operações com Algarismos Significativos 7. Teoria de Erros 8. Propagação de Erros
1. INTRODUÇÃO O MÉTODO CIENTÍFICO O Método Científico Definir e/ou indentificar o problema Formar uma hipótese Fazer observações (Medidas de grandezas físicas) Organizare analisardados (Tratamento de Dados) Os eperimentos e observações suportam a hipótese? Não Testar hipótese/fazer eperimentos Novos eperimentos Erro nos eperimentos? Sim! Fazer conclusões Publicar resultados 3
1. INTRODUÇÃO O MÉTODO CIENTÍFICO Filosofia básica no laboratório A person with a watch knows what time it is. A person with two watches is never sure. 4
1. Introdução O Método Científico 2. Algarismos Significativos 3. Precisão do Instrumento de Medida 4. Prefios do SI e Notação Científica 5. Critérios de Arredondamento 6. Operações com Algarismos Significativos 7. Teoria de Erros 8. Propagação de Erros
Definições Como vimos, todas as medidas que realizamos trazem consigo um erro associado ou ao instrumento de medida ou ao processo de medição, ou a ambos. Neste sentido, os erros podem ser divididos em três tipos: a) erros sistemáticos; b) erros aleatórios; c) erros de escala. 6
Definições Erro sistemático ( SIS ): ocorrem quando todos os valores medidos são muito maiores ou muito menores do que o valor real esperado. Erro aleatório ( ALE ): quando da ausência de erros sistemáticos, ocorrem quando alguns dos valores medidos são muito maiores e outros muito menores do que o valor real esperado. Erro de escala ( ESC ): ocorrem sempre, e estão associados aos instrumentos de medida utilizados no processo de medição. 7
Como minimizar os diferentes tipos de erros Em relação ao erro sistemático ( SIS ), a única alternativa para resolver a sua eistência é refazer as medidas eperimentais já realizadas. Já em relação ao erro aleatório ( ALE ), estes devem ser tratados com técnicas estatísticas. Isto significa repetir N vezes uma medida em idênticas condições, calcular a média e os respectivos desvios destas medidas. Por fim, o erro de escala ( ESC ) é inerente ao processo de medição e, portanto sempre devem ser considerados. 8
Como epressar o erro Como vimos, a medida de uma grandeza sempre deve conter o valor do erro associado a ela. G = [M(G) ± M)] U G Grandeza M Medida ΔM Erro da medida U Unidade Como os erros sistemáticos implicam na repetição do processo de medida, a epressão do erro de uma medida deve levar em conta apenas os erros aleatórios e de escala. MAX = ALE + ESC 9
Como minimizar o erro aleatório: o valor médio Uma forma de minimizar o erro aleatório é repetir N vezes o procedimento de medição. Quando isto é feito o resultado da medida é apresentado em termos do valor mais provável (valor médio) e dos desvios (desvio médio e desvio padrão). Definimos então o valor mais provável de uma grandeza (valor médio) como a média aritmética de N medidas realizadas com a mesma confiabilidade. = 1 N N i= 1 i 10
Desvios A partir da definição de valor médio, definimos os conceitos de desvio de uma medida e desvio absoluto. Desvio de uma medida é a diferença entre o valor obtido na i-ésima medida e o valor mais provável da grandeza. i = Por sua vez, desvio absoluto de uma medida é o módulo do seu desvio. i i = i 11
Desvio médio Desvio médio de uma medida é a média aritmética dos desvios absolutos. = 1 N i= 1 Com a definição de desvio médio indicamos que o resultado de N medidas de mesma confiabilidade é epresso na forma N i = ± 12
Desvio padrão O desvio padrão de uma medida fornece uma idéia da dispersão das medidas em torno do seu valor médio. σ = 1 ( ) N 1 i i= 1 O resultado de N medidas de mesma confiabilidade também pode ser epresso na forma N 2 = ± σ 13
Desvio padrão e erro aleatório Como vimos, tanto o desvio médio como o desvio padrão de uma medida são obtidos a partir de uma análise estatística sobre os dados obtidos a partir de N medidas de mesma confiabilidade. Desta forma, estes desvios podem ser associados ao erro aleatório, já definido anteriormente. Como o desvio padrão está associado à dispersão dos valores obtidos, damos preferência a ele como epressão do erro aleatório. ( ) = σ ALE 14
Eemplo Considere que a medição do comprimento L de objetos idênticos, realizada com o auílio de uma régua centimetrada, forneceu as seguintes leituras mostradas na tabela abaio. 15
Cálculo com a ajuda de planilha Com a ajuda de uma planilha de cálculo, facilmente conseguimos determinar: a) o valor médio do comprimento do objeto; b) os desvios de cada medida em relação ao valor médio; c) os desvios absolutos de cada medida em relação ao valor médio; d) o desvio médio destas medidas; e) o desvio padrão destas medidas. 16
Cálculo com a ajuda de planilha Com a ajuda de uma planilha de cálculo, facilmente conseguimos determinar: L = 241, 0 L = 0, 2 σ L = 0, 3 cm cm cm 17
Erro percentual É frequente no laboratório realizarmos medidas de grandezas das quais eiste um valor de referência, um valor esperado Neste caso, definimos o erro relativo percentual a partir da equação abaio. E% = MED REF 100 REF Para o cálculo de E% usamos as regras de arredondamento definidas anteriormente. 18
Erro relativo Por sua vez, como todas as medidas são obtidas com seus respectivos erros, é interessante determinar qual o peso deste erro frente ao valor epresso da medida. Neste caso, definimos o erro relativo a partir da equação abaio. ER ( ) % = MED 100 MED Para o cálculo de ER% usamos as regras de arredondamento definidas anteriormente. 19
Eemplo: cálculo do erro percentual Num dado eperimento, medimos a aceleração da gravidade e obtemos ( ) 2 9,89 0,05 m / s g = ± Queremos determinar o erro percentual e o erro relativo desta medida. Para determinar o valor do erro percentual, usamos o valor medido para g (9,89 m/s 2 ) e o valor de referência para g (9,81 m/s 2 ) 9,89 9,81 0,08 E% = 100 = 100 9,81 9,81 E% = 8% 20
Eemplo: cálculo do erro relativo Já para o cálculo do erro relativo, usamos o valor de g obtido no processo de medida (9,89 m/s 2 ), além do erro obtido no mesmo processo (0,05 m/s 2 ). ( 9,89 0,05) m / s 2 g = ± 0,05 ER% = 100 = 9,89 5% E% = 0,5% 21
HIPÓTESES: a) Não eistem erros sistemáticos. b)façamosapenasumamedida(n=1). Neste caso, levamos em conta apenas erros de escala, os quais são inerentes ao processo de medida e sempre devem ser considerados. 22
1. Introdução O Método Científico 2. Algarismos Significativos 3. Precisão do Instrumento de Medida 4. Prefios do SI e Notação Científica 5. Critérios de Arredondamento 6. Operações com Algarismos Significativos 7. Teoria de Erros 8. Propagação de Erros
MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 8. PROPAGAÇÃO DOS ERROS Cálculo de erros em medidas indiretas Como já vimos, medidas indiretas são obtidas efetuando-se operações matemáticas a partir de medidas obtidas diretamente do eperimento. Geralmente a grandeza física de interesse (medida indireta) está relacionada matematicamente com outras grandezas físicas (medidas diretas). Isto significa que eiste uma fórmula relacionando a grandeza associada à medida direta com as grandezas associadas às medidas indiretas. ( ) Y Y,... =, 1 2 Y Grandeza associada n à medida indireta i Grandezas associadas à medidas diretas 24
MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS Erros como diferenciais 8. PROPAGAÇÃO DOS ERROS O erro associado à medida indireta Y ( Y) é calculado a partir da diferencial da função Y( 1, 2, n ). Em outras palavras, tratamos o erro como sendo equivalente a diferencial de uma função matemática conhecida de múltiplas (n) variáveis. Y Y Y = + + + 1 2... 1 2 Y n n Na fórmula acima 1, 2,... n são os erros relativos a cada medida direta i. 25
MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS Eemplo 8. PROPAGAÇÃO DOS ERROS Em um eperimento de eletricidade medimos diretamente as grandezas diferença de potencial elétrica (V) entre os terminais de um resistor e corrente elétrica (I) que flui através dele, cada uma delas com seu respectivo erro eperimental. Sabemos que a potência elétrica dissipada neste resistor (P) e a resistência elétrica do resistor (R) são dadas respectivamente por P( V I ) = V I, ( V I ) R, = V I Física Eperimental III Medidas e Algarismos Significativos 26
27 Conhecidos os valores de V e V e de I e I, como calcular os erros da potência elétrica P e da resistência elétrica R? MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS Física Eperimental III Medidas e Algarismos Significativos 8. PROPAGAÇÃO DOS ERROS Eemplos Usamos o conceito de propagação de erros e encontramos + = + = I I V V P I V V I P + = + = I I V V R I I V V I R 2 1
MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 8. PROPAGAÇÃO DOS ERROS Eemplo numérico com ajuda de planilha de cálculo Vejamos como calcular estes erros associados com a ajuda de uma planilha de cálculo. Física Eperimental III Medidas e Algarismos Significativos 28
Operação com Algarismos significativos Consulte na sua apostila: I.6.e. Outras Operações Matemáticas. Pratique resolvendo eercícios! Física Eperimental III Medidas e Algarismos Significativos 29