Cálculo dos Predicados As sentenças assim formuladas foram chamadas de proposições categóricas e, segundo Aristóteles, podem ser de 4 tipos: Afirmação Universal A Todos os atletas são saudáveis Afirmação Particular I Alguns atletas são saudáveis ou Existem atletas saudáveis Negação Universal E Nenhum atleta é saudável Negação Particular O Alguns atletas não são saudáveis ou Existem atletas não-saudáveis 1
Quantificador Existencial Exemplo: Existe uma pessoa chamada Pedro. x pessoa(x) ^ nome(x, Pedro) Quantificadores Exemplos: Todo homem é mortal, ou seja, qualquer que seja x (do Universo), se x é Homem, então x é Mortal. x (H(x) M(x)). 2
Quantificadores Exemplos: Nenhum homem é vegetal, ou sejam qualquer que seja x, se x é Homem, então x NÃO É Vegetal. x (H(x) ~V(x)). Quantificadores Exemplos: Pelo menos um homem é inteligente, ou seja, existe pelo menos um x em que x seja Homem e x seja Inteligente. x(h(x) ^ I(x)) 3
Cálculo de Predicados Sintaxe do Cálculo de Predicados Fórmulas Atômicas: É uma letra predicativa, seguida por zero ou mais letras nominais ou variáveis. Fórmulas Bem Formadas: Uma Fórmula Atômica é uma Fórmula Bem Formada; Se P é uma fbf, então ~P também o é; Se P e Q são fbfs, então (P ^ Q), (P v Q), (P Q), (P Q) também o são; Se P(x) é uma fbf, então x(p(x)) e x(p(x)) também o são Cálculo de Predicados Ex.: Seja P = F(a) ^ G(a,b), então são fbfs: x(f(x) ^ G(a,b)) x(f(x) ^ G(x,b)) x(f(a) ^ G(a,x)) x(f(x) ^ G(a,b)) 4
Cálculo de Predicados Regras de Inferência para o Cálculo de Predicados Todas as regras definidas no Cálculo Proposicional continuam válidas no Cálculo de Predicados, apenas referenciando-as para os quantificadores. Ex.: ~F(a) v xf(x), xf (x) P ]- F(a) P. Prova: 1. ~F(a) v xf(x) Premissa Cálculo de Predicados Ex.: ~F(a) v xf(x), xf (x) P ]- F(a) P. Prova: 1. ~F(a) v xf(x) Premissa 2. xf (x) P Premissa 3. F(a) Hipótese 4. ~~F(a) 3 DN 5. xf(x) 1,3 SD 6. P 2,5 MP 7. F(a) P 3,6 PC 5
Cálculo de Predicados Regras de Inferência para o Cálculo de Predicados Intercâmbio de Quantificadores 1. ~( x ~F(x)) = xf(x) 2. ~( x F(x)) = x~f(x) 3. x ~F(x) = ~( xf(x)) 4. x F(x) = ~( x~f(x)) Exercício: Para formalizar os argumentos que seguem, Interprete as letras C, R, V e S como: C está chovendo; R é uma rã; V é verde; S é saltitante; 12 6
Exercícios a) Todas as rãs são verdes. b) Nenhuma rã é verde. c) Algumas rãs são verdes. d) Algumas rãs não são verdes. e) Toda coisa é uma rã. f) Alguma coisa é uma rã. g) Nem toda coisa é uma rã. h) Nada é uma rã. i) Existem rãs verdes. i)existem rãs verdes j) Qualquer coisa ou é verde ou é iridescente. k) Qualquer coisa é uma rã verde. l) Está chovendo e algumas rãs estão saltitando. m) Se está chovendo, então todas as rãs estão saltitando.. Exercícios 7
n) Algumas coisas são verdes e algumas não são. o) Algumas coisas são verdes e iridescentes simultaneamente. p) Ou qualquer coisa é uma rã ou nada é uma rã. q) Qualquer coisa ou é uma rã ou não é uma rã. r) Todas as rãs são rãs. s) Somente rãs são verdes. Exercícios Exercício 2: Para formalizar os argumentos que seguem considere a interpretação: Indivíduos: Carlos, João e Maria Predicados: Mecânico(x) x é mecânico Enfermeiro(x) x é enfermeiro Ama(x, y) x ama y 16 8
Exercício 2: 1) Carlos é mecânico Mecânico(Carlos) 2) Carlos e João são mecânicos Mecânico(Carlos) ^ Mecânico(João) 3) Carlos é mecânico ou enfermeiro Mecânico(Carlos) v Enfermeiro(Carlos) 17 Exercício 2: 4) Se Carlos é mecânico então Carlos não é enfermeiro Mecânico(Carlos) ~Enfermeiro(Carlos) 5) João ama Maria Ama(João, Maria) 6) João ama a si próprio Ama(João, João) 18 9
Exercício 2: 7) Todo mundo ama João x(ama(x, João)) 8) Existe alguém que Maria não ama x(~ama(maria, x)) 9) Todo mundo é amado por alguém x y(ama(y, x)) 19 Exercício 2: 10) Alguém é amado por todos x y(ama(y,x)) 11) Existe alguém que ama todo mundo x y(ama(x,y)) 12) Alguém ama alguém x y(ama(x,y)) 20 10
Exercício 3: EXPRESSÕES TEXTUAIS MOSTRANDO FORMAS LÓGICA E SIMBÓLICA: um quantificador e predicados monádicos Não existem marcianos (M(x) x é marciano) (não existe x tal que x seja um marciano) x M(x) ( ou para todo x, x não é um marciano) x ( M(x)) 21 Exercício 3: EXPRESSÕES TEXTUAIS MOSTRANDO FORMAS LÓGICA E SIMBÓLICA: um quantificador e predicados monádicos Nem todos são sábios (S(x) x é sábio) (para nem todo x, x é sábio ) x S(x) (ou existe um x tal que x não é sábio) x ( S(x)) 22 11
Exercício 3: EXPRESSÕES TEXTUAIS MOSTRANDO FORMAS LÓGICA E SIMBÓLICA: um quantificador e predicados monádicos Os morcegos são mamíferos (C(x) x é morcego; M(x) x é um mamífero) (para todo x, se x é um morcego, x é um mamífero) x (C(x) M(x)) 23 Exercício 3: EXPRESSÕES TEXTUAIS MOSTRANDO FORMAS LÓGICA E SIMBÓLICA: um quantificador e predicados monádicos Os cavalheiros não são sempre ricos (para nem todo x, se x é um cavalheiro então x é rico) x (C(x) R(x)) (ou, existe um x tal que x é um cavalheiro e x não é rico) x (C(x) R(x)) 24 12
Exercício 3: EXPRESSÕES TEXTUAIS MOSTRANDO FORMAS LÓGICA E SIMBÓLICA: um quantificador e predicados monádicos Somente os médicos podem cobrar por tratamento clínico (para todo x, se x pode cobrar por tratamento clínico, então x é médico) x (C(x) M(x)) 25 Exercício 3: EXPRESSÕES TEXTUAIS MOSTRANDO FORMAS LÓGICA E SIMBÓLICA: um quantificador e predicados monádicos Os carros são seguros somente se tiverem bons freios (para todo x, se x é um carro, então x é seguro somente se tiver bons freios) x [ C(x) (S(x) F(x)) ] 26 13
Exercício 3: EXPRESSÕES TEXTUAIS MOSTRANDO FORMAS LÓGICA E SIMBÓLICA: mais de um quantificador e predicados monádicos Alguns são espertos, outros não (existe x tal que x é esperto, e existe y tal que y não é esperto) x E(x) y ( E(y)) 27 Exercício 3: EXPRESSÕES TEXTUAIS MOSTRANDO FORMAS LÓGICA E SIMBÓLICA: mais de um quantificador e predicados monádicos Existem políticos honestos e desonestos (existe x tal que x é político e x é honesto, e existe y tal que y é político e y não é honesto) x (P(x) H(x)) y (P(y) H(y)) 28 14
Exercício 3: EXPRESSÕES TEXTUAIS MOSTRANDO FORMAS LÓGICA E SIMBÓLICA: Relações Todos têm pai (F(x,y) : x é pai de y) (para todo x existe y tal que y é pai de x) x y F(y,x) Todas as pessoas têm pai (para todo x, se x é uma pessoa, existe y tal que y é pai de x) x (P(x) y F(x,y)) 29 Exercício 3: EXPRESSÕES TEXTUAIS MOSTRANDO FORMAS LÓGICA E SIMBÓLICA: Relações Existe um ancestral comum a todas as pessoas (existe um x tal que para todo y, se y é uma pessoa, x é ancestral de y) x y (P(y) A(x,y)) (ou, para todo y, se y é uma pessoa, existe um x tal que x é ancestral de y) y (P(y) x A(x,y)) 30 15
Exercício 3: EXPRESSÕES TEXTUAIS MOSTRANDO FORMAS LÓGICA E SIMBÓLICA: Relações estabelecendo regras de parentesco Genro se x é casado com a filha de y, então x é genro de y; ou, mais precisamente: se existir z tal que x seja casado com z, e z seja filha de y, então x é genro de y x y [ z (C(x,z) F(z,y)) G(x,y) ] 31 Exercício 3: EXPRESSÕES TEXTUAIS MOSTRANDO FORMAS LÓGICA E SIMBÓLICA: Relações estabelecendo regras de parentesco Avô se x é pai do pai de y, então x é avô de y x y [ z (P(x,z) P(z,y)) A(x,y) ] 32 16
Exercício 3: EXPRESSÕES TEXTUAIS MOSTRANDO FORMAS LÓGICA E SIMBÓLICA: Relações estabelecendo regras de parentesco Irmão se o pai de x for também pai de y, x é irmão de y x y [ z (P(z,x) P(z,y)) I(x,y) ] 33 Lógica de Predicados. Exemplo Considere o seguinte conjunto de frases: 1. Marcos é um homem. 2. Marcos é brasileiro. 3. Lula é presidente 4. Todos os brasileiros são leais a Lula ou odeiam Lula. 5. Os brasileiros vaiam presidentes a quem não sejam leais. 6. Marcos vaiou o Lula. 17
Lógica de Predicados. Exemplo Estes fatos podem ser representados como 1. homen(marcos) 2. brasileiro(marcos) 3. presidente(lula) 4. x brasileiro(x) leal(x,lula) v odeia(x,lula) 5. x y brasileiro(x) ^ presidente(y) ^ vaia(x,y) ~leal(x,y) 6. vaia(marcos, Lula). Cuidados na Formalização: 1) Variáveis diferentes não classificam necessariamente objetos diferentes. Ex.: x y ama(x, y) Afirma não somente que qualquer pessoa ama uma outra pessoa, como também que qualquer pessoa ama a si própria. 36 18
Cuidados na Formalização: 2) O nome de variáveis não faz diferença para o significado. Ex.: x y ama(y, x) equivale a y x ama(x, y) equivale a z w ama(w,z) 37 Cuidados na Formalização: 3) Quando dois ou mais quantificadores justapõem-se numa mesma parte da fórmula, uma variável diferente deve ser usada para cada quantificador. Ex.: x x ama(x, x) não é correto x y ama(y, x) é correto 38 19
Cuidados na Formalização: 4) A mesma variável usada em vários quantificadores, não designa necessariamente o mesmo objeto em cada caso. Ex.: x ama(josé, x) ^ x ama(carlos, x) 39 Cuidados na Formalização: 5) A ordem dos quantificadores consecutivos afeta o significado somente quando os quantificadores são diferentes. Ex.: x y ama(x,y) e y x ama(x,y) tem significados distintos x y ama(x,y) e y x ama(x,y) significam a mesma coisa 40 20
Cuidados na Formalização: 6) Os advérbios só, somente e apenas tem significados diferentes dependendo do local em que aparecem na sentença. Representam uma implicação e o conseqüente sempre aparece depois do advérbio. Sentença João ama apenas Maria Apenas João ama Maria João apenas ama Maria Significado Se João ama alguma coisa, essa coisa é Maria Se alguma coisa ama Maria, essa coisa é João Se João tem alguma relação com Maria, essa relação é amor 41 Cuidados na Formalização: 6.1) Exemplos usando esses adverbios: Apenas cachorros perseguem gatos x(g(x) y( P(y,x) C(y))) ou x y((g(x) ^ P(y,x)) C(y)) Cachorros perseguem apenas gatos x y((c(x) ^ P(x,y)) G(y)) Só os diamantes brilham x (B(x) D(x)) Diamantes só brilham x (D(x) B(x)) 42 21
Revisão: O Diagrama de Venn e o SC Para a Proposição Universal Afirmativa (A) Todo S é P, x (Sx Px) temos o 1o diagrama; Proposição Universal Negativa (E), Nenhum S é P, ou, simbolicamente, x (Sx ~Px), pelo 2o; A Proposição Particular Afirmativa (I), Algum S é P, ou x (Sx Px), é representada pelo 3o diagrama abaixo; Proposição Particular Negativa (O), Algum S não é P, cuja forma simbólica é x (Sx ~Px), A I E O Eliminação e Inserção de Quantificadores As quatro regras geradas são chamadas de: Generalização Universal Existencial; Instanciação Universal e Existencial; 22
Eliminação Universal (EU) Se todos os objetos de um dado universo possuem uma dada propriedade, então um objeto particular desse universo também possui essa propriedade. Esta regra estabelece que o que é verdade para qualquer indivíduo deve ser verdade para um indivíduo particular Generalização Universal (GU) Se um objeto, arbitrariamente escolhido dentre um universo, tiver uma certa propriedade, todos os objetos desse universo terão essa propriedade. Esta regra estabelece que se pudermos provar algo a respeito de uma indivíduo b sem fazer suposição que distinga b de um outro indivíduo, então o que tivermos provado para b estará provado para todos. 23
Generalização Existencial (GE) O que é verdadeiro para um dado objeto, é verdadeiro para algum objeto. Instanciação Existencial (IE) O que é verdadeiro para algum objeto, é verdadeiro para um dado objeto, desde que esse objeto não tenha sido utilizado anteriormente na dedução. 24
Dedução no CP: Exemplo Nenhum atleta é apegado aos livros. Carlos é apegado aos livros. Portanto, Carlos não é um atleta. Sol: x (Ax Lx) L (Carlos) A (Carlos) Dedução no CP: Exemplo 2. Ácidos ou bases são químicos. O vinagre é um ácido. Logo, o vinagre é um químico. Sol: x(ax Bx Qx) A (vinagre) Q (vinagre) 25
Exemplos de dedução 3. Todos os cidadãos que não são traidores estão presentes. Todos os oficiais são cidadãos. Alguns oficiais não estão presentes. Logo, há traidores. Sol: x (Cx Tx Px) x (Ox Cx) x (Ox Px) x Tx Ver mais ex. na pp. 71. Validade e Subargumentos Se o número de premissas e/ou de predicados em um argumento é grande, a dificuldade em deduzir a conclusão ou de provar a invalidade do argumento cresce significativamente. Nestes casos, o uso de subargumentos é recomendável. Ele consiste em: 1. escolher uma ou mais premissas no argumento dado; 2. obter uma conclusão com essas premissas, construindo um subargumento válido; 3. incluir a conclusão obtida como mais uma premissa no argumento original. Repetir o processo até se obter a conclusão do argumento original, ou ficar convencido de que isso não será possível. 26
Validade: uso de subargumentos Exemplo: Alguns fotógrafos são habilidosos. Só artistas são fotógrafos. Os fotógrafos não são todos habilidosos. Todo biscateiro é habilidoso. Logo, alguns artistas não são biscateiros. Sol: a 3a e 4a premissas escritas na forma típica: Todo biscateiro é habilidoso.alguns fotógrafos não são habilidosos. Logo, alguns fotógrafos não são biscateiros. (silogismo categórico). Sol: Forma simbólica x (Bx Hx) (A), x (Fx Hx) (O); x (Fx Bx) O diagrama de Venn ao lado valida o subargumento: Validade: uso de subargumentos Substituindo as premissas pela conclusão, e escrevendo a outra premissa na forma típica, temos o outro argumento como outro silogismo categórico: Todos os fotógrafos são artistas. Alguns fotógrafos não são biscateiros. Logo, alguns artistas não são biscateiros. Sol: Forma simbólica: x (Fx Ax) (A), x (Fx Bx) (O); x (Ax Bx) O diagrama de Venn ao lado valida o argumento: (ver outro exemplo na pag 75). 27
Conectivos temporais Igualdade Começam juntos: Acabam juntos: é anterior a é posterior a é seguido por segue contém é contido em contém momento simultâneo 28