Força conservativa Já vimos que a energia gravitacional entre duas partículas de massas m 1 e m 2, com vetores posição em r 1 e r 2, respectivamente, é dada por U 12 = Gm 1m 2 r 2 r 1. Vimos também que o trabalho da força gravitacional em um caminho fechado é sempre nulo, em qualquer caminho fechado, mesmo um que não possa ser percorrido sempre no mesmo plano. uando uma força qualquer tem trabalho nulo em qualquer caminho fechado, dizemos que é uma força conservativa, pois é sempre possível definirmos uma energia potencial para essa força. Para vermos isso, consideremos uma força conservativa. Então, 0, C para qualquer caminho fechado C. Tomemos dois pontos de um caminho fechado, e. Então, o caminho fecha do C pode ser escrito como a união de dois outros caminhos, e, ambos abertos, como mostra a figura abaixo. Logo, C + ˆ 0. 1
Como toda integral de Riemann, as de caminho também obedecem certas propriedades comuns; por exemplo, temos e, portanto, ˆ ˆ. Ora, como a curva C é completamente arbitrária, os caminhos do ponto até o ponto, e, também são completamente arbitrários. O que a igualdade acima,, nos diz é que, quando a força é conservativa, o trabalho para ir do ponto até o ponto não depende do caminho. Se o trabalho não depende do caminho, então do que depende? Ora, depende dos pontos inicial e final. Por exemplo, tomemos os pontos e dos caminhos e acima. Podemos tomar um terceiro ponto,, como referência e escrever: ˆ +, onde nem mesmo precisamos especificar o caminho, já que essas integrais independem de caminhos. Mas, e, assim, ˆ ˆ ˆ +. Fixando o ponto de referência,, podemos definir a função U do ponto P qualquer como ˆ P U (P ) = e, finalmente, vemos que o trabalho da força conservativa é a diferença entre a mesma função calculada nos pontos inicial e final do caminho: W ( ) = U () U (). 2
Essa função U, cuja diferença entre dois pontos dá o trabalho da força por qualquer caminho entre esses mesmos pontos, é batizada de energia potencial e a razão para esse nome está ilustrada no caso da força gravitacional. Podemos também definir uma função de r, para cada ponto do espaço, como segue: f (r) = F (r ) dr, por qualquer caminho que escolhamos, já que o resultado dessa integral independe dessa escolha. Calculemos, então, o gradiente de f (r): f (r) = ˆx x F (r ) dr + ŷ y F (r ) dr + ẑ z Calculemos, primeiramente, a derivada parcial com relação a x: ˆ r F (r ) dr = ˆ (x,y,z) x x (x,y,z ) pois a força F é uma função dos pontos do espaço: já que F (x, y, z ) dr + ˆ (x,y,z) x (x,y,z) F (r ) dr. F = F (r) = F (x, y, z) = ˆxF x (x, y, z) + ŷf y (x, y, z) + ẑf z (x, y, z), r = ˆxx + ŷy + ẑz. Tomamos o caminho de integração para a integral acima como ilustra a figura abaixo. F (x, y, z) dr, 3
Note que, como a integral não depende do caminho, podemos escolhê-lo convenientemente. Observe também que os caminhos de integração convenientes para os cálculos das outras derivadas parciais, com relação a y e a z, serão outros e não o da figura. Na equação ˆ r F (r ) dr = ˆ (x,y,z) x x (x,y,z ) F (x, y, z ) dr + ˆ (x,y,z) x (x,y,z) F (x, y, z) dr, a primeira integral do membro direito é calculada mantendo a coordenada x, do ponto, fixa e terminando em um ponto com as coordenadas y e z do ponto r. derivada parcial com relação a x dessa integral é, portanto, nula, pois essa integral não depende de x. segunda integral do segundo membro da equação acima é calculada sobre uma reta paralela ao eixo x, mantendo as coordenadas y e z do ponto r fixas. ssim, temos: x ˆ x F (r ) dr = F x (x, y, z) dx x x = F x (x, y, z). Repetindo raciocínios análogos para as derivadas parciais com relação a y e z, usando caminhos de integração diferentes do anterior, mas que não alteram o valor da integral do membro esquerdo, obtemos também: ssim, finalmente: y z F (r ) dr = F y (x, y, z), F (r ) dr = F z (x, y, z). f (r) = ˆxF x (x, y, z) + ŷf y (x, y, z) + ẑf z (x, y, z) = F (x, y, z) = F, independentemente da escolha do ponto. Logo, se a força é conservativa, sempre existe uma função cujo gradiente dá a força. ual a interpretação física da função f (r)? Ora, por definição, essa função é o trabalho da força F desde o ponto até o ponto com vetor posição r. Mas nós vimos que esse trabalho é a diferença entre as energias pontenciais nesses pontos; mais precisamente, Logo, e, portanto, f (r) = W ( r) = U () U (r). f (r) = U (r) + U () F = f (r) = U (r) + U (). 4
Como o ponto é fixo e não depende das coordenadas do ponto de vetor posição r, segue que ssim, U () = 0. F = U (r). Com isso, provamos que a força será sempre igual ao negativo do gradiente da energia potencial quando for uma força conservativa. 5