Duração: 90 miutos Grupo I Probabilidades e Estatística LEE, LEIC-A, LEIC-T, LEMat, LERC, MEBiol, MEBiom, MEEC, MEFT, MEMec, MEQ Justifique coveietemete todas as respostas 1 o semestre 2017/2018 11/01/2018 11:00 2 o teste B 10 valores 1. A cocetração de um utriete em determiado produto alimetar é uma variável aleatória com fução de desidade de probabilidade dada por { (θ + 1) x θ, 0 < x < 1 f X (x) 0, caso cotrário, ode θ é um parâmetro positivo descohecido. Seja (X 1,..., X ) uma amostra aleatória de X. (a) Mostre que o estimador de máxima verosimilhaça do parâmetro θ, com base a amostra aleatória (2.5) referida acima, é dado por i1 l(x i ) 1. V.a. de iteresse X cocetração de um utriete em determiado produto alimetar F.d.p. de X { (θ + 1) x θ, 0 < x < 1 f X (x) 0, caso cotrário Parâmetro descohecido θ, θ > 0 Amostra x (x 1,..., x ) amostra de dimesão proveiete da população X Obteção do estimador de MV de θ Passo 1 Fução de verosimilhaça L(θ x) f X (x) X i idep f Xi (x i ) X i X i1 f X (x i ) i1 i1 [ ] (θ + 1) x θ i (θ + 1) ( i1 x i ) θ, θ > 0 Passo 2 Fução de log-verosimilhaça ll(θ x) l(θ + 1) + θ l(x i ) Passo 3 Maximização A estimativa de MV de θ passa a ser represetada por ˆθ e d ll(θ x) dθ 0 (poto de estacioaridade) θ ˆθ ˆθ : d 2 ll(θ x) θ < 0 (poto de máximo) dθ 2 ˆθ ˆθ+1 + i1 l(x i ) 0 ( ˆθ+1) < 0 2 i1 Págia 1 de 8
ˆθ : ˆθ i1 l(x i ) 1 [ i1 l(x i )] 2 < 0 (proposição verdadeira porque > 0 e i1 l(x i ) 0). Passo 4 Estimador de MV de θ E MV (θ) i1 l(x i ) 1. (b) Obteha a estimativa de máxima verosimilhaça de h(θ) θ+1 θ+2 baseada a cocretização (1.5) (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) (0.32,0.24,0.56,0.67,0.58) para a qual i1 l(x i ) 4.09. Estimativa de MV de θ ˆθ i1 l(x i ) 1 5 4.09 1 0.222494 Outro parâmetro descohecido h(θ) θ+1 θ+2 Estimativa de MV de h(θ) Ivocado a propriedade de ivariâcia dos estimadores de máxima verosimilhaça, tem-se que a estimativa de MV de h(θ) é dada por h(θ) h( ˆθ) ˆθ + 1 ˆθ + 2 0.222494 + 1 0.222494 + 2 0.550055. (c) Averigúe se X é um estimador cetrado de h(θ). (1.0) Parâmetro descohecido h(θ) θ+1 θ+2 Estimador de h(θ) X Valor esperado de X i.i.d. Uma vez que X i X, i 1,...,, segue-se que: Coclusão Uma vez que E( X ) E(X ) 1 0 (θ + 1) x θ+1 dx θ + 1 θ + 2 xθ+2 θ + 1 θ + 2 h(θ). 1 0 T se diz um estimador cetrado de h(θ) caso E(T ) h(θ), θ > 0, podemos afirmar que X é um estimador cetrado de h(θ). Págia 2 de 8
2. O diâmetro (X, em mm) dos cilidros hidráulicos produzidos por determiada fábrica possui distribuição ormal com parâmetros descohecidos µ e σ 2. A cocretização de uma amostra aleatória de dimesão 10 coduziu aos seguites resultados: 10 i1 x i 846 e 10 i1 x2 i 71607. (a) Determie um itervalo de cofiaça a 95% para σ 2. (2.5) V.a. de iteresse X diâmetro de cilidro hidráulico produzido pela fábrica Situação X ormal(µ,σ 2 ) µ descohecido σ 2 DESCONHECIDO Obteção do IC para σ 2 Passo 1 Selecção da v.a. fulcral para σ 2 ( 1)S2 Z χ 2 ( 1) σ 2 [uma vez que é suposto determiar um IC para a variâcia de uma população ormal, com valor esperado descohecido.] Passo 2 Obteção dos quatis de probabilidade Ao ter-se em cosideração que 10 e (1 α) 100% 95%, far-se-á uso dos quatis a α F 1 χ 2 ( 1) b α F 1 χ 2 ( 1) (α/2) F 1 t abel a/calc. (0.025) 2.700 χ 2 (9) (1 α/2) F 1 (0.975) χ 2 (9) t abel a/calc. 19.02. Passo 3 Iversão da desigualdade a α Z b α P(a α Z b α ) 1 α ] P [a α ( 1)S2 b σ 2 α 1 α P P [ 1 b α [ ( 1)S 2 b α ] σ2 1 ( 1)S 2 a α 1 α σ 2 ( 1)S2 a α ] 1 α Passo 4 Cocretização Atededo ao par de quatis acima e ao facto de [ ] s 2 1 x 2 i 1 i1 1 [ 71607 10 (846/10) 2 ] 10 1 3.9(3) IC (1 α) 100% (σ 2 ) ( 1) s 2, F 1 (α/2) F 1 χ 2 ( 1) χ 2 ( 1) segue-se: [ ] (10 1) 3.9(3) IC 95% (σ 2 (10 1) 3.9(3) ), 19.02 2.700 [1.860928, 13.109220]. (b) Teste H 0 : σ 2 4 cotra H 1 : σ 2 > 4. Decida com base o valor-p. (2.5) V.a. de iteresse e situação Ver alíea (a). Págia 3 de 8
Hipóteses H 0 : σ 2 σ 2 0 4 H 1 : σ 2 > σ 2 0 Estatística de teste ( 1)S2 T H0 χ 2 ( 1) σ 2 0 [dado que se pretede efectuar um teste sobre a variâcia de uma população ormal, com valor esperado descohecido.] Região de rejeição de H 0 (para valores da estatística de teste) Estamos a lidar com um teste uilateral superior (H 1 : σ 2 > σ 2 0 ), logo a região de rejeição de H 0 (para valores da estatística de teste) é do tipo W (c,+ ). Decisão (com base o valor-p) O valor observado da estatística de teste é igual a ( 1)s2 t σ 2 0 (10 1) 3.9(3) 8.85. 4 Uma vez que a região de rejeição deste teste é um itervalo à direita, temos: valor p P(T > t H 0 ) Deste modo é suposto: 1 F χ 2 ( 1) (t) 1 F χ 2 (9) (8.85) calc/tabel a 0.451234. ão rejeitar H 0 a qualquer.s. α 0 45.1234%, pelo que H 0 ão é cotrariada pelos dados aos.u.s. (1%,5%,10%); rejeitar H 0 a qualquer.s. α 0 > 45.1234%. [Em alterativa, poderíamos recorrer às tabelas de quatis da distribuição do qui-quadrado com 9 graus de liberdade e adiatar um itervalo para o p-value: F 1 χ 2 (9) Assim, é suposto: (0.50) 8.343 < t 8.85 < 9.414 F 1 (0.60) χ 2 (9) 0.50 < F χ 2 (8.85) < 0.60 (9) 1 0.60 < 1 F χ 2 (8.85) < 1 0.50 (9) 0.40 < valor p < 0.50. ão rejeitar H 0 a qualquer.s. α 0 40%, pelo que H 0 ão é cotrariada pelos dados aos.u.s. (1%,5%,10%); rejeitar H 0 a qualquer.s. α 0 50%. Grupo II 10 valores 1. Ao recorrer a um pequeo programa destiado a gerar 250 úmeros pseudo-aleatórios o itervalo [0, 10], obtiveram-se os seguites dados: Classe [0, 2] ]2, 4] ]4, 6] ]6, 8] ]8, 10] Frequêcia absoluta observada 38 55 54 41 62 Uma egeheira iformática defede a hipótese H 0 de que o programa gera úmeros pseudo-aleatórios que seguem uma distribuição uiforme cotíua o itervalo [0, 10]. Págia 4 de 8
(a) Calcule os valores das frequêcias absolutas esperadas sob H 0 de cada uma das classes. (1.0) V.a. de iteresse X úmero pseudo-aleatório gerado pelo programa Distribuição, f.d.p. e f.d. cojecturadas X uiforme cotíua(0, 10) { 1 f X (x) 10, 0 x 10 0, c.c. x F X (x) P(X x) 0dt 0, x < 0 x 0 0dt + x f X (t)dt 0 1 0 0dt + 10 0 10 dt x 10, 0 x 10 1 10 dt + x 10 0dt 1, x > 10. Frequêcias absolutas esperadas Atededo à dimesão da amostra 250 e à f.d. cojecturada, segue-se, para i 1,...,5: E i [F (2i ) F (2i 2)] ( 2i 250 10 2i 2 ) 10 250 1 5 50. (b) Teste H 0, ao ível de sigificâcia de 10%. (3.0) Hipóteses H 0 : X uiforme cotíua(0,10) H 1 : X uiforme cotíua(0,10) Nível de sigificâcia α 0 10% Estatística de Teste k (O i E i ) 2 T E i a H0 χ 2 (k β 1), ode: i1 k No. de classes 5 O i Frequêcia absoluta observável da classe i E i Frequêcia absoluta esperada, sob H 0, da classe i β No. de parâmetros a estimar 0 [dado que em H 0 se cojectura uma distribuição específica.] Frequêcias absolutas esperadas sob H 0 De acordo com (a), os valores das freq. absolutas esperadas sob H 0 são: E i 50, i 1,...,5. [Não é ecessário fazer qualquer agrupameto de classes uma vez que em pelo meos 80% das classes se verifica E i 5 e que E i 1 para todo o i. Caso fosse preciso efectuar agrupameto de classes, os valores de k e c F 1 (1 α χ 2 0 ) teriam que ser recalculados...] (k β 1) Região de rejeição de H 0 (para valores de T ) Tratado-se de um teste de ajustameto, a região de rejeição de H 0 escrita para valores de T é o itervalo à direita W (c,+ ), ode c F 1 (1 α χ 2 0 ) (k β 1) F 1 (1 0.10) χ 2 (5 0 1) F 1 (0.90) χ 2 (4) tabel a/calc. 7.779. Págia 5 de 8
Decisão No cálculo do valor obs. da estat. de teste covém recorrer à seguite tabela auxiliar: Classe i Freq. abs. obs. Freq. abs. esp. sob H 0 Parcelas valor obs. estat. teste i o i E i (o i E i ) 2 e i (38 50) 1 [0, 2] 38 50 50 2.88 2 ]2, 4] 55 50 0.50 3 ]4, 6] 54 50 0.32 4 ]6, 8] 41 50 1.62 5 ]8, 10] 62 50 2.88 k i1 o i k i1 e i t k (o i e i ) 2 i1 e i 250 250 8.20 Como t 8.20 W (7.779,+ ), devemos rejeitar H 0 ao.s. de α 0 10% [ou a qualquer outro.s. superior a 10%]. 2. A desidade relativa de certa madeira é descrita pela variável x e a força máxima ecessária para o seu esmagameto em compressão paralela ao grão é represetada pela variável aleatória Y (em psi). Uma amostra de dimesão 10 coduziu aos seguites valores: 10 i1 x i 4.31, 10 i1 x2 i 1.8629, 10 i1 y i 24520, 10 i1 y 2 i 61761600, 10 i1 x i y i 10632.9, ode [ mi i1,...,10 x i, max i1,...,10 x i ] [0.39, 0.47]. (a) Após ter euciado as hipóteses de trabalho que eteder coveietes, calcule as estimativas de (2.5) máxima verosimilhaça dos parâmetros da reta de regressão liear simples de Y em x, bem como a estimativa de máxima verosimilhaça de E(Y x 0.431). Hipóteses de trabalho ɛ i i.i.d. Normal(0,σ 2 ), i 1,..., Estimativas de MV de β 0 e β 1 Dado que 10 i1 x i 4.31 i1 x i 4.31 10 0.431 x 1 i1 x2 i 1.8629 i1 x2 i ( x)2 1.8629 10 0.431 2 0.00529 i1 y i 24520 ȳ 1 i1 y i 24520 10 2452 i1 y 2 i 61761600 i1 y 2 i (ȳ)2 61761600 10 2452 2 1638560 i1 x i y i 10632.9 i1 x i y i x ȳ 10632.9 10 0.431 2452 64.78, as estimativas de MV de β 1 e β 0 são, para este modelo de RLS, iguais a: i1 ˆβ 1 x i y i xȳ i1 x2 i ( x)2 64.78 0.00529 12 245.7 Págia 6 de 8
ˆβ 0 ȳ ˆβ 1 x 2452 12245.7 0.431 2 825.9. Estimativa de MV para E(Y x x 0 ) β 0 + β 1 x 0, com x 0 0.431 Ê(Y x x 0 ) ˆβ 0 + ˆβ 1 x 0 2825.9 + 12245.7 0.431 2452. [Não cometemos qualquer erro de extrapolação ao estimar potualmete E(Y x x 0 ) β 0 + β 1 x 0 uma vez que x 0 [mi i1,..., x i, max i1,..., x i ]. Note-se que, este caso x 0 x, logo Ê(Y x x 0 ) ˆβ 0 + ˆβ 1 x (ȳ ˆβ 1 x) + ˆβ 1 x ȳ, como se pôde costatar acima.] (b) Teste a hipótese E(Y x 0.431) 2500, ao ível de sigificâcia de 5%. (2.5) Hipóteses (com x 0 0.431) H 0 : E(Y x x 0 ) E 0 (Y x 0 ) 2500 vs. H 1 : E(Y x x 0 ) E 0 (Y x 0 ) Nível de sigificâcia α 0 5% Estatística de teste T ( ˆβ 0 + ˆβ 1 x 0 ) E 0 (Y x 0 ) [ ] H 0 t ( 2) ˆσ 2 1 + (x 0 x) 2 i1 x2 i x2 Região de rejeição de H 0 (para valores de T ) Estamos a lidar com um teste bilateral (H 1 : E(Y x 0 ) E 0 (Y x 0 )), pelo que a região de rejeição de H 0 [escrita para valores observados da estatística de teste] é W (, c) (c,+ ), ode c : P(Rejeitar H 0 H 0 ) α 0 c Ft 1 ( 2) (1 α 0 /2) c F 1 t (8) (0.975) c t abel a/calc 2.306 Decisão Tedo em cota que [( ) ˆσ 2 1 y 2 i 2 ȳ 2 ( ( )] ) 2 ˆβ1 x 2 i x2 i1 i1 1 ( 1638560 12245.7 2 0.00529 ) 10 2 105660.1, o valor observado da estatística de teste é igual a t ( ˆβ 0 + ˆβ 1 x 0 ) E 0 (Y x 0 ) [ ˆσ 2 1 + (x 0 x) 2 i1 x2 i x2 ] 2452 2500 [ ] 105660.1 1 10 + (0.431 0.431)2 0.00529 0.466967. Págia 7 de 8
Como t 0.466967 W (, 2.306) (2.306,+ ), ão devemos rejeitar H 0, ao ível de sigificâcia α 0 5% [ou a qualquer outro.s. iferior a 5%]. (c) Calcule e iterprete o valor do coeficiete de determiação do modelo ajustado. (1.0) Cálculo do coeficiete de determiação ( r 2 i1 x i y i x ȳ ) 2 ( i1 x2 i x2) ( i1 y 2 i ȳ 2) 64.78 2 0.00529 1638560 0.484132. Iterpretação coeficiete de determiação Cerca de 48.4% da variação total da variável resposta Y é explicada pela variável x, através do modelo de regressão liear simples ajustado. Dode possamos afirmar que a recta estimada ão parece ajustar-se bem ao cojuto de dados. Págia 8 de 8