UNIVERSIDADE DA BEIRA INTERIOR NOTAS SOBRE FENÓMENOS DE TRANSFERÊNCIA

UNIVERSIDADE DA BEIRA INTERIOR NOTAS SOBRE FENÓMENOS DE TRANSFERÊNCIA para o Curso de EPGI Paulo Jorge Pimentel de Oliveira (Janeiro 1998) Departamento de Engenharia Electromecânica Universidade da Beira Interior, 600 Covilhã, Portugal

Notas Fenómenos de Transferência - Paulo Oliveira Conteúdo 1 Equações diferenciais ì Teorema de transporte de Reynolds 3 ì Equação da conservação de massa, ou equação da continuidade3 ì Equação da conservação da quantidade de movimento 3 ì Equação de conservação da energia interna 5 ì Equação de transporte para uma variável 9 conservativa 6 Equações integrais (ou macroscopicas) para um volume de controlo ì Conservação de massa 7 ì Conservação da quantidade de movimento (cálculo de forças) 7 ìconservação da energia total (interna cinética potencial) 7 ì Conservação da energia mecânica (equação de Bernoulli; fluido incompressível8 3 Cálculo de perdas de carga (dimensionamento de redes de condutas) 31 Perdas de carga em linha 8 3 Perdas de carga pontuais 10 4 Transmissão de calor 41 Leis básicas 11 4 Transferência de calor por condução 13 41 Caso de várias paredes planas, incluindo convecção interior e exterior 13 4 Caso de várias cascas cilíndricas 14 43 Caso de várias calotes esféricas 15 44 Raio crítico de isolamento cilíndrico 16 45 Cilindro com fontes de calor internas q @ 16 43 Transferência de calor por convecção 17 431 Convecção forçada dentro de tubos cilíndricos 18 43 Convecção natural 0 5 Exames resolvidos Teste de 30/1/1998 1 Exame de 16//1998 3 Bibliografia Transport Phenomena, RB Bird, WE Stewart e EN Lightfoot, (1960) John Wiley Engineering Thermodynamics - Work & Heat Transfer, GFC Rogers and YR Mayhew, (1967) Longman Fenómenos de Transporte- Quantidade de Movimento, Calor e Massa, CO Bennett e JE Myers, (1978) McGraw -Hill

Notas Fenómenos de Transferência - Paulo Oliveira 3 1 Equações diferenciais ì Teorema de transporte de Reynolds Para uma propriedade genérica por unidade de massa 9, definida num volume de controlo V e para um campo de velocidades u, tem-se: D Dt `39 ' 39 dv œ ' Ð f 39u Ñ dv (1) `t V V Nota: a derivada substantiva, ou derivada seguindo o movimento, é dada por: D9 `9 œ u f9 Dt `t () Em coordenadas Cartesianas, com notação indicial, fica: D9 `9 `9 `9 `9 `9 `9 œ u u v w (3) Dt `t 4 `x `t `x `y `y 4 onde (u,v,w) são as componentes da velocidade segundo os eixos (x,y,z) ì Equação da conservação de massa, ou equação da continuidade: A massa duma determinada porção de meio contínuo conserva-se, ou seja: D D `3 m œ ' 3dv œ 0 Ê f 3u œ 0 (4) Dt Dt `t V onde se usou o teorema do transporte de Reynods Usando a definição de DÎDt, esta equação pode ainda escrever-se: D3 Dt œ 3 f u Para um fluido incompressível, continuidade fica: 3 (5) é constante ao longo do movimento, e a equação da f u œ 0 (que também pode ser escrita como divu œ 0) (6) ì Equação da conservação da quantidade de movimento (ou do momentum) A segunda lei de Newton diz que a taxa de variação temporal da quantidade de movimento (m u) é igual às forças aplicadas Para uma porção de meio contínuo contida num volume V, a lei de Newton fica: D dv ds dv Dt ' 3u œ ' T ' 3f V S V

Notas Fenómenos de Transferência - Paulo Oliveira 4 onde T são as forças de superfície (S é a superfície que envolve V) e f é a força por unidade de massa que actua dentro de V (por vezes designada força volúmica sendo devida a um campo de forças externo, em contraste com as forças de superfície que são internas ao meio); normalmente f é a força da gravidade, g A força T actuando numa superfície com normal unitária n pode exprimir-se em termos do tensor das tensões 5 como: T œ n 5 (ou, em componentes: T œ n 5 œ 5 n, pois 5 é simétrico) (7) 3 4 43 34 4 Aplicando o teorema de Reynolds e o de Gauss (' n 5 ds œ ' f 5 dv ), obtem-se: S V `3u `t f Ð3u uñ œ f 5 30 (8) que se pode também escrever, usando a equação da continuidade: D 3 u œ 3 Dt f 5 0 (9) Em problemas de mecânica de fluidos é usual separar o tensor das tensões numa parte de pressão mais uma parte de tensões viscosas: 5 œ p $ 7 (10) ( $ é o tensor unitário, sendo $ 34 œ 0, se 3Á4, ou œ1, se 3œ4), pelo que a equação da conservação da quantidade de movimento fica: D 3 u œ p 3 (11) Dt f f 7 0 Para um fluido Newtoniano (como o ar, ou a água) as tensões viscosas são dadas por uma equação constitutiva linear nos gradientes de velocidade, do tipo: T 7 œ Ðfu fu Ñ Ð f uñ $ 3 (1) onde é a viscosidade dinâmica e denota o tensor transposto Substituindo na Eq (11), para constante, obtêm-se as equações de Navier-Stokes que, conjuntamente com a equação da continuidade, governam o movimento dum fluido Newtoniano incompressível: T Du 3 p 3 (13) Dt œ f f # u 0

Notas Fenómenos de Transferência - Paulo Oliveira 5 ì Equação de conservação da energia interna E A primeira lei da termodinâmica diz que a taxa de variação da energia total dum sistema µ é igual ao taxa de trabalho e de calor que entram através da fronteira, DE Î Dt œ W Q µ A energia total é E œ E E5 E :: energia interna cinética potencial, mas na dedução que se segue a energia potencial é contabilizada separadamente através das forças volúmicas f Aplicando este princípio a um volume V, e não esquecendo de contabilizar todas as formas de potência que actuam sobre V, tem-se: D e u dv ds dv ds q dv Dt ' # 3Ð Î Ñ œ ' ' 3 ' ' T u f u q n @ V S V S V O primeiro termo do lado direito da equação representa a potência (força vezes velocidade) das forças de superfície (aquelas que actuam na superfície S que rodeia o volume V); o segundo termo representa a potência das forças volumicas; o terceiro termo representa o fluxo de calor por condução q que entra em V através da superfície S (o termo é negativo porque a normal considera-se positiva a sair de V); o último representa eventuais fontes volumétricas de calor (por exemplo, produção interna de calor por efeito de Joule, ou por reacção química, etc) Utilizando os teoremas de Reynolds e de Gauss, a definição de T por meio do tensor das tensões, a equação da conservação da quantidade de movimento, e a lei de Fourier para especificar o fluxo de calor por condução: q œ k f T (lei de Fourier para condução de calor) (14) onde k é a condutividade térmica, [W/mK], e T a temperatura, obtem-se finalmente a equação da conservação da energia interna específica (e œ E/m): 3 De Dt œ f ÐkfT Ñ q @ 5Àfu (15) Para um fluido Newtoniano fica: De 3 œ f ÐkfT Ñ q p Ð f Ñ 3 F (16) Dt @ u # " onde a função de dissipação F œ ÐDD À Ð f uñ Î3 Ñ (com D Ðfu fuñ # denotando o tensor das deformações) é um termo sempre positivo que representa a dissipação viscosa (transformação de energia interna em calor devido a irreversibilidades associadas com fricção interna por viscosidade) Este termo é pequeno em muitos casos podendo ser desprezado Em escoamentos a alta velocidade torna-se importante e para velocidades usuais só é importante quando a viscosidade do fluido é elevada Para fluidos incompressíveis a equação da continuidade implica que o termo pdiv u se anula A equação de conservação da energia interna pode ainda exprimir-se em termos de entalpia, T

Notas Fenómenos de Transferência - Paulo Oliveira 6 h œ e p Î3 Ê Dh De Dp p D3 3 œ 3 Dt Dt Dt 3 Dt ficando: Dh Dp 3 œ f Ðkf T Ñ q Dt @ Dt 3 F (17) Relembra-se que para um gás perfeito se tem: Dh œ c DT e De œ c DT : @ onde c : e c @ são os calores específicos a pressão e volume constantes, respectivamente Para um fluido incompressível, ou um solido, tem-se c œ c c (calor específico) : @ ì Equação de transporte para uma variável 9 conservativa A equação de transporte para uma propriedade que se conserva pode, em geral, escreverse: `39 `39 ' Ð Ñ dv œ ' J ds ' S dv Ê Ð Ñ œ S (18) `t 9 n 9 f J `t 9 9 V S V exprimindo o facto que o aumento temporal da propriedade 9 dentro do volume V resulta do fluxo total de 9 que entra em V através da superfície S (lembrar que o vector normal n está a sair de V, por isso o sinal negativo) mais eventuais fontes internas de 9 por unidade de volume, S 9 O fluxo total de 9 (por unidade de área e de tempo) pode ser separado num fluxo convectivo (transporte pelo movimento do meio contínuo, proporcional à velocidade densidade) e num fluxo difusivo (transporte por vibrações a nível molecular, proporcional ao gradiente da quantidade transportada), assim: J œ Ð3u9 Ñ Ð > f9ñ 9 9 (19) onde > 9 é o coeficiente difusivo de 9 Substituindo na Eq (18), a equação de transporte fica: `39 `t f Ð3 9 Ñ œ f Ð> f9ñ u 9 9 S (0) É de reparar que qualquer das equações dadas anteriormente pode ser vista como resultante desta equação geral de transporte, desde que se faça a escolha acertada de 9, > 9 e S 9 Por exemplo, para a energia interna, basta considerar 9 œ c@ T e > 9 œ kîc @ e incorporar todos os termos restantes no termo fonte S 9

Notas Fenómenos de Transferência - Paulo Oliveira 7 Equações integrais (ou macroscopicas) para um volume de controlo ì Conservação de massa: dm@- dt œ! m! m (1) 3 3 / / onde m 3 e m / são os caudais mássicos nas entradas e nas saídas do volume de controlo VC, respectivamente Lembrar que um caudal mássico é dado por m œ 3 ua (onde 3 é a densidade do fluido, A é a área de passagem e u a velocidade normal a A; em geral, em termos vectoriais, será m œ 3u A ) Em problemas com fluidos incompressíveis (água, por exemplo) é comum usar-se o caudal volúmétrico: $ # Q œ A u [m Îs] com m œ 3Q (em tubos circulares, A œ 1d Î4) @ @ Em regime estacionário (quando não há variações temporais) temos simplesmente que a soma dos caudais à entrada do VC é igual à soma dos caudais à saída:! m! œ m () 3 3 / / ì Conservação da quantidade de movimento (cálculo de forças): dp @- œ! m! m! p! p m (3) dt 3u3 / u/ 3A3 / A/ F @-g 3 / 3 / onde a quantidade de movimento do VC é denotada P œ ' 3u dv œ m u ( traço @- @- @- @- representa um valor médio) A equação acima expressa a segunda lei de Newton aplicada ao VC: a taxa de aumento da quantidade de movimento dentro do VC resulta de fluxos de quantidade de movimento que entram associados com fluxos mássicos (menos os que saiem), a que se somam as forças de pressão aplicadas nas entradas (menos a saídas), mais a força total exterior F aplicada sobre a superfície do VC, mais as forças internas por unidade de massa (tipicamente, o peso devido ao campo da gravidade) Em regime estacionário o termo dpîdt anula-se ìconservação da energia total (interna cinética potencial): µ de dt @- µ µ œ! m h! m h W Q W (4) 3 3 3 / / =- / expressando o facto que o aumento da energia total dentro do volume de controlo µ (E œ E E E ; com E œ " # @- @- 5 : 5 m@- u e E: œ m@- gz @-, z= altura acima nível de # @- µ referência) é devido a entrada de entalpia total (h œ h gz # u Î# ) associada aos fluxos

Notas Fenómenos de Transferência - Paulo Oliveira 8 mássicos (menos saída), mais entrada através da fronteira do VC de trabalho ao eixo por unidade de tempo (W) e de calor por unidade de tempo (Q), mais eventualmente trabalho devido a deslocamento da superfície de controlo (W=- œ p=- dv@-îdt) Se denotarmos µ H œ! µ µ mh, para o caso do regime estacionário (de Î dt œ W=- œ 0) a conservação de energia fica: µ µ H W Q œ H Í energia que entra œ energia que sai (5) 3 / ì Conservação da energia mecânica (equação de Bernoulli; fluido incompressível) Ao longo duma linha de corrente entre os pontos " e #, tem-se: # # p" u" p# u# gz w gz e (6) 3 " "# œ 3 # @"# onde e @"# representa a dissipação devida aos efeitos viscosos no fluido (perda de carga) entre os pontos " e #, e w "# representa o trabalho ao eixo, por unidade de massa, eventualmente fornecido entre os pontos " e # (por exemplo, por uma bomba hidráulica ou um ventilador) 3 Cálculo de perdas de carga (dimensionamento de redes de condutas) As perdas de carga separam-se em: ìperdas de carga em linha (e@"#) ocorrem ao longo dum tubo, devido ao atrito nas paredes; ìperdas de carga pontuais (e@4) ocorrem em dispositivos existentes em determinados pontos duma linha (por ex torneiras, cotovelos, curvas, expansões, contrações, válvulas, etc) 31 As perdas de carga em linha definidos como: calculam-se por meio de coeficientes de atrito 7A f 1Î (adimensional) (7) 3 u# onde 7 A é a tensão de corte existente na parede do tubo Esta tensão na parede pode ser relacionada com a perda de pressão existente entre duas secções dum tubo cilíndrico de diametro d e comprimento L A equação do balanço de quantidade de movimento reduzse a:

Notas Fenómenos de Transferência - Paulo Oliveira 9 força de pressão œ força de atrito na parede Ê # 1d L Ê Ðp" p # Ñ œ 7AÐ1 dl) Ê? p œ 7A4 4 d com? p p " p # A equação de Bernoulli, assumindo um tubo horizontal de secção constante (u" œ u #) e sem que haja fornecimento de trabalho, reduz-se a:? p œ 3 e (8) @"# e portanto a perda de pressão devida à fricção é: L 1 # L? p œ 3 e @"# œ 7A4 œ f Ð 3 u Ñ4 Ê d d # L u # # Ê e @"# œ 4f [J/kg]=[m Îs ] (9) d Os valores de f dependem do regime dinâmico (laminar ou turbulento), do numero de Reynolds (Re œ 3 ud Î ) e do valor da rugosidade da parede dos tubos (% Îd), e são normalmente obtidos de correlações empíricas ou de gráficos (o famoso diagrama de Moody) Para tubos lisos, em regime laminar, as equações de Navier-Stokes permitem obter a expressão que dá a variação da velocidade na secção do tubo de raio R, u(r) Îu œ 1 ÐrÎRÑ! # e permitem ainda relacionar o valor máximo da velocidade no eixo do tubo, u!, com o valor médio na secção, u (o caudal volumétrico é Q Au ; de notar que este @ œ u corresponde ao u usado na eq de Bernoulli e nos balanços macroscopicos): u! œ u Deste modo o valor da tensão de corte na parede pode ser calculado, de 7 A œ Ð `u(r) Î`r Ñ, e consequentemente o coeficiente de fricção: <œv f œ 16 (30) Re (Chama-se a atenção de que em alguns livros se usa um coeficiente de fricção igual a 4 vezes o aqui definido) Para regime turbulento (Re 000 em tubos lisos), o coeficiente de fricção não pode ser obtido analiticamente Existem algumas correlações empíricas ou semi-empíricas (ver nas Tabelas dadas) Uma das mais usadas, para tubos lisos, é a formula de Blasius: f œ 00791 & (válida para 300<Re<10 ) (31) Re "Î%

Notas Fenómenos de Transferência - Paulo Oliveira 10 No caso de tubos rugosos (altura da rugosidade % [m]) uma expressão que aproxima (erro 1%) o diagrama de Moody, podendo-o substituir nos cálculos, é: f œ 0331 ÐlnÐ Î37d 574ÎRe ÑÑ %!* # ) ' # (válida para 5000 Ÿ Re Ÿ 10, 10 Ÿ % Îd Ÿ 10 ) Valores típicos de altura de rugosidade para materiais comuns em tubagens: % [mm] Aço rebitado 09 9 Betão, Concreto 03 3 Madeira 018 019 Ferro fundido 05 Ferro galvanizado 015 Ferro fundido asfaltado 01 Aço comercial ou ferro forjado 0046 Tubo soprado 00015 Para escoamento de tipo camada-limite sobre placa plana lisa, alinhada com o eixo dos x, e sendo o numero de Reynolds local agora definido como ReB œ 3 u_ x Î (u_ é a velocidade constante longe da placa= velocidade não perturbada, a infinito), os coeficientes locais (em x) de fricção são dados por: 0664 & f œ (escoamento laminar, para Re 5 10 ) (3) B Re B "Î# sendo o valor médio de x=0 até x=x, dado por f œ f ; e 0059 & f œ (escoamento turbulento, para Re 5 10 ) (33) B Re B!# 3 Para as perdas de carga pontuais define-se um factor de perda de carga em termos da energia cinética a jusante (depois) da perturbação como: # u4 e @4 K (34) onde 4 é um índice que denota a perturbação localizada Valores de K podem ser encontrados em tabelas especializadas Alguns valores, válidos para escoamento turbulento, são dados de seguida B B B Tipo de obstáculo K (u jusante)

Notas Fenómenos de Transferência - Paulo Oliveira 11 Entrada arredondada para tubo 005 Entrada com tubo a re-entrar 10 Contracção subita 045Ð1 " ) Expansão subita 1 # Ð 1) " Oríficio (quinas não-arredondadas) 7Ð1 " ÑÐ1 " ÑÎ" Cotovelo a 90 (redondo) 04 09 Cotovelo a 90 (quadrado) 13 19 Cotovelo a 45 03 04 T standard 18 Válvula tipo globo (aberta) 6 10 Válvula tipo "gate" (aberta) 0 Válvula de canto (aberta) 5 Válvula de controlo swing check" (aberta) 5 (Nota: " œ área menorîárea maior; para " œ 0, K œ 1 com u a montante) 4 # # Em geral, o cálculo da variação de pressão entre a entrada e a saída de uma linha de condutas, faz-se aplicando a equação de Bernoulli (Eq 6) e calculando o termo de perda de carga como: # e @"# œ! L u u 3 3 4 4f! K 4 (35) d 3 3 4 # onde a soma em 3 representa a perda de carga em linha, para cada troço 3, e a soma em 4 representa a perda de carga localizada, em cada elemento 4 (ligações, válvulas, etc) 4 Transmissão de calor 41 Leis básicas A transferência de calor de um ponto " para um ponto # pode fazer-se por: ì Condução - fenomeno difusivo devido a vibrações que se propagam a nível molecular; ocorre sobretudo em sólidos e, em menor grau, em líquidos Tem de existir um gradiente de temperatura e o fluxo de calor obedece à lei de Fourier (Eq 14) que no caso unidimensional fica: q œ k dt (36) dx Se a condutividade térmica k for constante, esta expressão pode integrar-se, ficando: # ÐT" T# Ñ q œ kðt" T# ÑÎ$ x [W/m ], ou Q œ Aq œ (37) Ð$ xîkañ

Notas Fenómenos de Transferência - Paulo Oliveira 1 Aqui $ x é a distância entre 1 e, e A é a área de passagem (perpendicular ao fluxo de calor) Usa-se muitas vezes uma analogia com a lei de Ohm da electricidade (V œ ei): a diferença de potencial corresponde a diferença de temperaturas, sendo o factor que provoca o fluxo térmico, V? T; a corrente eléctrica corresponde à taxa de transferência de calor, I Q; consequentemente, a resistência térmica, para este caso unidimensional plano, fica: e œ $ x ka [K/W] (38) ì Convecção transporte devido ao movimento (macroscopico) do meio; ocorre dentro de fluidos (líquidos ou gases) que se movem segundo um certo campo de velocidades u O fluxo convectivo de energia interna é, em geral, dado pelo primeiro termo do lado direito da Eq (19), 3ue (e œ c @ T) Um problema com convecção é mais complicado do que um problema so com condução, pois requer o conhecimento do campo de velocidades (que pode depender, por sua vez, do campo de temperaturas) As equações diferenciais fundamentais que governam o transporte convectivo (Eqs 6, 13 e 16) são muito mais complicadas do que a equação que governa o transporte por condução (Eq 41, abaixo) Por isso recorre-se frequentemente a expressões empíricas que fornecem o coeficiente de transmissão de calor por convecção, h, definido como: q œ hðt T Ñ (normalmente escreve-se q œ hðt T Ñ) (39) " # A _ chamada a lei de Newton da convecção Na equação entre parêntises assume-se que o fluxo de calor convectivo é transferido duma parede quente à temperatura T A ( Aœwall) para um fluido que está a uma temperatura (a infinito) T _ ì Radiação - propagação de energia por ondas electromagnéticas com um determinado comprimento de onda (na radiação térmica) A radiação ocorre mesmo através do vácuo (isto é, ao contrário da condução e da convecção, não é necessária a presença dum meio, solido ou fluido, para que se dê a transferência de energia) Uma outra diferença é que as equações que governam a transferência de energia por radiação são do tipo integral, enquanto as equações da condução e convecção são diferenciais A lei de Stefan-Boltzmann da radiação diz que a energia emitida por um corpo negro (corpo ideal que radia toda a energia que recebe) é proporcional à quarta potência da temperatura absoluta do corpo Para um corpo não ideal, chamado corpo cinzento, o valor do fluxo de calor trocado por radiação é reduzido por um coeficiente empírico, a emissividade % (ver valores em Tabelas), ficando: % % < " " # q œ %5ÐT T Ñ (40) ) # % onde a constante de Stefan-Boltzmann é 5 œ 567 10 W/m K A Eq (40) pode ser rearranjada de forma a aparecer um coeficiente de troca de calor por radiação: h ÐT T ÑÐT T Ñ com q œ h ÐT T Ñ < %5 " " # " # < r " #

Notas Fenómenos de Transferência - Paulo Oliveira 13 Em problemas que involvam simultaneamente convecção e radiação, pode usar-se um coeficiente total de transmissão de calor: h œ h h tot r 4 Transferência de calor por condução A equação diferencial que governa trocas de calor por condução é obtida directamente da equação diferencial da energia (16), que se simplifica para u œ 0, ficando: 3c ` T œ f Ðkf T Ñ q (41) `t @ Considerando apenas casos de regime permanente (estacionário) e uni-dimensionais (a tempertaura só depende de uma coordenada espacial), obtemos as equações: d dt ìpara geometrias planas (paredes paralelas): Ðk Ñ q Ðx Ñ œ 0 (4) dx dx @ 1 d dt ìpara geometrias cilíndricas (cascas circulares): Ðrk Ñ q Ðr Ñ œ 0 (43) r dr dr @ 1 d # dt ìpara geometrias esféricas (cascas esféricas): Ðkr Ñ q Ðr Ñ œ 0 (44) r# dr dr @ 41 Caso de várias paredes planas, incluindo convecção interior e exterior (sem fontes; k constante dentro de cada parede) A potência calorífica transferida pode ser calculada de duas maneiras: (1) usando o coeficiente global de transmissão de calor U, ou () usando a analogia eléctrica No primeiro caso a potência trocada vem: Q œ AU? T [W] (45) onde:? T œ T 3 T / (diferença de temperaturas interiores e exteriores,[k]) # A (área da secção perpendicular ao fluxo de calor [m ] ) 1 U œ (coeficiente global de transmissão de calor) (46) 1 4 1! Ð $ Ñ h3 k4 h/ 4 $ 4 4 com: U em [W/m K]; : espessura da parede 4[m]; k : condutividade térmica de 4

Notas Fenómenos de Transferência - Paulo Oliveira 14 A analogia com as leis válidas para a corrente eléctrica permite também escrever:? T V Q œ ( semelhante a I œ ) e e /; onde a resistência térmica equivalente e eq segue as regras válidas para resistências eléctricas: resistências em série somam-se; resistências em paralelo somam-se os inversos e inverte-se o resultado A resistência térmica de cada elemento é: $ 4 parede plana 4: e 4 œ (47) Ak4 convecção natural: e œ 1 (48) Ah Quando não há convecção natural tem-se e œ 0, o que equivale a ter h œ _ e assim T œ T _ A 4 Caso de várias cascas cilíndricas (sem fontes; k constante em cada cilindro): Neste caso a área de passagem de calor varia com o raio r (A œ 1rL, onde L é o comprimento dos cilindros), e vão existir coeficientes globais baseados na área interior A3 œ 1R3 L e na área exterior A/ œ 1R/ L: Q œ A U? T œ A U? T (49) 3 3 / / com: 1 U 3 œ (50) 1 lnðr4 " ÎR4Ñ R R! 3 h 3 3 k4 R/ h/ 4 ou 1 U / œ (51) R/ lnðr4 " ÎR4Ñ 1 R! Rh / 3 3 k4 h/ 4 A formula para a resistência térmica dum cilindro é: 1 1 R4 " R 4 œ ln Ð Ñ (5) L k R 1 4 4 (R 4 é o raio da parede interior do cilindro 4, e R 4 " é o raio da parede exterior) Nota: para pequena curvatura do cilindro, temos R4 " œ R 4 $ 4 onde $ 4 é a espesura da parede do cilindro, sendo $ Î R 1; fica e œ lnð1 $ ÎR ÑÎ1 Lk $ ÎA k, 4 4 4 4 4 4 4 4 4

Notas Fenómenos de Transferência - Paulo Oliveira 15 obtendo-se assim a formula válida para parede plana, como seria de esperar (usou-se: ln(1 % Ñ µ % para % pequeno) ì A formula que dá a variação da temperatura dentro duma casca cilíndrica que está à temperatura interior de T A3 e exterior de T A/, é: lnðî r R3Ñ TÐÑ r œ T A3 ÐTA3 T A/ Ñ (53) lnðr ÎR Ñ / 3 43 Caso de várias calotes esféricas (sem fontes; k constante em cada esfera): Neste caso a área de passagem de calor também varia com o raio r (A œ 41 r # ), e vão # # existir coeficientes globais baseados na área interior A œ 41R e exterior A œ 41R : 3 3 / / Q œ A3U3? T œ A/ U/? T com? T œ T3 T / (54) com: 1 U 3 œ (55) 1 1 1 1 R# # R! Ð Ñ 3 h3 3 k4 R4 R 4 4 " R# / h/ ou 1 U / œ (56) R/ # 1 1 1 1 R #! Ð Ñ R h 3 # 3 / k R R h 4 4 4 4 " / A formula para a resistência térmica duma casca esférica é: 1 1 1 1 e 4 œ Ð Ñ 4 k R R 1 4 4 4 " fora, (57) (R e R são os raios das paredes interior e exterior, respectivamente, da calote esférica 4 4 " 4) ì A formula que dá a variação da temperatura dentro duma casca esférica cuja temperatura interior de parede é T A3 e exterior T A/, é: 1ÎR3 1Îr TÐÑ r œ T A3 ÐTA3 T A/ ÑŠ (58) 1/R 1/R 3 /

Notas Fenómenos de Transferência - Paulo Oliveira 16 44 Raio crítico de isolamento cilíndrico Se o raio exterior dum tubo cilíndrico for R ", sendo o coeficiente convectivo exterior h /, e se se pretender reduzir a perda de calor do tubo para o exterior por meio dum isolamento de raio R e condutividade térmica k, define-se um raio crítico como: # iso R - œ k iso (59) h/ Para r œ R -, a perda de calor Q é máxima Assim, se R# R - a perda de calor aumenta com a espessura do isolamento (com R # Å ) Por outro lado, se R# R - a perda de calor diminui com R # Å Para que o isolamento seja eficaz é neccessário que R" R -, porque se assim não for está-se a aumentar a perda de calor quando se acrescenta o isolamemento 45 Cilindro com fontes de calor internas q @ (uniforme) A variação da temperatura neste caso é dada por: qr @ " q@ T(r) œ T _ ÐR" # r # Ñ (60) h 4k onde R " é o raio do cilindro, k a condutividade térmica do material, h o coeficiente convectivo exterior e T _ a temperatura do fluido que rodeia o cilindro De notar que a potência calorífica que sai do cilindro é transportada por convecção exterior, Q œ A hðt T Ñ com A œ 1R L (área de permuta de calor) : A _ : " e resulta na totalidade da fonte de calor interna, que gera uma potência: Q œ q Vol œ q 1RL @ @ " # Assim a temperatura da parede do cilindro é dada por: T A œ T_ qr @ " h e a variação de temperatura fica: q@ T(r) œ T A ÐR" # r # Ñ 4k Para r œ 0 (no eixo do cilindro) a temperatura é máxima, sendo dada por T! œ T A qr @ " # 4k de forma que a variação de temperatura pode ser escrita de forma adimensional como:

Notas Fenómenos de Transferência - Paulo Oliveira 17 T(r) TA Š T T! A œ # r 1 (61) R " # Nota: na prática a fonte volúmétrica de calor provém de reacções químicas ou nucleares, ou de efeito de Joule devido à passagem duma corrente eléctrica Neste caso será dada # por q@ œ ei /Volume, sendo a resistência eléctrica dada por e œ 3/ LÎA onde 3/ é a # resistividade eléctrica e A é a área de passagem (A œ 1 R " ) 43 Transferência de calor por convecção O cálculo simplificado de problemas de convecção de calor faz-se com recurso a formulas empíricas que dão o coeficiente convectivo de transmissão de calor, h Para maior generalidade, as formulas em vez de darem directamente o h, dão o numero de Nusselt (adimensional) que permite obter o h indirectamente: Nu œ hx (6) k onde o comprimento X depende da geometria em questão e k é a condutividade térmica do fluido As propriedades do fluido permitem ainda definir outro numero adimensional, o numero de Prandtl Pr œ c : Îk Os problemas de convecção podem dividir-se em: Convecção forçada: o movimento do fluido é provocado por forças de pressão que resultam duma fonte de energia mecânica externa (ex uma bomba de água) O número adimensional que controla o movimento é o número de Reynolds, Re œ 3 ud Î Neste caso Nu œ funçãoðre,pr) Convecção natural ou livre: o movimento do fluido é provocado por variações de densidade que por sua vez resultam de variações de temperatura (ex parede quente faz ar ficar mais leve, e assim subir) O número adimensional importante é o número de # $ # # Grashof, Gr œ g"3? T X Î, onde g é a aceleração da gravidade (98 mîs ), " é o " coeficiente de expansão térmica (" œ 1ÎT [K ] para um gás perfeito, como o ar, por exemplo),? T é uma diferença de temperaturas representativa (depende de cada problema; normalmente? T œ T A T _ ) e X é uma distância representativa (depende do problema) Neste caso Nu œ função(gr,pr) Para cada caso, pode ter-se convecção interna (dentro de tubos, por exemplo) ou externa (em torno dum edifício, ou perpendicular a um feixe de tubos, por exemplo); e o regime dinâmico pode ser laminar ou turbulento As tabelas dadas permitem fazer o cálculo de Nu para cada caso, sendo dadas ainda as propriedades relevantes para vários fluidos Tabela : convecção natural Tabela 3: propriedades físicas de líquidos Tabela 4 : propriedades físicas de gases (à pressão atmosférica, p! œ 1b 1 atm; a densidade dum gás a uma pressão diferente da atmosférica deve ser calculada como 3 œ 3 ÐpÎp Ñ; k, e c não dependem da pressão)!! :

Notas Fenómenos de Transferência - Paulo Oliveira 18 Tabela 5: convecção forçada interior a tubos Tabela 6: convecção forçada exterior, sobre superfícies planas Tabela 7: convecção forçada exterior de ar a incidir perpendicularmente a cilindros Tabela 8: convecção forçada exterior em torno de feixes tubulares Tabela 9: convecção em escoamentos a alta velocidade (compressíveis) Tabela 10: convecção exterior a corpos em rotação 431 Convecção forçada dentro de tubos cilíndricos Considera-se um tubo cilíndrico de seccão circular, com diâmetro d e área de passagem A œ 1 d # Î4, estando o eixo alinhado com a direcção x A velocidade média do fluido dentro do tubo é u (não varia com x porque m œ 3 Au é constante e a área de passagem também) e a temperatura média numa secção x (temperatura bulk ) é T(x) (a temperatura pode variar com x uma vez que o fluido vai sendo aquecido ao longo do tubo) A temperatura média bulk à entrada é T " e à saída é T # O fluxo de calor que entra através das paredes do tubo é q A(x) (pode ser constante) sendo a área de permuta igual a A: œ 1dL para um comprimento de tubo igual a L O balanço energético ao tubo, entre as secções 1 e, dá: Q œ q A œ mc ÐT T Ñ (63) A : : # " Por outro lado, a definição dum h médio usando a lei de Newton da convecção, pode escrever-se: Q œ AhT Ð T Ñ Ah? T (64) : A med : med Como tanto a temperatura do fluido T, como a temperatura da parede T A, podem variar ao longo do tubo, a definição da diferença média de temperaturas a usar em (64) não é unica As duas escolhas mais comuns são a média aritmética: T" T#? T med œ? T œ T A T com T œ (média da temperatura bulk) (65) e a média logarítmica:? T med œ? T ln œ? T "? T #? T (66) ln "? T# com:? T " œðt A T Ñ" (diferença de temp à entrada) T œðt T Ñ (diferença de temp à saída)? # A # Estas duas médias não diferem substancialmente desde que as diferenças de temperatura não variem muito entre a entrada e a saída (se? T " não for superior a? T # em mais de 50 %, a diferença entre? T e? T é inferior a 1 %) Deste modo é preferível usar a média ln

Notas Fenómenos de Transferência - Paulo Oliveira 19 aritmética pois facilita a resolução analítica dos problemas Quando houver grande variação de? T, a média logarítmica é mais precisa e deve ser usada Esta média resulta da integração da equação de definição de h, como é mostrado de seguida Dedução da Média Logarítmica O calor trocado entre a parede e o fluido, para uma fatia de fluido de expessura dx, é dado por: dq œ Pdx h ÐT T Ñ œ mc dt œ Ðmc Ñ dt A : : A A onde P é o perímetro molhado (neste caso P œ 1 d) e Ðmc : ÑA representa a capacidade calorífica da parede do tubo Juntando as equações, obtemos: 1 1 1 1 dt A dt œ Ð Ñ dq œ Ð ÑPdx h ÐTA TÑ Ðmc Ñ mc Ðmc Ñ mc : A : : A : Integrando esta equação, entre x=0 (T=T ) e x=l (T=T ), obtem-se: 1 1 1 ln? TÎ? T 1 œ Aph Ð Ñ Ðmc Ñ mc : A : Por outro lado, a integração das equações do balanço de energia dá : Q œ mc ÐT T Ñ œ Ðmc Ñ ÐT T Ñ : # " : A A" A# que depois de substituição na equação anterior resulta na definição da média logarítmica (Eq 66) O número de Nusselt para estes casos segue uma lei do tipo: Nu m n œ C Re Pr K Em regime laminar (Re 000) e para tubos curtos é necessário fazer uma correcção devida ao comprimento de desenvolvimento (zona inicial do tubo na qual as condições variam; diz-se que as condições não são ainda de desenvolvimento completo) O tubo considera-se curto quando o número de Graetz, Gz=RePr dîl, é maior do que 10 (ver tabelas) Neste caso a expressão para o Nu é: 1/3 014 Nu œ 186ÐRe Pr dîlñ Ð Î w Ñ Para tubos compridos, em regime laminar de desenvolvimento completo (as condições não variam já ao longo do tubo), o Nusselt é constante, Nu œ 366

Notas Fenómenos de Transferência - Paulo Oliveira 0 Em regime turbulento, utiliza-se a conhecida expressão 08 04 Nu œ 003 Re Pr válida para gases ou líquidos em que a viscosidade não varie muito com a temperatura Nas expressões dadas acima, as propriedades do fluido devem ser baseadas na temperatura bulk média, isto é ÐT1 TÑÎ Muitas vezes o uso de T 1, normalmente um valor conhecido, não causa erros apreciáveis Se as propriedades variarem substancialmente ao longo do tubo (por exemplo, se a gama de temperaturas for muito grande), então deve usar-se a temperatura bulk média, que requer o conhecimento da temperatura do fluido à saída T Como esta pode não ser conhecida, tem de se entrar num processo numérico iterativo 43 Convecção Natural A expressão que dá o número de Nusselt para convecção natural é do tipo: Nu m œ C ÐGrPr) K devendo as propriedades ser calculadas à temperatura de filme (Tf œ 05ÐT_ T wñ) Quando o problema é calcular a temperatura da parede sendo conhecido o fluxo de calor, o método de cálculo deve ser como explicado de seguida: m m m q œh? T e Nu œhxîk œcððgrî? TÑPrÑ K? T œb? T m com B œ CÐÐGrÎ? TÑPrÑ K Resolvendo estas duas equações para? T, obtem-se:? T œ ÐqXÎkBÑ 1/ Ð 1+m Ñ e Tw œ T_? T Uma primeira aproximação de T w, requerida para o cálculo das propriedades, pode ser feita arbitrando o valor de h

Notas Fenómenos de Transferência - Paulo Oliveira 1 UNIVERSIDADE DA BEIRA INTERIOR CURSOS: EPGI DISCIPLINAS: Fenómenos de Transferência EXAME : Teste! ANO LECTIVO: 4 DATA: 30 Janeiro 1998 (1) Calcule a potência da bomba de água necessária no circuito dado abaixo, para um caudal inicial de 60 litros/minuto Os tubos são de aço comercial e o seu diâmetro é dado na figura As linhas verticais correspondem a diferenças de cotas () Calcule as componentes segundo x e y da força que o óleo (a 80 C) que circula na contração representada em baixo exerce sobre as paredes y é segundo a vertical (3) A temperatura na parede exterior de um tubo horizontal de aço (carbono 1%) é de 130 C, sendo o diâmetro do tubo de 1 polegada A temperatura do ar longe do tubo é de 5 C Se pretendesse isolar termicamente o tubo, diga, justificando quantitativamente, qual dos materiais isolantes escolhia: poliuretano ou polistireno?

Notas Fenómenos de Transferência - Paulo Oliveira Resolução do teste de Fenómenos de Transferência de 30 Jan 1998 PROBLEMA 1 O fluido que circula na instalação representada é água, com massa específica 3 œ 10 3 kg/m 3 e viscosidade œ 10 3 kg/ms Aplicando a equação de Bernoulli entre os pontos 1 e, e tendo em atenção que estes pontos estão dentro dos reservatórios, temos: 1 p 1/ 3 u Î g z 1 w b œ pî3 u Î g z ev 1 onde o trabalho específico da bomba, w b, é considerado como positivo ao ser fornecido à bomba (o sentido esperado para essa transferência de energia) Como os reservatórios estão à pressão atmosférica, temos p1 œ p œ p atm Como a velocidade no centro dos reservatórios é aproximadamente nula, tem-se u1 œ u œ 0 De forma que a equação de Bernoulli se reduz a: w b œ g(z z 1) ev 1 mostrando que o trabalho que é necessário fornecer à bomba deve ser suficiente para fazer a água vencer a diferença de alturas entre 1 e, e compensar a perda de carga total que ocorre entre esses dois pontos O termo de diferença de alturas é: g(z z ) œ 98 (0 10 15) œ 45 m Îs 1 O termo de perda de carga é composto por perdas de carga em linha e perdas de carga pontuais Cálculo das perdas de carga em linha: Começa-se por dividir a instalação em troços ao longo dos quais tanto o diâmetro dos tubos como a velocidade média da água são constantes Troço A: do reservatório ao primeiro T Neste troço o diâmetro do tubo é da œ 508 mm, o comprimento é LA œ 10 0 œ 30m, -3 3 o caudal volúmétrico é Qv œ 60 l/min œ 10 m /s, e a velocidadae média vem: u œ Q Î( 1d /4) œ 049 m/s A v A O número de Reynolds é dado por: Re œ 3 u d Î œ 489 A A A

Notas Fenómenos de Transferência - Paulo Oliveira 3 e sendo maior que 000 mostra que o regime de escoamento é turbulento Neste caso, e para tubos de aço comercial com uma rugosidade de % œ 0046 mm (ver Tabelas), o coeficiente de fricção pode ser calculado da fórmula: 0331 0331 f A œ % 574 œ 0046 574 œ 000669 ÐlnÐ ÑÑ ÐlnÐ ÑÑ 37d Re09 37 508 48909 Troço B: do primeiro T ao segundo T Neste troço o diâmetro do tubo é db œ 381 mm e o comprimento é LB œ 115 m O -3 3 caudal volúmétrico é Qv œ 05 60 l/min œ 05 10 m /s, e a velocidadae média vem: u œ Q Î( 1d /4) œ 044 m/s B v B O número de Reynolds é dado por: Re œ 3 u d Î œ 16764 B B B continuando o regime a ser turbulento O coeficiente de fricção pode ser calculado pela mesma fórmula: 0331 f B œ 0046 574 œ 000738 ÐlnÐ ÑÑ 37 381 16764 09 Troço C: do segundo T ao ponto Neste troço o diâmetro do tubo é dc œ 54 mm e o comprimento é LC œ 50 m O caudal -3 3 volúmétrico é Qv œ 09 30 l/min œ 045 10 m /s, e a velocidadae média vem: u œ Q Î( 1d /4) œ 089 m/s C v C O número de Reynolds é dado por: Re œ 3 u d Î œ 606 C C C continuando o regime a ser turbulento O coeficiente de fricção pode ser calculado pela fórmula: 0331 f C œ 0046 574 œ 00079 ÐlnÐ ÑÑ 37 54 606 09 A perda de carga em linha para os 3 troços fica: C C A B C LA ua LB ub L u e v œ 4 f A 4 f B 4 f 1-linha C œ d d d

Notas Fenómenos de Transferência - Paulo Oliveira 4 œ 1897 865 734 œ 3356 m /s Observe-se que a perda de carga maior é no troço C, embora o seu comprimento seja substancialmente inferior ao do troço B Isto acontece porque a perda de carga é proporcional ao quadrado da velocidade média e esta é maior no troço C (quase o dobro do valor nos primeiros dois troços) Cálculo das perdas de carga singulares (ou pontuais): Os coeficientes de perda de carga (das tabelas) para cada uma das singulariedades existentes no circuito, baseados na velocidade a jusante, são: 1 válvula globo, K œ 10 4 cotovelos standard, K œ 09 1 cotovelo standard (para a bomba de água), K œ 09 T, K œ 18 1 entrada re-entrante, K œ 10 1 saída abrupta, K œ 10 (baseado na velocidade a montante) Como a velocidade média varia ao longo do circuito, ter-se-á de fazer o cálculo singulariedade por singulariedade, ou mais facilmente por troços, ficando: ua ub uc ev 1-singular œð1 09 Ñ Ð18 4 09 10 Ñ Ð18 10 Ñ œ œ 08 1491 1109 œ 88 m /s (Repare-se que no troço A se considera a entrada re-entrante e o cotovelo da bomba; no troço B considera-se o primeiro T, os 4 cotovelos e a válvula globo; no troço C considera-se o segundo T e a saída abrupta) Deste modo a perda de carga total entre os pontos 1 e é dada pela soma do valor em linha e do valor singular, vindo: e œ e e œ 3356 88 œ 36084 m /s v v v 1 1-linha 1-singular Substituinado agora na equação de Bernoulli, obtemos o valor do trabalho específico da bomba de água: w œ 45 36084 811 m /s J/kg, b e a potência da bomba é dada por:

Notas Fenómenos de Transferência - Paulo Oliveira 5 W m w œ 811 W (com m œ 3Q œ 1 kg/s) b œ A b A v Trata-se portanto duma pequena bomba de água, com uma potência de cerca de 038 hp

Notas Fenómenos de Transferência - Paulo Oliveira 6 PROBLEMA As propriedades físicas do óleo obtêm-se das tabelas para a temperatura dada de 80 C, 3-5 massa específica 3 œ 850 kg/m e viscosidade cinemática / œ 375 10 m /s Por conservação da massa o caudal à entrada é igual ao caudal à saída, m m m, 1 œ sendo este caudal mássico dado por m œ 3A u œ 850 Ð101 Î4Ñ 3 œ 0075 kg/s e a velocidade à entrada (ponto 1) vindo: d 100 u 1 œ Ð Ñ u œ Ð Ñ 3 œ 075 m/s d 00 1 O volume da contração é a soma do volume de dois cilindros, um com diâmetro d1 œ 00 mm e comprimento L1 œ 400 mm, e outro com d œ 100 mm e L œ 400 mm, sendo dado por: 1 3 Vol œ Ðd L d L Ñ œ 00157 m 4 1 1 A massa de óleo contida dentro da contração é dada por: m œ 3 Vol œ 13383 kg Depois destes cálculos preliminares, passamos à formulação do problema A força sobre o cilindro F tem componentes F x e F y dadas pela equação da conservação da quantidade de movimento escrita para o volume de controlo que rodeia a contração, e assumindo condições estacionárias: F x œ ÐpA 1 1 pa Ñcos ) mu Ð 1 u Ñ cos ) (1) F œ Ðp A p A Ñsin ) mðu u Ñ sin ) m g () y 1 1 1 5 A pressão à entrada é conhecida, p1 œ 1 b œ 10 N/m A pressão à saída tem de ser obtida da equação de Bernoulli para o escoamento de 1 para : 1 p 1/ 3 u Î g z 1 œ pî3 u Î g z e v 1 (3) que se pode também escrever: p p 3 1 1 1 œ Ðu u Ñ gðz z Ñ e 1 v 1

Notas Fenómenos de Transferência - Paulo Oliveira 7 À partida não se pode desprezar nenhum dos termos, pois não se sabe quais os termos preponderantes O termo de energia cinética é: 1 1 Ðu u Ñ œ 05 Ð3 075 Ñ œ 4188 m /s O termo de energia potencial é: g(z z ) œ gðl L Ñsin ) œ 98Ð04 04ÑsinÐ30 Ñ œ 3900 m /s 1 1 Cálculo da perda de carga em linha: No tubo mais grosso o número de Reynolds é: Re œ u d Î/ œ 075 0Î375 10 œ 4000 1 1 1 e no tubo mais fino: Re œ u d Î/ œ 3 01Î375 10 œ 8000-5 portanto (Re 300) o regime é turbulento em ambos os tubos (embora esteja praticamente no limite da transição de laminar para turbulento) O número de Reynolds é relativamente baixo porque o fluido em causa, o óleo, tem uma viscosidade elevada (10 vezes maior do que a água) Usando a expressão de Blasius para o cálculo do coeficiente de atrito, temos: -5 e 00791 f 1 œ œ 0009946 4000 05 00791 f œ œ 0008364 8000 05 A perda de carga em linha, nos dois cilindros, é dada por: L1 u1 L u e v œ 4f 1 4f œ 003 060 œ 0645 m /s 1-linha d d 1 A perda de carga em linha no cilindro mais fino, e onde por consequência a velocidade média é maior, é bastante superior à perda de carga no cilindro mais grosso Cálculo da perda de carga singular O coeficiente de perda para uma contração súbita é dado por: d K œ 045Ð1 " Ñ œ 045Ð1 Ð Ñ Ñ œ 03375 e o valor da perda de carga singular vem: d 1

Notas Fenómenos de Transferência - Paulo Oliveira 8 u e v œ K œ 03375 3 Î œ 15188 m /s 1-singular A perda de carga total na contração fica: e v œ 0645 15188 œ 1433 m /s, 1 sendo de notar a perda de carga em linha não é de desprezar em comparação com a perda de carga localizada, como se seria tentado fazer à priori Substituindo valores na equação de Bernoulli (3), a diferença de pressões vem: p p 3 1 œ 4188 39 1433 œ 108 m /s, mostrando que todos os três termos são importantes (variação de energia cinética, variação de energia potencial e perda de carga por atritos) A pressão à saída vem dada por: p1 p 5 p œ p 1 3 œ 10 850 108 œ 91395 N/m 3 Podemos agora usar as equações da quantidade de movimento dadas acima (1) e () para calcular as forças: Fx œ 1001 391 œ 0610 N Fy œ 115 6 131 œ 10588 N, onde, seguindo a ordem dos termos em (1) e (), o primeiro termo corresponde às forças de pressão, o segundo à variação do fluxo de quantidade de movimento associado com o caudal mássico, e para F y o terceiro é o peso É observável das equações acima que o termo principal no cálculo das forças é o da diferença de pressões a actuar no plano 1 e O peso não pode ser desprezado, comparativamente aos termos de fluxo de quantidade de movimento Em valor absoluto, a magnitude do vector da força que actua sobre as paredes da contração é: F œ F F œ 3177 N œ 364 kg, É x y um valor considerável O ângulo que esta força faz com a horizontal é obtido de: y x ângulo œ arctanð F Ñ œ 7, F f

Notas Fenómenos de Transferência - Paulo Oliveira 9 que mostra que a força sobre o tubo não está exactamente alinhada com o eixo do tubo (senão o ângulo seria 30 ), estando ligeiramente apontada para baixo devido ao efeito do peso do fluido

Notas Fenómenos de Transferência - Paulo Oliveira 30 PROBLEMA 3 Neste problema tem-se um tubo horizontal de aço que perde calor para o ar que o rodeia A parede do tubo está à temperatura de Tw œ 130 C estando o ar a T_ œ 5 C Para se tentar diminuir as perdas de calor através das paredes do tubo vão ser considerados dois materiais isolantes: poliuretano (k1 œ 006 W/mK) ou polistireno (k œ 017 W/mk) Para se escolher o isolamento precisamos de saber qual o raio crítico para cada um deles, pois só assim saberemos se ao acrescentar o isolamento não estaremos inadvertidamente ao aumentar as perdas de calor Como o raio crítico é definido por R c œ k iso h torna-se necessário calcular o o coeficiente de transmissão de calor h para este problema de convecção natural Cálculo do coeficiente de transmissão de calor por convecção A temperatura de filme é: T T f œ w T _ œ 775 C œ 3505 K Para essa temperatura obtemos das tabelas as seguintes propriedades do ar: Gr 7-3 -1 número de Grashof, œ 6510 10 m K X 3?) condutividade térmica, k œ 003003 W/mk, número de Prandtl, Pr œ 0697 Das tabelas de convecção natural em torno de cilindros horizontais vemos que o comprimento típico X fica igual ao diâmetro do tubo, X œ d œ 0054 m, e a diferença de temperatutas representativa fica igual a?) œ Tw T_ œ 105 Deste modo o número de Grashof vem e 7 3 5 Gr œ 6510 10 0054 105 œ 110 10 GrPr œ 78074, mostrando que o regime é de convecção natural laminar Para este caso, e 05 Nu œ 047 ÐGr Pr Ñ œ 786 knu 003003 786 h œ œ œ 93 W/m K d 0054

Notas Fenómenos de Transferência - Paulo Oliveira 31 Cálculo do raio crítico para cada isolamento: k1 006 Poliuretano, R c1 œ œ œ 0008 m œ 8 mm, h 93 k 017 Polistireno, R c œ œ œ 00183m œ 183 mm h 93 Escolha do isolamento: Como o raio do tubo sem isolamento é R œ dî œ 17 mm vemos que o poliuretano apresenta um raio crítico menor que o raio do tubo, e que o contrário acontece com o polistireno Deste modo, quando se acrescenta poliuretano ao tubo metálico está-se imediatamente a reduzir a perda de calor através das paredes; com o polistireno acontece o contrário: de ínicio a perda de calor até aumenta (sendo máxima quando Riso œ Rc œ 183 mm) e só para valores de R iso bastante maiores que 183 mm é que o isolamento de polistireno começará efectivamente a reduzir a perda de calor A escolha lógica do isolamento, sem entrar com considerações financeiras, é simples: o poliuretano

Notas Fenómenos de Transferência - Paulo Oliveira 3 UNIVERSIDADE DA BEIRA INTERIOR CURSOS: EPGI DISCIPLINAS: Fenómenos de Transferência o EXAME : 1 exame! ANO LECTIVO: 4 DATA: 16 de Fevereiro de 1998 1) Dimensione a bomba de água (caudal e potência) para o circuito dado na figura abaixo Os depósitos estão à pressão atmosférica A rugosidade dos tubos é 01 mm Traços verticais correspondem a variações de altura ) Calcule as componentes segundo x e y da força necessária para segurar o elemento em Y dado na figura Despreze perdas de atrito e considere que o elemento está num plano horizontal O fluido é água 3) Um tubo de aço (k œ 433 W/mK) com 3 m de comprimento, tem " de diâmetro interno, 3" de diâmetro externo e está coberta com uma camada de 1" de isolamento de asbestos (k=008 W/mK) No interior do tubo circula um gás quente, à temperatura média de T œ 30 C, sendo o coeficiente convectivo interior de h œ 84 W/m K A superfície gas exterior do isolamento está exposta ao ar ambiente à tempertura T coeficiente convectivo exterior de h e=17 W/m K i ar œ 38 C, sendo o Calcule a perda de calor para o ambiente (W) Calcule ainda as diferenças de temperatura na parede do tubo e no isolamento

Notas Fenómenos de Transferência - Paulo Oliveira 33 FENÓMENOS DE TRANSFERÊNCIA Resolução do exame de 16//1998 Problema 1 Existem 3 troços onde o diâmetro do tubo e o caudal de água são constantes: Troço 1: do reservatório de partida (ponto 1) até ao "T" (ponto 4); diâmetro, d1 œ '' œ 508 mm -3 3 caudal, Qv1 œ 30+40=70 l/min= 1167 10 m /s velocidade média, u- 1 œ Q v1/( 1d 1 /4) œ 0576 m/s número de Reynolds, Re d u - 1 œ 3 1 1/ œ 961 Ê regime turbulento 3-3 (nota, massa específica da água, 3 œ 1000kg/m, viscosidade, œ 10 kg/ms) Troço : do "T" (ponto 4) ao reservatório de 30 l/min (ponto ); diâmetro, d# œ 1'' œ 54 mm -4 3 caudal, Qv œ 30 l/min = 50 10 m /s velocidade média, u- œ Q v/( 1d /4) œ 0987 m/s número de Reynolds, Re œ 3 d u - / œ 5070 Ê regime turbulento Troço 3: do "T" (ponto 4) ao reservatório de 40 l/min (ponto 3); diâmetro, d3 œ 15'' œ 381 mm -4 3 caudal, Qv3 œ 40 l/min = 6667 10 m /s velocidade média, u- 3 œ Q v3/( 1d 3 /4) œ 0585 m/s número de Reynolds, Re œ 3 d u - / œ 89 Ê regime turbulento 3 3 3 Cálculo das perdas de carga em linha: Troço 1: Ðe ) œ 4 f v1-4 linha 1 L1 ū1 d 1 sendo o comprimento do troço de L1 œ 50 m, e onde o factor de atrito (% œ 01 mm) é dado por: 0331 f 1 œ œ 70951 10 ÐlnÐ% Î37d 1 574ÎRe1!* # ÑÑ Fica: Ðe ) œ 4634 m /s v1-4 linha -3 mm): Troço : o comprimento do troço é de L œ 49 m e o factor de atrito (% œ 01 0331 f œ œ 81309 10 ÐlnÐ% Î37d 574ÎRe!* # ÑÑ -3

Notas Fenómenos de Transferência - Paulo Oliveira 34 Fica: Ðe ) œ 30561 m /s v4- linha mm): Troço 3: o comprimento do troço é de L3 œ 114 m e o factor de atrito (% œ 01 0331 f 3 œ œ 7683 10 ÐlnÐ% Î37d 3 574ÎRe3!* # ÑÑ Fica: Ðe ) œ 15733 m /s v4-3 linha -3 Cálculo das perdas de carga pontuais: e v œ K ū Troço 1 (de 1-4): entrada re-entrante, K=10 bomba (= válvula gate), K=0 1 cotovelo 90, K œ 09 (e ) œ Ð1 0 09 Ñ 0576 / œ 0348 m /s v1-4 pontual Troço (de 4 -): "T", K=18 válvulas globo, K=10 1 cotovelo 90, K œ 09 1 saída, K œ 10 (e ) œ Ð18 10 09 10 Ñ 0987 / œ 11544 m /s v4- pontual Troço 3 (de 4-3): "T", K=18 1 válvula globo, K=10 6 cotovelos 90, K œ 09 saída, K œ 1 (e ) œ Ð18 10 6 09 10 Ñ 0585 / œ 3114 m /s v4-3 pontual Aplicação da equação de Bernoulli entre os pontos 1 e (dentro dos respectivos reservatórios): p1 u1 p u g z w g z e, 3 1 b1- œ 3 v1- Como p1 œ p œ pressão atmosférica, e u1 œ u œ 0 (no centro dos reservatórios a água pode considerar-se como estando parada), o trabalho específico da bomba fica: w b1- œ gðz z 1Ñ e v1-

Notas Fenómenos de Transferência - Paulo Oliveira 35 A perda de carga é dada pela soma entre 1-4 e 4- das perdas de carga em linha e pontuais, e v1- œ e v1-4 e v4- œ Ð4634 0348 Ñ Ð30561 11544 Ñ œ œ 498 4105 œ 47087 m /s A energia potencial é gðz z Ñ œ 9,8 9 œ 84 m /s 1 w œ 84 47087 œ 33187 m /s b1- Da mesma forma, a equação de Bernoulli entre os pontos 1 e 3 (dentro dos reservatórios) dá: w b1-3 œ gðz3 z 1Ñ e v1-3, com e e v1-3 œ e v1-4 e v4-3 œ 498 Ð30561 11544 Ñ œ œ 498 18847 œ 389 m /s gðz z Ñ œ 9,8 30 œ 94 m /s 3 1 portanto: w œ 31789 m /s b1-3 Estes resultados mostram que a energia específica requerida para vencer as perdas de carga e variações de altura é maior no percurso entre 1 e (isto acontece sobretudo devido ao reduzido diâmetro do tubo que induz uma velocidade média maior e, por consequência, perdas de carga ainda bastante maiores, pois estas são proporcionais ao quadrado da velocidade) O trabalho específico da bomba será assim de: w œ w œ 33187 kj/kg b b1- O caudal que a bomba tem de movimentar é de: -3 mbomba œ 3 Q v1 œ 1000 1167 10 œ 1167 kg/s, e a potência da bomba será: W bomba œ m bomba w b œ 387 W