SISTEMA CARTESIANO BIDIMENSIONAL GA116 Sistemas de Referência e Tempo Profª. Érica S. Matos Departamento de Geomática Setor de Ciências da Terra Universidade Federal do Paraná -UFPR
EXERCÍCIO: DETERMINE A ÁREA DO GALPÃO As seguintes medidas foram Feitas por irradiação, a partir do ponto B: dh = di sen Z Ponto ocupado B Ponto Direção Observado Horizontal A 15 14 28 C 305 08 37 D 324 33 02 E 340 01 40
1. Determinação dos ângulos α e β Diferença de direções α = l D l c = 324 33 02" 305 08 37" α = 19 24 25" β = l E l D = 340 01 40" 324 33 02" β = 15 28 38"
2. Aplicação da lei dos cossenos no ΔBCD para determinar o lado a lei dos cossenos no triângulo BCD a = dh 2 BC 2 + dh BD 2. dh BC. dh BD. cos α a = 95, 000 m
3. Aplicação da lei dos cossenos no ΔBDE para determinar o lado b lei dos cossenos no triângulo BDE b = 2 dh BD + dh 2 BE 2. dh BD. dh BE. cos β b = 55, 000 m
4. Cálculo da área A = a b = 95, 000 m 55, 000 m A = 5225, 000 m 2 A
E se quisesse determinar coordenadas XY dos pontos D, C e E, para calcular o comprimento dos lados? Adotar um sistema de referência Ponto ocupado B Ponto Direção Observado Horizontal A 15 14 28 C 305 08 37 D 324 33 02 E 340 01 40
E se quisesse determinar coordenadas XY dos pontos D, C e E, para calcular o comprimento dos lados? Y Az X 1. Origem arbitrada (Ponto B) 2. Determinar Azimutes (Como??) Muitos cálculos... Mas e se...
E se quisesse determinar coordenadas XY dos pontos D, C e E, para calcular o comprimento dos lados? 1. Origem arbitrada (Ponto B) Az X 2. Determinar Azimutes ~ direções Y Mais fácil?
Sistema cartesiano bidimensional é a base das soluções planimétricas (ou de duas dimensões) Superfície: plano normal à vertical do lugar Efeito do vetor da gravidade (g) Fio de prumo (Equilíbrio e repouso) Porção limitada da terra NBR13133 80 km de extensão Uso de trigonometria plana Curvatura terrestre é desprezada Posições projetadas ortogonalmente no plano g
n : normal do plano n g
Projeção dos elementos do terreno Vinculados à coordenadas num sistema de referência conhecido
PROBLEMA FUNDAMENTAL DA PLANIMETRIA Transformar sistemas POLAR CARTESIANO (Az, dh) (X,Y) Variações entre pontos 1 e 2 sen Az 12 = ΔX 12 dh 12 ΔX 12 = dh 12. sen Az 12 cos Az 12 = ΔY 12 dh 12 ΔY 12 = dh 12. cos Az 12 Coordenadas do ponto 2 (em função do ponto 1) X 2 = X 1 + ΔX 12 X 2 = X 1 + dh 12. sen Az 12 Y 2 = Y 1 + ΔY 12 Y 2 = Y 1 + dh 12. cos Az 12
PROBLEMA INVERSO DA PLANIMETRIA Transformar sistemas CARTESIANO POLAR (X,Y) (Az, dh) Azimute da direção 1-2 tan Az 12 = ΔX 12 ΔY 12 Az 12 = arctan ΔX 12 ΔY 12 = arctan X 2 X 1 Y 2 Y 1 (+ análise de quadrante) Distância horizontal da direção 1-2 (distância euclidiana no plano) dh 12 = ΔX 2 12 + ΔY 2 12 = X 2 X 2 1 + Y 2 Y 2 1
Azimute e contra azimute de uma direção N Pirâmide de Quéops Q Pirâmide de Gizé N Az QG Az QG = Az GQ ± 180 Só para a Terra Plana! G Az GQ Na Terra curva é preciso compensar o efeito da curvatura
ATENÇÃO: Vários tipos de norte Norte geodésico (verdadeiro) Norte magnético Declinação magnética δ Convergência meridiana ξ Norte de quadrícula
Determinar ângulos de rotação (TP01) Determinar o ângulo de rotação para que o azimute direção 1-2 tenha o mesmo valor do azimute da direção 3-4 N Az 12 1 4 1º Calcular os azimutes das direções de interesse N 2 3 Az 34
Determinar ângulos de rotação (TP01) Determinar o ângulo de rotação para que o azimute direção 1-2 tenha o mesmo valor do azimute da direção 3-4 4 2º Faça um esboço das direções, considerando os pontos 1 e 3 coincidentes N Az 34 1 3 Az 12 2
Determinar ângulos de rotação (TP01) Determinar o ângulo de rotação para que o azimute direção 1-2 tenha o mesmo valor do azimute da direção 3-4 Final Inicial 4 3º Determine o ângulo de rotação θ = Az 34 Az 12 N Az 34 1 3 Az 12 θ 2
Sistema cartesiano bidimensional Mas, não é aplicado apenas para planos horizontais! Exemplos Estimativas estruturais Fotogrametria terrestre... Qualquer problema/fenômeno a ser estudado cuja variação principal ocorre em duas dimensões
EXERCÍCIO Qual a inclinação α estimada para a Torre de Pisa? X B PONTO X(m) Y(m) A -17 40 B 40 40 C -17 44 α Y C A
EXERCÍCIO Qual a inclinação α estimada para a Torre de Pisa? X B ΔX = X B X A ΔX = 40 17 ΔX = 57, m PONTO X(m) Y(m) A -17 40 ΔX ΔY = Y C Y A ΔY = 44 40 ΔY = 4 m B 40 40 C -17 44 α α = arctan ΔY ΔX Y C ΔY A α = arctan 4 57 α 4
EXERCÍCIO Seja o alinhamento formado pelos pontos A e B, cujas coordenadas são: PONTO X(m) Y(m) A 1.567,922 893,741 B 234,605 1.753,258 Pede-se: a) Determinar a coordenada de um ponto C que pertence ao alinhamento A-B e está 378,432 m distante do ponto A; b) Verificar se os pontos D e E pertencem ao alinhamento A-B: PONTO X(m) Y(m) D 1.198,439 1.150,612 E 1.089,680 1.202,038 c) Fazer um esboço da posição do alinhamento A-B e dos pontos C, D e E
EXERCÍCIO SOLUÇÃO (item a) 1. Determinar o azimute do alinhamento A-B Az AB = 302 48 27,6" 2. Para o ponto C pertencer ao alinhamento A-B a seguinte condição é válida: Az AB = Az AC = 302 48 27,6" 3. Pode-se determinar as coordenadas do ponto C, sabendo que dh AC = 378,432 m X C = X A + dh AC sen Az AC X C = 1.249,852 m Y C = Y A + dh AC cos Az AC Y C = 1.098,783 m
EXERCÍCIO SOLUÇÃO (item b) 1º REQUISITO Se os pontos D e E pertencem ao alinhamento, suas coordenadas X e Y devem estar abrangidas no intervalo definido por A e B. PONTO X(m) Y(m) A 1.567,922 893,741 D 1.198,439 1.150,612 E 1.089,680 1.202,038 B 234,605 1.753,258 OK
EXERCÍCIO SOLUÇÃO (item b) 2º REQUISITO 1. Os azimutes das direções A-D; A-E devem ser iguais ao azimute do alinhamento original, que é: Az AB = 302 48 27,6" 2. Calcula-se os azimutes das direções: Direção A-D Az AD = 304 48 27,6" não pertence ao alinhamento A-B Direção A-E Az AE = 302 48 27, 7" pertence ao alinhamento A-B incerteza devido ao processo de cálculo
EXERCÍCIO SOLUÇÃO (item c) B E D C N A Az AB