PROGRAMA DE MATEMÁTICA 12ª Classe

D42 PROGRAMA DE MATEMÁTICA 12ª Classe PRÉ-ESCOLAR Formação de Professores para o Pré-Escolar e para o Ensino Primário

Ficha Técnica Título Programa de Matemática - 12ª Classe Formação de Professores para o Pré-Escolar e para o Ensino Primário Editora Editora Moderna, S.A. Pré-impressão, Impressão e Acabamento GestGráfica, S.A. Ano / Edição / Tiragem / N.º de Exemplares 2013 / 2.ª Edição / 1.ª Tiragem / 2.000 Ex. E-mail: geral@editoramoderna.com 2013 EDITORA MODERNA Reservados todos os direitos. É proibida a reprodução desta obra por qualquer meio (fotocópia, offset, fotografia, etc.) sem o consentimento escrito da editora, abrangendo esta proibição o texto, as ilustrações e o arranjo gráfico. A violação destas regras será passível de procedimento judicial, de acordo com o estipulado no código dos direitos de autor.

ÍNDICE Introdução ----------------------------------------------------------------------- 4 Objectivos Gerais --------------------------------------------------------------- 5 Objectivos Específicos ---------------------------------------------------------- 6 Distribuição das Aulas por Trimestre ------------------------------------------- 7 Conteúdos Programáticos ------------------------------------------------------ 8 Sugestões Metodológicas ------------------------------------------------------- 12 Avaliação ----------------------------------------------------------------------- 14 Bibliografia --------------------------------------------------------------------- 15 3

12ª CLASSE INTRODUÇÃO A realização deste programa corresponde aos objectivos da escola e da matemática do ensino secundário, em particular da formação de professores para o pré-escolar, que exige o máximo aproveitamento das possibilidades que abarca o ensino desta ciência no processo docente-educativo. Um aspecto fundamental corresponde ao desenvolvimento do aluno, das suas capacidades mentais, como criativa e imaginativa, assim como a formação de hábitos de disciplina, perseverança e tenacidade. O trabalho de investigação efectuado possibilitou um estudo profundo e pormenorizado da concepção da disciplina, da sua estrutura, bem como dos conteúdos fundamentais desta classe, levando a concluir que os aspectos expostos nos conteúdos das unidades a leccionar despertarão o aluno para uma actividade mais activa nesta disciplina. As unidades a serem leccionadas possibilitarão ao formando, futuro professor, perceber melhor os conteúdos que, no futuro, terá que ensinar aos seus alunos, muito particularmente na resolução de problemas no ensino da geometria. O aluno deverá possuir conhecimentos sólidos, que o levarão a dominar melhor a ciência matemática e, como consequência, a dar prosseguimento aos seus estudos. Apesar do formando ter que, mais tarde, trabalhar com os seus futuros alunos com os números Q, terá conhecimento que o conjunto R, dos números Reais é um subconjunto dos números Complexos C. O programa possui quatro unidades e todas terminam com uma prova escrita. Este programa não contém um plano detalhado de provas escritas, mas estas devem ser planificadas pelo professor sempre que for necessário, numa perspectiva formativa, no sentido de promover o sucesso escolar. 4

PROGRAMA DE MATEMÁTICA OBJECTIVOS GERAIS Dominar os conceitos de sucessões, limites de sucessões, cálculo diferencial, cálculo integral e números complexos; Dominar as definições ligadas à: Sucessões numéricas, limites de sucessões; Cálculo diferencial; Cálculo integral; Corpo de números complexos. Consolidar os distintos sinais que intervêm nas operações anteriores de: Sucessões numéricas, limites de sucessões numéricas; Cálculo diferencial; Cálculo integral. Aplicar as noções de sucessão, cálculo de limites de sucessão, cálculo de derivadas, integrais, números complexos, as suas propriedades e relações existentes entre elas; Compreender as distintas propriedades que intervêm no cálculo de sucessões numéricas, limites de sucessões numéricas, cálculo de derivadas, cálculo integrais indefinidas e definidas, e números complexos; Desenvolver capacidades, habilidades e hábitos de trabalho com formúlas que intervêm nas distintas operações; Desenvolver habilidades nas operações de sucessões e limites de sucessões numéricas, cálculo diferencial, cálculo integral e números complexos; Dominar a representação gráfica, números complexos, assim como do plano de Argand; Aplicar as distintas regras de cálculo de derivadas; Compreender o cálculo de integrais indefinidas e integrais definidas. 5

12ª CLASSE OBJECTIVOS ESPECÍFICOS Demonstrar o cálculo de integral indefinida e definida. Usar as distintas regras e propriedades de cálculo de derivadas, integrais, números complexos e limites de sucessões; Conhecer as propriedades para o cálculo de derivadas, integrais, números complexos e limites de sucessões; Diferenciar a integral indefinida e a definida; Demonstrar as propriedades intervenientes no cálculo de sucessões numéricas, derivadas, integrais e números complexos. 6

PROGRAMA DE MATEMÁTICA DISTRIBUIÇÃO DAS AULAS POR TRIMESTRE 3 aulas semanais por trimestre, equivalentes a 111 aulas por ano. 1º TRIMESTRE 14 semanas lectivas, para um total de 42 aulas. Unidade I - Sucessões Numéricas. Limites de Sucessões e Limite de Funções Reais de Variável Real... 22 aulas Unidade II - Cálculo de Diferencial... 20 aulas 2º TRIMESTRE 12 semanas lectivas, para um total de 36 aulas. Unidade III - Cálculo de Integral... 36 aulas 3º TRIMESTRE 11 semanas lectivas, para um total de 33 aulas. Unidade IV - Corpo dos Números Complexos C... 33 aulas 7

12ª CLASSE CONTEÚDOS PROGRAMÁTICOS 1º TRIMESTRE 16 semanas sendo 14 semanas lectivas, para um total de 42 aulas. Unidade I - Sucessões Numéricas. Limites de Sucessões e Limite de Funções Reais de Variável Real... 25 aulas Revisão do conceito de sucessão Sucessão (Definição) Sucessão Monótona Conceito de subsucessão Limite de uma sucessão Vizinhança de um número Classificação das sucessões Sucessão convergente e divergente... 4 aulas... Unidade de limite Infinitésimos Sucessão limitada Definições gerais de infinitamente grande Infinitamente grande positivo Infinitamente grande negativo Infinitamente grande Teorema sobre infinitésimos e infinitamente grande Álgebra dos limites (propriedades operatórias) Teorema da soma Teorema da diferença Teorema da multiplicação Teorema do quociente Teorema da potência Teorema da raiz... 8 aulas... 8

PROGRAMA DE MATEMÁTICA Limites do quociente; quando o divisor é um infinitésimo Símbolo de indeterminação Indeterminação do tipo 0 0 Limites de um polinómio Indeterminação do tipo 1.Limite do quociente de dois polinómios Indeterminação do tipo 0 x 1Indeterminação do tipo x Indeterminação do tipo _ Indeterminação do tipo 1 Indeterminação do tipo º Indeterminação do tipo 0º... 4 aulas... Limite de funções reais de variável real Ponto de acumulação e ponto isolado Definição de limite segundo Heine e segundo Cauchy Definição de limite de uma função real de variável real Álgebra dos limites (operatórias)... 7 aulas... Reserva... 2 horas Unidade II - Cálculo de Diferencial... 20 aulas Conceito de derivada Derivada de uma função num ponto Função derivada Método geral do cálculo de derivadas Interpretação física da derivada. Velocidade e aceleração. Taxa de variação Interpretação geométrica da derivada 9

12ª CLASSE Inclinação e declive ou coeficiente angular de uma recta Casos particulares do estudo das rectas Recta que passa pela origem das origem dos eixos coordenados Rectas paralelas aos eixos Equação da recta que passa por um dado ponto e tem um dado declive... 8 aulas... Equação da recta a uma curva num ponto Derivabilidade e continuidade Derivadas laterais Regras de derivação Derivada de uma constante Derivada da variável independente Derivada da soma Derivada de um produto Derivada do produto de uma constante por uma função... 6 aulas... Derivada de uma potência de expoente natural Derivada de um quociente. Casos particulares Derivada de uma potência de expoente inteiro racional Derivada de uma função composta ou função da função... 6 aulas... 2º TRIMESTRE 14 semanas sendo 12 semanas lectivas, para um total de 36 aulas. Unidade III - Cálculo de Integral... 36 aulas Função primitiva Integral indefinido Constante de integração Fórmulas de integração. Integrais imediatas Integral definido... 36 aulas... 10

PROGRAMA DE MATEMÁTICA 3º TRIMESTRE 14 semanas sendo 11 semanas lectivas, para um total de 33 aulas. Unidade IV - Corpo dos Números Complexos C... 33 aulas Definição de conjunto dos números complexos Representação geométrica dos números complexos. Forma trigonométrica Operações com números complexos Adição de números complexos Subtracção de números complexos Multiplicação de números complexos Divisão de números complexos Potenciação e radiciação Representação gráfica Conjunto do plano de Argand definido por condições envolvendo números complexos... 33 aulas... 11

12ª CLASSE SUGESTÕES METODOLÓGICAS Com vista à obtenção de resultados que satisfaçam o plano traçado pelas estruturas superiores da educação, é óbvio que os professores desta disciplina devem utilizar métodos, meios e princípios didácticos adequados, que facilitem a resolução dos problemas e situações problemáticas que surgem no decurso do processo de ensino/aprendizagem. Como o formando já possui alguns conhecimentos sobre a Unidade I, adquiridos no ano anterior, o professor não terá muita dificuldade em dar os primeiros passos, uma vez que as primeiras lições constituirão revisão dos conteúdos já conhecidos - conceito de sucessão numérica, sucessão monótona, progressão aritmética e geométrica e limite da sucessão numérica - logo, a sua tarefa estará mais facilitada. O professor deve, em todas as unidades, dar aos alunos exercícios exequíveis partindo do simples para o complexo, uma vez que os conteúdos desta classe não são de tão fácil compreensão. As motivações devem ser feitas com base em situações concretas e que orientam facilmente o aluno para os objectivos, suscitando o interesse em aprender os novos conteúdos. O uso de sinais e símbolos como, indeterminações, derivada e integral, devem ser devidamente esclarecidos pelos professores e assimilados pelos alunos. É importante frisar que, os teoremas devem ser explicados e demonstrados. Para tal, o professor usará todos os meios, métodos e princípios para induzir o aluno na percepção e assimilação dos mesmos. Urge referir que, no campo dos números complexos, o professor deverá rever o círculo trigonométrico de forma a possibilitar aos alunos o melhor entendimento desta unidade. É importante dizer que, de acordo com a revisão, o professor não deve esquecer que a localização dos diferentes ângulos no círculo trigonométrico é um conteúdo importante para o estudo dos números complexos. 12

PROGRAMA DE MATEMÁTICA As propriedades, que regem as operações com números complexos, devem ser também bem esclarecidas, tendo em linha de conta a complexidade deste tema. O professor não deve esquecer nunca de tornar a matéria o mais acessível possível. O estudo das sucessões não deve ser aprofundado devido à exiguidade de tempo, pois é um conteúdo para conhecimento geral. Os teoremas devem ser bem conhecidos pelos alunos para a sua aplicação. Este programa, relativamente à distribuição de conteúdos está elaborado de forma detalhada para possibilitar ao professor saber concretamente o que vai leccionar. Apesar da unidade I ser extensa, esta é facilmente administrada. No cálculo de derivadas, o professor não deve perder muito tempo nas questões teóricas, deverá aproveitar o pouco tempo que possui para praticar, tendo em conta as regras básicas existentes para o cálculo de derivadas. Relativamente à distribuição de conteúdos, este programa está elaborado de forma detalhada, para possibilitar que o professor saiba, concretamente, o que vai leccionar. Relativamente ao cálculo integral, o professor deve fazer com que os alunos aprendam e saibam aplicar as regras básicas de cálculo. Como se vê, esta unidade (III) é bastante curta e dará possibilidades ao professor de pôr os alunos a exercitarem bastante. No que diz respeito aos números complexos, o professor deve preocupar-se em fazer com que os alunos conheçam e saibam aplicar as distintas fórmulas e regras básicas para o estudo destes números, particularmente nas operações. Em suma, as duas unidades que constituem o 2º semestre não devem ser aprofundadas. 13

12ª CLASSE AVALIAÇÃO Com a avaliação, que é o ponto mais alto do processo de ensino aprendizagem, o professor vai ter a possibilidade de verificar o grau de cumprimento dos objectivos propostos, tanto através da avaliação formativa, como da sumativa (por ex.: com uma prova no fim de cada capítulo). Como se disse na introdução, não se programou a avaliação contínua (escrita ou oral), mas o professor deverá promover esta actividade sempre que verificar que o conteúdo leccionado possa ser avaliado. Para um melhor êxito na avaliação, o professor deverá fazer com que os alunos realizem vários exercícios e, se possível, incluir a avaliação de exercícios efectuados em grupo, tendo em conta a complexidade das unidades inseridas nesta classe. Todas as provas escritas, planificadas superiormente e pelo professor, devem ser de carácter obrigatório e o resultado deve ser comentado na turma, de forma a possibilitar que os alunos saibam em que estado se encontram. Os resultados devem também servir de reflexão ao professor da sua prática pedagógica, permitindo inserir correcções no processo de ensino/aprendizagem. De acordo com o tempo que o professor convive com os alunos, ele deve ser o máximo sensível em relação aos mesmos, pois será capaz de compreender todas as habilidades matemáticas de cada aluno, melhor do que qualquer teste já inventado. Ao efectuarem-se avaliações, estas devem assim subordinar-se aos conteúdos leccionados e aos objectivos traçados. 14

PROGRAMA DE MATEMÁTICA BIBLIOGRAFIA AYRES JR, Frank - Cálculo Diferencial e Integral, Colecção SCHÂUM. BARENENKOV, G.; DEMIDOVITCH, B. & outros - Problemas e Exercícios de Análise Matemática. BRONSTEIN, I.; SEMENDIAEV, K. - Manual de Matemática para Engenheiros e Estudantes. Editorial Mir - Moscovo. COLECÇÃO OBJECTIVO - (Sistema de Método de Aprendizagem) Álgebra I - livro 36. FREITAS, A. César de; COIMBRA, Elvira; GOMES, Francelino - Matemática 12º ano de escolaridade, volume I (antigo 7º ano). GARCIA, Maria M.; ANJOS, Alfredo O. dos; RUIVO, António F. - Compêndio de Matemática 2º ano, 2º volume, curso complementar. KUDRIÁVTSEV, L. D. - Curso de Análise Matemática, Tomo 1, Editorial Mir - Moscovo LIMA, Yolanda; GOMES, Francelino - Xeq Mat - Matemática 11º. NEVES, Maria A. F.; VIERA, Maria T. C; ALVES, Alfredo G. - 11º Ano, volume 2, Porto Editora. PISKUNOV, N. - Cálculo diferencial e Integral. SANTOS, Fernando Borja - Cálculo diferencial, IV volume. SANTOS, Fernando Borja - Números Complexos, Editorial Pueblo y Educacion - Cuba Matemática - II. SILVA, J. Sebastião e; PAULO, J. D. da Silva - Compêndio de Álgebra - 1º Tomo, Ano do C.C. 15