MATEMÁTICA 11ª Classe

Transcrição

1 C9 PROGRAMA DE MATEMÁTICA 11ª Classe 2.º CICLO DO ENSINO SECUNDÁRIO GERAL ÁREA DE CIÊNCIAS HUMANAS

2 Ficha Técnica Título Programa de Matemática - 11ª Classe (Área de Ciências Humanas) Editora Editora Moderna, S.A. Pré-impressão, Impressão e Acabamento GestGráfica, S.A. Ano / Edição / Tiragem 2014 / 2.ª Edição / Ex. [email protected] 2014 EDITORA MODERNA Reservados todos os direitos. É proibida a reprodução desta obra por qualquer meio (fotocópia, offset, fotografia, etc.) sem o consentimento escrito da editora, abrangendo esta proibição o texto, as ilustrações e o arranjo gráfico. A violação destas regras será passível de procedimento judicial, de acordo com o estipulado no código dos direitos de autor.

3 ÍNDICE Introdução Geral à Disciplina no Ciclo Objectivos Gerais do 2º Ciclo do Ensino Secundário de Matemática Objectivos Gerais da Disciplina de Matemática da 11ª Classe para a Área de Ciências Humanas Esquema Programático (11ª Classe) Temas / Conteúdos Avaliação Bibliografia

4 11ª CLASSE INTRODUÇÃO GERAL À disciplina no ciclo A disciplina de Matemática contribui para a realização dos objectivos gerais da geração jovem através da utilização de meios específicos da ciência matemática. Sendo assim, a Lei de Bases do Sistema de Educação define o Sistema Educativo como um conjunto de estruturas e modalidades, através das quais se realiza a educação que proporciona a formação harmoniosa e integral da personalidade, com vista à consolidação de uma sociedade progressista e democrática. Neste programa apresentam-se temas que proporcionam ao professor uma visão global e planificada. Assim, cada tema compreende uma lista de itens, a saber: pré-requisitos, objectivos, conteúdos, meios, sugestões metodológicas, gestão de tempo e instrumentos de avaliação. Neste programa desenvolveu-se um subtema básico na planificação para cada tema, dando desta maneira ao professor uma ideia de como desenvolver a planificação da sua aula. Das sugestões dadas, o professor escolherá as que lhe pareçam mais oportunas e adequadas. 4

5 PROGRAMA DE MATEMÁTICA Objectivos Gerais DO 2º CICLO DO ENSINO SECUNDÁRIO de matemática O ensino da Matemática no 2.º ciclo, deverá desenvolver nos alunos, os seguintes objectivos: 1. Consolidar e alargar os conhecimentos e capacidades adquiridas no Ensino Primário e no 1º ciclo do Ensino Secundário. 2. Contribuir para a criação de condições científicas e intelectuais necessárias no Ensino Superior. 3. Introduzir intensamente os métodos de pensamento do trabalho científico. 4. Apreciar o contributo da Matemática na evolução científica. 5. Usar correctamente o vocabulário específico e a simbologia matemática. 6. Aperfeiçoar as capacidades de definir, demonstrar, reconhecer e sistematizar problemas matemáticos. 7. Estudar sensivelmente as dificuldades de julgar com base nas capacidades adquiridas. 8. Criar as bases para o hábito da pesquisa científica. 5

6 11ª CLASSE OBJECTIVOS GERAIS DA DISCIPLINA DE MATEMÁTICA DA 11ª CLASSE PARA A ÁREA DE CIÊNCIAS HUMANAS Ampliar os conhecimentos dos alunos sobre ângulos e medida de ângulos mediante a generalização do conceito de ângulo e a introdução do sistema circular de medida de ângulos; Conhecer as razões trigonométricas para ângulos agudos num triângulo rectângulo e desenvolver a capacidade de aplicá-las no cálculo de triângulos e na solução de problemas relacionados com a vida prática; Conhecer a fórmula fundamental da trigonetria (sen 2 α + cos 2 α = 1) a partir do triângulo rectângulo e ser capaz de utilizá-la na dedução de outras fórmulas secundárias, como sejam 1+ 1 tg 2 α = 1 ou 1 tg 2 α + sen 2 α cos 2 α ; Desenvolver a capacidade de deduzir e demonstrar diferentes expressões trigonométricas e habilidades de cálculo com tábuas trigonométricas; Compreender o conceito de função seno e as suas variantes mais importantes, como a função da forma y = a senα, identificá-las a partir da sua representação gráfica e aplicá-las na resolução de problemas; Compreender as funções co-seno, tangente e co-tangente, assim como as suas propriedades e representação gráfica, a partir dos conhecimentos e capacidades adquiridas no estudo da função seno; Compreender equações trigonométricas; Reconhecer os números infinitamente grandes, infinitésimos e progressões aritméticas ou geométricas associadas à resolução de problemas; Interiorizar os conceitos de sucessões quanto à monotonia, aos majorantes, aos minorantes e ao limite; Analisar termos que obedecem a uma condição dada; Fazer o estudo intuitivo da sucessão de termo geral 1+ 1 n de modelação matemática. Primeira definição do número E; n num contexto 6

7 PROGRAMA DE MATEMÁTICA Dominar o conceito intuitivo de limite de uma sucessão, criando habilidades de cálculo; Reconhecer o surgimento de indeterminações nas operações com limites de sucessões e dominar os procedimentos que conduzam ao levantamento de tais indeterminações; Compreender o conceito de limite de uma função e saber aplicá-lo no seu cálculo; Conhecer as propriedades dos limites das funções e interpretá-las graficamente; Dominar o cálculo dos limites das funções e ser capaz de levantar indeterminações; Criar habilidades de cálculo de limites de expressões exponenciais, logarítmicas e trigonométricas; Reconhecer uma função contínua e as suas propriedades; Conhecer o teorema de Bolzano Cauchy e aplicá-lo no cálculo de assímptotas; Compreender o conceito de derivada de uma função, as suas regras e a interpretação geométrica. 7

8 11ª CLASSE ESQUEMA PROGRAMÁTICO (11ª CLASSE) Área de Ciências Humanas 30 Semanas / Ano Escolar 2 Aulas / Semana Total 60 aulas / Ano Dosificação 1º TRIMESTRE Tema 1 - Trigonometria aulas Tema 2 - Sucessões e limites de sucessões. Indução matemática... 3 aulas 2º TRIMESTRE Tema 2 - Sucessões e limites de sucessões. Indução matemática... 7 aulas Tema 3 - Limites de funções e continuidade de funções aulas 3º TRIMESTRE Tema 3 - Limites de funções e continuidade de funções... 2 aulas Tema 4 - Derivadas aulas 8

9 PROGRAMA DE MATEMÁTICA Tema 1 - Trigonometria TEMAS / CONTEÚDOS 1.1. Medidas de um ângulo. Generalização da noção de ângulo. As razões trigonométricas. Medida de um ângulo. Generalização da noção de um ângulo. As razões trigonométricas para ângulos agudos. Fórmulas e resultados de referência. Resolução de triângulos As funções trigonométricas y = sen α, y = cos en α, = tg α para quaisquer ângulos. Equações trigonométricas. Redução ao 1º quadrante. As funções trigonométricas no círculo trigonométrico. As funções trigonométricas num referencial em que a amplitude do ângulo é a abcissa. Função seno. Função co-seno. Função tangente. Transformações dos gráficos das funções trigonométricas Equações trigonométricas. Equações do tipo sen α = a Equações do tipo cos α = a Equações do tipo tg α = a Redução ao 1º quadrante. Tempo aulas Sugestões metodológicas: Para iniciar este tema, devem propor-se aos alunos problemas variados ligados a situações concretas, onde apliquem métodos trigonométricos (problemas ligados a sólidos, moldes, navegação, topografia, história), de modo a que percebam a importância da trigonometria para as várias ciências. Caso possuam calculadoras, os alunos têm a possibilidade de se preocupar menos com os cálculos e mais com a compreensão do problema. 9

10 11ª CLASSE A menos que possuam calculadoras, os alunos não devem trabalhar no cálculo de ângulos e arcos generalizados, embora seja importante que conheçam alguns valores exactos das funções trigonométricas, para poder confirmar pontos do traçado dos seus gráficos. Depois de compreendidas as relações referidas por observação no círculo trigonométrico, deve evitar-se a realização de exercícios repetitivos de puras técnicas de cálculo e rotina. É importante que os alunos verifiquem que se mantêm as relações: sen 2 + cos 2 x = 1, tgx = senx cos x e 1 1+ tg 2 x = cos 2 e que sejam usadas na x determinação de outras funções trigonométricas. O professor deve seleccionar, para resolução, as equações trigonométricas mais simples, do tipo sen(kx) = sen α, cos(kx + a) = cos α e tg(kx) = tg α. Deve fazer-se referência ao seno e co-seno como funções reais de variável real e aos gráficos dessas funções trigonométricas. 10

11 PROGRAMA DE MATEMÁTICA Tema 1 - Trigonometria para quaisquer ângulos. Subtema: As funções trigonométricas y = sen α, y = cos α e y = tg α Objectivo(s) geral(ais): Compreender os conceitos das funções seno, co-seno e tangente para quaisquer ângulos. Pré-requisitos: Conhecer as razões trigonométricas de ângulos agudos. Conhecer: Seno; Co-seno; Tangente, num triângulo rectângulo. Objectivos Específicos -- Identificar o seno, co-seno e tangente no círculo trigonométrico. -- Determinar a seno e co-seno de um ângulo qualquer. -- Representar funções trigonométricas num referencial em que a amplitude do ângulo é a abcissa. Conteúdos As funções trigonométricas y = sen α y = cos α y = tg α Representação gráfica das funções trigonométricas e suas transformações. Meios: Giz, quadro, apagador, caderno. Sugestões metodológicas: Considerando a importância do tema para o desenvolvimento das capacidades mentais do aluno, sugere-se iniciar por um problema em que se apliquem números trigonométricos. Tempo: 8 aulas. Instrumentos de avaliação: Exercícios escritos. 11

12 11ª CLASSE Tema 2 - Sucessões e limites de sucessões. Indução matemática Sucessões. Sucessões monótonas e sucessões limitadas Definição de uma sucessão. Termos de uma sucessão. Representação geométrica de uma sucessão. Sucessões definidas por recorrência. Sucessões monótonas. Sucessões limitadas. Majorantes, minorantes e enquadramentos Progressões aritméticas e progressões geométricas Progressão aritmética. Definições. Termo geral de uma progressão aritmética. Soma dos termos de uma progressão aritmética. Monotonia de uma progressão aritmética Progressão geométrica. Definições. Termo geral de uma progressão geométrica. Soma dos termos de uma progressão geométrica. Monotonia de uma progressão geométrica Limite de uma sucessão Infinitamente grandes. Definição. Sucessões infinitamente grandes e sucessões monótonas. Sucessões infinitamente grandes e sucessões limitadas. Subsucessão de uma sucessão. Infinitamente grandes de referência. Teoremas sobre infinitamente grandes Infinitésimos. Definição. Infinitésimos de referência. Teoremas sobre infinitésimos Sucessões convergentes. Definição. Teoremas sobre sucessões convergentes Classificação das sucessões. 12

13 PROGRAMA DE MATEMÁTICA 2.4. Cálculo de limite de sucessões. Número de Neper. Operações com sucessões convergentes. Operações com sucessões divergentes. Levantar algumas indeterminações e. Soma de todos os termos de uma progressão geométrica. O número de Neper. O número de Neper na Matemática Financeira Indução matemática. Princípio de indução matemática. Extensão do princípio de indução matemática. Tempo aulas Sugestões metodológicas (sucessões): O estudo das sucessões é útil como meio de resposta a determinadas situações problemáticas da vida corrente, assim como no estudo de outras ciências. A introdução do conceito de sucessão e das suas propriedades pode ser feita recorrendo a problemas de carácter geométrico, conforme se propõe neste programa. O estudo das sucessões como funções de variável natural deve realizar-se apenas depois de vários exemplos como modelo. A escrita de expressões deve ser processada como forma de representar as situações que se vão descrevendo. É também necessário que se introduzam as noções de termo, de ordem, de razão, etc No plano, o aluno deve descobrir as relações entre as coordenadas de pontos simétricos relativamente ao eixo das abcissas, ao eixo das ordenadas e à bissectriz dos quadrantes ímpares. Os alunos podem utilizar livremente a calculadora (caso possuam) como meio auxiliar de resposta aos problemas que lhes são apresentados e usarem formas próprias de organização e expressão na modelação das situações. Sugestões metodológicas (limites de sucessões): O conceito de limite de uma sucessão servirá de base para este capítulo, ocupando sempre um lugar de destaque. 13

14 11ª CLASSE As maiores dificuldades dos alunos surgirão na compreensão do conceito de limite. O professor deve ser muito paciente ao longo destas primeiras aulas, de modo a poder assegurar cabalmente a compreensão dos conceitos por parte dos alunos. Assim, é necessário explicar constantemente o sentido dos quantificadores que surgem nas definições, especialmente o conceito para quase todo o n. Após a introdução das noções de sucessão como função de variável natural, de ordem, de termo geral, etc, podem apresentar-se alguns exemplos de sucessões definidas pelo seu termo geral e, utilizando a calculadora gráfica (caso possua) e através de cálculos e representações gráficas de sequências de termos, chegar aos conceitos de infinitamente grande, de infinitamente pequeno e de limite de uma sucessão. Cada definição deve ser enriquecida com exemplos e contra-exemplos que esclareçam as ideias imediatas e corrijam eventuais concepções alternativas e erradas. Desta maneira, cada estudante ganha confiança nos seus próprios conhecimentos e compreende as novas aquisições como complementares e que facilitarão o aprofundamento das suas aptidões para responder a situações cada vez mais complexas. As definições deverão ser introduzidas em linguagem muito simples, facilitando assim as conclusões a tirar em cada exemplo e contra-exemplo. Deverão seguirse uma redacção em simbologia matemática e exercícios rápidos para testar as definições simbólicas. 14

15 PROGRAMA DE MATEMÁTICA Tema 2 - Sucessões. Subtema: Sucessões monótonas e sucessões limitadas. Objectivo(s) geral(ais): Conhecer a definição de sucessão. Determinar termos que obedecem a uma condição dada. Pré-requisitos: Conhecer o conceito de função como conceito geral. Determinar quando um conjunto de pares ordenados é uma função. Representar graficamente uma função. Objectivos Específicos -- Interiorizar os conceitos de sucessão quanto à monotonia, majorantes, minorantes e limite. -- Identificar e calcular os termos de uma sucessão. Conteúdos Sucessões monótonas e sucessões limitadas. Meios: Giz, quadro, apagador, régua, esquadro, caderno. Sugestões metodológicas: Pelo significado do conceito de sucessão na definição posterior de limite, é essencial que os alunos compreendam claramente esta definição, a partir da representação gráfica de algumas funções, determinando-se previamente os pares ordenados. Algumas sugestões de funções: y = x 1, y = 1 x, y = x2 + 4 Tempo: 3 aulas Instrumentos de avaliação: Alguns exercícios do manual sobre o tema. 15

16 11ª CLASSE Tema 2 - Limite de uma sucessão. Subtema: Cálculo do limite de uma sucessão. Objectivo(s) geral(ais): Conhecer a equação de uma elipse, partindo da definição. Pré-requisitos: Noção de função. Noção de sucessão. Sucessões monótonas. Sucessões limitadas. Sucessões convergentes. Objectivos Específicos -- Dominar o conceito intuitivo de limite de uma sucessão. -- Criar habilidades no domínio do cálculo com limites. -- Reconhecer e dominar os procedimentos que conduzam ao levantamento das indeterminações surgidas nas operações com sucessões convergentes e divergentes. Conteúdos Cálculo do limite de sucessão. Meios: Giz, quadro, apagador, caderno. Sugestões metodológicas: Observar as orientações em anexo sobre o tema. Tempo: 3 aulas Instrumentos de avaliação: Exercícios individuais e provas escritas. 16

17 PROGRAMA DE MATEMÁTICA Tema 3 - Limite de funções e continuidade de funções Limites de funções Noção de limite de uma função Propriedades dos limites Limites laterais Definição de limite segundo Heine Limites e infinitos Cálculo de limites Indeterminações Limites de expressões com exponenciais e logaritmos Continuidade de uma função Continuidade de uma função num ponto Continuidade lateral Continuidade de uma função num intervalo Propriedades das funções contínuas. Tempo aulas Sugestões metodológicas: O conceito de limite é um conceito importante da Matemática. Uma das mais importantes aplicações dos limites é o estudo da continuidade de funções. Na vida e no comportamento humano a continuidade é uma constante. O conceito de limite de uma função deve ser estudado de modo intuitivo, aproveitando os pré-requisitos dos limites de sucessões. Deve estudar-se a definição de uma função num ponto, segundo Cauchy. Depois de estudar o conceito de limite, sugere-se que se estudem as propriedades de limites de funções para facilitar o cálculo das funções. Devem-se analisar funções que não têm limite para determinados valores de x (por exemplo y = x x no ponto x 0 = 0 ). Sugere-se que se dê uma indicação sobre os limites laterais utilizando um exemplo adequado. Sugere-se também que o professor explique a definição de limite segundo Heine. 17

18 11ª CLASSE Apenas se devem levantar as indeterminações em casos simples. Os alunos devem experimentar, numérica e graficamente, a relação entre os limites no infinito da equação exponencial, da potência e dos logaritmos. Deverse-á seguir o estudo do limite das funções trigonométricas e logarítmicas. A partir da análise das linhas e das curvas introduzir-se-á intuitivamente o conceito de continuidade de uma função. Estudar-se-á em primeiro lugar a continuidade de uma função num ponto e em segundo lugar a continuidade de uma função num intervalo. De seguida, estudar-se-ão as propriedades das funções contínuas. 18

19 PROGRAMA DE MATEMÁTICA Tema 3 - Limites de funções e continuidade de funções. Subtema: Cálculo de limites. Objectivo(s) geral(ais): Calcular o limite da soma e da diferença de funções. Pré-requisitos: Conhecer: Propriedades dos limites. Limites laterais. Limites e infinitos. Objectivos Específicos -- Calcular o limite da soma e da diferença de funções. Conteúdos Cálculo do limite. Meios: Quadro, giz, caderno. Sugestões metodológicas: Antes de passar ao cálculo de limites, é necessário fazer uma breve revisão sobre os pré-requisitos dos limites. Tempo: 2 aulas Instrumentos de avaliação: Resolução de exercícios orais e escritos, relacionados com o subtema. 19

20 11ª CLASSE Tema 4 - Derivadas Introdução ao conceito de derivada Definição de derivada de uma função num ponto Significado de derivada de uma função num ponto Derivadas laterais Função derivável Derivabilidade e continuidade Função derivada Derivada de uma função constante Derivada de uma função afim Derivada do produto de uma constante por uma função Derivada da soma e da diferença de duas funções Derivada de uma potência Derivada de funções polinomiais Derivada de um produto de funções Derivada de um quociente de funções Derivada de funções compostas Derivada de funções exponenciais e logarítmicas Função segunda derivada Derivada de funções trigonométricas. 20

21 PROGRAMA DE MATEMÁTICA Estudo intuitivo do lim x 0 senx x Derivada da função real de variável real. y = f (x) = senx y = f (x) = cos x Tempo aulas Sugestões metodológicas: Antes de introduzir o conceito de derivada, o professor deve fazer uma revisão de certas noções estudadas nas classes anteriores, tais como: tangente a uma circunferência e quociente incremental da função num ponto. Sugere-se que os alunos calculem as derivadas de algumas funções racionais (num ponto dado) a partir da definição. O professor deve informar os seus alunos que os termos derivada e quociente diferencial de uma função num ponto utilizam-se como sinónimos e são empregues nas seguintes notações: F '(x 0 ); Y ' = x = 0 df dx x = x 0. Se não existir confusão, então escreve-se simplesmente. O teorema sobre a derivabilidade e continuidade deve ser enunciado e deve demonstrar-se, utilizando contra-exemplos, que o seu recíproco não é verdadeiro. Os alunos devem aprender o enunciado do teorema, mas não é necessário que reproduzam a sua demonstração. As regras para a derivação de soma e produto devem ser demonstradas. A regra para a derivação de funções potenciais de expoente natural demonstrase por indução completa. No caso das funções potenciais de expoente inteiro negativo utiliza-se a regra para a derivação de um quociente. É necessário fazer uma revisão das funções racionais antes de estudar a sua derivada. Os alunos devem aprender o conceito de zero de uma função racional e devem ser capazes de analisar o comportamento de uma função racional no infinito e na vizinhança de um ponto. 21

22 11ª CLASSE A partir da análise das linhas e das curvas introduzir-se-á intuitivamente o conceito de continuidade de uma função. Seguidamente, devem estudar-se as derivadas das funções logarítmicas e das funções trigonométricas. Deve fazer-se uma revisão breve sobre os conceitos de função monótona num intervalo, função contínua e extremos de uma função, antes de estudar os intervalos da monotonia e a primeira derivada de uma função. Os alunos devem familiarizar-se com o conteúdo do teorema de valor médio do cálculo diferencial e aprender o teorema de Rolle, como um caso particular. Devem também compreender que a primeira derivada de uma função pode também ajudar a encontrar os extremos. Mediante exemplos adequados, os alunos devem aprender que é possível que se apresentem extremos locais em pontos nos quais a função é diferenciável. Também mediante a segunda derivada podem determinar-se a concavidade e o ponto de inflexão do gráfico de uma função. Uma vez criadas as condições para analisar o comportamento local de funções, proceder-se-á ao seu estudo. Para a discussão de curvas de funções, os alunos devem habituar-se a analisar só o necessário para esboçar o seu gráfico. Os exercícios que se resolvem na aula devem ser cuidadosamente seleccionados para não incluírem cálculos desnecessários. Devem realizar-se alguns exercícios de aplicação na técnica, na economia e na ciência militar. 22

23 PROGRAMA DE MATEMÁTICA Tema 4 - Derivadas. Subtema: Introdução ao conceito de derivada. Definição de derivada de uma função num ponto. Significado de derivada de uma função num ponto. Objectivo(s) geral(ais): Compreender o conceito de derivada de uma função. Saber o significado de derivada de uma função num ponto. Pré-requisitos: Conhecer: Recta tangente. Tangente de uma circunferência. Declive de uma recta. Taxa de derivação média Objectivos Específicos --Conhecer o conceito de derivada. -- Definir a derivada de uma função num ponto. -- Conhecer o significado da derivada de uma função num ponto. Conteúdos Introdução ao conceito de derivada. Definição de derivada de uma função num ponto. Significado de derivada de uma função num ponto. Meios: Quadro, giz, régua, caderno. Sugestões metodológicas: Antes de introduzir o conceito de derivada, sugere-se que o professor faça uma breve revisão sobre os pré-requisitos. A definição de derivada será introduzida partindo de exemplos concretos como velocidades e acelerações de um automóvel. Os alunos poderão realizar trabalhos individuais ou em grupo sobre a história do cálculo diferencial. Tempo: 2 aulas Instrumentos de avaliação: Resolução de exercícios de derivada a partir da definição de derivada. 23

24 11ª CLASSE Avaliação No ensino, a avaliação assume carácter eminentemente formativo, devendo favorecer a progressão pessoal e a autonomia como parte integrante do processo de ensino e aprendizagem, permitindo ao aluno implicar-se no próprio processo e ao professor controlar melhor a sua prática lectiva. A avaliação do processo do aluno deverá ser sistemática e contínua, quer em relação aos processos utilizados, quer em relação aos resultados obtidos. A avaliação a realizar ao longo de cada ano não deve ser prescritiva nem assumir um carácter definitivo que descrimine desde logo o aluno, impedindo-o de alcançar sucesso no imediato e, porventura, no médio prazo. Cabe ao professor gerir, de acordo com as experiências de aprendizagem desenvolvidas, os parâmetros enunciados. Uma avaliação que complete todos os domínios de aprendizagem e respeite o ritmo dos alunos implica uma escolha adequada de formas e instrumentos de avaliação. Assim, podem constituir formas de avaliação os trabalhos individuais ou de grupo, as discussões e os debates, as exposições, as entrevistas, os trabalhos de casa, assim como a própria estrutura do caderno diário. Para avaliar a capacidade de resolução de problemas, o professor deverá recolher informações sobre os progressos verificados nas diferentes fases a considerar durante o processo. Poderá ser pedido aos alunos que entreguem pequenos relatórios onde descrevam não só a sua resolução do problema como igualmente a descrição de todo o processo percorrido (primeira abordagem seguida, dificuldades, avanços, recuos, razões justificativas das opções tomadas, etc ). A avaliação da capacidade de comunicação em Matemática faz-se observando o modo como o aluno descreve processos, enuncia propriedades, expressa conceitos, formula problemas e compreende e avalia ideias expressas em Matemática, devendo o professor estar particularmente atento ao desenvolvimento da clareza, precisão e adequação da linguagem utilizada. Devem ser pedidas frequentemente ao longo do ano argumentações e descrições escritas e orais, relativas a processos matemáticos seguidos pelos alunos. Os trabalhos desenvolvidos em grupo deverão ser igualmente considerados para a avaliação. Esta poderá ter em conta produções realizadas em grupo e trabalhos complementares individuais. 24

25 PROGRAMA DE MATEMÁTICA BIBLIOGRAFIA INIDE, Ministério da Educação; Programa de Matemática PUNIV, 2º ano. Luanda, LIMA, Yolanda Gomes, Francelino; X QMAT, Matemática (10º/11º ano), Editorial o Livro. Lisboa 1996/97. NEVES, M.A. Ferreira; Sucessões Matemáticas 11º ano Parte 3, Porto Editora. Portugal, NEVES, M. A. Ferreira; Geometria 2 Matemática - 11º ano Parte 1, Porto Editora. Portugal, Dr. GUNTER, Lorenz; Dr. StyeWerner e Dr. Frank Brigitte; Orientações Metodológicas Matemática 11º, Editorial Pueblo e Educación, Ministerio de Educación. Ciudad de La Habana, Cuba, LIC. RIZO, Cabrera CeliaC.; Dr. Pérez Luís Campistrous; Prof. Álvarez Ailba Rivero e Prof. Urzuela Silvia; Indicaciones Metodológicas para La Simplificación de los Programas Matemática Décimo Grado, Editorial Pueblo y Educación, Ministerio de Educación. Ciudad de La Habana, Cuba, NEVES, M. A. Ferreira; Funções 3 Matemática 12º ano Parte 2, Porto Editora. Portugal, JORGE, Ana Maria Brito, Alves Conceição Barroso, Gabriela Fonseca e Barbedo Jutite; Métodos Quantitativos 10 Livro do Professor 10º Ano, Areal Editores, Porto. Portugal,