PROGRAMA DE MATEMÁTICA 10ª Classe

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1 D40 PROGRAMA DE MATEMÁTICA 10ª Classe PRÉ-ESCOLAR Formação de Professores para o Pré-Escolar e para o Ensino Primário

2 Ficha Técnica Título Programa de Matemática - 10ª Classe Formação de Professores para o Pré-Escolar e para o Ensino Primário Editora Editora Moderna, S.A. Pré-impressão, Impressão e Acabamento GestGráfica, S.A. Ano / Edição / Tiragem / N.º de Exemplares 2013 / 2.ª Edição / 1.ª Tiragem / Ex. geral@editoramoderna.com 2013 EDITORA MODERNA Reservados todos os direitos. É proibida a reprodução desta obra por qualquer meio (fotocópia, offset, fotografia, etc.) sem o consentimento escrito da editora, abrangendo esta proibição o texto, as ilustrações e o arranjo gráfico. A violação destas regras será passível de procedimento judicial, de acordo com o estipulado no código dos direitos de autor.

3 ÍNDICE Introdução Objectivos Gerais do Ensino da Matemática na Formação de Professores Objectivos Gerais da 10ª Classe Objectivos Específicos da 10ª Classe Distribuição dos Conteúdos por Trimestre Conteúdos Programáticos Sugestões Metodológicas Avaliação Bibliografia

4 10ª CLASSE 4 INTRODUÇÃO A realização deste programa corresponde aos objectivos da formação de professores, em particular do pré-escolar, e exige o máximo aproveitamento das possibilidades que o ensino desta ciência oferece. É necessário aproveitar as potencialidades da ciência matemática e aplicá-las em diferentes campos da sociedade. As possibilidades que a utilização do pensamento matemático colocam ao desenvolvimento de conceitos científicos, e de capacidades de resolução de problemas, podem permitir aos alunos aprender a abordar objectivamente o seu mundo; podem, ainda, ajudá-los a desenvolver soluções para problemas complexos com vista a uma sólida formação matemática para a vida e para o trabalho na sociedade, especialmente na formação de técnicos altamente qualificados. Um aspecto fundamental diz respeito ao desenvolvimento, no aluno, da sua capacidade mental, criadora e imaginativa, assim como à formação de hábitos de disciplina, constância e tenacidade. Outro aspecto está ligado à rápida penetração da matemática em todos os campos da sociedade. O trabalho de investigação efectuado possibilitou um estudo profundo e pormenorizado da concepção da disciplina, sua estrutura e conteúdos fundamentais desta classe, concluindo-se que os conteúdos das unidades a leccionar devem levar o aluno a despertar para uma actividade mais activa nesta disciplina. As unidades a serem estudadas possibilitarão ao futuro professor perceber melhor os conteúdos que o mesmo terá que ensinar no futuro aos seus alunos, muito particularmente a resolução de problemas e o ensino da geometria. O aluno deverá possuir conhecimentos sólidos que, ao prolongarem-se nos programas das classes que se seguem (11ª e 12ª), lhes darão plenas condições de prosseguimento dos seus estudos. Contém, ainda, este programa o esquema programático em síntese e detalhado dos temas preconizados e a serem leccionados nesta classe. Conta também uma unidade que trata da geometria plana, que em parte é superficialmente conhecida pelo aluno.

5 PROGRAMA DE MATEMÁTICA A consolidação desses conhecimentos, adicionada aos novos conteúdos desta unidade, levará, por um lado, o futuro professor a transmitir os conhecimentos aos seus alunos do pré-escolar e, por outro, ajudá-lo-à a perceber melhor a trigonometria nesta classe e a geometria analítica, na 11ª classe. O programa possui quatro unidades e todas culminam numa prova. Embora não estejam planificadas as provas escritas, o professor, sempre que verificar dificuldades em grande parte dos alunos, deve efectuá-las numa perspectiva formativa, de forma a evitar-se acumulação de matérias com uma grande complexidade visível, e promover as possibilidades do sucesso escolar. 5

6 10ª CLASSE OBJECTIVOS GERAIS DO ENSINO DA MATEMÁTICA NA FORMAÇÃO DE PROFESSORES Compreender que a Matemática é um ciência que permite conhecer e transformar o mundo, e que os conceitos matemáticos estão determinados por necessidades práticas e para despertar o interesse por esta ciência. Dominar os conhecimentos sobre o meio, para compreender a relação entre a teoria e a prática e induzir uma atitude positiva perante a vida. Desenvolver a perseverança de hábitos no que diz respeito a proceder com reflexão e avaliar de um modo crítico os resultados do seu trabalho. Aplicar a utilização da terminologia e notações matemáticas correctas, explicar as suas actividades e fundamentar oralmente o seu trabalho. Desenvolver capacidades de expressão (com clareza, precisão e exactidão). Desenvolver a capacidade de raciocínio através da aplicação da análise e síntese na realização de processos individuais e dedutivos do pensamento, processos de abstracção e generalizações. Desenvolver formas de pensamento lógico e a capacidade de utilizar correctamente os métodos dedutivos da lógica para desenvolver importantes capacidades mentais. Dominar os conceitos geométricos fundamentais e o corpo de teoremas que formam a geometria plana, através da aplicação sistemática do conceito de transformação, aplicação, composição, cálculo, etc. Desenvolver os procedimentos indutivos e dedutivos de raciocínio, para realizar de um modo independente demonstrações, contribuindo para o desenvolvimento de hábitos de trabalho independente. Compreender que todo o teorema matemático deve ser demonstrado e que a sua demonstração é a única forma segura de conhecimento em Matemática. Apropriar-se de um sistema de conhecimentos matemáticos, habilidades, hábitos e capacidades que permitam aplicá-los em situações práticas ou teóricas. Sistematizar os conhecimentos de geometria adquiridos nas classes anteriores e aplicá-los na resolução de exercícios e problemas. 6

7 PROGRAMA DE MATEMÁTICA OBJECTIVOS GERAIS DA 10ª CLASSE Dominar o conceito de lógica matemática; Definições, suas propriedades, e relações existentes entre elas. Aplicar os conceitos e definições ligados à: Geometria plana; Construções geométricas; Geometria analítica; Trigonometria plana; Propriedades. Promover a utilização da simbologia matemática, nomeadamente a que deriva do estudo da lógica. Desenvolver habilidades nas demonstrações de proposições matemáticas. Compreender que as transformações geométricas e a resolução de logaritmos, equações e inequações, logarítmicas e exponenciais, baseiam-se em regras previamente definidas. Desenvolver habilidades nas operações, com equações e funções trigonométricas, e dominar as propriedades das funções. Compreender a aplicação do conceito de potência de expoente racional e dominar as propriedades desta potência. Dominar o conceito de função trigonométrica, analisar as suas propriedades e a sua representação gráfica. Dominar a relação log a b = c a c = b (da definição) e a escrita do logaritmo com expoente de uma potência ( a log a b = b), propriedade decorrente da definição e, em particular, que log a b = 1. Resolver equações exponenciais e logarítmicas. Dominar as propriedades das potências, deduzir as propriedades dos logaritmos e aplicá-las na prática. 7

8 10ª CLASSE Compreender as definições da função exponencial e logarítmica e calcular valores funcionais ou elementos do domínio. Dominar as propriedades das funções exponenciais e logarítmicas para o caso a > 1 e a sua representação gráfica a partir da representação mental da gráfica da base 2 e 10, bem como a relação destas com as propriedades. Esboçar os gráficos de funções e analisar as suas propriedades a partir da representação gráfica. 8

9 PROGRAMA DE MATEMÁTICA OBJECTIVOS ESPECÍFICOS DA 10ª CLASSE No esquema programático, verifica-se que os conteúdos estão detalhados, para possibilitar que o professor saiba correctamente o que vai leccionar. Seria, pois, fastidioso colocar aqui todos os objectivos específicos relacionados com os conteúdos. Colocar-se-ão, por isso, os mais importantes: Distinguir as definições da lógica matemática, suas propriedades e relações existentes entre elas; Concluir se é verdadeiro ou falso o resultado de operações lógicas de duas proposições; Distinguir designação e designado; Resolver problemas com base no princípio de não contradição; Distinguir conjunção e disjunção; Identificar as propriedades; Identificar os distintos sinais usados na lógica matemática; Desenvolver habilidades nas demonstração ligada à lógica matemática; Distinguir as diferentes leis de De Morgan; Diferenciar o conceito e as definições relacionadas com a geometria plana, propriedades e construções geométricas; Demonstração das distintas transformações ligadas à geometria plana, e aplicação das suas propriedades; Desenvolver habilidades nas construções geométricas; Consolidar o trabalho de construção de figuras geométricas, assim como algumas operações: adição de ângulos, translações, rotações de figuras geométricas; Conhecer as fórmulas para a solução de diversos problemas; 9

10 10ª CLASSE Distinguir os movimentos de translação e rotação e suas propriedades; Conhecer o conceito de logaritmo, definições com ele relacionadas e elementos do domínio; Conhecer as propriedades usadas no trabalho com logaritmos, com funções exponenciais para a sua aplicação no trabalho, com equações e inequações logarítmicas e exponenciais; Dominar a relação log a b = c a c = b (da definição) e a escrita do logaritmo com expoente de uma potência ( a log a b = b), em particular que log a b = 1; Representar os gráficos das funções exponenciais e logarítmicas; Demonstrar que com a aplicação das razões trigonométricas podem resolver-se as equações e inequações trigonométricas. Distinguir as funções exponenciais e logarítmicas, e as propriedades com elas relacionadas; Distinguir as equações e inequações exponenciais e logarítmicas; Diferenciar identidades trigonométricas fundamentais e suas aplicações; Desenvolver capacidades de aplicação das razões trigonométricas na solução de exercícios; Distinguir as diferentes funções e saber localizá-las no círculo trigonométrico; Diferenciar as funções trigonométricas e suas representações gráficas. 10

11 PROGRAMA DE MATEMÁTICA DISTRIBUIÇÃO DOS CONTEÚDOS POR TRIMESTRE Trinta e sete (37) semanas por ano lectivo, equivalentes a cento e trinta e oito (138) horas. 4 aulas semanais em cada Trimestre. 1º TRIMESTRE 16 Semanas, sendo 14 lectivas Tema 1 - Introdução à Lógica Matemática horas Tema 2 - Geometria Plana horas Total de aulas horas 2º TRIMESTRE 14 Semanas, sendo 12 lectivas Tema 3 - Funções Exponenciais e Logarítmicas horas Total de aulas horas 3º TRIMESTRE 14 Semanas, sendo 11 lectivas Tema 4 - Trigonometria Plana horas Obs.: Como um ano lectivo é composto por 34 semanas, este programa foi concebido para 30 semanas lectivas, excluindo-se os feriados e tolerâncias não programadas. O programa foi assim concebido tendo em conta a nossa realidade, sendo exequível no espaço programado e dando ao professor a possibilidade de programar os dias de exercitação sem descurar o seu cumprimento, que tem carácter obrigatório. 11

12 10ª CLASSE CONTEÚDOS PROGRAMÁTICOS Tema 1 - Introdução à Lógica Matemática horas 1.1. Termos e proposições Designação e designado Valores lógicos das proposições Princípios de não contradição Princípios do terceiro excluído Proposições equivalentes Operações lógicas sobre Proposições Conjunção Disjunção e disjunção exclusiva Negação Propriedade da conjunção e da disjunção Propriedades (comutativa, associativa, elemento neutro, elemento absorvente e idempotência, mistas, negação) aulas Dupla negação de uma proposição é a própria proposição. Valor lógico contrário. Leis de De Morgan. Implicação material e dedução. Dedução lógica. Dedução errada ou paralogismo. Tautologia. Propriedades de implicação. Equivalência material ou dupla implicação aulas... Reserva... 3 aulas Tema 2 - Geometria Plana horas 12

13 PROGRAMA DE MATEMÁTICA 2.1. Ponto, recta e plano Linhas poligonais Ângulo, unidades de ângulos, ângulos excêntricos Cumprimento de um segmento Amplitude de um ângulo Circunferência e círculo (arcos, cordas, ângulos ao centro, suas relações) Lugares geométricos Adição de ângulos 2.9. Posições relativas de duas rectas Polígonos regulares. Semelhança de polígonos Quadriláteros convexos Semelhança de triângulos Relações entre os lados e apótemas de alguns polígonos regulares e raio da circunferência circunscrita Alguns polígonos regulares e o raio da circunferência Perímetro da circunferência Áreas das figuras planas aulas Noções sobre vectores. translações Direcção de uma recta Rectas, semi.rectas e segmentos de recta. 13

14 10ª CLASSE Movimento de translação Soma de um ponto com um vector Translações Propriedades das translações Aplicação das translações Decomposição de translações à adição de vectores aulas Rotação e Simetria Movimento de rotação A rotação como aplicação Propriedades das rotações Composição de rotações Simetria em relação a um ponto Deslocamentos do plano aulas Problemas de construção Construção de triângulos Distância de um ponto a uma recta Circunferência de um triângulo Incentro de um triângulo Ortocentro de um triângulo Baricentro de um triângulo aulas... Reserva... 3 aulas Tema 3 - Funções Exponenciais e Logarítmicas horas 3.1. Logaritmos Potência de expoente irracional. Monotonia da potenciação Conceito de logaritmo. Propriedades operatórias Mudança de base aulas... 14

15 PROGRAMA DE MATEMÁTICA 3.2. Logaritmos decimais. Uso de tábuas de logaritmos Propriedades dos logaritmos decimais Características e mantissas. Cálculo de cologaritmos. Uso das tábuas Propriedades da mantissa Cálculo numérico por meio de logaritmos aulas Determinação do logaritmo dado o número. Problema inverso Funções exponenciais Definição de função exponencial. Propriedades, representação gráfica aulas Funções logarítmicas Definição de funções logarítmicas. Propriedades, representação gráfica Equações e inequações exponenciais Equações e inequações logarítmicas aulas... Reserva... 3 aulas Tema 4 - Trigonometria Plana horas 4.1. Razões trigonométricas Razões trigonométricas de um ângulo agudo Ângulo trigonométrico Identidades trigonométricas fundamentais Equações trigonométricas simples aulas Círculo trigonométrico Razões trigonométricas de um ângulo obtuso. 15

16 10ª CLASSE Fórmulas de redução Sistemas circulares de medidas de ângulos. Generalização do conceito de ângulos aulas Funções trigonométricas Função seno. Propriedades. Representação gráfica Função cosseno. Propriedades. Representação gráfica Função tangente. Propriedades. Representação gráfica Função cotangente. Propriedades. Representação gráfica aulas... Reserva... 3 aulas 16

17 PROGRAMA DE MATEMÁTICA SUGESTÕES METODOLÓGICAS Para o alcance dos objectivos programados, o professor deve usar todos os métodos, meios, princípios e formas de organização do trabalho, tendo o aluno como elemento central do processo de ensino e aprendizagem. Os conceitos devem ser elaborados tendo em linha de conta situações palpáveis, não esquecendo a ligação que deve existir entre os conhecimentos já adquiridos e os novos. Os exercícios a serem propostos pelo professor durante a aula devem ponderar o nível de conhecimento dos alunos, seu desenvolvimento e objectivos preconizados. Além de outros princípios didácticos, é bom não esquecer o princípio de carácter científico do conteúdo e a exequibilidade do mesmo. As motivações deverão ser feitas com base em casos concretos, bem conhecidos pelos alunos, para que na orientação aos objectivos os alunos possam facilmente entender e interessar-se profundamente pelo novo assunto a tratar. Os sinais usados em Matemática devem ser claramente explicados pelos professores de modo a levar os alunos a definir algo mediante o uso destes símbolos. É importante que o professor demonstre todos os teoremas ligados aos conceitos a leccionar. É necessário, também, considerar que o uso dos meios de ensino auxiliares, como réguas, esquadros (o uso destes em simultâneo), transferidor, compassos, etc., nas construções de figuras geométricas, aspecto imprescindível. Aqui destacase o facto de o professor ter que ensinar os alunos a manejar estes objectos. Na realização dos exercícios de aplicação, e não só, os professores devem orientar diversas formas de organização do trabalho, individual e em grupo, não esquecendo de dar aos alunos a oportunidade de apontar soluções ligadas aos exercícios a serem tratados, etc. Em relação à directriz de equações, neste tema 3, resolvem-se por reflexões lógicas as equações exponenciais e logarítmicas aplicadas em combinação de trabalho com variáveis. 17

18 10ª CLASSE Por outro lado, a determinação do logaritmo de um número b de base a tem de conceber-se como solução da equação a X = b. Relativamente à tarefa, como parte final da aula o professor deve dar aos alunos diversos exercícios que os levarão a consolidar os conhecimentos então adquiridos, não se esquecendo também dos exercícios com um certo grau de dificuldade. O uso de tábuas para cálculos em logaritmos e em trigonometria devem ser devidamente explicados pelo professor, que deverá acompanhar e verificar se os alunos de facto conseguem, com facilidade, manejar este meio ao seu alcance. Constitui aspecto importante referir que o uso dos materiais de geometria antes citados, e não só, nas aulas, deve ser obrigatório para o alcance dos objectivos desejados. Nunca será demais referir que, com o tema 3 familiarizam-se os alunos com outras funções não racionais. Aplicam-se e aprofundam-se os seus conhecimentos sobre os meios auxiliares de cálculo e desenvolvem-se habilidades no uso de tábuas. A motivação para ampliar o conceito de potência com expoente real faz-se a partir do facto de que a equação 10 3 = 3 não tem solução racional, o que se prova utilizando uma demonstração indirecta. Quanto à definição de potência de expoente real, deve-se informar os alunos que ax define-se por todo o número real X e para todo o número real positivo a. Através da introdução das funções exponenciais e logarítmicas, da representação gráfica dos representantes escolhidos nestas aulas de funções irracionais (y = 2 X ; y = 10 X ; y = log 2 X ; y = log 10 X ), e de exemplos das aplicações das funções, já mencionados, ampliam-se e aprofundam-se os conhecimentos dos alunos sobre funções. A elaboração das propriedades dos logaritmos decimais e o estudo das propriedades dos logaritmos (a partir das propriedades da potenciação) contribuem, em primeiro lugar, para a compreensão do conceito de logaritmo. 18

19 PROGRAMA DE MATEMÁTICA AVALIAÇÃO A avaliação como forma de verificar o grau de assimilação dos conteúdos por parte dos discentes tem uma importância vital no processo de ensino e aprendizagem. Aqui, o professor deverá usar diversos tipos de avaliação (oral, escrita, avaliação durante as aulas, chamadas escritas nos espaços que separam uma prova da outra). Todo o tema deverá terminar com uma avaliação escrita que deve ser precedida de, pelo menos, duas aulas de revisão. As avaliações escritas de cada capítulo devem possuir carácter obrigatório. Aproveitamos aqui o ensejo para aconselhar os docentes a fazer chamadas escritas após as aulas de exercícios de aplicação ou logo que se verifique uma pequena acumulação de matéria, suficiente para a avaliação escrita. Assim, o aluno levará um acumulado de notas que o ajudarão bastante nas médias semestrais, bem como na anual, pois o discente, nas avaliações semestrais, poderá apresentar-se melhor preparado para enfrentar as ditas provas. É muito importante, que o professor, com base nas avaliações efectuadas, investigue e dê solução aos erros de maior frequência verificados, e não só. A forma e o tipo de avaliação proposta deve subordinar-se ao labor efectuado durante o processo docente/educativo. No final de cada semestre efectua-se uma prova que englobará todo o conteúdo ministrado durante este período. No final do ano efectuar-se-á uma prova final que deve possuir 40% dos conteúdos leccionados no primeiro semestre e 60% dos do segundo semestre. 19

20 10ª CLASSE BIBLIOGRAFIA ABRANTES, Paulo - Matemática 7º Ano, Lisboa: Texto Editora, AYRES JÚNIOR, Frank - Trigonometria. Colecção Schaum. São Paulo: Ao Livro Técnico, BRONSTEIN, I.; SEMENDIAEV, K. - Manual de Matemática para Engenheiros Estudantes. Mir Moscou, CARVALHO, Raul Fernando - Matemática 9º Ano. Lisboa: Texto Editora, CORREIA, Ana Luísa; EUSEBIO, Célia M.; ALBUQUERQUE, Teresa O. - Matemática 9º ano de escolaridade. Lisboa: Edicões ASA. COSTA, António de Almeida; ANJOS Alfredo Osório dos - Compêndio de Matemática: Álgebra e Geometria, 1º Ano do Ensino Liceal, Antigo 3º ano. Porto: Porto Editora, COSTA, António de Almeida e ANJOS, Alfredo Osório dos - Compêndio de Matemática 2º Ano (Antigo 4º Ano), Ensino Liceal, Porto: Porto Editora. COSTA, António de Almeida e ANJOS, Alfredo Osório dos - Compêndio de Matemática de 3º Ano (Antigo 5º Ano), Ensino Liceal, Porto: Porto Editora, COSTA, António de Almeida; ANJOS Alfredo O. dos; LOPES, António Augusto - Matemática Jovem, 9º Ano de escolaridade. Porto: Porto Editora, GARCIA, M. Madalena; ANJOS, Alfredo O. dos; RUIVO, António Fernando - Compêndio de Matemática 1º Ano, Curso Complementar. Porto: Porto Editora. LIMA, Yolanda; GOMES, Francelino - XEQMAT Matemática 11º Ano, Editorial O Livro, LIPSCHUTZ, Seymour - Matemática Finita, Colecção Schaum. São Paulo: McGraw Hill, SANTOS, Fernando Borja - Sebentas de Matemáticas Modernas, I Volume, Curso Complementar do Ensino Secundário, 10º ano de escolaridade. SANTOS, Fernando Borja - Sebenta de Matemáticas Modernas, III volume, Curso Complementar do 4º Ano, Paralelo Editora. 20

21 PROGRAMA DE MATEMÁTICA TIZZIOTTI, José Guilherme - Matemática Segundo Grau Volume I, II, III, São Paulo: Editora Ática, TIZZIOTTI, José Guilherme - Álgebra I livro 36, Colecção Objectivo (Sistema de métodos de aprendizagem). 21