GEODÉSICAS EM SUPERFÍCIES DE REVOLUÇÃO NO R 3

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE SANTA CRUZ DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS - DCET COLEGIADO DE MATEMÁTICA Monografia de Graduação - Bacharelado em Matemática GEODÉSICAS EM SUPERFÍCIES DE REVOLUÇÃO NO R 3 RODRIGO SILVA DOS SANTOS orientador: DARLAN FERREIRA DE OLIVEIRA Ilhéus-Ba 2009

RODRIGO SILVA DOS SANTOS GEODÉSICAS EM SUPERFÍCIES DE REVOLUÇÃO NO R 3 Monografia apresentada ao Colegiado de Matemática, da Universidade Estadual de Santa Cruz (UESC), como pré-requisito para obtenção do título de Bacharel em Matemática. Orientador: Prof. Ms. Darlan Ferreira de Oliveira Ilhéus-Ba 2009

Santos, Rodrigo Silva dos Geodésicas em Superfícies de Revolução no R 3. Universidade Estadual de Santa Cruz, Ilhéus, 2009. 45 pp. Bibliografia 1. Palavras-Chave: Curvas Regulares, Geodésicas.

RODRIGO SILVA DOS SANTOS GEODÉSICAS EM SUPERFÍCIES DE REVOLUÇÃO NO R 3 Prof. Darlan Ferreira de Oliveira (Orientador) - UESC Prof. Nestor Felipe Castañeda Centurión - UESC Prof. Afonso Henriques - UESC

Agradecimentos Agradeço primeiramente a Deus, pela vida, pela força em todos os momentos e por saber que sem Ele nada disso seria real. Agradeço especialmente ao meu orientador, Prof. Darlan Ferreira de Oliveira pela presteza e direcionamento na elaboração desta monografia. Obrigado também pelo incentivo, pelos ensinamentos em Geometria Diferencial e pelas diversas vezes em que pôde me atender, não só nos nossos seminários ou reuniões, mas também nos e-mails respondidos. Agradeço aos professores, Germán Ignacio Gomero Ferrer pelo suporte técnico na elaboração deste trabalho e pelas suas sugestões que foram de muita valia para a melhoria do trabalho; Eduardo Silva Palmeira pelos ensinamentos em Cálculo Avançado e pelas palavras de incentivo no curso; Nestor Felipe Castañeda Centurión pelos ensinamentos em Teoria da Medida, Análise e pela sua habilidade em ajudar o aluno a encontrar melhor o caminho dos seus estudos. Agradeço a todos aqueles que de alguma forma contribuíram para a minha formação, sejam colegas ou professores. A todos estes os meus sinceros agradecimentos.

Resumo Este trabalho tem o objetivo de estudar um tipo especial de curva nas superfícies de revolução em R 3, que são as geodésicas, pela sua ampla utilização em vários problemas de Geometria Diferencial. Além das definições e da identificação das equações diferenciais que determinam estas curvas, ilustramos também através de exemplos e figuras os traços destas curvas especiais sobre superfícies diversas em R 3, importando estas figuras dos textos mencionados na bibliografia, procurando principalmente as soluções analíticas e quando não for possível, utilizando o software Maple para achar os soluções gráficas. Trazemos também a solução geral para as equações diferenciais em uma superfície de revolução qualquer, podendo assim, visualizar as suas geodésicas.

Sumário Introdução 9 1 Conceitos Preliminares 10 1.1 Curvas regulares.................................... 10 1.2 Superfícies regulares.................................. 13 1.3 Formas fundamentais.................................. 17 2 Geodésicas 23 2.1 Vetor aceleração.................................... 23 2.2 Geodésicas e pré-geodésicas.............................. 26 2.3 Equações das geodésicas................................ 29 2.4 Exemplos de geodésicas................................ 32 3 Geodésicas em superfícies de revolução 35 3.1 Solução geral...................................... 35 3.2 Equações das geodésicas de algumas superfícies................... 39 Bibliografia 45 7

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Introdução As geodésicas são curvas tratadas em livros introdutórios de Geometria Diferencial. Procuramos sintetizar os resultados mais relevantes que encontramos na bibliografia pesquisada, e padronizar a notação que varia muito. O grande número de exemplos é proposital para facilitar o entendimento de conceitos que por vezes são de difícil visualização geométrica num primeiro contato. No capítulo 1 relembramos os conceitos elementares de um primeiro curso em Geometria Diferencial, definindo curvas regulares, superfícies regulares, curvatura normal, primeira e segunda formas fundamentais, curvatura Gaussiana, etc. Algumas demonstrações são apenas referenciadas pois são irrelevantes para o objetivo principal da monografia. Todas as figuras desde capítulo foram importadas do livro [5]. Este capítulo pode ser omitido pelo leitor familiarizado com estes conceitos. No capítulo 2 antes de definirmos as geodésicas, damos ênfase ao vetor aceleração, representado na base ortonormal do triedro de Frenet {t, n, b}, na base ortonormal {t, t N, N}, e na base {X u, X v, N}. Um bom conceito do vetor aceleração é essencial para se entender a definição das geodésicas e suas equações. Os símbolos de Christofell e as equações diferenciais das geodésicas são apresentadas, formando a base dos cálculos seguintes. O conceito de pré-geodésica é apresentado, e, a seguir, damos exemplos de geodésicas no cilindro, cone, parabolóide elíptico, parabolóide hiperbólico e toro. Encerramos com o capítulo 3 apresentando a solução geral para as equações das geodésicas em superfícies de revolução, admitindo para tal uma parametrização na forma X(u, v) = (f(u) cos v, f(u) sen v, g(u)). A seguir enunciamos e demonstramos o fato de que os meridianos de uma superfície de revolução, parametrizados pelo comprimento de arco, são sempre geodésicas, e que uma condição necessária e suficiente para que um paralelo parametrizado pelo comprimento de arco seja uma geodésica é que f (u) = 0. Todas as figuras deste capítulo exceto a figura 3.1, que também foi importada do livro [5], foram geradas pelo programa Maple. Finalizamos este capítulo descrevendo a solução das equações diferenciais das geodésicas de algumas superfícies conhecidas: O cilindro, o cone, o parabolóide de revolução, o toro e a esfera. 9

Capítulo 1 Conceitos Preliminares 1.1 Curvas regulares Definição 1.1.1 Uma curva diferenciável é uma aplicação diferenciável α : I R n de um intervalo aberto I = (a, b) R no espaço euclideano n-dimensional. Chamamos α(i) o traço da curva α e x 1 (t),, x n (t) as funções componentes de α(t). Dizemos que a variável t é o parâmetro da curva. Exemplo 1.1.2 A curva diferenciável α : R R 3 dada por α(t) = (a cos t, a sen t, bt), t R, com a > 0 e b 0, é a hélice circular de passo 2πb cujo traço está contido no cilindro C = {(x, y, z) R 3 ; x 2 + y 2 = a 2 }. O parâmetro t mede o ângulo que o eixo Ox faz com a reta que liga a origem O à projeção do ponto α(t) sobre o plano xoy. Seus pontos estão representados na figura 1.1. Exemplo 1.1.3 A aplicação α : R R 2 dada por α(t) = (t, t ), t R, 10

não é uma curva diferenciável, pois a função coordenada t t não é diferenciável para t = 0 (Ver Figura 1.2). Figura 1.1: Hélice Circular Figura 1.2: Aplicação α(t) = (t, t ), t R Definição 1.1.4 O vetor (x 1(t),, x n(t)) = α (t) R n é chamado de vetor tangente (ou vetor velocidade) da curva α em t. Definição 1.1.5 Uma curva diferenciável α : I R 3 é chamada regular se α (t) 0 para todo t I. Chamamos ponto singular de α um ponto t 0 I onde α (t 0 ) = 0. Definição 1.1.6 Dizemos que uma curva regular α : I R 3 está parametrizada pelo comprimento de arco se para todos t 0, t 1 I, t 0 t 1. t1 t 0 α (µ) dµ = t 1 t 0, Proposição 1.1.7 Uma curva regular α : I R 3 está parametrizada pelo comprimento de arco se e só se α (t) = 1 para todo t I. Demonstração Ver livro [3]. 11

Definição 1.1.8 Quando a curva α está parametrizada pelo comprimento de arco (p.c.a), o vetor α (s) é chamado vetor aceleração e α (s) = k(s) chama-se curvatura de α em s. Definição 1.1.9 Para cada ponto de uma curva regular α R 3, é possível definir os três vetores ortornormais: t = α α n = t t chamado de vetor unitário tangente; chamado de vetor unitário normal e b = t n chamado de vetor unitário binormal. Observação 1.1.10 Omitimos o parâmetro na definição acima por uma questão de comodidade e para indicar que estamos tratando de um parâmetro qualquer da curva. Definição 1.1.11 O plano paralelo aos vetores t(s) e n(s) que passa pelo ponto α(s) é chamado o plano osculador de α em s. O plano que passa por α(s) e é paralelo aos vetores n(s) e b(s) é chamado o plano normal de α em s. O plano que passa por α(s) e é paralelo aos vetores t(s) e b(s) é chamado o plano retificante de α em s. Sendo α um curva parametrizada pelo comprimento de arco, temos que < α, α >= 1 e < α, α >= 0 onde α α. Temos também que α é paralelo a n e daí α = kn. Como α = t, segue-se que t = kn. Por outro lado b = t n+t n, e desde que b b e t n = 0 obtemos b = t n, ou seja, b é normal a t. Segue-se que b é paralelo a n, logo podemos escrever b = τn para alguma função τ(s). A função τ é chamada a torção de α em s. Por fim, temos que n = b t onde n = b t + b t, logo n = τn t + b kn onde obtemos n = τb kt. Assim, obtemos os vetores t, n e b escritos na base {t, n, b} : t = kn n = τb kt b = τn As fórmulas acima são chamadas fórmulas de Frenet. 12

1.2 Superfícies regulares Figura 1.3: Triedro de Frenet de α em s 0 Definição 1.2.1 Um subconjunto S R 3 é uma superfície regular se, para cada p S, existe uma vizinhança V de p em R 3 e uma aplicação X : U V S onde U R 2 é aberto e tal que 1. X é diferenciável. 2. X é um homeomorfismo. 3. Para todo q U, a diferencial dx(q) : R 2 R 3 é injetiva. Observação 1.2.2 A condição 3 é chamada de condição de regularidade. Esta condição é equivalente a dizer que dx(q) leva vetores l.i. em vetores l.i., ou também que (x, y) (x, z) (y, z) pelo menos um dos jacobianos, e é não nulo. (u, v) (u, v) (u, v) Nesta monografia, usamos um abuso de linguagem ao chamar de superfície a aplicação X(u, v). 13

Figura 1.4: Vizinhança coordenada do ponto p S Exemplo 1.2.3 A aplicação X : U R 3 dada por X(θ, ϕ) = ( sen θ cos ϕ, sen θ sen ϕ, cos θ), definida no aberto U = {(θ, ϕ) R 2 : 0 < θ < π e 0 < ϕ < 2π} é uma superfície regular, parte da esfera S 2 = {(x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 + z 2 = 1} cujos pontos estão representados na figura 1.6. A prova deste fato pode ser vista no livro [3]. Definição 1.2.4 Se S R 3 é uma superfície regular, uma função diferenciável α : I S é uma curva de superfície. Observação 1.2.5 Se X(u, v) é uma superfície, as curvas de superfície têm parametrização da seguinte forma α(t) = X(u(t), v(t)), t R Definição 1.2.6 Curvas coordenadas de uma superfície X(u, v) são as curvas de superfície, que se obtém fazendo um dos parâmetros u ou v constante. α(u) = (x(u, v 0 ), y(u, v 0 ), z(u, v 0 )), v 0 =constante β(v) = (x(u 0, v), y(u 0, v), z(u 0, v)), u 0 =constante 14

Figura 1.5: Curvas coordenadas Exemplo 1.2.7 As curvas coordenadas na superfície do parabolóide hiperbólico X(u, v) = (u, v, v 2 u 2 ), podem ser vistas na Figura 1.7. Figura 1.6: Esfera S 2 = {(x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 + z 2 = 1} Figura 1.7: Parabolóide Hiperbólico Definição 1.2.8 Seja X(u, v) uma superfície regular. Definimos como vetor tangente a S no ponto p S, o vetor tangente α (0) de uma curva de superfície α : ( ɛ, ɛ) S, com α(0) = p. Teorema 1.2.9 Seja X : U S uma parametrização de uma superfície regular S e seja q U. O subespaço vetorial de dimensão 2, dx(q)(r 2 ) R 3, coincide com o conjunto de vetores tangentes a S em X(q). 15

Demonstração Ver [5] Definição 1.2.10 O plano dx(q)(r 2 ) é chamado de plano tangente a S em p, e é denotado por T p S. { } X X A escolha de uma parametrização X determina uma base (q), u v (q) de T p S, chamada a base associada a X. Para simplificar a notação escreveremos, às vezes, X u (q) = X u e X v (q) = X v. Para cada ponto q U R 2, a matriz da aplicação dx(q), na base canônica de R 2 com coordenadas (u, v), na base canônica de R 3 com coordenadas (x, y, z) é: x x u v ( dx(q) = y y X u v z z = u, X ) = (X u, X v ) v u v onde X u, X v são os vetores tangentes às curvas coordenadas da superfície X(u, v). Qualquer vetor de T p S é uma combinação linear de X u e X v e pode ser escrito como w = u (0)X u + v (0)X v. Com efeito, pela definição 1.2.8, temos que w = α (0) para alguma curva α : ( ɛ, ɛ) S com α(0) = p. Assim α(t) = X(u(t), v(t)) onde w = α (0) = d dt (X(u(t), v(t))) t=0 = X du u dt t=0 + X dv v dt t=0 = u (0)X u + v (0)X v. A figura 1.8 ilustra os vetores X u e X v tangentes à superfície S. 16

1.3 Formas fundamentais Figura 1.8: Vetores tangentes X u e X v O produto interno canônico de R 3 induz em cada plano tangente T p S de uma superfície regular S um produto interno que denotamos por, p. A esse produto interno, que é uma forma bilinear simétrica, corresponde uma forma quadrática I p : T p S R, dada por I p (w) = w, w p = w 2 0 Definição 1.3.1 A forma quadrática I p : T p S R, dada por I p (w) = w, w p, é chamada de primeira forma fundamental da superfície regular S em p S. À partir da definição da primeira forma fundamental poderemos fazer medidas sobre a superfície (comprimento de curvas, ângulos de vetores tangentes, áreas de regiões, etc.), sem fazer menção ao espaço euclidiano R 3, onde a superfície S está mergulhada. Vamos agora expressar a primeira forma fundamental na base {X u, X v } associada a uma parametrização X : U X(U) S de S em p. Seja w T p S, então existe uma curva α : ( ɛ, ɛ) X(U) diferenciável em 0 tal que α(t) = X(u(t), v(t)), com α(0) = p e w = α (0) = u (0)X u (q)+v (0)X v (q), onde X(q) = p e q U. 17

Então, I p (w) = α (0), α (0) = u (0)X u (q) + v (0)X v (q), u (0)X u (q) + v (0)X v (q) = u (0) 2 X u (q), X u (q) p + 2u (0)v (0) X u (q), X v (q) p + v (0) 2 X v (q), X v (q) p = u (0) 2 E(q) + 2u (0)v (0)F (q) + v (0) 2 G(q) onde E(u, v) = X u (u, v), X u (u, v) p, F (u, v) = X u (u, v), X v (u, v) p e G(u, v) = X v (u, v), X v (u, v) p são os coeficientes da primeira forma fundamental na base {X u (u, v), X v (u, v)} de T p S. Observação 1.3.2 As funções E, F, G : U R são de classe C, E(u, v) > 0, G(u, v) > 0 e para todo (u, v) U temos X u X v 2 + X u, X v 2 = X u 2 X v 2 pois X u X v = X u X v sen θ e X u, X v = X u X v cos θ. E como X u 2 = E, X v 2 = G e X u X v = F, temos sempre EG F 2 > 0. No que segue algumas aplicações estarão definidas sobre U S, onde U é um aberto na superfície regular S. Isto motiva a seguinte definição: Definição 1.3.3 Seja f : U S R uma função definida em um subconjunto aberto U de uma superfície regular S. Então f é diferenciável em p U se, para alguma parametrização X : V R 2 S, com p X(V ) U, a composição f X : V R 2 R é diferenciável em X 1 (p). A função f é diferenciável em U se é diferenciável em todos os pontos de U. 18

Definição 1.3.4 Dado um ponto p de uma superfície regular S, um vetor unitário ortogonal ao plano tangente T p S é chamado de vetor normal em p. Em cada ponto de S existem dois vetores normais opostos. Dada uma parametrização X : U X(U) de S em p, fica determinado um vetor unitário normal em cada ponto p X(U) dado por onde q U. N(X(q)) = X u(q) X v (q) X u (q) X v (q), Obtemos, assim, uma aplicação N : X(U) R 3, diferenciável no sentido da definição (1.3.3), que associa a cada q U um vetor normal unitário N(p), com p = X(q). A aplicação linear dn(p) : T p S T N(p) S 2 opera da seguinte maneira: Seja α(t) uma curva contida em S com α(0) = p e N restrita à curva α(t). O vetor dn(p) α (0) = N (0) 1, é um vetor de T p S que mede a taxa de variação do vetor normal N, restrito à curva α(t) em t = 0. Assim, dn(p) α (0) mede o quanto N se afasta de N(p), em uma vizinhança de p, na direção α (0). Definição 1.3.5 De maneira geral, se V S é um conjunto aberto em S e N : V R 3 é uma aplicação diferenciável que associa a cada q V um vetor normal unitário em q, dizemos que N é um campo diferenciável de vetores normais unitários em V. Definição 1.3.6 Diremos que uma superfície regular é orientável se ela admite um campo diferenciável de vetores normais unitários definidos em toda a superfície. A escolha de um tal campo N é chamado uma orientação de S. Definição 1.3.7 Seja S R 3 uma superfície com uma orientação N. A aplicação N : S R 3 toma seus valores na esfera unitária S 2 = { (x, y, z) R 3 ; x 2 + y 2 + z 2 = 1 }. A aplicação N : S S 2, assim definida, é chamada a aplicação normal de Gauss. 19

Figura 1.9: Aplicação normal de Gauss N : S S 2 Definição 1.3.8 A forma quadrática II p : T p S R definida por II p (w) = dn p (w), w é chamada a segunda forma fundamental da superfície S em p. Seja α(s) uma curva parametrizada pelo comprimento de arco com α(0) = p. Indicando por N(s) a restrição do vetor normal N à curva α(s), teremos α (0), N = 0, donde 0 = α (0), N(0) + α (0), N (0), e assim α (0), N(0) = α (0), N (0), isto é, a segunda forma fundamental pode ser expressa por II p (α (0)) = α (0), N(0). Seja w T p S, temos w = α (0) = u X u + v X v onde α (0) = u (0)X u + u (0)(u (0)X uu + v (0)X uv ) + v (0)X u + v (0)(u (0)x vu + v (0)X vv ) = u (0)X u + v (0)X v + u (0) 2 X uu + 2u (0)v (0)X uv + v (0) 2 X vv. Assim a segunda forma fundamental em α (0) nos fornece II p (w) = α, N = X uu, N (u ) 2 + 2 X uv, N u v + X vv, N (v ) 2 = e(u ) 2 + 2fu v + g(v ) 2 1 Cometemos um abuso quando denotamos dn(p) α (0) = N (0).Na verdade N (0) = (N α) (0). 20

onde e = X uu, N, f = X uv, N e g = X vv, N são os coeficientes da segunda forma fundamental na base {X u, X v } de T p S. Definição 1.3.9 Seja C uma curva regular em S passando por p S, k a curvatura de C em p, e cos θ = n, N, onde n é o vetor normal a C e N é o vetor normal a S em p. O número k n = k cos θ é chamado curvatura normal de C em p. (Figura 1.10) Observação 1.3.10 A curvatura normal de C em p é o comprimento da projeção do vetor kn sobre a normal, N, à superfície em p. Figura 1.10: Curvatura normal Dado um vetor unitário w T p S, a interseção de S com o plano contendo w e N é o traço de uma curva chamada seção normal de S em p segundo a direção w. Uma seção normal é a imagem de uma curva regular plana em S, cujo vetor normal em p é ±N. Assim, dada uma superfície regular S e um ponto p S, para cada direção w T p S, temos uma seção normal em S e um valor para a função curvatura normal k n (w). Podemos 21

medir a curvatura normal na direção w, usando a diferencial dn p como segue: k n (w) = k n, N isto é, desde que α (0) = w w, temos = kn, N = α (0), N(0) = N (0), α (0) = dn(p) (α (0)), α (0) = II p (α (0)), k n (w) = dn(p).w, w w 2, (1.1) para w 1. 22

Capítulo 2 Geodésicas 2.1 Vetor aceleração Antes de definirmos o que seja uma curva geodésica, estudemos como expressar o vetor aceleração, α (η), de uma curva α : I R 3 em diferentes bases do R 3. Através da fórmula t = kn, expressamos o vetor aceleração em função dos vetores t(s) e n(s) do triedro de Frenet. Proposição 2.1.1 Sendo k a curvatura da curva α(η) e v = α (η) temos α (η) = v t + kv 2 n (2.1) Com efeito, sendo s o parâmetro comprimento de arco e α(η) = β(s), temos α (η) = d ( ) dβ dη dη = d ( ) dβ ds dη ds dη = d ( ) dβ ds dη ds dη + dβ d 2 s ds dη 2 ( ) 2 = d2 β ds + dβ d 2 s ds 2 dη ds dη 2 23

= β (s)v 2 + β (s) dv dη = kv 2 n(s) + v t(s). Esta expressão de α (η) nos mostra que se v(η) = α (η) for constante, então v (η) = 0, e a aceleração não tem componente tangencial a α(η), restando apenas a componente normal à curva. Assim, sempre que v(η) for constante, α (η) é paralelo a n, unitário normal de α(η). No caso especial em que α(η) está parametrizada pelo comprimento de arco, v(η) = α (η) = 1, e obviamente α (η) é paralelo a n. Uma outra forma de expressar o vetor aceleração é através da combinação linear dos vetores ortonormais t (tangente unitário), N (normal unitário à superfície) e t N. O vetor tangente unitário t é sempre perpendicular ao vetor normal unitário N, da superfície, permitindo assim, que tenhamos uma base ortonormal {t, t N, N}. Quando a curva não está p.c.a, isto é, α (η) = v(η) cte, o vetor aceleração α (η) tem componentes A = α (η), t, B = α (η), t N e C = α (η), N na base {t, t N, N}. Assim onde temos as seguintes igualdades: α (η) = At + Bt N + CN, i) dv dη = A. Com efeito, derivando a igualdade α (η), α (η) = v(η) 2 temos que 2 α (η), α (η) = 2v(η) dv dη e como t = α (η) v(η) temos que α (η), v(η)t = v(η) dv dη donde A = α (η), t = dv dη. ii) kv 2 cos β = B onde β é o ângulo entre os vetores N e α (η) α (η). Com efeito, B = α (η), t N = N, α (η) t = N, α (η) α (η) v = 1 v N α (η) α (η) cos β = 1 v (kv 2 n + v t) (vt) cos β 24

= 1 (kv 2 n) (vt) cos β v = 1 v kv2 n vt sen (n, t) cos β = kv 2 cos β. Definição 2.1.2 Chamamos de curvatura geodésica da curva α(η) ao número k g = k cos β. Desta definição segue-se que B = k g v 2. iii) k n v 2 = C onde k n é a curvatura normal segundo α (η). De fato, desde que C = α (η), N, segue-se de (1.1) que k n = α (η), N v 2 logo C = k n v 2. Assim, a equação (2.1) para a curva α(η) não necessariamente parametrizada pelo comprimento de arco se torna α (η) = dv dη t + k gv 2 (t N) + k n v 2 N (2.2) Como os vetores X u, X v e N são linearmente independentes, temos uma terceira forma de expressar o vetor aceleração, usando a base {X u, X v, N}, não necessariamente ortogonal. Como não há mais perigo de confusão adotaremos doravante t como parâmetro da curva. Seja α(t) = X(u(t), v(t)) então α (t) = u X u + v X v e diferenciando novamente esta equação, temos α (t) = X uu u 2 + X u u + 2X uv u v + X vv v 2 + X v v (2.3) Os vetores X uu, X uv e X vv podem ser expressos na base {X u, X v, N} como segue X uu = Γ 1 11X u + Γ 2 11X v + en, X uv = Γ 1 12X u + Γ 2 12X v + fn e (2.4) X vv = Γ 1 22X u + Γ 2 22X v + gn. 25

Os coeficientes Γ k ij são chamados símbolos de Christoffel e podem ser determinados em função dos coeficientes da 1 a forma fundamental, conforme as equações abaixo. Os escalares e, f e g são os coeficientes da 2 a forma fundamental. Γ 1 11 = Γ 1 12 = Γ 1 22 = 1 2(EG F 2 ) (GE u 2F F u + F E v ) Γ 2 1 11 = 2(EG F 2 ) (2EF u EE v F E u ) 1 2(EG F 2 ) (GE v F G u ) Γ 2 1 12 = 2(EG F 2 ) (EG u F E v ) (2.5) 1 2(EG F 2 ) (2GF v GG u F G v ) Γ 2 1 22 = 2(EG F 2 ) (EG v 2F F v + F G u ) Substituindo as equações (2.4) em (2.3), obtemos a expressão de α (t) na base {X u, X v, N} : α (t) = (u + Γ 1 11u 2 + 2Γ 1 12u v + Γ 1 22v 2 )X u + (v + Γ 2 11u 2 + 2Γ 2 12u v + Γ 2 22v 2 )X v + (2.6) (eu 2 + 2fu v + gv 2 )N 2.2 Geodésicas e pré-geodésicas Definição 2.2.1 Uma curva regular de superfície α : I S, parametrizada pelo comprimento de arco, é uma geodésica se o vetor α (s) é perpendicular à superfície no ponto α(s), isto é, α (s) é paralelo ao vetor N, normal à superfície. Proposição 2.2.2 Uma geodésica α : I S tem velocidade, α (t), constante. Demonstração Se α(t) é uma geodésica, α (t) é paralelo a N, então α α, e portanto, α, α = 0. Assim d dt α (t) 2 = d dt α, α = 2 α, α = 0, onde α (t) = cte. Exemplo 2.2.3 A reta com parametrização α(t) = (3t 3, 4t 3, 0) não é uma geodésica do plano xy. Podemos verificar isto de duas maneiras. Na primeira, α (t) = (9t 2, 12t 2, 0), logo v = α (t) = 15t 2 que não é constante. Na segunda, temos que α (t) = (18t, 14t, 0) está no plano xoy, isto é, não é perpendicular ao plano. 26

Porém, se reparametrizarmos α(t) com s = 5t 3 vemos que β(s) é uma geodésica, pois β(s) = (3s/5, 4s/5, 0) o que implica β (s) = 0. Este exemplo nos sugere a seguinte definição: Definição 2.2.4 No caso em que α(t) reparametrizada se torna uma geodésica, α(t) é chamada de pré-geodésica. Para ilustrarmos a definição acima, seja X(u, v) = ( sen v cos u 2, sen v sen u 2, cos v) uma parametrização da esfera unitária S 2. A curva α(t) = X(t, π/2) = (cos t 2, sen t 2, 0), isto é, a linha do equador, é conhecidamente uma geodésica. No entanto, calculando α (t) vemos que não se verifica α (t) paralelo a N. Neste caso α(t) é uma pré-geodésica de S 2. Para sabermos se uma curva α(η) = X(u(η), v(η)) é uma geodésica, basta analisarmos a equação α (η) = dv dη t + k gv 2 (t N) + k n v 2 N. Primeiramente v = α (η) deve ser constante para que dv dη = 0 e α (η) não tenha componente tangencial. Para não termos componente na direção t N, como v 0, a curvatura geodésica k g deve ser zero. Precisamos, então, de uma forma prática para calcular a curvatura geodésica de uma curva qualquer, α(η), e verificar se ela é igual a zero em todos os seus pontos. Vimos acima, quando calculamos o coeficiente B da equação (2.2) que, B = N, α (η) α (η) = k g v 2. v Logo, podemos achar a curvatura geodésica de α(t) por: k g = 1 v 3 N, α α Porém, como saber se uma curva α(t) = X(u(t), v(t)) é uma pré-geodésica? Se α (t) não for constante, será que α(t) pode ser reparametrizada para β(s), tal que β(s) seja uma geodésica? 27

Proposição 2.2.5 Para que α(t) seja uma pré-geodésica é necessário e suficiente que sua curvatura geodésica seja nula em todos os pontos. Demonstração Ver [5]. Exemplo 2.2.6 Para fixar idéias verifiquemos que no cilindro reto X(u, v) = (cos u, sen u, v), a secção normal, não paralela à base e que não contenha o eixo Oz, não é uma geodésica (nem pré-geodésica) e que a hélice circular, α(t) = (cos t, sen t, t) é uma geodésica. Figura 2.1: Seção normal do cilindro reto e a hélice circular. Seja a seção normal α(t) = X(u(t), v(t)), com u(t) = t e v(t) = a cos t sendo a > 0 e 0 t 2π. Então α(t) = (cos t, sen t, a cos t) onde α (t) = ( sen t, cos t, a sen t). Daí, α (t) = 1 + a 2 sen 2 t e α (t) = ( cos t, sen t, a cos t). Vamos calcular o vetor normal N do cilindro. Como u(t) = t então X u = ( sen t, cos t, 0), X v = (0, 0, 1) e X u X v = (cos t, sen t, 0), logo N = (cos t, sen t, 0). Comparando α com N, vemos que não são paralelos, pois N tem a 3 a componente nula. Mas será que existe alguma parametrização de α que a torne uma geodésica? Será que α é uma pré-geodésica? Conforme a proposição 2.2.5, basta verificar se a curvatura geodésica de α é nula em todos os pontos. 28

Mas, N, α α = a cos t 0, e portanto não é uma pré-geodésica. Seja agora a hélice circular α(t) = (cos t, sen t, t), 0 t 2π. Temos que α (t) = ( sen t, cos t, 1) onde α (t) = 2. Além disso α (t) = ( cos t, sen t, 0) é paralelo a N = (cos t, sen t, 0) onde, de fato, α(t) é uma geodésica. Exemplo 2.2.7 Seja α(t) = (t, t, t 2 ). Para u(t) = t e v(t) = t, α é uma curva na superfície X(u, v) = (u, v, uv). Assim, α (t) = (1, 1, 2t) o que implica α (t) = 2 + 4t 2 onde α(t) não é uma geodésica. Por outro lado, α (t) = (0, 0, 2), X u = (1, 0, v), X v = (0, 1, u) e X u X v = ( v, u, 1) 1 onde N = ( t, t, 1). 2t2 + 1 Assim, a curvatura geodésica é dada por, k g = 1 v N, 3 α α t t 1 1 1 = 2t2 + 1 4t2 + 2 3 0 0 2 1 1 2t 1 1 = 3 ( 2t + 2t) 2t2 + 1 4t2 + 2 = 0. Portanto, a curva α(t) = (t, t, t 2 ) é uma pré-geodésica de X(u, v). Observe que não precisamos saber qual é a reparametrização de α(t) para afirmarmos que se trata de uma pré-geodésica. 2.3 Equações das geodésicas Para termos as equações diferenciais que permitem obter as funções u(t) e v(t) das geodésicas α(t) = X(u(t), v(t)) de uma superfície regular X(u, v), basta anularmos as 29

componentes dos vetores X u e X v, do vetor aceleração α (t), na expressão (2.6). Desta forma, obtemos o sistema de duas equações diferenciais de 2 a ordem, u + Γ 1 11u 2 + 2Γ 1 12u v + Γ 1 22v 2 = 0 v + Γ 2 11u 2 + 2Γ 2 12u v + Γ 2 22v 2 = 0. (2.7) Se X(u 0, v 0 ) = p e w = ax u (u 0, v 0 )+bx v (u 0, v 0 ), o teorema de existência e unicidade de soluções de equações diferenciais garante a existência de funções u(t) e v(t) num intervalo ( ɛ, ɛ), satisfazendo as equações (2.7) com as condições (u(0), v(0)) = (u 0, v 0 ), du dt (0) = a e dv (0) = b. dt É importante ressaltar que as pré-geodésicas α(t) = X(u(t), v(t)), não satisfazem as equações (2.7), pois estas não têm velocidade constante. A pré-geodésica α(t) = (t, t, t 2 ), do exemplo (2.2.7), na superfície X(u, v) = (u, v, uv), não satisfaz as equações (2.7). De fato, temos E = 1 + v 2, F = uv e G = 1 + u 2. Pelas equações (2.5) temos os símbolos de Christoffel Γ 1 11 = 0, Γ 1 12 = v 1 + u 2 + v 2, Γ1 22 = 0, Γ 2 11 = 0, Γ 2 12 = 0 e Γ 2 22 = 0. Como u(t) = t e v(t) = t, temos u = 1, u = 0, v = 1 e v = 0. Levando estes valores nas equações (2.7), elas só se verificam para t = 0. Ou seja, as equações (2.7) não são satisfeitas pela pré-geodésica. Exemplo 2.3.1 Obteremos agora as geodésicas do cone parametrizado por X(u, v) = (u cos v, u sen v, u). Os coeficientes da 1 a forma são E = 2, F = 0 e G = u 2, e portanto os símbolos de Christoffel são Γ 1 11 = 0, Γ 1 12 = 0, Γ 1 22 = u 2, Γ2 11 = 0, Γ 2 12 = 1 u e Γ2 22 = 0. 30

Assim, o sistema de equações diferenciais (2.7) é u u 2 v 2 = 0 v + 2 u u v = 0. A 2 a equação deste sistema pode ser reduzida a equação de 1 a ordem, da seguinte maneira, v dt v = 2 u u dt ln v = 2 ln u + c v = d u 2 Considerando que a geodésica procurada α(t) = X(u(t), v(t)) está parametrizada pelo comprimento de arco, podemos assumir que α (t) 2 = Eu 2 + Gv 2 = 1. Substituindo v = d u na expressão acima, temos 2 u = 1 u 2 d 2. Dividindo v por u 2 u obtemos uma integral que caracteriza as geodésicas do cone. Tem-se que dv du = v u dv du = d 2 u u 2 d 2 v = d du 2 u u 2 d. 2 Calculando esta integral, obtemos v = 2 sec 1 u + e e resolvendo em relação a u, d temos finalmente u = d sec( v + e ), para u > 0. 2 Ao passarmos da variável t para a variável v, não podemos garantir que α(v) esteja parametrizada pelo comprimento de arco onde temos na realidade uma pré-geodésica. 31

Assim, a equação das pré-geodésicas do cone é α(v) = X(u(v), v) ( = d sec( v + e ) cos v, d sec( v + e ) sen v, d sec( v + e ) ) 2 2 2 (2.8) Particularmente para d = 1 e e = 0, temos a pré-geodésica ( α(v) = sec( v ) cos v, sec( v ) sen v, sec( v ) ) 2 2 2 (2.9) Figura 2.2: Pré-geodésica no cone 2.4 Exemplos de geodésicas Os sistemas de equações diferenciais das geodésicas nem sempre são de tratamento simples no que diz respeito às suas soluções. Nos exemplos a seguir explicitaremos as equações diferenciais das geodésicas sem nos preocupar com suas soluções. O leitor interessado numa visualização geométrica das geodésicas nas superfícies pode consultar o programa computacional Maple. Exemplo 2.4.1 Geodésicas no parabolóide elíptico X(u, v) = (u cos v, u sen v, u 2 ). 32

Calculando os coeficientes da 1 a forma fundamental, temos E = 1 + 4u 2, F = 0 e G = u 2. Os símbolos de Christoffel são Γ 1 11 = 4u 1 + 4u 2, Γ1 12 = 0, Γ 1 22 = u 1 + 4u 2, Γ2 11 = 0, Γ 2 12 = 1 u e Γ2 22 = 0. Assim, o sistema de equações diferenciais (2.7) é (1 + 4u 2 )u + 4uu 2 uv 2 = 0 uv + 2u v = 0. Figura 2.3: Geodésicas pelo ponto X(3, 1). Exemplo 2.4.2 Geodésicas no parabolóide hiperbólico X(u, v) = (u, v, u 2 v 2 ). Calculando os coeficientes da 1 a forma fundamental temos: E = 1 + 4u 2, F = 4uv e G = 1 + 4v 2. Os símbolos de Christoffel são Γ 1 4u 11 = Γ 2 4v 4u 2 + 4v 2 11 = + 1 4u 2 + 4v 2 + 1 Γ 1 12 = 0 Γ 2 12 = 0 Γ 1 4u 22 = Γ 2 4v 4u 2 + 4v 2 22 = + 1 4u 2 + 4v 2 + 1. Assim, o sistema de equações diferenciais (2.7) é u 4u 4u + 4u 2 + 4v 2 + 1 u 2 4u 2 + 4v 2 + 1 v 2 = 0 v 4v 4v + 4u 2 + 4v 2 + 1 u 2 + 4u 2 + 4v 2 + 1 v 2 = 0. 33

Com o auxílio do programa Maple podemos visualizar duas geodésicas pelo ponto X(u, v) = X(1, 2) conforme figura 2.4. Figura 2.4: Geodésicas pelo ponto X(1, 2). Exemplo 2.4.3 Geodésicas no toro X(u, v) = ((3 + cos v) cos u, (3 + cos v) sen u, sen v). Os coeficientes da 1 a forma fundamental são E = (3 + cos v) 2, F = 0 e G = 1, e os símbolos de Christoffel são Γ 1 11 = 0 Γ 2 11 = (3 + cos v) sen v Γ 1 12 = sen v 3 + cos v Γ 2 12 = 0 Γ 1 22 = 0 Γ 2 22 = 0. O sistema de equações diferenciais (2.7) resulta em u 2 sen v 3 + cos v u v = 0 v + sen v(3 + cos v)u 2 = 0. 34

Capítulo 3 Geodésicas em superfícies de revolução 3.1 Solução geral Seja S R 3 a superfície de revolução obtida ao girarmos uma curva regular α do plano xz ao redor do eixo z. Se a curva α está parametrizada na forma x = f(u), y = 0 e z = g(u) com f, g funções diferenciáveis e f(u) 0 1, então a superfície S admite uma parametrização X(u, v) = (f(u) cos v, f(u) sen v, g(u)). De X u = (f (u) cos v, f (u) sen v, g (u)) e X v = ( f(u) sen v, f(u) cos v, 0), encontramos E = f (u) 2 + g (u) 2, F = 0 e G = f(u) 2. Os símbolos de Christoffel são Γ 1 11 = f f + g g Γ 2 f 2 + g 2 11 = 0 Γ 1 12 = 0 Γ 2 12 = f Γ 1 22 = ff Γ 2 f f 2 + g 2 22 = 0, 1 Esta restrição pode ser eliminada caso o vetor velocidade α da curva seja ortogonal ao eixo z. 35

onde f = df du e g = dg. Temos então as equações diferenciais das geodésicas de uma du superfície de revolução, onde u = du dt e v = dv dt. v + 2 f f u v = 0 u + f f + g g f 2 + g 2 u 2 ff f 2 + g 2 v 2 = 0, (3.1) A partir deste sistema podemos tirar as seguintes conclusões: Proposição 3.1.1 Os meridianos v = const. e u = u(s), parametrizados pelo comprimento de arco são geodésicas. Demonstração Com efeito, a primeira das equações em (3.1) é claramente satisfeita por v = v 0. A segunda equação fica u + f f + g g (f ) 2 + (g ) 2 (u ) 2 = 0. (3.2) Sendo α(s) a parametrização pelo comprimento de arco do meridiano temos α(s) = (f(u(s)) cos v 0, f(u(s)) sen v 0, g(u(s))), onde α (s) = (f (u)u (s) cos v 0, f (u)u (s) sen v 0, g (u)u (s)). De α (s) = 1, obtemos a equação (u ) 2 = derivando esta última igualdade, temos 1 (f ) 2 + (g ) 2. 2u u = 2 f f + g g (f ) 2 + (g ) 2 u = 2 f f + g g (f ) 2 + (g ) (u ) 3, 36

e desde que u 0 temos u = f f + g g (f ) 2 + (g ) (u ) 2, que é exatamente a equação (3.2). Isto mostra que, de fato, os meridianos são geodésicas. Proposição 3.1.2 Os paralelos u = const. e v = v(s), parametrizados pelo comprimento de arco, s, são geodésicas se f (u) = 0. Demonstração Sendo u = u 0, então u = u = 0. A equação 3.1 nos fornece ff f 2 + g 2 v 2 = 0 (3.3) v = 0. Para que o paralelo u = cte, v = v(s), seja uma geodésica é necessário que v 0, pois do caso contrário teríamos u = cte e v = cte. Como (f ) 2 + (g ) 2 0 e f > 0, segue-se de (3.3) que f = 0. Esta proposição nos diz que uma condição necessária para que um paralelo de uma superfície de revolução seja uma geodésica é que tal paralelo seja gerado pela rotação de um ponto da curva geratriz onde a reta tangente é paralela ao eixo de revolução. Por outro lado se um paralelo é uma geodésica, então a normal a esse paralelo coincide com a normal a superfície, ou seja, nesses pontos a reta tangente à curva é paralela ao eixo de revolução. Se pensarmos na curva como um gráfico de f definido na projeção ortogonal da curva sobre o eixo de rotação concluiremos que esses pontos são máximos ou mínimos da função f onde f = 0. Portanto temos o seguinte resultado: Proposição 3.1.3 Uma condição necessária e suficiente para que um paralelo parametrizados pelo comprimento de arco numa superfície de revolução seja uma geodésica é que f (u) = 0. Seja α(s) = X(u(s), v(s)) uma geodésica parametrizada pelo comprimento de arco, que iremos supor não ser nem um meridiano nem um paralelo da superfície. Segue-se da 37

primeira equação em (3.1) que d(f 2 v ) ds = 2ff u v + f 2 v ( = f 2 2 f ) f u v + v = 0, logo f 2 v = const. = c 0. (3.4) Como α (s) = 1, temos 1 = u (s) 2 (f (u) 2 + g (u) 2 ) + v (s) 2 f(u) 2. (3.5) Como a geodésica não é um meridiano, v (s) 0. Podemos, então, inverter v = v(s), ( ) 2 ds obtendo s = s(v) e u = u(s(v)). Multiplicando a equação (3.5) por obtemos dv e por (3.4) temos Portanto, onde ( ) 2 ds = dv ( ) 2 ds = f 4 dv c, onde 2 f 2 = c2 f 2 v = c ( ) 2 du (f (u) 2 + g (u) 2 ) + f(u) 2 dv ( ) 2 du (f 2 + g 2 ) + c 2. dv du dv = f f 2 c 2 c f 2 + g 2 1 f 2 + g 2 du + const., f f 2 c2 que é a equação de um segmento de pré-geodésica de uma superfície de revolução que não é nem um paralelo nem um meridiano. Finalizamos descrevendo as equações diferenciais das pré-geodésicas de algumas superfícies conhecidas. 38

Figura 3.1: Paralelos geodésicos e não geodésicos. 3.2 Equações das geodésicas de algumas superfícies 1. Geodésicas do cilindro Neste caso, as funções f e g definem uma reta paralela ao eixo z, isto é, f(u) = a, g(u) = u. As equações implícitas das pré-geodésicas que não são paralelos são v = v(u) com: dv du = c 02 + 1 2 a a 2 c = α 2 Portanto v = αu + β. Os valores das constantes α e β dependem do ponto e direção por onde passa a curva. Como f (u) = 0 para todo u R, todos os paralelos são geodésicas. Por fim, desde que o cilindro de revolução pode ser parametrizado por X(u, v) = (a cos u, a sen u, bv), fazendo v = αu + β, obtemos a pré-geodésica, ϕ(u) = (a cos u, a sen u, b(αu + β)), isto é, uma helicóide. 39

Figura 3.2: Geodésicas no cilindro Figura 3.3: Geodésica que não é paralelo nem meridiano 2. Geodésicas do Cone Neste caso, as funções f e g definem uma reta no plano xz não paralela ao eixo z, isto é, f(u) = mu + b, g(u) = u com m 0. Mediante uma translação podemos supor b = 0. As equações implícitas das pré-geodésicas que não são paralelos serão v = v(u) com: Fazendo γ = c m 2 + 1 m 2 dv du = e β = c m, temos c m2 + 1 (mu + b) (mu + b) 2. c 2 dv du = γ u u 2 β 2, 40

onde γ v(u) = u du + cte u 2 β2 = γ u β sec 1 β + cte Portanto, uma pré-geodésica no cone parametrizado por X(u, v) = (u cos v, u sen v, u) é uma curva da forma α(v) = β sec[βγ 1 (v cte)](cos v, sen v, 1). Desde que f (u) = m 0, não existem paralelos que sejam geodésicas. Figura 3.4: Geodésica no cone 3. Geodésicas do parabolóide de revolução O parabolóide de revolução é a superfície que se obtem ao girarmos uma parábola no plano xz ao redor de z. As funções que determinam esta superfície são f(u) = u e g(u) = mu 2, com m 0. As geodésicas são caracterizadas por: dv du = c 1 + (2mu) 2. u u2 c 2 Fazendo c = λ 2m temos, dv du = λ u 2 + ( 1 2m u u 2 ( λ 2m ) 2 ) 2 41

onde v(u) = u 2 + ( ) 1 2 2m λ u u 2 ( ) du + cte. λ 2 2m Portanto, uma pré-geodésica no parabolóide de revolução parametrizado por X(u, v) = (u cos v, u sen v, mu 2 ) é uma curva da forma α(u) = (u cos v(u), u sen v(u), mu 2 ). Desde que f (u) = 1 0, não existem paralelos que sejam geodésicas. Figura 3.5: Geodésica no parabolóide 4. Geodésicas do toro O toro se obtem ao girarmos uma circunferência no plano xz que não intercepta o eixo z em torno do eixo z. As funções que descrevem o toro são: f(u) = a cos u+b, g(u) = a sen u, onde b > a > 0. Desde que f (u) = a sen u = 0 implica u = 0 e u = π somente as circunferências interior e exterior do toro são geodésicas. As outras geodésicas do toro serão caracterizadas por: dv du = ac (a cos u + b) (a cos u + b) 2 c 2, 42

onde v(u) = ac (a cos u + b) (a cos u + b) 2 c 2 du. Figura 3.6: Paralelos do toro Figura 3.7: Meridianos do toro 43

Figura 3.8: Geodésica que não é paralelo nem meridiano 5. Geodésicas da esfera A esfera é a superfície obtida ao girarmos a circunferência unitária centrada na origem do plano xz ao redor do eixo z. As funções que à caracterizam são, f(u) = sen u, g(u) = cos u com, 0 < u < π. As equações das geodésicas são dadas por onde dv du = v(u) = c sen u sen 2 u c 2, c sen u du. (3.6) sen 2 u c2 Portanto, uma pré-geodésica na esfera parametrizada por X(u, v) = ( sen u cos v, sen u sen v, cos u) é uma curva da forma α(u) = ( sen u cos v(u), sen u sen v(u), cos u). Pode ser mostrado que α é a parametrização de um círculo máximo da esfera. Desde que f (u) = cos u = 0 implica u = π 2 é geodésica. temos o equador como único paralelo que 44

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