Rascunho. De N a R. Capítulo O conjunto N Operações em N

Capítulo 1 De N a R Para entender melhor o conjunto dos números reais, iremos passar por todos conjuntos numéricos relevantes. Nestes momentos iniciais deste curso, consideramos que todos alunos tem alguma familiaridade com o conjunto dos números naturais, inteiros, racionais, irracionais e reais, com as representações geométricas destes conjuntos na reta e com representações decimais desses números. O foco, neste momento, é no uso, nas propriedades de cada conjunto e nas inovações quando passamos de um para outro conjunto maior. 1.1 O conjunto N O conjunto dos números naturais, denotado por N é aquele composto pelos números usados para contar. Na verdade, o mais correto seria dizer que é o conjunto dos números usados para enumerar, de determinar quantidades de objetos. Geralmente, diz-se que este conjunto é dado por N = {0, 1,,...}. É natural perguntar o motivo de ter escrito "geralmente". E a resposta é bem simples: em alguns momentos, a existência do elemento zero é importante, em alguns outros momentos, não. Por exemplo, o 0 será tomado como elemento neutro da adição; em outro momento desta mesma disciplina, ao estudarmos sequências, é mais simples dizer que o primeiro elemento é o a 1, o segundo é a e assim por diante, ou seja, é mais conveniente que N comece a partir do 1. Sempre que necessário, será reforçado quando uma ou outra definição será tomada. Uma propriedade fundamental que o conjunto dos números naturais tem está relacionada ao problema de contagem: sempre haverá um conjunto composto de números naturais com um elemento a mais, ou seja, quando uma pessoa escolhe um número natural x, existe um número que é maior 1 que esse (por exemplo, x + 1). Como consequência disto, o conjunto N é infinito. Resta agora definir como que funcionam as operações entre números naturais, no sentido de como que essas operações são feitas, mas principalmente no que elas significam e alguns detalhes nas propriedades que geralmente passam despercebidos. 1.1.1 Operações em N Apesar de intuitiva, devemos formalizar um pouco o que é uma operação. Considere, para começar, um conjunto não vazio C. 1 Em breve, faremos mais comentários sobre o que significa ser "maior que". 1

Definição 1. Uma operação binária * em C é uma função do produto cartesiano C C em C tal que : C C C (x, y) x y Traduzindo o que isso significa: dados dois elementos x e y de C, a eles corresponderá um número x y, resultado da operação entre esses dois elementos. Do nosso cotidiano, lembramos das duas operações que são tomadas como as mais importantes. São elas a adição e a multiplicação: + : N N N (x, y) x + y : N N N (x, y) x y Uma primeira observação importante é observar que, ao descrever essas operações desse jeito, as respostas devem ser obrigatoriamente elementos do mesmo conjunto. Isto é, formalmente, uma propriedade muito importante da adição e multiplicação de números naturais: a soma e a multiplicação de números naturais é sempre um número natural. Chamamos essa propriedade de fechamento de N com relação à adição e multiplicação ou que N é fechado com relação à adição e multiplicação. Exercício 1.1. Algum dos conjuntos numéricos que iremos estudar não possui essa propriedade de fechamento (nem com respeito à adição nem à multiplicação). Qual é ele? Dê um contraexemplo para mostrar que a sua hipótese é verdadeira. Proposição 1. Para todos a, b, c naturais, tem-se b = c = a + b = a + c. Prova: A adição, como foi definida, é uma função que aplica o conjunto N N no conjunto N. Portanto, um elemento de N N não pode ter duas imagens distintas em N. Como b = c, os pares ordenados (a, b) e (a, c) são idênticos, qualquer que seja a N. Portanto, esses pares ordenados (a, b) e (a, c) tem mesma imagem, pela função adição, em N. A imagem de (a, b) é a + b e a imagem de (a, c) é a + c. Então a + b = a + c. Exercício 1.. Mostre, usando uma argumentação semelhante ao da proposição anterior, que, para todos naturais a, b, c, tem-se b = c = ac = bc. Outras propriedades da adição de números naturais são: (A1 - Associatividade) x + (y + z) = (x + y) + z x, y, z N. (A - Comutatividade) x + y = y + x x, y, z N. (A3 - Existência de elemento neutro) x + 0 = 0 + x = x x N. Também existem propriedades da multiplicação: (M1 - Associatividade) x (y z) = (x y) z x, y, z N. (M - Comutatividade) x y = y x x, y N. (M3 - Existência de elemento neutro) x 1 = 1 x = x x N. Para fins de simplificação da notação, escreveremos xy ao invés de x y. Exercício 1.3. Considere dois conjuntos A e B com m e n elementos, respectivamente. Considere também o produto cartesiano A B = {(a, b) a A, b B}. Construa uma matriz para ilustrar que A B possui m n elementos. Mais ainda: use a matriz construída para explicar a veracidade da propriedade comutativa da multiplicação.

Uma informação importante é que, obrigatoriamente, os elementos neutros da adição e multiplicação devem ser diferentes. Mas já sabemos disso intuitivamente. E se eles fossem iguais, o que aconteceria? Exemplo 1. O elemento neutro da adição é único. Prova: Suponha que existam dois elementos neutros 0 e 0. Como 0 é elemento neutro, então 0 + 0 = 0. Por outro lado, como 0 também é elemento neutro, então 0 + 0 = 0. Da comutatividade da adição, temos que 0 = 0 + 0 = 0 + 0 = 0, ou seja, 0 = 0. Portanto, se existe um elemento neutro da adição, ele deve ser igual ao zero. Exercício 1.4. Com argumento semelhante ao do exemplo anterior, mostre que o elemento neutro da multiplicação é único. Além dessas propriedades já citadas, existe uma outra que relaciona as duas operações: (D1 - Distributividade ) x (y + z) = x y + x z x, y, z N. Exercício 1.5. Usando as propriedades listadas acima (e, em cada passo da demonstração, apenas elas), mostre que a distributividade é válida à direita, ou seja, que (x + y) z = x z + y z, para quaisquer números naturais x, y e z. 1.1. Ordem em N Agora formalizaremos um pouco sobre o que significa um número ser maior que outro. Intuitivamente, basta olhar para a semirreta dos números naturais e notar que um número natural m é menor que o natural n se aquele está à esquerda deste no eixo orientado para a direita. De modo um pouco mais formal, tem-se: Definição. Dados dois números naturais m e n, tem-se que m é menor que n se existe um número natural p, p 0, tal que n = m + p. Neste caso, escreve-se m < n. Analogamente, podemos fazer: Definição 3. Dados dois números naturais m e n, tem-se que m é menor que ou igual a n se existe um número natural p tal que n = m + p. Neste caso, escreve-se m n. Por exemplo, o número é menor que o 5 pois existe um número natural (que é o 3) tal que 5 = + 3. Outro exemplo, um pouco mais curioso, é o que mostra que 4 4, já que o número natural 0 satisfaz 4 = 4 + 0. Este último exemplo ilustra uma das propriedades da ordem: (Reflexividade) m m m N (Antissimetria) Se n m e m n, então tem-se que m = n, para todos valores de m e n naturais. Mais correto seria escrever "distributividade da multiplicação em relação à adição". 3

(Transitividade) m n, n p = m p, m, n, p N. (Tricotomia) Dados m, n N, ocorre uma e somente uma das possíbilidades: m < n, n < m ou m = n. (Compatibilidade com adição e multiplicação) mp np, m, n, p N. m n = m + p n + p e Exercício 1.6. Mostre utilizando a definição da ordem, que as quatro primeiras propriedades são, de fato, válidas. A quinta propriedade será feita como exercício ao chegarmos no conjunto dos números reais. 1.1.3 Axiomas de Peano Tudo o que fizemos até aqui teve um pouco mais de formalidade matemática do que estamos acostumados, mas ainda assim é necessário revisitar o tema mais uma vez, inspirando-se no modo que a Teoria dos Conjuntos (que pouco se parece com as nossas ideias intuitivas do que significa "Teoria dos Conjuntos") lida com o tema. O nome axioma significa "verdade evidente por si mesma", segundo o dicionário Aurélio. Na matemática, são consideradas como verdades iniciais e bases para a teoria a ser desenvolvida. Outras verdades, mas que podem ser demonstradas a partir dos axiomas, são chamadas de teoremas, proposições ou corolários, dependendo do uso. Deve-se ao matemático italiano Giuseppe Peano (1858-193) a elaboração dos axiomas que caracterizam completamente o conjunto N dos números naturais: Definição 4 (Axiomática de Peano). Existe um par (N, s) consistindo de um conjunto N (cujos elementos são chamados números naturais) e uma aplicação s : N N (chamada "função sucessor") nas condições abaixo: (P1) A função s : N N é injetiva, ou seja, para quaisquer valores naturais m, n, tem-se s(m) = s(n) = m = n. (P) Existe em N um elemento denotado 0 tal que, para todo elemento n N, 0 s(n), ou seja, existe um número, o zero, que não é sucessor de nenhum número e é considerado o elemento inicial da ação de s. (P3) Se M é um subconjunto de N tal que 0 M e tal que s(n) M sempre que n M, então M = N, ou seja, 0 M e s(m) (M) = M = N. Por trás desta construção, está a ideia recursiva de construir o conjunto dos naturais a partir do zero e sempre tomando o sucessor, consequentemente construindo uma ordem dentro de N. A axiomática de Peano permite que a construção das operações de adição e multiplicação possam ser formalmente definidas a partir da ideia de sucessor. Para isto, fixemos um natural m e considere outro n N: { { m + 1 = s(m) 1 m = m m + s(n) = s(m + n) m s(n) = m + m n Indutivamente, é possível chegar às propriedades da adição e da multiplicação da forma como apresentamos antes. Além disso, o axioma (P3) é fundamental para construir um método de demonstração para afirmações envolvendo os números naturais conhecido como Princípio de Indução Finita. 4

Teorema 1 (Princípio de Indução Finita). Suponhamos que, para cada número natural n, P(n) é uma afirmação a respeito de n. Se P(0) é verdadeira e se P(s(n)) é verdadeira quando P(n) é verdadeira, então P(n) é verdadeira para qualquer número natural n. Prova: Suponha, por contradição, que P(n) é falsa para algum número natural. Considere k 1 como sendo o menor número natural tal que P(k 1 ) é falsa. Por hipótese, k 1 0, ou seja, k 1 é o sucessor de outro número natural, que chamaremos de k 0. Da escolha do elemento k 1, segue que P(k 0 ) é verdadeira. Novamente observando a hipótese, tem-se que P(s(k 0 )) é verdadeira, ou seja, P(k 1 ) é verdadeira. Mas observe que começamos dizendo que P(k 1 ) é falsa! Como pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo? Isto é uma contradição causada pela suposição de que exista tal k 1, ou seja, a afirmação P(n) deve ser verdadeira para todo n N. É importante ressaltar que não necessariamente a demonstração deve começar no número natural zero, basta existir um "marco zero"inicial e que todos sucessores a partir desse número tenham suas afirmações associadas como verdadeiras. Exemplo. Mostre que n 3 + n é divisível por 3 para todo natural n. Primeiramente, verificamos que é verdadeira para n = 0. De fato, 0 3 + 0 = 0 é divisível por 3. Agora, supomos que a afirmação é verdadeira para certo valor k e devemos mostrar que é consequência disso o fato de que a afirmação também é válida para k + 1. Ou seja, usando a hipótese de que n 3 + n é múltiplo de 3 deve-se chegar à conclusão de que (n + 1) 3 + (n + 1) é múltiplo de 3 também. Note que (n + 1) 3 + (n + 1) = n 3 + 3n + 3n + 1 + n + = (n 3 + n) + 3(n + n + 1). Agora usamos as hipóteses necessárias para concluir o desejado: (n 3 + n) é múltiplo de 3 por hipótese de indução, enquanto 3(n + n + 1) é claramente múltiplo de três. Como a soma de múltiplos de três é também múltiplo de três, então tem-se que (n + 1) 3 + (n + 1) é divisível por 3. Pelo Princípio de Indução Finita, segue que n 3 +n é divisível por 3 para todo natural n. ATENÇÃO! Neste exercício, decompusemos uma expressão para P(n + 1) para usar, em algum momento, a hipótese de que P(n) era verdadeira. Isto está correto. Outra possibilidade teria sido manipular a expressão de P(n), que supomos verdadeira, até chegar em P(n + 1). Cuidado para não fazer errado: não está correto supor que P(n + 1) é correta, afinal queremos mostrar que ela é verdade! Além disso, não está correto verificar que vale para os primeiros elementos e se dar por satisfeito com isso. Também não é correto verificar apenas que P(n) verdade implica P(n + 1) verdade, é necessário ver que vale para o ponto inicial! Por exemplo, há uma história clássica que deve despertar a atenção de todos: na busca por uma fórmula única que determinasse apenas números primos, cogitou-se a função f(n) = n n + 41. E tudo parece perfeito: f(0) = 0 0 + 41 = 41 f(1) = 1 1 + 41 = 41 f() = 1 + 41 = 43 f(3) = 3 3 + 41 = 47 f(4) = 4 4 + 41 = 53. E a sequência continua apenas com números primos. Mas... isso só dá certo até n = 40. No caso seguinte, temos um número que não só é composto, mas é um quadrado perfeito! 5

f(41) = 41 41 + 41 = 41. Se tivéssemos tentado usar indução para mostrar que f(n) daria apenas números primos como resposta, teríamos falhado (já que não é uma verdade). Por outro lado, sem investigar utilizando indução, ficaríamos achando que seria correto algo completamente errado! Então tome cuidado e, na dúvida, siga o passo a passo das demonstrações utilizando o princípio de indução finita. Exercício 1.7. Mostre que n 5 + 4n é divisível por 5. Exercício 1.8. Mostre que n 7 + 6n é divisível por 7. Exercício 1.9. Mostre que n p + (p 1)n é divisível por p, se p é um número primo. Exercício 1.10. Verifique que nem sempre n 4 + 3n é divisível por 4. Exercício 1.11. Mostre que a é par se e somente se a é par. Exercício 1.1. Mostre que a é múltiplo de 3 se e somente se a é múltiplo de 3. Exercício 1.13. Analogamente ao exercício anterior, mostre que a 3 é par (respectivamente, múltiplo de 3) se a é par (respectivamente, múltiplo de 3). Exercício 1.14. Prove por indução 3 que, para quaisquer x R, n N tem-se 1 x n+1 = (1 x)(1 + x + x +... + n n ). Exercício 1.15. Dados m, n N, com m > n, prove que ou m é múltiplo de n ou existem q, r N tais que n = mq + r. Além disso, mostre que q e r são os únicos com essa propriedade 4. 1 Exercício 1.16. Prove, por indução, que 1 + 1 3 + 1 3 4 +... + 1 n(n + 1) = n n + 1. 1 Exercício 1.17. Prove, por indução, que 1 3 + 1 3 5 + 1 5 7 +... + 1 (n 1)(n + 1) = n n + 1. Exercício 1.18. Prove, por indução, que 1 + + 3 +... + n n(n + 1)(n + 1) =. 6 Exercício 1.19. Prove, por indução, que ( ) n(n + 1) 1 3 + 3 + 3 3 +... + n 3 = (1 + + 3 +... + n) =. Existe um modo bastante semelhante ao Princípio de Indução tradicional que pode ser usado em demonstrações. A grande diferença entre os dois métodos é quanto à ligação entre o n envolvido na demonstração e os termos anteriores: na Indução tradicional, deve-se mostrar que P(n + 1) é verdadeira a partir de P(n); no "novo método", deve-se demonstrar que P(n + 1) é verdadeira a partir de todos os números anteriores. Teorema (Princípio de Indução Finita - o tipo). Suponhamos que, para cada número natural n, P(n) é uma afirmação a respeito de n. Se P(0) é verdadeira e se P(n+1) é verdadeira quando P(0), P(1),..., P(n) é verdadeira, então P(n) é verdadeira para qualquer número natural n. 3 Não esqueça que o princípio de indução é válido apenas sobre números naturais. 4 Este é o algoritmo de divisão em N. Como dica, suponha que existam outros números com essa propriedade e conclua, posteriormente, que são iguais ao q e r iniciais. 6

Exercício 1.0. A demonstração é muito parecida com a versão anterior. Reveja a demonstração anterior e busque pelas diferenças na argumentação. Em seguida, apresente um argumento que valha para a conclusão da demonstração do Princípio de Indução Finita de o tipo. Apesar de semelhante, o uso destá forma da Indução ocorre com maior frequência nas demonstrações em que não sabemos a qual dos passos anteriores precisaremos recorrer. Expliquemos melhor através de um exemplo: Exemplo 3. Mostre que todo número natural n pode ser escrito como produto de números primos. Prova: Primeiramente mostramos o caso inicial: é um número primo; assim, exibimos uma fatoração cujos termos são números primos. Suponhamos que seja válido para todo número até n, ou seja, que, 3,..., n 1, n, admitem decomposição como produto de números primos. Devemos mostrar que n + 1 também admite tal decomposição. E agora? Nos lembramos que um número (exceto 0 e 1, que são casos excepcionais que podemos comentar em outros momentos) ou é primo ou é composto, ou seja, admite decomposição a b, sendo a, b 1. Para n + 1 há apenas duas possibilidades: n + 1 é primo. Então, assim como o caso inicial, temos uma decomposição em primos que só tem o elemento n + 1. n + 1 é composto. Então n + 1 = a b, sendo a, b < n + 1. Pela hipótese do Princípio de Indução, a e b admitem fatoração como produtos de números primos. Aglutinando esses fatores para recompor o valor de n + 1, temos que n + 1 admite também uma fatoração em primos. Não importa o caso, n + 1 admite fatoração em termos primos. Pelo Princípio de Indução Finita de o tipo, conclui-se que todo número natural maior que ou igual a pode ser decomposto como produto de fatores primos. Mais exemplos e exercícios deste tema devem ser feitos na disciplina de Elementos de Lógica Matemática. O que vimos até aqui é suficiente para continuarmos nossos estudos. 1. O conjunto Z Intuitivamente, o conjunto Z dos números inteiros é composto pelos números naturais e pelos "negativos". Como justificamos de uma forma simples qual a origem dos números inteiros a partir dos naturais? A resposta é simples e o rigor excessivo para a demonstração é visto em Elementos de Lógica Matemática ao se estudar o tema relações de equivalência. Imagine o seguinte: Construa todos os pares ordenados compostos por números naturais. Em seguida, separe todos os pares ordenados em vários conjuntos de modo que (a, b) e (c, d) pertencem ao mesmo conjunto caso valha a + d = b + c". A figura a seguir representa esta ideia. Note que os pares ordenados cuja reta formada por eles corta o eixo X no ponto 1, por exemplo, são (1, 0), (, 1), (3, ), (4, 3),..., enquanto os cuja reta corta X no ponto 4 são (4, 0), (5, 1), (6, ),... Formalmente falando, cada número inteiro será uma classe de equivalência segundo a relação de equivalência dada. Intuitivamente, cada número inteiro é um conjunto de pares ordenados de números naturais como a figura representa. 7

De um modo muito mais simples, escrevemos Z = {..., 3,, 1, 0, 1,, 3,...} e usamos suas propriedades normalmente (mais intuitivo que isso, impossível). Em especial, devemos notar que N Z e existe uma correspondência biunívoca entre os conhecidos como inteiros não-negativos e os números naturais. 1..1 Operações em Z e suas propriedades Já que a ideia da operação continua a mesma, comecemos invertendo a ordem, ou seja, vamos descrever as operações de adição e multiplicação a partir das novidades dentro do conjunto dos inteiros. Neste novo conjunto, a adição, além das propriedades listadas anteriormente, ela ganha uma nova propriedade da adição: (A4 - Existência de simétrico) Existe y Z tal que x + y = 0 x Z. Em geral, o simétrico de x é denotado por x. Em especial, a soma de x com o simétrico de y é x + ( y) e é geralmente escrita como x y. Comumente falando, é assim que nasce a operação de subtração. Considere m e n inteiros não negativos (ou seja, números naturais), sendo m n. Lembrese que, quando m n, existe p N tal que m + p = n. Ora, p é um complemento a m para alcançar n. Assim, quando for necessário somar um inteiro positivo a um negativo, será necessário recorrer a este número. Como consequência disso, temos: ( m) + ( n) = (m + n) e m + ( n) = p e ( m) + n = p Proposição (Lei do corte para a adição). a + b = a + c = b = c, a, b, c Z. Prova: Suponha a + b = a + c. Da nova propriedade dos inteiros, existe o simétrico de a. Podemos somar ( a) aos dois lados da igualdade sem alterar o resultado, como vimos na Proposição 1. Logo, temos ( a) + (a + b) = ( a) + (a + c). 8

Usando a associatividade da adição, temos ( a + a) + b = ( a + a) + c. Usando a definição de simétrico de um inteiro, temos que 0 + b = 0 + c. Por fim, usando que 0 é o elemento neutro da adição, temos b = c, concluindo a demonstração. Exercício 1.1. Quais são as condições dentro do conjunto dos números naturais para que a subtração exista lá? Proposição 3. O simétrico de um número inteiro é único. Prova: Considere a Z. Suponha que a e a são dois simétricos a a. Então, consequentemente, a+a = 0 e a+a = 0, ou seja, a+a = a+a. Da lei do corte da adição, estabelecida no Exemplo, tem-se que a = a. Logo, só há um simétrico a a. Exercício 1.. Mostre, usando a definição de simétrico, que 0 = 0. Proposição 4. Tem-se que 0 a = 0 para todo a Z. Prova: Como 0 é elemento neutro da adição, fazemos 0 + 0 = 0. Utilizando o Exercício 1., multiplicamos ambos lados por a. Assim, temos que (0 + 0) a = 0 a. Utilizando a distributividade, segue que 0a + 0a = 0a. Adicionando o simétrico de 0a, tem-se 0a + 0a 0a = 0a 0a = 0a = 0. Devido à existência do simétrico, é necessário aprendermos a operar com esses novos números. Para isso, tomemos os mesmos m e n como antes, temos que mn é o produto desses dois números. Exercício 1.3. Usando as propriedades da adição e da multiplicação de inteiros (A1-A4, M1- M3), mostre que são válidas para todos inteiros m, n as propriedades: a) ( m) n = m ( n) = (mn) b) ( m) ( n) = mn c) ( m) = m Proposição 5. É verdade que (a b) = b a para todos a, b inteiros. Prova: É suficiente mostrar que a b é simétrico aos dois elementos dados. Por um lado, temos que (a b) (a b) = 0 pela definição de simétrico de um número; por outro lado, usando a associatividade da adição e a existência de elemento neutro dessa operação, (a b)+(b a) = (a + ( b + b)) a = (a + 0) a = a a = 0. Como o elemento neutro da adição é único, então segue que (a b) = b a. Há também uma nova propriedade com respeito à multiplicação bastante importante para a resolução de equações polinomiais: (DZ - Não possui divisores de zero) ab = 0 = a = 0 ou b = 0. Com isso, o conjunto Z satisfaz nove propriedades: associatividade, comutatividade, existência de elemento neutro da adição e da multiplicação, existência de simétrico, distributividade da multiplicação em relação à adição e, agora, não possui divisores de zero. Quando um conjunto satisfaz estas nove propriedades, dizemos que este conjunto é um domínio de integridade ou, simplesmente, é um domínio. Exercício 1.4. Mostre que x = y implica que x = y ou x = y dentro do conjunto dos inteiros. [Sugestão: decomponha a diferença x y no produto de dois fatores.] Exercício 1.5. Determine as soluções inteiras da equação polinomial (x 1)(x + 3)(3x ) = 0. Justifique sua resposta, indicando em cada etapa da resolução quais os axiomas e resultados já provados que foram utilizados. 9

1.. Ordem em Z e suas propriedades Em relação ao conjunto dos naturais, pouca coisa muda. Dados inteiros m e n, é dito que m n se existe um natural p tal que m + p = n. Note que, nesta definição, p deve ser um número natural e não um inteiro! Para esta relação de ordem ainda valem a reflexividade, a antissimetria, a transitividade e a tricotomia. A compatibilidade com a adição também funciona, mas a compatibilidade com a multiplicação ganha uma nova versão. Proposição 6 (Compatibilidade com a multiplicação em Z). Considere m e n inteiros, com m n. Então tem-se mt nt, se t 0 e mt nt, se t 0. Prova: Primeiramente, lembre-se que o produto de um número positivo por um negativo é um número positivo (observe o Exercício 1.3a), enquanto o produto de dois positivos é ainda positivo. Como existe p natural tal que m+p = n, então podemos multiplicar por t e obter mt+pt = nt. Agora analisamos os dois casos necessários. Caso t 0, então pt é positivo. Assim, mt precisa de um número natural (que é pt) para alcançar nt, ou seja, mt nt. Caso t 0, então pt é negativo. Para consertar isso, adicionamos o seu simétrico ( pt), que é um número positivo, dos dois lados e, ao simplificar, obtemos mt = nt + ( pt). Portanto, o complemento ( pt) é que faz nt alcançar mt, ou seja, nt mt. Um exemplo simples e prático: Sabemos que 1 <. Ao multiplicar por 1 os dois lados da desigualdade e a invertendo, temos que 1 >, o que pode ser verificado na figura com a reta dos inteiros na página 8. 1.3 O conjunto Q Com todas as ferramentas bem fixadas sobre os números inteiros, podemos prosseguir aos números racionais. O conjunto Q é composto pelas frações criadas a partir de números inteiros, desde que o denominador não seja zero. Assim como fizemos com os inteiros, formalizaremos este novo conjunto a partir dos inteiros. E a justificativa é a mesma, utilizando relações de equivalência. Para isto, construímos todos os pares ordenados compostos por números inteiros (mas cuja segunda entrada não seja zero). Após isto, separamos os pares ordenados em conjuntos de modo que dois pares (a, b) e (c, d) pertencem a um mesmo conjunto caso ad = bc. A figura a seguir dá uma ideia de como se apresentam esses conjuntos. Assim como no caso dos números inteiros, existe um padrão que ocorre nos pares que estão num mesmo conjunto. Por exemplo, estão num mesmo conjunto os pares ( 3, 3), (, ), ( 1, 1), (1, 1), (, ),..., enquanto estão num mesmo conjunto os pares ( 4, ), (, 1), (, 1), (4, ),... Assim como fizemos antes, consideramos da forma mais prática possível. O conjunto dos números racionais é da forma { a } Q = a Z, b Z \ {0}. b 10

1.3.1 Operações e ordem em Q e suas propriedades Pela primeira vez, é importante ressaltar como que funciona a igualdade dentro de um conjunto numérico. Para isto, basta lembrar como que foi definido aquele par de números inteiros que dá origem aos racionais, restando apenas escrever este par na forma de fração: a b = c d ad = bc. Dizemos que um número racional está escrito num formato irredutível se não existe nenhum natural primo que divida o numerador e o denominador simultaneamente, ou seja, se o MDC entre o numerador e o denominador for 1 (ou ainda, se o numerador e o denominador forem coprimos). Como as frações a b e a b são iguais, podemos sempre escrever uma fração com denominador positivo. Além disso, note que a 1 equivale a escrever o número inteiro a, ou seja, todo elemento inteiro pode ser escrito como um racional. Daí, segue que Z Q. A adição de números racionais ocorre de uma forma um pouco estranha, já que para somálos precisamos que os denominadores sejam iguais; para somar estas frações, resta somar os numeradores e manter o denominador igual. a b + c d = ad bd + bc ad + bc = bd bd Já a multiplicação é mais simples, basta multiplicar os numeradores e multiplicar os denominadores. a b c d = ac bd O conjunto dos racionais herda a estrutura de domínio dos inteiros. Portanto, todas aquelas propriedades já citadas ainda são válidas. Existe uma nova, importantíssima, que caracteriza Q: (M4 - Existência de inverso) Para todo x racional, existe x 1 tal que x x 1 = 1. 11

Proposição 7. Se a, b 0, o inverso de a b é b a. Prova: a b b a = ab ab. Como ab 1 = 1 ab, então ab ab = 1 1 = 1. Quando um domínio de integridade possui a propriedade M4 dizemos que este conjunto é um corpo. Assim, Q é um corpo. Proposição 8. Se um conjunto K satisfaz as propriedades A1-A4, M1-M4 e D1, então ele é um corpo. Prova: Note que só falta mostrar que este conjunto não possui divisores de zero. Para isto, suponha que existam a, b K tais que ab = 0. Caso a seja zero, o nosso objetivo está concluído. Então podemos supor que a 0. Como K satisfaz M4, existe a 1 K tal que a a 1 = 1. Assim, ao multiplicar pelo inverso de a dos dois lados e usando a associatividade da multiplicação, temos: a 1 a b = a 1 0. Do lado esquerdo usamos a definição do inverso e do lado direito, a conclusão do Exemplo 4 e obtemos que b = 0. Portanto, concluímos que quando a não é zero, b deve obrigatoriamente ser zero para que se tenha que ab = 0. Proposição 9. O inverso de um número a, a 0, é único. Prova: Suponha que existam dois inversos, a 1 e a. Usando as propriedades da multiplicação, obtemos que a 1 = a 1 1 = a 1 (a a ) = (a 1 a) a = 1 a = a. Portanto, a 1 = a e o inverso de a é único. Exercício 1.6. Mostre que para todo x 0 tem-se x 1 = 1 x e (x 1 ) 1 = x. Exercício 1.7. Prove que 1 1 = 1 e ( 1) 1 = 1. Exercício 1.8. Considere no corpo dos racionais a equação (x 1)(x + ) = (x 4). Encontre todas as soluções reais. Explique porque, de fato, pode afirmar que encontrou todas as soluções. Exercício 1.9. Suponha que a, b, c, d Q \ {0}. Mostre que: a) a b = c d d b = c a a c = b d b) a b = c = a + c d b + d = a b c) Se existe c 0 tal que a b = a + c, então x = y. b + c Proposição 10. O elemento neutro da adição, o zero, não tem inverso multiplicativo. Prova: Suponha que 0 admita inverso 0 1. Por outro lado, como ele é elemento neutro da adição, tem-se a + 0 = a para todo a. Multiplicamos os dois lados da igualdade por 0 1 e obtemos a 0 1 + 0 0 1 = a 0 1. Somando o inverso aditivo de a 0 1, concluímos que 1 = 0, o que é um absurdo! Logo, 0 não admite inverso multiplicativo. Proposição 11 (Lei do corte da multiplicação). ab = ac e a 0 = b = c. Prova: Como a 0, então ele tem inverso multiplicativo a 1. Multiplicando ambos lados da igualdade por este número, temos a 1 (ab) = a 1 (ac) = (a 1 a)b = (a 1 a)c. Consequentemente, b = c. 1

A ordem dentro do conjunto dos racionais não ganha propriedades novas, seguindo o padrão do conjunto dos inteiros. Lembre-se que a compatibilidade com a multiplicação ocorre caso multipliquemos ambas frações por um número positivo; caso seja um número negativo, a desigualdade muda de orientação, deixa se ser e passa a ser e vice-versa. Exercício 1.30. Para que racionais x temos 1 x + 1 x? x 3 + 1 Exercício 1.31. Para que racionais x temos 0? (x + 1) 3 Exercício 1.3. Para que x Q temos x9 1 x 6 0? 1 a b c d 1.3. Espaçamento entre os racionais ad bc 0 bd Até agora, sempre existia um espaçamento constante entre os números, sejam eles naturais ou inteiros, já que a distância de um número a outro é sempre um número natural. Já no conjunto dos racionais, não existe uma distância fixa entre um número e outro. Na verdade, entre quaisquer racionais existe sempre uma infinidade de racionais! Proposição 1. Dado um racional, existe sempre um natural maior que ele. Prova: Se a b < 0, o zero já é um número maior que ele. Caso a b > 0, divida a por b. Do Algoritmo da divisão, existem q e r, com 0 r < b tais que a = bq + r. Com isso, a fração fica a b = bq+r b = q + r b < q + 1. Assim, q + 1 é um natural maior que a b. Proposição 13. Entre dois números racionais quaisquer existem infinitos racionais. Prova: Considere a e b racionais, sendo a < b. É suficiente mostrar que entre esses dois números há um terceiro racional. Mais especificamente, mostrar que a+b é um racional entre esses dois números. a < b = a + a < a + b = a < a + b = a < a + b Por outro lado, a < b = a + b < b + b = a + b < b = a + b < b. Logo, concluimos que a < a+b < b. Exercício 1.33. Complete os exemplo anterior, mostrando que: a) a+b é um número racional. b) é suficiente a construção deste número para mostrar que existe uma infinidade de racionais entre a e b. Exercício 1.34. Mostre que a distância entre a e a+b é a mesma entre a+b e s. Exercício 1.35. Se m e n são positivos e a e b são racionais tais que r < s, então mostre que r < ar+bs a+b < s. 13

1.3.3 Expansão decimal dos racionais Ao escrevermos os números racionais na forma decimal 5, é possível notar uma propriedade bastante interessante, que logo será demonstrada. 1 = 0, 5 1 3 = 0, 3 1 4 = 0, 5 1 5 = 0, 1 6 = 0, 16 1 = 0, 14857 7 1 8 = 0, 15 1 9 = 0, 1 1 10 = 0, 1 1 11 = 0, 01 1 1 = 0, 083 1 = 0, 07693 13 1 14 = 0, 071485 1 15 = 0, 06 1 16 = 0, 065 1 = 0, 05883594117647 17 1 18 = 0, 05 1 19 = 0, 0563157894736841 1 = 0, 05 0 Teorema 3. A expansão decimal de um racional é finita ou periódica. A expansão decimal de a b, com a, b N \ {0} e a e b coprimos6 é finita se e somente se os fatores primos de b são e/ou 5. Caso ocorram outros fatores primos, então o período 7 possui no máximo b 1 termos. Prova: Primeiramente vamos mostrar que se os fatores primos são e/ou 5, então a expansão decimal é finita. Para isso, suponha que b = x 5 y, sendo x e y números naturais. Considere t = max{x, y} e multiplique o numerador e o denominador de a b por t x 5 t y. Com isso, obtemos: a b = a x 5 y = a t x 5 t y x t x 5 y 5 t y = a t x 5 t y t 5 t = a t x 5 t y 10 t Note que, como t = max{x, y}, ou o expoente de ou o do 5 (apenas um desses expoentes) será nulo. Devido a isso, não é possível simplificar a fração e a expansão decimal possui t casas decimais. Por outro lado, se uma fração possui outro termo no denominador além de ou 5, então não será possível transformar em uma fração irredutível com denominador que seja uma potência de 10. Assim, não ocorrerá expansão decimal finita. Resta ainda justificar que a expansão decimal é periódica. Para concluir isso, lembre-se que para determinar a expansão decimal, precisamos fazer uma divisão. Ora, como a divisão não termina (já que a expansão decimal não é finita), então os restos da divisão não podem ser todos diferentes, já que o resto é tal que 0 < r < b (não pode ser zero pois a expansão não é finita, lembre-se disso!). Eles podem, no máximo, ser diferentes até gastarmos o último, o (b 1)-ésimo. A partir do próximo começam a repetir os restos e, consequentemente, os resultados anotados no quociente. Para esta última parte do exemplo anterior, observe o que acontece com a expansão decimal de 5 3 e 1 7 : 5 3 0 1.6 6 6 0 0 5 O símbolo α representa a repetição sucessiva de um ciclo α. 6 Isto quer dizer que MDC(a, b) = 1. 7 A parte que se repete na expansão decimal. 14

1 1 0 3 0 0 6 0 4 0 5 0 1 0 3 0 0 6 7 0.1 4 8 5 7 1 4 Na primeira divisão, o resto é sempre, o que sempre dá origem a 6 no quociente. Já na segunda fração, note que os restos são, na ordem, 1, 3,, 6, 4, e 5 (todas os números possíveis). Depois disso, o próximo resto obrigatoriamente é algum que já apareceu, ou seja, a parte periódica aparece. Neste caso, os restos continuam nessa sequência, dando origem ao período 14857. Agora veremos como determinar a fração a partir da expansão decimal periódica. Esta fração é conhecida geralmente como fração geratriz. O princípio é sempre o mesmo: deixar, logo depois da vírgula, a parte periódica e, em seguida, multiplicar por outra potência de 10 para obter novamente isto. Exemplo 4. Detemine uma fração irredutível que represente 0, 13131313... x = 0, 13131313... 100x = 13, 131313... Subtraindo a primeira da segunda equação, temos 99x = 13, ou seja, que x = 13 Exemplo 5. Determine uma fração irredutível que represente, 513131313... x =, 513131313... 10x = 5, 131313... 1000x = 513, 131313... Subraindo a segunda da terceira equação, obtemos 990x = 488, ou seja, x = 488 99. 990 = 144 445. ATENÇÃO! No conjunto dos racionais já não existe uma correspondência biunívoca entre eles e as expansões decimais, como acontecia nos inteiros e nos naturais. Naqueles conjuntos, 1 é a única forma de escrever o número um. Em Q pode existir mais de uma forma de representar um número. Por exemplo, 0, 999... = 1: x = 0, 999... 10x = 9, 999... Então 9x = 9 e, consequentemente, x = 9 9. 15

Exercício 1.36. Analogamente, determine uma outra expansão decimal para 0, 5 e mostre que, de fato, esta expansão decimal corresponde a 1/. Exercício 1.37. Determine uma outra expansão decimal para 0, 5 e mostre que, de fato, esta expansão decimal corresponde a 1/4. 1.4 O conjunto I A definição mais simples para os números irracionais é a que os considera como as expansões decimais que não são finitas nem periódicas. Cabe, sempre que necessário, mostrar que não é possível escrever cada um desses números como um racional. Por exemplo, o número, que é a medida do comprimento da diagonal de um quadrado cujo lado mede 1, não é racional. Exemplo 6. não é um número racional. Prova: Suponha, por contradição, que é um número racional, ou seja, que pode ser escrito como a/b, sendo a e b coprimos 8 para que a fração seja irredutível. Em particular, a e b não podem ser simultaneamente pares. a = b = = a b = a = b Assim, obtemos que a é par. Do exercício 1.11, temos que a é par. Assim, podemos escrever a = a 1 e substituir na linha acima. (a 1 ) = b = 4a 1 = b = b = a 1 Observe que, com a mesma justificativa, b é par. Mas supomos inicialmente que a e b não eram simultaneamente pares, o que é uma contradição. Tal contradição nasceu porque supomos que era possível escrever uma fração irredutível correspondente a. Assim, este número não é racional. Como admite uma expansão decimal (1, 4141356373095...), é um número irracional. Exemplo 7. 3 não é um número racional. Prova: O raciocínio é análogo ao anterior: suponha, por contradição, que 3 é um número racional da forma a/b, com sendo a e b coprimos para que a fração seja irredutível. Em particular, a e b não podem ser simultaneamente pares. 8 Ou primos entre si. 3 = a b = = a3 b 3 = a 3 = b 3 16

Assim, a 3 é par e, pelo exercício 1.1, a é par. Escrevemos a = a 1 e substituímos na linha acima. (a 1 ) 3 = b 3 = 8a 3 1 = b3 = b 3 = 4a 3 1 Com a mesma justificativa, b é par. Já que supomos que a e b não eram simultaneamente pares, não há como escrever 3 como fração irredutível e, com isso, este número não é racional. 17