Funções Racionais, Exponenciais e Logarítmicas Aula 3 590253
Plano da Aula Definição de Função Racional Função Exponencial e Logarítmica Função Inversa Exercícios Referências James Stewart Cálculo Volume I (Cengage Learning)
Função Racional I Uma função racional é a razão de dois polinômios: f (x) = P(x) Q(x) onde P e Q são polinômios. Exemplo simples f = (1/x). Nesse exemplo P(x) = 1 e Q(x) = x. x = 0 não faz parte de domínio de f. Demais valores de x, sim. Valores de x tais que Q(x) = 0 são excluídos do domínio de f.
Função Racional II Próximo Exemplo: Q(x) =? Domínio de f =? f (x) = 2 x 4 x 2 + 1 x 2 4
Função Racional III f (x) = 2 x 4 x 2 + 1 x 2 4
Função Racional IV x 1,99 1,999 1,9999 2,01 2,001 2,0001 f (x) -712-7240 -72500 738 7260 72500 Comportamento não suave perto do x = 2 Perto do x = 2 é semelhante
Funções Algébricas I Uma função f é chamada uma função algébrica se ser puder construída por meio de operações algébricas como adição, subtração, multiplicação, divisão e extração de raízes a partir de polinômios. Comece com vários polinômios e implemente as operações acima.
Funções Algébricas II Por exemplo a função f (x) = x 2 + 1 é uma função algébrica. x 2 + 1 é um polinômio e f (x) é obtido pelo uso se raíz quadrado. Outro exemplo g(x) = x 4 16x 2 x + x + (x 2) 3 x + 1
Função Exponencial I A função da forma f (x) = b x onde b é uma constante positiva. x é o variável x é o exponente, diferente do que x b Fácil definir caso x inteiro negativo ou inteiro positivo. Se x for um número racional x = p/q, e p, q inteiros b x = b p/q = q b p = ( q b) p Para valores de x como 2 não existe inteiros p e q tais que 2 = (p/q). ( 2 é um valor irracional) Ou seja b 2 não pode ser escrito como b p/q. Ainda da para definir b x para tais valores
Função Exponencial II Para qualquer valor do x e b > 1 f (x) = b x > 0. Caso b > 1, b x cresce quando x cresce. Ou seja para qualquer x e b > 1 b x 1 > b x 2 se x 1 > x 2 e b x 1 < b x 2 se x 1 < x 2 Para b > 1 maior valor de b significa b cresce mais rápido. Para x > 0 e b > 1 f (x) = b x > 1 Para x < 0 and b > 1 f (x) = b x < 1 Caso x = 0 f (x) =?
Função Exponencial III 8 7 6 5 4 3 2 1 3 2 1 0 1 2 3 y = f (x) = 2 x y = f (x) = ( ) 1 x 2
Função Exponencial IV 6 4 2 1 0 1 f (x) = 2 x ; f (x) = 3 x ; f (x) = 4 x ; f (x) = ( 1 f (x) = ( 1 3) x ; f (x) = ( 1 4 ) x 2 ) x
Função Exponencial V 6 4 2 1 0 1 f (x) = 4 x ; f (x) = ( ) 1 x 4 ; f (x) = 3 x ; f (x) = ( 1 x 3) ; f (x) = 2 x ; f (x) = ( ) 1 x 2
Função Exponencial VI Funções exponenciais surgem na descrição do crescimento populacional, decaimento radioativo, entre outros. Exemplo de crescimento: suponhamos que o número de bácterias em uma dada amostra dobra a cada hora. O número no início é igual 1000. Denotamos o tempo no início como t = 0 e o tempo t horas como t. p(t) é igual a população após t horas. p(0) =? e p(1) =?
Função Exponencial VII t p(t) 0 1000 1 2 (1000) = 2000 2 2 (2 1000) = 4000 3 2 (2 2 1000) = 8000 4 2 (2 2 2 1000) = 16.000. Em geral p(t) = 1000 2 t. Os valores na coluna 3 crescem porque b(= 2) > 1. Exemplo de uma função crescente.
Função Exponencial VIIII Os valores para uma função linear t p(t) 1000 + 1000 2 t 0 1000 1000 1 2000 3000 2 4000 5000 3 8000 7000 4 16.000 9000... Qual modelo do crescimento é mais rápido?
Função Exponencial VIII t p(t) Diferença 0 1000 1 2 (1000) = 2000 1000 2 2 (2 1000) = 4000 2000 3 2 (2 2 1000) = 8000 4000 4 2 (2 2 2 1000) = 16.000 8000.. Os valores na coluna 3 crescem porque b > 1..
Função Exponencial IX t (1000 + 1000 2 t) Diferença 0 1000 1 3000 2000 2 5000 2000 3 7000 2000 4 9000 2000.. Os valores na coluna 3 são constantes. Diferente do caso de função exponencial. Uma distinção importante entre crescimento exponencial e crescimento linear..
Função Exponencial X y Crescimento Linear e Exponencial t
Função Exponencial XI Propriedades dos Exponentes b x+y = b x b y b x y = bx b y (b x ) y = b xy (ab) x = a x b x
Função Logarítmica I Dado que p(t) = 1000 2 t da para obter o valor de p(t) para qualquer valor do t. O domínio é (, ). Dado um valor p(t) = 4287.094 como obter o valor tais que p(t) = 4287.094? Em geral para f (x) = b x existe uma função inversa chamada função logarítmica com base b denotada log b.
Função Logarítmica II Se y = b x = log b y = x y > 0 sempre. Então log b tem domínio (0, ) Para qualquer valor log b (b x ) = x e b log b x = x A função Logarítmica é um exemplo de uma função inversa Para qualquer base b, log b 1 = 0. Por que? Qual é o valor de logaritmo de 100 na base 10? Esse valor é maior do que logaritmo de 100 na base 2?
Função Logarítmica III y? x > Funções Logarítmicas com base 2, 5 e 10. x(?) =?
Função Logarítmica IV Propriedades do Logaritmos log b (xy) = log b x + log b y ( ) log x b y = log b x log b y Para quaisquer números positivos x e y log b (x r ) = r log b x onde r é um número real
Exercícios I Encontre os valores de log 2 32 5 log 5 125 3 log 5 1 125 3 log 8 2 1/3 log 10 40 + log 10 2, 5 2 log 8 60 log 8 3 log 8 5 2/3