NOTAÇÕES N {,,, } R : conjunto dos números reais [a, b] { R; a b} [a, b[ { R; a < b} ]a, b[ { R; a < < b} A\ B { ; Ae B} k an a + a + + ak, k N n k an n a0 + a + + ak k, k N n 0 C : conjunto dos números compleos i : unidade imaginária: i z : módulo do número z C z : conjugado do número z C M m n ( R ): conjunto das matrizes reais m n det A : determinante da matriz A A t : transposta da matriz A A : inversa da matriz inversível A P(A) : conjunto de todos os subconjuntos do conjunto A n(a) : número de elementos do conjunto finito A Arg z : argumento principal de z C\{0}, Arg z [0, [ f g: função composta das funções f e g fg : produto das funções f e g Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos retangulares Questão Considere as afirmações abaio relativas a conjuntos A, B e C quaisquer: I A negação de A Bé: Aou B II A ( B C) ( A B) ( A C) III ( A\ B) ( B\ A) ( A B)\( A B) Destas, é (são) falsa(s) a) apenas I b) apenas II c) apenas III d) apenas I e III e) nenhuma alternativa E I Verdadeira A negação de (A B) é (A B) (A B) A ou B Aou B II Verdadeira Pela propriedade distributiva da intersecção com relação à união, temos A (B C) (A B) (A C) III Verdadeira Temos (A\ B ) (B \ A) (A B ) (B A) [(A B) B] [(A B) A] [(A B) (B B)] [(A A) (B A)] (A B) ( A B) (A B) \( A B) Questão Considere conjuntos A, B R e C ( A B) Se A B, A C e B C são os domínios das funções reais definidas por ln( ), + 6 8 e, respectivamente, pode-se afirmar que a) C ], [ b) C [, ] c) C [, [ d) C [, ] e) C não é intervalo alternativa C Os domínios mais amplos possíveis das funções + 6 8 e são, respectivamente, + 6 8 0 e 0 < Como C (A B), C C (A B) C ( A C) ( B C) C [ ; ] [ ;[ C [ ;[ Questão Se z é uma solução da equação em C, z z + z + ( + i) i,
matemática pode-se afirmar que a) iz ( z) < 0 b)iz ( z) > 0 c) z [, 6] d) z [6, 7] e) z + > 8 z alternativa E Observe que + i + ( i) ( i) e, portanto, + ( + i) i + + + + ( i) ( i) ( i) + + ( i) i cos i sen Logo a equação dada é equivalente a z z + z cos + i sen Assim, sendo z a + bi, com a e b reais: a + b + bi 6 cos + i sen 6 a + b + bi 6 a b 0 a ± ± 8 z 8 ou z 8 b 0 Temos então que z z 0, z 8 e z + z 8 + > 8 8 Questão Os argumentos principais das soluções da equação em z, iz + z + ( z + z) i 0, pertencem a a), b), c), d) 7,, e) 7 0,, alternativa C Seja z a + bi, a, b R, então z a bi iz + z + (z + z) i 0 ( b + a + a ) + i(a b ) 0 + + b a a 0 a + 8a + 0 a b 0 a b 0 a e b ou 7 a e b 6 8 As soluções z e z da equação são: z i e z 7 6 8 i Sendo θ o argumento principal de z, tg θ tg θ Analogamente, sendo θ o argumento principal de z, 7 tg θ 8 7 tg θ 6 As partes real e imaginária são negativas, portanto as soluções encontram-se no º quadrante, ou seja, < θ, θ < Então os argumentos principais são tais que: tg 7 tg θ < θ < θ < Questão Considere a progressão aritmética ( a, 0 a,, a0) de razão d Se an 0 + d e n 0 a n 0, então d a é igual a n a) b) 6 c) 9 d) e)
matemática alternativa D (a + a 0) 0 0 + d a a0 d + + (a + a 0) 0 a + a0 8 0 a + 9d + d a 7 0d 80 d d Logo d a ( 7) Questão 6 Sejam f, g : R R tais que f é par e g éímpar Das seguintes afirmações: I f g é ímpar, II f g é par, III g f é ímpar, é (são) verdadeira(s) a) apenas I c) apenas III e) todas b) apenas II d) apenas I e II alternativa D Como f é par, f( ) f(), R, e, como g é ímpar, g( ) g(), R Assim: I Verdadeira f( ) g( ) f() [ g()] f() g(), ou seja, a função f g é ímpar II Verdadeira f g( ) f(g( )) f( g()) f(g()) f g(), ou seja, a função f g é par III Falsa g f( ) g(f( )) g(f()) g f(), ou seja, a função g f é par Questão 7 A equação em, arctg (e e + ) arccotg, e R\{ 0 }, a) admite infinitas soluções, todas positivas b) admite uma única solução, e esta é positiva c) admite três soluções que se encontram no intervalo, d) admite apenas soluções negativas e) não admite solução alternativa B e Sejam α arc tg(e + ) e β arc cotg e e Então tgα e +, tgβ cotgβ, e α β, 0 < β < e, como e + >, arc tg < α < < α < < α < Sendo < α β < e o 0 < β < únicoarconointervalo ; com tangente igual a,α β tg( α β) e e + e + (e + ) e e e + e e 0 Fazendo e t, a equação t t + t 0 tem t como raiz, de modo que é equivalente a (t + )(t + t ) 0 t ou t + ou t + Já que e > 0 e > +, a única solução da equação é e + + n > n 0, ou seja, a equação admite uma única solução positiva Questão 8 Sabe-sequeopolinômio p ( ) a + a, a R, admite a raiz i Considere as seguintes afirmações sobre as raízes de p: I Quatro das raízes são imaginárias puras II Uma das raízes tem multiplicidade dois III Apenas uma das raízes é real Destas, é (são) verdadeira(s) apenas a) I b) II c) III d) I e III e) II e III
matemática 6 alternativa C Como i é raiz de p ( ), temos p( i) 0 ( i) a ( i) + a ( i) 0 i ai a 0 (a+ ) (a+ )i 0 a + 0 a Assim, p() + ( + ) ( + ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) ( + + ) Logo p ( ) 0 ( i ou i) ou ou + 0 ou 0 ou + + 0 i + i ou e, consequentemente, somente a afirmação III é verdadeira Questão 9 Um polinômio real p ( ) an, com n 0 a, tem três raízes reais distintas, a, b e c, que satisfazem o sistema a + b + c 0 a + b + c 6 a + b + c Sabendo que a maior das raízes é simples e as demais têm multiplicidade dois, pode-se afirmar que p() é igual a a) b) c) d) e) 6 alternativa A Temos: a + b + c 0 a + b + c 6 a + b + c a + b + c 0 b c 6 b 8c a + b + c 0 b c 6 c a b c Como a maior das raízes é simples, as demais têm multiplicidade dois e o coeficiente dominante a vale, obtemos: p() ( ) ( + ) e p() ( ) Questão 0 () Considere o polinômio p ( ) an n com n 0 coeficientes a 0 e an + i an, n,,, Das afirmações: I p( ) R, II p ( ) (+ + ), [,, ] III a8 a, é (são) verdadeira(s) apenas a) I b) II c) III d) I e II e) II e III alternativa E Temos que a + ia0 + i( ) i; a + ia + i( i ) + i; a + ia + i( + i) i; a + ia + i(i) Logo, indutivamente, a0 a a8 a ; a a a9 a i; a a 6 a 0 a + i;a a7 a a i e p() an n n 0 8 8 (+ + + ) + ( i)(+ + + ) + 8 + ( + i) ( + + + ) + 8 + (i) ( + + + ) 8 ( + ( i) + ( + i) + (i) )( + + + ) 8 ( + + i( + ))(+ + + ) 8 ( + )( + i )( + + + ) Assim: p( ) (( ) + ( ) )( + i( ))( + ( ) + 8 + ( ) + ( ) ) 0 Portanto, a afirmação I é falsa p() ( + )( + i)( + + 8 + ) Como + 0 e + +, +, 8 + i +, + + +
matemática 7 p() 8 < ( + + ) Na verdade, 8éomelhor limitante possível, 8 pois p() ( + ) ( + i) ( + + + ) 8 Portanto, a afirmação II é verdadeira a8 a A afirmação III é verdadeira Questão A epressão ( + ) ( ) é igual a a) 60 d) 8 b) 690 e) 60 c) 7 alternativa B Temos que ( + ) ( ) ( + ) + ( + ), e que + e + são as raízes da equação 7 0 + 7 n n Logo, sendo R n ( + ) + ( + ), R0 ; R e Rn+ Rn+ + 7 Rn, n 0 Assim: R ( ) + 7 () R () + 7 ( ) 8 R (8 ) + 7 () 08 R ( 08) + 7 (8 ) 690 Questão Um palco possui 6 refletores de iluminação Num certo instante de um espetáculo moderno os refletores são acionados aleatoriamente de modo que, para cada um dos refletores, seja de a probabilidade de ser aceso Então, a probabilidade de que, neste instante, ou refleto- res sejam acesos simultaneamente, é igual a 6 a) 7 b) 9 8 c) d) 79 79 e) + alternativa A Utilizando a distribuição binomial para a repetição de 6 vezes de um eperimento cuja probabilidade de sucesso é, a probabilidade pedida é 6 P( ) + P( ) + + 6 6 7 Questão Considere a matriz a a a A 0 a a M ( R ), 0 0 a6 em que a 0,det A 000 e a, a, a, a, a e a6 formam, nesta ordem, uma progressão aritmética de razão d > 0 Pode-se afirmar que a é igual a d a) b) c) d) e) alternativa D det A a a a6 000 a 0 a6 000 a a6 00 Como (a,a,a,a,a,a) 6 é uma progressão aritmética de razão d > 0 e a 0, temos a 0 d e a6 0 + d Assim, (0 d)(0 + d) 00 d + d 00 0 d Logo a 0 d Questão Sobre os elementos da matriz y y y y A M ( R) 0 0 0 0 0 0 sabe-se que (,,, ) e ( y, y, y, y) são duas progressões geométricas de razão e e de soma 80 e, respectivamente Então, det( A ) e o elemento ( A ) valem, respectivamente, a) 7 e b) 7 e c) 7 e d) 7 e e) 7 e
matemática 8 alternativa C Sendo (,,, ) uma progressão geométrica de razão e soma 80, temos + + 9 + + 7 80, e, sendo (y,y,y,y ) uma progressão geométrica de razão e soma, temos y + y + 6y + 6y y Assim: 6 8 8 9 A 0 0 0 0 0 0 6 8 + Portanto det A ( ) 8 9 0 0 (6 8 8) 7 e det(a ) det A 7 Além disso, o elemento m de A é A det A 8 + ( ) 8 9 0 0 7 (8 9 8 ) 7 Questão 6 O valor da soma sen α α sen n n, para n todo α R, é igual a a) cos α cos α 79 b) sen α α sen 79 c) cos α α cos 79 d) cos α α cos 79 e) cos α cos α 79 Como sen sen y alternativa A [cos( y) cos( + y)], temos: sen α α sen n n cos α cos α n n cos α α cos n n 6 Assim, sen α α sen n n n 6 cos α α cos n n n cos α α cos 6 0 cos α cosα 79 Questão 6 Se os números reais α e β, comα + β, 0 α β, maimizam a soma sen α + sen β, então α éiguala a) b) 7 c) d) e) 8 alternativa B Temos que senα + senβ + sen α β cos α β sen cos α β cos α β O valor de α que maimiza senα + senβ é tal que α β cos α β k, k R Como α + β e 0 α β, 0 α + k β k, obtemos α β
matemática 9 Questão 7 Considere as circunferências C :( ) + ( y ) e C :( 0) + ( y ) 9 Seja r uma reta tangente interna a C e C, isto é, r tangencia C e C e intercepta o segmento de reta OO definido pelos centros O de C e O de C Os pontos de tangência definem um segmento sobre r que mede a) b) c) 6 d) e) 9 alternativa A Temos OO (0 ) + ( ) 0 Traçando a reta s paralela à r pelo centro O, obtemos o retângulo ABCO, sendo BC AO e AB O C Pelo Teorema de Pitágoras, no triângulo OO C, temos0 ( + ) + (OC) AB Questão 8 Um cilindro reto de altura 6 cm está inscrito num tetraedro regular e tem sua base em uma das faces do tetraedro Se as arestas do tetraedro medem cm, o volume do cilindro, em cm, é igual a a) b) 6 c) 6 6 d) 6 9 e) alternativa D Consideremos a figura a seguir, que representa um cilindro inscrito no tetraedro regular VABC Como as arestas do tetraedro medem cm, temos VM cm, OM cm, VO 6 cm e VD 6 6 VO DO 6 cm Seja DN r, raio da base do cilindro Pelo caso AA, ΔVDN ~ ΔVOM Logo: 6 VD VO 6 r DN OM r O volume do cilindro é: 6 6 6 r 9 Questão 9 cm cm Um triângulo equilátero tem os vértices nos pontos A, B e C do plano Oy, sendo B (, ) e C (, ) Das seguintes afirmações: I A se encontra sobre a reta y +, II A está na intersecção da reta y + + com a circunferência ( ) + 8 + ( y ), III A pertence às circunferências ( ) + + ( y ) e 7 7 + ( y ), é (são) verdadeira(s) apenas a) I b) II c) III d) I e II e) II e III
matemática 0 alternativa E O lado do triângulo equilátero ABC mede ( ) + ( ) e sua altura, O ponto A: está a uma distância de dos vértices B e C e, portanto, pertence às circunferências ( ) + + (y ) e ( ) + (y ) pertence à mediatriz de BC, de equação ( ) + (y ) ( ) + (y ) 6 + 8y 0 y + 8 está a uma distância de do ponto médio + de BC, ; + 7 ; Logo pertence 7 7 à circunferência + (y ) Assim somente as afirmações II e III são verdadeiras Como as faces do tetraedro são triângulos equiláterosdeladocm,cm MD cm Assim, o triângulo CMD é isósceles de base CD Aplicando o Teorema de Pitágoras ao ΔMND, NM + NM cm Portanto, a área do ΔMND é NM DN cm 8 AS QUESTÕES DISSERTATIVAS, NUMERADAS DE A 0, DEVEM SER RESOLVIDAS E RESPONDIDAS NO CADERNO DE SOLUÇÕES Questão 0 Sejam A, B, C e D os vértices de um tetraedro regular cujas arestas medem cm SeM éo ponto médio do segmento AB e N éoponto médio do segmento CD, entãoaáreadotriân- gulo MND, emcm,éiguala a) d) 6 8 b) e) 8 9 c) alternativa B 6 Questão Sejam A, B e C conjuntos tais que C B, nbc ( \ ) nb ( C) 6 na ( B), na ( B) e ( nc ( ), n( A), nb ( )) é uma progressão geométrica de razão r > 0 a) Determine nc ( ) b) Determine n(p( BC \ )) Seja n(a B), Z + Então n(b C) e n(b\c) 6 Como C B, temos B C C e B C (B \C) Logo n(c) e n(b) n(c) + n(b\c) 8 Além disso, (n (C); n (A); n (B)) é uma progressão geométrica de razão r > 0 Dessa forma, [n (A)] n (C) n (B) [n (A)] 8 n (A) Portanto, n(a B) n (A) + n (B) n (A B) + 8 a) n(c) b) Como n (B \C) 6 6, temos n(p(b \ C)) 096
matemática Questão A progressão geométrica infinita ( a, a,, a n, ) tem razão r < 0 Sabe-se que a progressão infinita ( a, a6,, a n +, ) tem soma 8 e a progressão infinita (a, a0,, a n, ) tem soma Determine a soma da progressão infinita ( a, a,, a n, ) Sendo r < 0 a razão da progressão geométrica (a,a,, a, n ), temos: a a 8 8 a r r 8 r a ar 8r r r + a 8 8 r Logo a soma dos termos da progressão geométrica infinita (a,a,, a, n ) é a r 8 + + Questão 6 Analise se a função f : R R, f( ) é bijetora e, em caso afirmativo, determine a função inversa f Para a e b reais, f(a) f(b) a a b b a b + + b a a+ b b + a + + a b a b, b a logo f é injetora Observe que, para qualquer número real y, y + > y y y + > y Dado y R, a equação f() y y y ( ) y ( ) 0 y + y + y + y + log (y + y + ) sempre possui solução, logo f é sobrejetora Portanto, f é bijetora e f () log ( + + ) Questão Seja f :R Rbijetora e ímpar Mostre que a função inversa f :R Rtambém é ímpar Sendo R: f ( ) f [ f f ()] f [ f(f ())] ( ) Porém, como f é ímpar, f(f ()) f( f ()) e ( ) f [f ( f ())] f f[ f ()] f () Questão 6 Considere o polinômio p ( ) Σ an n, com n 0 coeficientes reais, sendo a 0 0 e a 6 Sabe-se que se r é raiz de p, r também é raiz de p Analise a veracidade ou falsidade das afirmações: I Se r e r, r r, são raízes reais e r é raiz não real de p, então r é imaginário puro II Se r é raiz dupla de p, então r é real ou imaginário puro III a 0 < 0 I Verdadeira Se r e r, r r, são raízes reais de p, considerando ainda que p(0) a0 0, r, r, r, r são quatro raízes distintas de p() Sendo r uma raiz imaginária de p, r é outra raiz Assim, considerando que o grau de p é6,as6 raízes de p são r,r, r, r,r, r Todavia, p tem coeficientes reais, logo r também é raiz de p
matemática Como r R r r e r {r, r, r, r }, r r r r + 0 Re(r ) 0 e, portanto, r é imaginário puro II Falsa Considere, por eemplo, p() ( i) ( + i) ( + + i)( + i) (( ) + ) (( + ) + ), que tem coeficientes reais, grau 6 e raízes + i, i (duplas) e i, + i III Falsa Considere, por eemplo, p() 6 ( + ) + + +, que admite as raízes i e i (multiplicidade cada uma) e tem a0 > 0 Questão 6 Uma urna de sorteio contém 90 bolas numeradas de a 90, sendo que a retirada de uma bola é equiprovável à retirada de cada uma das demais a) Retira-se aleatoriamente uma das 90 bolas desta urna Calcule a probabilidade de o númerodestabolaserummúltiplodeou de 6 b) Retira-se aleatoriamente uma das 90 bolas desta urna e, sem repô-la, retira-se uma segunda bola Calcule a probabilidade de o número da segunda bola retirada não ser um múltiplo de 6 a) O total de números múltiplos de ou de 6 no intervalo de a 90 é 90 90 90 + 6 6 8 + 0 Logo a probabilidade pedida é 0 90 b) Considere que as 90 bolas são retiradas da urna sem reposição Os eventos "o número da i-ésima bola retirada não é múltiplo de 6", i 90, têm a mesma probabilidade Portanto, observando novamente que 90 6, a probabilidade pedida é igual à probabilidade de o número da primeira bola retirada não ser múltiplo de 6, ou seja, 90 6 Questão 7 Considere as matrizes A M ( R) X, B M ( R ) : a b b b a 0 y b A ; X e B 0 0 0 z b a b w b a) Encontre todos os valores reais de a e b tais que a equação matricial AX B tenha solução única t b) Se a b 0,a 0e B [ ], encontre X tal que AX B a) O sistema AX B tem solução única se, e somente se a b b a 0 det A 0 0 ( ) + 0 0 0 a b a b b a 0 0 a 0 a 0 Logo, para a b a 0, b R, o sistema admite solução única b) Como para a 0 o sistema é possível e determinado, podemos aplicar a regra de Cramer Temos: b 0 b a 0 C + C 0 a 0 A 0 0 0 0 0 b b b + ( ) a 0 ( a ) a 0 0 a b b a 0 Ay 0 0 0 a b a b b a 0 + 0 0 0 a b a 0 b b 0 a 0 A + 0 A 0 0 0 0 a b e
matemática a a 0 b 0 C + C b 0 0 Az 0 0 0 0 0 a a a 0 + ( ) b 0 0 b b a a b a b 0 b a C + C b a 0 Aw 0 0 0 0 0 a b a b a b + + a b ( ) b a ( ) b a 0 0 (a b ) Assim a solução do sistema, para a 0, é A A Ay A Az A Aw A a a ; A A ; b a (a b ) a a ;; b a ; a b a Em particular, se a b 0 b a, a solução é a ;; b b ;0 a ;; b ;0 e X a b 0 t 6tg cos + tg ( sen ) sen sen sen + 0 sen ousen 6 ou ou 6 b) cotg,cotg 0ecotg 6 6 cotg 6 Questão 9 Determine uma equação da circunferência inscrita no triângulo cujos vértices são A (, ), B (, 7) e C (, ) no plano Oy Questão 8 Considere a equação ( cos ) + tg 6 tg 0 a) Determine todas as soluções no intervalo [ 0, [ b) Para as soluções encontradas em a), determine cotg tg a) Sendo sen tg, temos, para + [; 0 [, ( cos ) tg + 6tg 0 O triângulo ABC é isósceles de base AB 7 6 e lados AC BC Assim, a área S do triângulo ABC é 6 e o raio da circunferência inscrita é S p 6 + + O centro I da circunferência inscrita, que pertence à reta y, tem coordenadas (a; ) Assim, IH a a e uma equação da circunferência procurada é + 9 + (y )
matemática Questão 0 As superfícies de duas esferas se interceptam ortogonalmente (isto é, em cada ponto da intersecção os respectivos planos tangentes são perpendiculares) Sabendo que os raios destas esferas medem cm e cm, respectivamente, calcule a) a distância entre os centros das duas esferas b) a área da superfície do sólido obtido pela intersecção das duas esferas Consideremos a figura a seguir, em que A e B representam os centros das esferas de raios cm e cm, respectivamente a) Como em cada ponto de intersecção os respectivos planos tangentes às esferas são perpendiculares, m (APB) 90 o e no ΔAPB temos (AB) (AP) + (PB) (AB) + AB cm b) Das relações métricas no triângulo retângulo APB, (AP) AS AB AS 9 AS 0 cm e SM AM AS 9 0 cm Também temos BS AB AS 9 8 0 cm e LS BL BS 8 cm O sólido obtido é formado por dois segmentos esféricos, um contido na esfera de raio cm e fle- cha SM cm e outro contido na esfera de raio cm e flecha LS cm A área da superfície do sólido obtido é a soma das áreas das calotas dos segmentos esféricos Já que a área de uma calota esférica de raio r e flecha h é dada por r h, a área pedida é 7 + cm