APONTAMENTOS DE CINEMÁTICA

DEPARTAMENTO DE FÍSICA APONTAMENTOS DE CINEMÁTICA para a Cadeira de MECÂNICA E ONDAS João Fonseca

Cinemática. 1 - Referencial. Coordenadas. Para localizarmos uma partícula (um ponto material) no espaço tridimensional, podemos usar as coordenadas cartesianas (x, y, z) do ponto que ela ocupa, definidas da maneira indicada na figura 1. z z P P y P y x P x Figura 1 - Coordenadas cartesianas do ponto P Subjacente à definição das coordenadas está a escolha de um referencial, ou seja, uma origem (O) e três eixos (rectas orientadas) sobre os quais se definiu uma escala. Se uma partícula se deslocar, o seu movimento pode ser conhecido de maneira completa através das funções x(t), y(t) e z(t), tomadas em conjunto. Existem outras formas diferentes de especificar a posição de uma partícula, para lá das coordenadas cartesianas. A figura 2 mostra como se definem as coordenadas cilíndricas (ρ, θ, z) e a figura 3 ilustra as coordenadas esféricas (r,θ,φ). Em alternativa às coordenadas cartesianas, o movimento da partícula pode ser convenientemente descrito pelas funções {ρ(t), θ(t), z(t)} ou {r(t), θ(t), φ(t)}. Depende da geometria do movimento qual dos sistemas de coordenadas é mais simples de usar em cada caso.

z ρ θ Figura 2 Coordenadas cilíndricas Quando o movimento se realiza sobre um plano, ou seja, a duas dimensões apenas, são por vezes úteis as coordenadas polares, definidas na figura 4. Note-se que são um caso particular das coordenadas cilíndricas, com z=0. θ r φ Figura 3 Coordenadas esféricas

y ρ θ x Figura 4 Coordenadas polares É fácil verificar que são válidas as seguintes relações entre os vários sistemas de coordenadas: Coordenadas polares <-> coordenadas cartesianas: x = ρ cosθ ρ = (x 2 + y 2 ) 1/2 y = ρ senθ θ = tg -1 (y/x) Coordenadas cilíndricas <-> coordenadas cartesianas: x = ρ cosφ ρ = (x 2 + y 2 ) 1/2 y = ρ senφ φ = tg -1 (y/x) z = z z = z Coordenadas esféricas <-> coordenadas cartesianas: x = r senθ cosφ ρ = (x 2 + y 2 +z 2 ) 1/2 y = r senθ senφ θ = tg -1 [(x 2 + y 2 ) 1/2 /z] z = r cosθ φ = tg -1 (y/x).

2 - Vector posição e vector deslocamento Muitas das grandezas físicas a que se faz recurso para estudar o movimento são grandezas vectoriais: além de intensidade, têm direcção e sentido (e por vezes ponto de aplicação). Para um tratamento adequado dessas grandezas, convém definir um sistema de vectores unitários de base, ou versores, por combinação dos quais, multiplicados por escalares adequados, se possa obter qualquer vector. Começaremos por discutir os vectores de base associados às coordenadas cartesianas. Esses vectores têm módulo unitário, estão orientados segundo a direcção dos eixos do referencial, e têm o sentido positivo dos eixos, (figura 5a). Designaremos estes vectores de base por (û x, û y, û z ), servindo o acento circunflexo para indicar que os respectivos módulos são unitários. z a) b) z r= xû x +yû y +zû z zû z û z û x û y y xû x yû y y y x x Figura 5 a) Vectores unitários de base das coordenadas cartesianas, e b) decomposição do vector posição em componentes vectoriais segundo os eixos cartesianos. A figura 5b mostra que o vector posição de um ponto P, que é por definição o vector que une a origem do referencial a esse ponto, pode ser escrito, tendo em conta a regra da adição de vectores, na forma [1] r = x û x + y û y + z û z

Traduzimos esta expressão dizendo que x, y e z são as componentes escalares de r. Chamamos vector deslocamento entre dois pontos à diferença entre os respectivos vectores posição. De acordo com a regra da diferença entre vectores, e com referência à figura 6, o vector deslocamento de P para Q é dado por [2] Δr = r Q r P = (x Q -x P ) û x + (y Q -y P ) û y + (z Q -z P ) û z. Se considerarmos dois pontos infinitamente próximos, o vector deslocamento é dado por [3] dr = dx û x + dy û y + dz û z como se pode verificar diferenciando [1] e tendo em conta que (û x, û y, û z ) são constantes em módulo, direcção e sentido. z P z Q P Δr Q y P y Q x P x Q Figura 6 Vector deslocamento Como generalizar o conceito de vector de base às coordenadas curvilíneas? Um bom palpite será tentar escrever expressões análogas a equação [3] para o vector deslocamento infinitesimal, recorrendo a diferentes sistemas de coordenadas. Para isso, convém notar que o vector posição fica perfeitamente definido se especificarmos as coordenadas do ponto, sejam elas de que sistema forem. Sobre um plano, por exemplo, podemos escrever

[4] r = r(ρ,θ) ou seja, o vector posição de um ponto material fica definido se especificarmos as coordenadas polares do ponto. Ora o diferencial de qualquer função de duas variáveis f(a,b) admite a expressão [5] df = ( f/ a)da + ( f/ b)db logo o diferencial de r será [6] dr = ( r/ ρ)dρ + ( r/ θ)dθ Se definirmos os vectores unitários û ρ e û θ como tendo as direcções e sentidos dos vectores r/ ρ e r/ θ respectivamente, será [7] dr = r/ ρ dρ û ρ + r/ θ dθ û θ expressão análoga a [3]. Convém clarificar como estão orientados os vectores unitários û ρ e û θ. Para o efeito vamos recorrer às coordenadas cartesianas, através das relações x = ρcosθ e y = ρsenθ. Tendo em conta que r = xû x + yû y, podemos escrever r = ρcosθ û x + ρsenθ û y e resulta que r/ ρ = cosθ û x + senθ û y r/ θ = ρsenθ û x + ρcosθ û y Note-se que r/ ρ = 1 e r/ θ = ρ. As direcções e sentidos dos vectores r/ ρ e r/ θ correspondem às de û ρ e û θ, que resultam definidos por û ρ = cosθ û x + senθ û y û θ = senθ û x + cosθ û y = cos(θ+π/2) û x + sen(θ+π/2) û y A figura 7 mostra a orientação dos vectores û ρ e û θ para dois pontos distintos do plano. A expressão [6] pode finalmente ser escrita na forma

[8] dr = dρ û ρ + ρdθ û θ Por analogia com [3], dizemos que û ρ e û θ são os vectores de base associados às coordenadas polares. Duas diferenças importantes entre [3] e [8] devem ser realçadas: 1) os vectores û ρ e û θ não podem ser tratados como constantes, nomeadamente quando derivamos uma expressão que os inclua, porque mudam de direcção, contrariamente ao que se passava com os (û x, û y, û z ) ; 2) os factores de escala associados às variáveis (ρ, θ), que são (1,ρ), surgem na expressão [8]. û θ û ρ û θ û ρ Figura 7 Vectores de base unitários do sistema de coordenadas polares Em coordenadas cilíndricas, um raciocínio análogo conduz à expressão [9] dr = dρ û ρ + ρdθ û θ + dz û z e em coordenadas esféricas obtém-se [10] dr = dr û r + rdθ û θ + rsenθ dφ û φ

As figuras 8a) e b) mostram a orientação dos vectores de base das coordenadas cilíndricas e esféricas. û z a) b) û φ û r û φ û ρ û θ coordenadas cilíndricas coordenadas esféricas Figura 8 Vectores unitários de base dos sistemas de coordenadas cilíndricas (a) e esféricas (b) Além dos sistemas de vectores de base relativos aos diversos sistemas de coordenadas, é conveniente por vezes usar o chamado referencial intrínseco, que é definido com base na própria trajectória seguida por um ponto material. A figura 9 ilustra a orientação dos vectores de base do referencial intrínseco. O vector û t é tangente à trajectória no ponto considerado, e aponta no sentido do movimento. O vector û n é normal à trajectória e aponta (por convenção) para o lado interior da curvatura. Em geral, uma trajectória tridimensional não é planificável (não está contida num plano), mas é possível definir em cada ponto o plano osculador, que contém a trajectória na vizinhança desse ponto. Nesse caso, o vector û n pertence ao plano osculador, e é ainda possível definir o vector unitário binormal û b, perpendicular a û t e a û n. Quando o movimento

se faz num plano, o vector binormal coincide sempre com a normal a esse plano. trajectória û b û n û t Figura 9 Referencial intrínseco A figura 9 permite ver que o vector deslocamento entre dois pontos vizinhos tem uma direcção próxima do vector û t. No limite, quando os pontos são infinitamente próximos, o deslocamento infinitesimal dr aponta na mesma direcção que û t, e o seu módulo é igual ao comprimento do arco descrito. Este facto pode ser traduzido pela equação [11] dr = ds û t sendo ds o comprimento do arco. 3 - Vector velocidade e vector aceleração. A velocidade de um ponto material é uma grandeza vectorial que por definição é igual à derivada do vector posição : [12] v = dr/dt Esta definição permite de imediato obter a expressão da velocidade em coordenadas cartesianas, tendo em conta [1]:

[13] v = (dx/dt) û x + (dy/dt) û y + (dz/dt) û z (notar que os vectores de base em coordenadas cartesianas são constantes.) As componentes escalares da velocidade são as quantidades [14] v x = dx/dt; v y = dy/dt; v z = dz/dt Exemplo 1 A trajectória de um avião é observada a partir de uma torre de controle (situada na origem do referencial), e verifica-se que ela é descrita por x = 4500-120.0 t (m) y =-1700+85.0 t (m) z = 800 (m) com t em segundos. O eixo Ox aponta para Sul, e o eixo Oy aponta para Leste. Qual a velocidade do avião, e qual a sua posição no instante em que se iniciou a observação (t = 0)? Se não se alterar a rota, qual a distância mínima a que o avião passa da torre? Solução : A velocidade do avião é dada por v = v x û x + v y û y + v z û z, com v x = dx/dt; v y = dy/dt; v z = dz/dt. Logo, v = -120.0 û x + 85.0 û y (ms -1 ), Podemos concluir que o avião voa horizontalmente (v z = 0). O ângulo que o seu rumo faz com o eixo Ox é dado por φ = tg -1 v y /v x = 144.7º. Está portanto a dirigir-se para o quadrante Noroeste. A velocidade de cruzeiro, em módulo, é v = [(-120.0) 2 +(85.0) 2 ] 1/2 = 147.0 ms -1. No instante t = 0, o vector posição do avião é dado por r 0 = 4500 û x 1700 û y + 800 û z (m), e a sua distância à origem é D = r 0 = 4876 m. A torre vê o avião na direcção S20.7W (ou seja, no quadrante Sudoeste fazendo um ângulo de 20.7º com o Sul), e a 800 metros de altitude. A distância na horizontal é de 4810 m. No instante genérico t, a distância entre o avião e a torre é D(t) =[(4500-120.0t) 2 + ( 85.0t-1700) 2 + 800 2 ] 1/2, e para que a distância

seja mínima deve anular-se a derivada desta expressão. Feito o cálculo resulta t = 18.3 s, e nesse instante a distância é de 4068 m (distância mínima) sendo a distância na horizontal de 3985 m. A equação [11] permite obter de imediato a expressão do vector velocidade no referencial intrínseco. Seja s(t) o espaço percorrido por uma partícula, medido ao longo da trajectória. Tendo em conta que são sempre válidas as expressões dr = (dr/dt)dt e ds = (ds/dt)dt para os diferenciais das funções r(t) e s(t) respectivamente, resulta que (dr/dt)dt = û t (ds/dt) dt ou seja, [15] v = (ds/dt) û t Este resultado traduz o facto de que o vector velocidade é sempre tangente à trajectória, sendo o seu módulo igual ao espaço percorrido (medido ao longo da trajectória) por unidade de tempo. A grandeza v=ds/dt designa-se por velocidade linear, e é igual ao módulo do vector velocidade. Logo, é também válida a expressão v = [(dx/dt) 2 +(dy/dt) 2 +(dz/dt) 2 ] 1/2. Para obter as expressões do vector velocidade em coordenadas polares, cilíndricas e esféricas, basta ter em conta as expressões [8], [9] e [10] para o deslocamento infinitesimal. Por exemplo, para coordenadas polares será dr = dρ û ρ + ρdθ û θ = [(dρ/dt)û ρ + ρ(dθ/dt)û θ ] dt ou seja, [16] v = dr/dt = (dρ/dt)û ρ + ρ(dθ/dt)û θ e a velocidade linear será dada por v = [(dρ/dt) 2 + ρ 2 (dθ/dt) 2 ] 1/2 Um raciocínio análogo conduz para coordenadas cilíndricas à expressão

[17] v = (dρ/dt)û ρ + ρ(dθ/dt)û θ + (dz/dt) û z e para coordenadas esféricas à expressão [18] v = (dr/dt)û r + r(dθ/dt)û θ + rsenθ (dφ/dt) û φ A velocidade linear pode ser calculada pelas expressões v = [(dρ/dt) 2 + ρ 2 (dθ/dt) 2 + (dz/dt) 2 ] 1/2 em coordenadas cilíndricas, ou v = [(dr/dt) 2 + r 2 (dθ/dt) 2 + r 2 sen 2 θ(dφ/dt) 2 ] 1/2 em coordenadas esféricas. Define-se aceleração de um ponto material como derivada do vector velocidade: a = dv/dt ou a = d 2 r/dt 2 Resulta imediatamente que a expressão da aceleração em coordenadas cartesianas é a = (d 2 x/dt 2 )û x + (d 2 y/dt 2 )û y + (d 2 z/dt 2 )û z = (dv x /dt)û x + (dv y /dt)û y + (dv z /dt)û z A expressão de aceleração no referencial intrínseco pode ser obtida por derivação de [15]: a = dv/dt û t + v dû t /dt. Neste caso é necessário calcular a derivada de û t, que é não nula visto que o versor tem direcção variável. O cálculo será feito com o auxílio da figura 17. Escolhendo dois pontos próximos sobre a trajectória, P 1 e P 2, traçando as tangentes nesses pontos e as respectivas normais, podemos definir o centro de curvatura local C e o raio de curvatura local ρ. Fazendo tender para zero a distância entre os dois pontos, definimos de modo exacto o centro de curvatura e o raio de curvatura no ponto P. O vector û t pode ser escrito em função de û x e û y como û t = cos (π/2-α) û x sen (π/2-α) û y (verifique), ou seja û t = senα û x cosα û y e dû t /dt = cosα(dα/dt) û x + sena(dα/dt) û y = (dα/dt)[cosα û x + senα û y ]

û n û t ρ α α+dα C dα (<0) Figura 10 Centro de curvatura(c) e raio de curvatura (ρ) A inspecção da figura mostra que cosα û x + senα û y = -û n, logo, conclui-se que dû t /dt = -(dα/dt)û n. Tendo em conta que dα/dt = (dα/ds)(ds/dt) = vdα/ds, e que a relação entre o ângulo dθ e o arco subtendido ds é ds = -ρdθ, sendo ρ o raio de curvatura (o sinal - resulta de ser dθ < 0 no caso da figura, por ser um ângulo no sentido horário), obtem-se dα/dt = -v/ρ, e, finalmente, dû t /dt = (v/ρ)û n. Então, [19] a = (dv/dt) û t + (v 2 /ρ) û n que é a expressão desejada. Não confundir o raio de curvatura ρ com a coordenada polar representada pela mesma letra grega. A parcela segundo û t é a aceleração tangencial, que resulta da variação do módulo da velocidade. A parcela segundo û n é a aceleração centrípeta, que existe mesmo que o módulo da velocidade seja constante. A aceleração centrípeta só se anula se a trajectória for rectilínea (ρ é infinito nesse caso). Como convencionámos que o versor û n se dirige sempre para o lado interior da curvatura, podemos concluir que a aceleração centrípeta está sempre dirigida para o lado de dentro da curvatura, como o seu nome indica.