As 21 questões a seguir formam um simulado com todas as matérias que caem em matemática na FUVEST. Para avaliar o seu conhecimento e condicionamento, simule o tempo de prova de 3 minutos por questão. Sugerimos que estas 21 questões sejam completadas em até 65 minutos. 1. O polinômio 3 2 P(x) x mx nx 12 é tal que P(x) 0 admite as raízes x, 1 x 2 e x 3. Se x1 x2 3 e x2 x3 5, então é correto afirmar que a) P(m) 0 b) m n 13 c) m n 20 d) n 2m 7 2. Um produtor de cinema faz um documentário sobre os mistérios da natureza, composto por 60 curtas metragens de 8 minutos cada. Se ele resolvesse utilizar curtas metragens com duração de 3 minutos, o número de curtas metragens que comporiam o documentário seria de: a) 23 b) 60 c) 90 d) 160 e) 260 3. Em uma apresentação circense, forma-se uma pirâmide humana com uma pessoa no topo sustentada por duas outras que são sustentadas por mais três e assim sucessivamente. Quantas pessoas são necessárias para formar uma pirâmide com oito filas de pessoas, da base ao topo? a) 8. b) 16. c) 28. d) 36. e) 45. 4. O gráfico abaixo exibe o lucro líquido (em milhares de reais) de três pequenas empresas A, B e C, nos anos de 2013 e 2014.
Com relação ao lucro líquido, podemos afirmar que a) A teve um crescimento maior do que C. b) C teve um crescimento maior do que B. c) B teve um crescimento igual a A. d) C teve um crescimento menor do que B. 5. A matriz A ij(2 3) tem elementos definidos pela expressão A é 3 2 aij i j. Portanto, a matriz a) b) c) d) e) 0 3 8. 7 4 1 0 7 26. 3 4 23 0 3 7 4. 26 23 0 7 3 4. 8 1 0 1 2. 1 0 1 6. De forma geral, os pneus radiais trazem em sua lateral uma marcação do tipo abc derfg, como 185 65R15. Essa marcação identifica as medidas do pneu da seguinte forma: - abc é a medida da largura do pneu, em milímetro;
- de é igual ao produto de 100 pela razão entre a medida da altura (em milímetro) e a medida da largura do pneu (em milímetro); - R significa radial; - fg é a medida do diâmetro interno do pneu, em polegada. A figura ilustra as variáveis relacionadas com esses dados. O proprietário de um veículo precisa trocar os pneus de seu carro e, ao chegar a uma loja, é informado por um vendedor que há somente pneus com os seguintes códigos: 175 65R15, 175 75R15, 175 80R15, 185 60R15 e 205 55R15. Analisando, juntamente com o vendedor, as opções de pneus disponíveis, concluem que o pneu mais adequado para seu veículo é o que tem a menor altura. Desta forma, o proprietário do veículo deverá comprar o pneu com a marcação a) 205 55R15. b) 175 65R15. c) 175 75R15. d) 175 80R15. e) 185 60R15. 7. As medidas dos lados de um triângulo são expressas por x 1, 3x e x 3 estão em PA, nessa ordem. O perímetro do triângulo mede a) 4 b) 9 c) 14 d) 19
8. Uma criança ganhou seis picolés de três sabores diferentes: baunilha, morango e chocolate, representados, respectivamente, pelas letras B, M e C. De segunda a sábado, a criança consome um único picolé por dia, formando uma sequência de consumo dos sabores. Observe estas sequências, que correspondem a diferentes modos de consumo: (B, B, M, C, M, C) ou (B, M, M, C, B, C) ou (C, M, M, B, B, C) O número total de modos distintos de consumir os picolés equivale a: a) 6 b) 90 c) 180 d) 720 9. A área de um quadrado inscrito na circunferência de equação a) 1. 2 b) 1. c) 2. d) 2. e) 2 2. 2 2 x 2y y 0 é 10. Se Y {y tal que 6y 1 5y 10}, então: a) 1 Y, 6 b) Y { 1} c) Y d) Y e) 1, 6 11. O vídeo Kony 2012 tornou-se o maior sucesso da história virtual, independente da polêmica causada por ele. Em seis dias, atingiu a espantosa soma de 100 milhões de espectadores, aproximadamente. No primeiro dia na Internet, o vídeo foi visto por aproximadamente 100.000 visitantes. (Adaptado de: PETRY, A. O Mocinho vai prender o bandido... e 100 milhões de jovens querem ver. Veja, ano 45, n.12, 2261.ed., 21 mar. 2012.)
Seja A = (a1, a2, a3, a4, a5, a6) a sequência que fornece a quantidade de acessos diários ao vídeo na Internet, obedecendo a regra an k, onde k é uma constante real e n 2,3,4,5,6. a 1 n Sabendo que a fórmula da soma de uma PG é afirmativas a seguir. n a 1(k 1) S n, onde k 1, considere as k 1 I. A sequência A é uma PG cuja razão está no intervalo 2 k 3 e II. A sequência A é uma PG cuja razão está no intervalo 2 k 3 e III. A sequência A é uma PG cuja razão está no intervalo 3 k 4 e IV. A sequência A é uma PG tal que 8 S6 10. 6 5 a 10. 8 S6 10. S6 a1 1 k k 2 k 3 k 4 k 5 10 8 5 e a1 10. Assinale a alternativa correta. a) Somente as afirmativas I e II são corretas. b) Somente as afirmativas I e IV são corretas. c) Somente as afirmativas III e IV são corretas. d) Somente as afirmativas I, II e III são corretas. e) Somente as afirmativas II, III e IV são corretas. 12. Uma comissão é formada por 4 participantes de cada um dos municípios, Abaetetuba, Igarapé-Miri, Cametá, Barcarena e Moju, totalizando 20 pessoas. Escolhendo-se aleatoriamente 5 pessoas deste grupo, a probabilidade de que exista um representante de cada município é: a) 64/969 b) 8/14535 c) 1/2075 d) 5/15504 e) 1/15504 13. Um produtor de soja deseja transportar a produção da sua propriedade até um armazém distante 2.225 km. Sabe-se que 2.000 km devem ser percorridos por via marítima, 200 km por via férrea, e 25 km por via rodoviária. Ao fazer um levantamento dos custos, o produtor constatou que, utilizando transporte ferroviário, o custo por quilômetro percorrido é: 100 reais mais caro do que utilizando transporte marítimo. A metade do custo utilizando transporte rodoviário.
Com base nessas informações e sabendo que o custo total para o produtor transportar toda sua produção será de 700.000 reais, é correto afirmar que o custo, em reais, por quilômetro percorrido, no transporte marítimo é de: a) 200 b) 250 c) 300 d) 350 e) 400 14. Para dificultar o trabalho de falsificadores, foi lançada uma nova família de cédulas do real. Com tamanho variável quanto maior o valor, maior a nota o dinheiro novo terá vários elementos de segurança. A estreia será entre abril e maio, quando começam a circular as notas de R$ 50,00 e R$ 100,00. As cédulas atuais têm 14 cm de comprimento e 6,5 cm de largura. A maior cédula será a de R$ 100,00, com 1,6 cm a mais no comprimento e 0,5 cm maior na largura. Disponível em: http://br.noticias.yahoo.com. Acesso em: 20 abr. 2010 (adaptado). Quais serão as dimensões da nova nota de R$ 100,00? a) 15,6 cm de comprimento e 6 cm de largura. b) 15,6 cm de comprimento e 6,5 cm de largura. c) 15,6 cm de comprimento e 7 cm de largura. d) 15,9 cm de comprimento e 6,5 cm de largura. e) 15,9 cm de comprimento e 7 cm de largura. x e 15. A equação em x, arctg (e x + 2) arccotg π, x R \{0} 2x e 1 4 a) admite infinitas soluções, todas positivas. b) admite uma única solução, e esta é positiva. c) admite três soluções que se encontram no intervalo d) admite apenas soluções negativas. e) não admite solução. 5 3,. 2 2 16. Considere o losango cujos lados medem 6 cm e um dos ângulos internos mede 60. A rotação desse losango em torno de um de seus lados gera um sólido cujo volume, em centímetros cúbicos, é a) 146 ( 3 ) π b) 162 π
c) 162 ( 3 ) ð d) 178 ð e) 178 ( 3 ) π 17. Admita que o centro do plano complexo Argand-Gauss coincida com o centro de um relógio de ponteiros, como indica a figura: Se o ponteiro dos minutos tem 2 unidades de comprimento, às 11h55 sua ponta estará sobre o número complexo a) -1 + ( 3 )i b) 1 + ( 3 )i c) 1 - ( 3 )i d) ( 3 ) - i e) ( 3 ) + i 18. Em uma vídeo locadora, o acervo de filmes foi dividido, quanto ao preço, em três categorias: Série Ouro (SO), Série Prata (SP) e Série Bronze (SB). Marcelo estava fazendo sua ficha de inscrição, quando viu Paulo alugar dois filmes SO, dois filmes SP e um filme SB e pagar R$ 13,50 pela locação dos filmes. Viu também Marcos alugar quatro filmes SO, dois filmes SP e um filme SB e pagar R$ 20,50 pela locação. Marcelo alugou três filmes SO, um filme SP e dois filmes SB e pagou R$ 16,00 pela locação dos filmes. Então, nesta locadora, o preço da locação de três filmes, um de cada categoria, é igual a: a) R$ 7,50. b) R$ 8,00. c) R$ 8,50. d) R$ 9,00. e) R$ 10,00.
19. Pelos programas de controle de tuberculose, sabe-se que o risco de infecção R depende do tempo t, em anos, do seguinte modo R=R0 e -yt em que R0 é o risco de infecção no início da contagem do tempo t e y é o coeficiente de declínio. O risco de infecção atual em Salvador foi estimado em 2%. Suponha que, com a implantação de um programa nesta cidade, fosse obtida uma redução no risco de 10% ao ano, isto é, y=10%. Use a tabela abaixo para os cálculos necessários: O tempo, em anos, para que o risco de infecção se torne igual a 0,2%, é de: a) 21 b) 22 c) 23 d) 24 20. Se log2 5=x e y=2 2x+1, então y é igual a a) 50 b) 25 c) 15 d) 10 e) 5 21. (Escola Técnica Federal - RJ) A diferença entre a média aritmética e a média proporcional de 4 e 36 é: a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 14
Gabarito: Resposta da questão 1: [D] Calculando: 3 2 P(x) x mx nx 12 Por Girard: x x x 12 1 2 3 x x 3 x 4 1 2 3 x x 5 x 1 2 3 2 x x 3 x 3 1 2 1 3 2 P(x) (x 1) (x 3) (x 4) x 2x 11x 12 n 2m 7 11 2 ( 2) 7 Resposta da questão 2: [D] Primeiramente deve-se saber o tempo total do documentário de 60 curtas metragens de 8 minutos cada: 60 8 480 minutos. Dividindo os 480 minutos por 3 minutos, temos: 480 160 curtas metragens. 3 Resposta da questão 3: [D] Utilizando os conceitos de progressão aritmética, pode-se escrever: a1 1 a2 2 r 1 a8 1 (8 1) 1 1 7 8 (18) 8 S 36 pessoas 2
Resposta da questão 4: [B] É fácil ver que A teve um decrescimento, enquanto que B e C tiveram um crescimento. Além disso, o crescimento de B foi de 100 milhares de reais e o crescimento de C foi de 200 milhares de reais. Portanto, C teve um crescimento maior do que o de B. Resposta da questão 5: [A] a ij 3 2 i j 3 2 3 2 3 2 1 1 1 2 1 3 3 2 3 2 3 2 3 a11 a12 a13 0 3 8 a21 a22 a 23 2 1 2 2 2 7 4 1 Resposta da questão 6: [E] Tem-se que a altura de cada pneu é dada por abc de. 100 Assim, é fácil ver que o pneu de menor altura é o que possui menor produto abc de. Portanto, como 175 65 11.375, 185 60 11.100 e 205 55 11275, segue que o proprietário do veículo deverá comprar o pneu com a marcação 185 60R15. Resposta da questão 7: [B] Se os valores x 1, 3x e x 3 estão em PA, e considerando r como sendo a razão desta PA, então pode-se escrever: 3x (x 1) r (x 3) 3x r 3x (x 1) (x 3) 3x 4x 4 x 1 O perímetro do triângulo será a soma de todos os seus lados, ou, neste caso de todos os termos da PA. Assim: (a1a n) n (x 1 x 3) 3 6 3 S S 9 2 2 2
Resposta da questão 8: [B] Sabendo que a criança ganhou dois picolés de cada sabor, tem-se que o resultado pedido é dado por (2, 2, 2) 6! P6 90. 2! 2! 2! Resposta da questão 9: [D] Determinando o centro C e o raio R da circunferência, temos: 2 2 2 2 2 2 x 2y y 0 x y 2y 1 0 1 x y 1 1 Logo, C(0,1) e o raio R = 1. Todo quadrado é um losango, portanto sua área pode ser calculada como sendo a medida do produto de suas diagonais. A diagonal d desse quadrado é o diâmetro da circunferência, portanto d = 2 e sua área será dada por: 2 2 A 2 2 Resposta da questão 10: [C] Resposta da questão 11: [C]
an Dado que os termos da sequência A satisfazem a regra k, segue que A é uma a progressão geométrica. Sabendo que o vídeo foi visto por aproximadamente 100 milhões de espectadores, segue que n 1 6 8 S 10. Logo, como 1 5 a 10, vem 5 6 8 10 (k 1) 5 4 3 2 10 k k k k k 1 1000. k1 Desse modo, se k ]2, 3[, então 5 4 3 2 k k k k k 1 1000 para k 3. Contudo, 5 4 3 2 3 3 3 3 3 1 364 1000 e, portanto, k ]2, 3[. Analogamente, se k ]3, 4[, então 5 4 3 2 k k k k k 1 1000 para k 4. De fato, 5 4 3 2 4 4 4 4 4 1 1365 1000. Por conseguinte, k ]3, 4[. Reescrevendo os termos de A em função de a 1 e k, obtemos 2 3 4 5 1 1 1 1 1 1 A (a, a k, a k, a k, a k, a k ). Daí, 6 1 2 3 4 5 8 S a (1 k k k k k ) 10. Resposta da questão 12: [A] Existem 4 maneiras de escolher um representante de cada um dos municípios. Logo, existem 5 4 4 4 4 4 4 modos de formar um grupo de 5 pessoas com um representante de cada município. Por outro lado, existem 20 modos de escolher 5 pessoas quaisquer dentre os munícipes. 5
Portanto, a probabilidade pedida é dada por 5 5 4 4 20 20! 5 5! 15! 5 4 20 19 18 17 16 5 3 4 2 64. 969 Resposta da questão 13: [C] Custo por km: Marítimo: x 100 Férreo: x Rodoviário: 2x 2000.(x 100) + 200x + 25.2x = 700 000 2250x 200 000 = 700 000 2250x = 900 000 x = 400 O valor por quilômetro do transporte marítimo será 400 100 = 300 reais. Resposta da questão 14: [C] De acordo com o texto, as dimensões da nova nota de R$ 100,00 serão 14 1,6 15,6cm e 6,5 0,5 7cm. Resposta da questão 15: [B] x e arctg (ex + 2) arccotg π, x R \{0} 2x e 1 4
tgα e x 2 x 2x e e 1 cotgβ tgβ e 2x x e 1 e x e x tg( - ) = 1 x x e 2 ( e e x x 1 ( e 2).( e e x) x 1 3 x 2. 2 x x e e 2. e 3 0 ) considerando e x = y, temos: y 3 + 2y 2 2y 3 = 0 observe que y = -1 [e raiz da equação. -1 1 2-2 -3 1 1-3 0 (y+1).(y 2 + y + -3) = 0 y= -1 ou 1 y 2 13 ou y -1-13 2 Como e x > 0 temos e x = 1 2 13, portanto encontraremos apenas um valor para x e positiva Resposta da questão 16: [B] Resposta da questão 17: [A] Resposta da questão 18: [A] Resposta da questão 19: [C] Resposta da questão 20: [A]
Resposta da questão 21: [B]