Licenciatura em Matemática Fundamentos de Matemática Elementar 2 o /2010 Professora Adriana TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 1. Calcule sen x, tg x e cotg x sendo dado: a) cos 1 2 b) cos 2 5 c) cos 0,96 2. Sabendo que ˆB e Ĉ são complementares, calcule cos Ĉ, tg Ĉ e cotg Ĉ quando: a) cos ˆB = 0,57 b) cos ˆB = 5 c) cos ˆB = 6 5. Em um triangulo retângulo, determine o valor de x (cateto AC) dado que a hipotenusa BC vale 15 cm e o ângulo B vale 0 graus. 4. Uma escada de bombeiros pode ser estendida até um comprimento máximo de 25 metros, formando um angulo de 70 (ver valor na calculadora) com a base, que está sobre um caminhão, a 2 metros do solo. Qual é a altura máxima que a escada atinge? resp (25,49 m) 5. Um topógrafo foi chamado para obter a altura de um edifício. Para fazer isto, ele colocou um teodolito (instrumento ótico para medir ângulos) a 200 metros do edifício e mediu um ângulo de 0. Sabendo que a luneta do teodolito está a 1,5 metro do solo, qual é a altura do edifício? (sen 0 = 0,5, cos 0 = 0,866, tg 0 = 0,577) 6. Dois níveis de uma praça estão ligados por uma rampa de m de comprimento e 0º de inclinação, conforme a figura. Devem-se construir sobre a rampa 6 degraus de mesma altura. Qual a altura de cada degrau? 7. Calcular os catetos de um triângulo retângulo cuja hipotenusa mede 6 cm e um dos ângulos mede 60º. (Resp.: e ) 1
8. Quando o ângulo de elevação do sol é de 65º, a sombra de um edifício mede 18m. Calcule a altura do edifício. (Resp.: 8,6m) (Dados: sen 65º = 0,906, cos 65º = 0,4226 e tg 65º = 2,1445). 9. Uma escada encostada em um edifício tem seus pés afastados a 50 m do edifício, formando assim, com o plano horizontal, um ângulo de 2º. A altura do edifício é aproximadamente: (Resp.: letra c) (Dados: sen 2º = 05299, cos 2 = 0,8480 e tg 2º = 0,6249). a) 28,41m b) 29,87m c) 1,24 m d) 4,65 m 10. Um avião levanta vôo sob um ângulo de 0º. Depois de percorrer 8 km, o avião se encontra a uma altura de: (Resp.: letra c) a) 2 km b) km c) 4 km d) 5 km 11. Um foguete é lançado sob um ângulo de 0 º. A que altura se encontra depois de percorrer 12 km em linha reta? (Resp.: 6 km) 12. Do alto de um farol, cuja altura é de 20 m, avista-se um navio sob um ângulo de depressão de 0º. A que distância, aproximadamente, o navio se acha do farol? (Use = 1,7) (Resp.: 4,6m) 1. Num exercício de tiro, o alvo está a 0 m de altura e, na horizontal, a 82 m de distância do atirador. Qual deve ser o ângulo (aproximadamente) de lançamento do projétil? (Resp.: 20 ) (Dados: sen 20º = 0,420, cos 20º = 0,997 e tg 20º = 0,640). 14. Se cada ângulo de um triângulo equilátero mede 60 º, calcule a medida da altura de um triângulo equilátero de lado 20 cm. (Resp.: 10 ) 15. Um alpinista deseja calcular a altura de uma encosta que vai escalar. Para isso, afasta-se, horizontalmente, 80 m do pé da encosta e visualiza o topo sob um ângulo de 55º com o plano horizontal. Calcule a altura da encosta. (Resp.: 11,6m) (Dados: sen 55º = 0,81, cos 55º = 0,57 e tg 55º = 1,42) 16. Exprimir em radianos: a) 45 b) 15 c) 00 2
17. Exprimir em graus: 7 a) rad b) 5 rad c) 11 6 rad 18. Converta em radianos os arcos 22 0' e 1 15'45''. 19. Calcular, em graus, a medida do ângulo aôb da figura 20. Calcular o comprimento l do arco AB definido numa circunferência de raio r = 10 cm, por um ângulo central de 60º. 21. Calcular o menor dos ângulos formados pelos ponteiros de um relógio que está marcando: a) 1 h b) 1 h 15 min c) 1 h 40 min 22. Indicar no ciclo trigonométrico a imagem de cada número x a seguir: a) b) c) 21 d) 1 4 e) f) g) 28 11 6 25
5 7 11 2. Localize os arcos,, e. Em seguida, dê o sinal do seno e do cosseno 6 de cada um deles. 24. Utilizando simetria e sabendo que sen cosseno de 5 7 11, e. 1 = e cos = 6 2 6 2,dê o valor do seno e do 5 7 25. Localize os arcos,, e. Em seguida, dê o sinal da tangente e da 4 4 4 4 cotangente de cada um deles. 26. Sabendo que tg 5 7 11 =, dê o valor da tangente de, e. 6 27. Sabendo que cotg 2 4 5 =, dê o valor da cotangente de, e. 28. Calcule as expressões: a) sen + sen sen 2 6 4 1 7 b) 2sen + sen 6 2 4 c) cos + cos cos 2 4 1 7 d) 2cos + cos 6 2 4 e) tg + tg tg 2 4 f) 5 1 1 5 2tg + tg tg 4 2 6 g) 2 1 5 2cotg cotg 2 6 h) 2 7 sen + cos tg +cotg 4 6 2 5 5 29. Localize os arcos,, e. Em seguida, dê o sinal da secante e da 4 6 cossecante de cada um deles. 2 0. Sabendo que sec = e cossec = 2, localize os arcos, utilize simetria e dê o 6 6 valor da secante da cossecante de 5 7 11, e. 1. Qual o valor de cossec sen sen sec + 6 6 4? 4
2. Qual é o sinal de cada uma das seguintes expressões? a) y = sen 45º + cos 45º b) y = sen 225º + cos 225º c) y = sen 00º + cos 00º..Faça o gráfico de um período completo das funções a seguir e determine sua imagem. a) y = - sen (x) g) y = cos (x - /4) b) y = 2sen (2x) h) y = 5 + cos (4x - 7) c) y = -1 + sen (2x) i) y = tg (2x + /6) d) y = sen (x + /) j) y = cotg (x - /6) e) y = cos (5x) k) y = sec (2x) f) y = -cos (x) l) y = cossec (2x ) 4. Qual é o domínio da função real f tal que f(x) = tg x e f(x) = tg (2x - )? k Resp.: D( f ) = x R, x +, k Z 6 e 5 k D( f ) = x R, x +, k Z 12 2 5. Esboce o gráfico, dê o domínio e o período d a função f(x) = tg (x - 4 ). 6. Determine o domínio e o período das funções reais a) f(x) = cotg (x - ) b) g(x) = sec 2x c) cossec (x + ) 4 5