FÍSICA ATÓMICA E NUCLEAR DETECÇÃO DE RADIAÇÕES β E γ ESTUDO DE UM DETECTOR GEIGER OBJECTIVO : familiarizar o estudante com as propriedades da radioactividade (em particular de radiações β e γ) e sua interacção com a matéria, usando um detector de Geiger-Müller. 1 INTRODUÇÃO [1] Qualquer método de determinação numérica de uma grandeza está sempre sujeito a erros. Estes erros designam-se de uma maneira geral por erros de observação. Estes podem classificar-se em erros sistemáticos e em erros aleatórios ou acidentais. Os erros sistemáticos são inerentes ao método de observação em si: eistem sempre que se utilize o referido método e não são susceptíveis de tratamento estatístico. O observador deve sempre fazer intervir no cálculo do erro do resultado final uma parcela que traduza o somatório dos erros sistemáticos envolvidos no método de medição. Os erros aleatórios são devidos a um grande número de causas que não podem ser controladas pelo eperimentador. Os erros devidos a estas causas flutuam pois de forma irregular de uma observação para outra e não é possível predizer os seus valores com eactidão. São considerados como variáveis aleatórias e tratados por métodos da Teoria das Probabilidades. Considere-se a situação que ocorre quando se fazem determinações da actividade de uma fonte radioactiva. Admita-se que se trata de uma fonte cujo período de semidesintegração é suficientemente longo para que se possa considerar a sua actividade constante no decurso de uma eperiência. Nestas condições verifica-se que não só a medição (baseada na interacção da radiação com a matéria) é aleatória mas também o próprio processo de decaimento é inerentemente aleatório. A emissão radioactiva é um fenómeno estatístico ao qual está associada a probabilidade de desintegração de um núcleo por unidade de tempo - constante de desintegração radioactiva, λ. O problema situa-se em saber em que medida é que o resultado de uma única determinação ou de um conjunto de determinações de actividade representa a "actividade" da fonte radioactiva. É fácil mostrar que a emissão radioactiva segue a lei de Poisson (ver apêndice I) e que esta tende para a lei normal de variância igual à média (aproimação esta que é já válida para valores de média 30). 2. LEI DE DISTRIBUIÇÃO DE POISSON Como é sabido as melhores estimativas dos parâmetros m (média) e σ (desvio padrão) de uma distribuição, calculados a partir de uma amostra de n medidas ( 1,..., n ) são dadas por: m = n i e σ = 2 ( i m) (1) n 1 A medida da actividade de uma fonte radioactiva (com T 1/2 >> t) eibe flutuações estatísticas dadas pela lei de distribuição de Poisson, 0
k P( k,m ) = k m e k! m com k = 0, 1, 2,... P(k,m) representa a probablilidade de o resultado de uma medida ser k contagens e m é o valor médio da distribuição. O desvio padrão de uma distribuição de Poisson é σ = m (2) Distribuição de Poisson 12 10 8 frequência k m e P( k,m ) = k! σ = m m 6 4 2 0 1 10 19 28 37 46 55 64 73 82 91 100 # N = 100 m = 4,16 k Fig. 1 Histograma de um conjunto de 100 valores de uma variável aleatória k que obedece a uma lei de distribuição de Poisson. O valor médio de k é 100 ki i=1 m = =4,16. Os símbolos a azul são 100 os valores obtidos da epressão da lei de Poisson usando este valor da média. Para valores grandes de m a lei de distribuição de Poisson aproima-se de uma lei de distribuição de Gauss (ou normal) com σ = m, 1 lim P( k;m) = e m 2π m 2 ( k-m) / 2m Atendendo ao significado de média e desvio padrão resulta que, se se fizer um conjunto de n determinações (k 1, k 2,..., k n ) cuja média é m ou uma única determinação k então há 68% de probabilidade de, fazendo nova determinação, o valor obtido se encontrar no intervalo m ± m ou que 68% das determinações pertençam ao referido intervalo. Pode ainda dizer-se que há 68% de probabilidade de o valor "verdadeiro" se encontrar no intervalo m ± σ n. σ m = σ é o desvio padrão da média e significa que, se se fizer um novo conjunto de determinações de média m' há 68% de probabilidade de m' pertencer ao intervalo m ± σ m. É óbvio que se se fizer uma única determinação então σ m = m = σ, razão porque também σ se denomina desvio padrão de uma observação isolada. n 3. CORRECÇÃO DE FUNDO Mesmo na ausência de fontes radioactivas, são contados impulsos no sistema de medição. A eistência destes impulsos, chamados contagens de fundo, deve-se a ruido electrónico e à eistência de radiações cósmicas e radiações provenientes de isótopos radioactivos naturais. 1
Se se pretende fazer uma determinação correcta de actividade de uma fonte as contagens de fundo devem ser subtraidas da contagem total. Normalmente o fundo, se for constante, não introduz erro significativo a não ser que se esteja a medir uma fonte pouco intensa em locais onde o fundo possa ser apreciável. Nos casos em que se impõe fazer a correcção de fundo deve o erro da sua determinação entrar no cálculo do erro do resultado. 4. DETECTOR GEIGER (ver Apêndice II [1] e bibliografia aconselhada [2], por e.) 5. BIBLIOGRAFIA 1. Demonstração de que o decaimento de uma fonte radioactiva de período T 1/2, muito maior do que o tempo durante o qual se faz a medição, segue a lei de Poisson., guião de trabalhos práticos de Física Laboratorial II, 2002. 2. Radiation Detection and Measurement, G. Knoll, 3 rd ed. (New York: Wiley), 2000. 3. Introduction to Nuclear Physics, K. Krane, New York: Wiley, 1988. 4. Modern Physics, R. Serway, C. J. Moses, C. A. Moyer, 3 rd ed., Thomson Brooks/Cole, 2005. 5. Data Reduction and Error Analysis for the Physical Science, P. Bevington e D. Keith Robinson, McGraw-Hill Inc.. 6. http://www.ortec-online.com/application-notes/an34/an34-content.htm 2
PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL MATERIAL : Sistema integrado ST150 que contem contador, tubo GM e suporte para amostras, ligado através de um interface a um PC; Conjunto de fontes radioactivas (Cs-137, Co-60, Tl-104) Placas de vários materiais e várias espessuras. Actividade nº 1 Determinação do patamar e tensão de trabalho do detector GM. 1) Inicialize o sistema. 2) Coloque uma fonte de Cs-137 na prateleira nº 3; 3) Vá aumentando a tensão devagar até começar a registar acontecimentos no contador. A partir desse valor de tensão, aumente a tensão 20 V de cada vez (usando as teclas UP/DOWN) e registe o nº de contagens para cada valor de tensão. Registe também o valor do intervalo de tempo de medida. A taa de contagens deve permanecer aproimadamente constante entre V 1 e V 2 (zona do patamar) começando a aumentar rapidamente a partir de V 2. Reduza imediatamente a tensão do GM e represente graficamente o nº de contagens em função da tensão aplicada. 4) Escolha para tensão de operação do GM um valor de tensão que esteja a meio da região de patamar. Fig. 2 Patamar de um GM 5) Determine o declive do patamar, que é definido por N N 100 N V V 2 1 declive = % 2 1 Em que N 1 e N 2 são as taas de contagem para as tensões V 1 e V 2, respectivamente. Actividade nº 2 - Determinação do tempo de resolução do GM 1) Use para esta actividade a fonte de Tl-104 (emissor β - ). Dispõe de 2 amostras em forma de meia lua com idêntica actividade e uma meia lua não radioactiva (para manter a geometria correcta). 3
2) Coloque uma das meias luas emissoras (F1) juntamente com a meia lua não radioactiva a cerca de 2 cm da janela do GM (se a taa de contagens for inferior a 2500c/mi, aproime a fonte do detector). 3) Registe o nº de contagens durante um 1 minuto (N 1 ). 4) Substitua a meia lua não radioactiva pela outra meia lua radioactiva (F2) e registe o nº de contagens durante 1 mi (N T ). 5) Retire agora a 1ª meia lua que colocou (F1) e substitua-a pela meia lua não radiactiva. Registe o nº contagens durante 1 mi (N 2 ) 6) Calcule o tempo morto do GM. 7) Repita o procedimento com a fonte a uma distância maior do detector. 8) Comente os resultados obtidos. (Nota: indique sempre as incertezas nos valores medidos e calculados) Actividade nº 3 Absorção da radiação γ pela matéria 1) Coloque a fonte de Co-60 numa das parateleiras do suporte (~ a 4 cm da janela do GM). 2) Verifique como varia a taa de contagens em função da espessura do material (alumínio, chumbo, cobre, aço ino, plástico) atravessado pela radiação e em função do material absorvedor. 3) Comente. (Nota: Faça a correcção de fundo para todas as medidas e a de tempo morto sempre que necessário) Actividade nº 4 Lei do inverso do quadrado 1) Coloque a fonte de Co-60 na prateleira mais próima da janela do GM (~1 cm); 2) Escolha um tempo de aquisição que permite ter uma estatística razoável (~5000 contagens); 3) Repita a medida, no mesmo intervalo de tempo, com a fonte a 2 cm, 3 cm, etc. 4) Introduza as correcções de fundo e de tempo morto e represente os valores corrigidos em função do inverso do quadrado da distância ao GM. 5) Analise e comente os resultados. Actividade nº 5 Estatística de Poisson 1) Faça uma contagem de fundo durante 5 minutos. 2) Coloque a fonte de Co-60 a uma distância do detector que lhe permita ter taas médias de contagem de cerca de 1-2 c/s. Anote a posição da prateleira em que colocou a fonte. 3) Faça 300 medidas do número de contagens durante um intervalo de tempo de 1 s. 4) Mova a fonte uma prateleira para cima. 5) Obtenha um novo conjunto de 300 medidas do nº de contagens com t=1 s. 6) Mova ainda a fonte uma prateira para cima. 7) Faça 300 medidas com t =1 s. 8) Faça uma nova contagem de fundo durante 5 minutos. 9) Determine, para cada caso, a média e o desvio padrão da amostra usando as epressões (1). Compare os valores obtidos. 10) Verifique se 68% das medições estão no intervalo N ± σ. Comente o resultado. 11) Faça, para cada caso, o histograma de frequências. 4
12) Compare e comente os resultados obtidos para o fundo. 13) Compare os valores médios das taas de contagem, corrigidas do fundo, obtidas nas alíneas anteriores e as respectivas incertezas. Sabendo que a actividade da fonte era de 1 µci em Novembro de 1998 e que T 1/2 = 5,271 anos para o 60 Co, determine a taa de contagens que esperaria obter se a eficiência de detecção do detector Geiger-Muller fosse de 100%. Comente os resultados. (Diâmetro da janela do GM ver apêndice III) 5
APÊNDICE I Demonstração de que o decaimento de uma fonte radioactiva de período T 1/2, muito maior do que o tempo durante o qual se faz a medição, segue a lei de Poisson. I.1 - Lei Binomial Considere-se o caso simples de um saco contendo bolas brancas e pretas. Pretende saber-se qual a probabilidade de em n etracções de uma bola do saco (com reposição) saia vezes bola branca. Seja: p a probabilidade do acontecimento favorável (saída de bola branca), que deverá ser constante para que este esquema seja válido. A reposição da bola no saco assegura que p = constante. q = 1 - p a probabilidade de saída de bola preta. É fácil provar que a distribuição de probabilidade em causa é dada por: n n P() = Cp q com C n = n!!( n )! Por aplicação da definição de momentos a esta distribuição conclui-se que os momentos de primeira e segunda ordem são respectivamente dados por: m = n p σ = n p q Para valores de n muito grandes a lei binomial torna-se porém pouco prática. No entanto, no caso de se verificarem simultaneamente as seguintes condições: 1) - a probabilidade do acontecimento favorável ser muito pequena, p << 1; 2) - o número n de eperiências ser muito grande; 3) - é possível considerar constante o produto np = m; então a Lei Binomial (com n e p 0) tende para a Lei de Poisson conforme a seguir se demonstra. Demonstração P() = n! p (1-p) n- que multiplicado por n dá!( n )! 6
P() = n! ( n )! n ( np)! (1-p) n- e como n p = m vem P() = n n n ( 1)...( + 1) m ( 1 p) n. n... n! ( 1 p) [ 1 1 n ][ 1 2 n ]... [ 1 ( 1) n ] = m 1 p ( 1 p)! ( ) n n mas 1 p np p (1-p) n = [( 1 ) ] por definição lim ( ) / z z 0 1 + 1 z = e pelo que ainda lim [ ( ) p np np p ] = e = e p 0 1 1 m lim ( 1 1 n )... = 1 n, p 0 ( 1 p ) logo no limite quando n e p 0 vem: m e P m ( ) =! epressão que traduz a Lei de Poisson. Diz-se então que o acontecimento em causa e que verifica as condições anteriores segue a Estatística de Poisson. Esta aproimação é já aceitável para valores de n 100 e p < 0.05. I.2 - Analogia do esquema da Lei Binominal com a Desintegração Radioactiva Eperiência: tirar uma bola do saco "observar" um átomo num intervalo t Resultado: bola branca ou bola preta decai ou não decai Probab. do acont. favorável p λ t = constante numa ep. simples nº de eperiências: n nº de átomos radioactivos na amostra, N(t).. 7
Aproimação necessária: N(t) = n considera-se constante. De facto o número de núcleos radioactivos é tão elevado que o decaimento da fonte durante o tempo da medição não produz alteração significativa nesse número. Logo, o fenómeno da desintegração radioactiva pode ser descrito pela lei binominal. Mas, uma vez que N(t) é muito elevado e que a medição da actividade de uma fonte só tem sentido se o período for muito grande relativamente ao tempo de medição então λ dt << 1. Ainda, como m = np = =N(t)λdt se pode considerar constante, uma vez que λ e N(t) são constantes, tem-se que a desintegração radioactiva segue a lei de Poisson. Matematicamente como aproimação da Lei Binomiaì para n >> e elevado é também possível chegar à seguinte epressão: P( ) = 1 2m e 2 ( m) 2m que é a epressão da lei normal (também conhecida por Lei de Gauss) com σ = m. Verifica-se que para valores m 30 já esta aproimação é razoável. Resumindo: Para contagem de uma fonte muito fraca, ou de fundo, por eemplo, deve usar-se a lei de Poisson; para contagens de uma fonte radioactiva usa-se normalmente a lei de Gauss com σ = m pois no geral se tem n > 30 cpm. A verificação destas leis, além do interesse como trabalho de estatística, pode servir para testar o funcionamento do sistema de medição. 8
APÊNDICE II - O Tubo de GEIGER - MULLER 1 - Descrição sumária O tubo de Geiger é constituído essencialmente por dois eléctrodos, o cátodo e o ânodo, encerrados num recipiente de paredes metálicas ou de vidro, recipiente esse onde eiste uma atmosfera especial. Este conjunto tem, no geral, simetria cilíndrica, sendo o cátodo constituído por uma manga metálica e o ânodo por um fio metálico, colocado segundo o eio do cátodo (Fig. 1). As paredes do tubo, a envolver o cátodo podem ser mais ou menos espessas, designando-se o tubo, no caso de elas serem bastantes finas, (cerca de 30 mg/cm 2 quando de vidro) por tubo de Geiger de paredes finas. Eistem outros tubos em que uma das etremidades do invólucro é particularmente fina, com uma espessura de poucos mg/cm 2 de mica: são os tubos de Geiger de janela que permitem a detecção de partículas facilmente absorvíveis como é o caso das partículas α. A atmosfera que enche o tubo é em geral constituída por argon a uma pressão de 4 a 10cmHg podendo ou não ter misturado um gás poliatómico como o álcool etílico, a uma pressão de 1cmHg. Fig. 1 2 - Princípio de funcionamento Aplica-se entre o ânodo e o cátodo uma diferença de potencial elevada da ordem de grandeza das centenas de volt fornecida por uma fonte de alta tensão (HT na Fig. 2). Utiliza-se uma resistência R 1 de cerca de 1 MΩ e liga-se o cátodo à terra. Na resistência R 1 não passa corrente (o circuito está interrompido dentro do tubo, entre o cátodo e o ânodo). O potencial a que se encontra o ânodo é pois a tensão V fornecida pela fonte. Quando uma radiação nuclear atravessa as paredes do tubo produzem-se, na atmosfera gasosa interior, fenómenos de ionização: são arrancados electrões às moléculas que a radiação encontra no seu percurso formando-se iões positivos. O número de electrões assim libertados depende da velocidade (energia) e natureza da partícula ionizante e do gás utilizado. Para termos uma ideia da ordem de grandeza desse número, basta dizer que um electrão rápido com um percurso de 2 cm, num tubo cheio de argon a uma pressão de 10 cm Hg, liberta em média 8 electrões. Cada um dos electrões libertados nesta ionização, que chamaremos primária, é acelerado em direcção ao ânodo por uma força de grandeza F r = e E r em que e é o valor da carga de electrão e E a grandeza do campo eléctrico no ponto em que se encontra o electrão. 9
A C H.V. HV fonte de alta tensão A amplificador C - contador Fig. 2 Devido à geometria dos eléctrodos utilizada, o campo cresce à medida que se consideram pontos mais próimos do ânodo, atingindo valores muito elevados nas suas proimidades. Por outro lado o percurso livre médio dum electrão no seio do gás que enche o tubo, nas condições que indicámos, é da ordem de grandeza de 10-3 cm. Quer isto dizer que cada um dos electrões formados na ionização primária percorre no seu trajecto em direcção ao ânodo cerca de 10-3 cm, em média, antes de chocar com uma molécula de gás, e que depois do choque reinicia o seu movimento de migração percorrendo outra vez aquela distância até novo choque, e assim sucessivamente. A energia que o electrão adquire em cada um desses percursos livres depende da força que sobre ele está aplicada, ou seja do valor do campo eléctrico em cada ponto da sua trajectória. Percebe-se portanto que nas proimidades do ânodo, onde o campo é muito forte, o electrão possa adquirir entre dois choques sucessivos uma energia cinética superior ao potencial de ionização das moléculas do gás (11,3 ev para álcool metílico e 15,7 ev para o argon). Assim do choque desse electrão com uma molécula vai resultar uma nova ionização, a que chamaremos secundária. Estas sucessivas ionizações dão origem a um processo de multiplicação de electrões (avalanche) até que todos os electrões sejam recolhidos no ânodo. Entretanto, mais lentamente que os electrões, os iões positivos que se vão formando, dirigem-se para o cátodo onde são recolhidos. Nesses choques dos iões com o cátodo podem libertar-se novos electrões. É para evitar que estes electrões iniciem nova série de ionizações sucessivas (que conduziria a um novo processo de avalanche) que se mistura o álcool etílico ao argon, não nos interessando discutir como isso se consegue. O tempo que demora o processo completo, isto é, desde que se produz a primeira ionização até os últimos iões positivos serem recolhidos, é da ordem de grandeza de 10-4 segundos. Durante este lapso de tempo o circuito da Fig. 2 fica fechado e eiste uma pequena queda de tensão δv ao longo da resistência. Como consequência o potencial do ânodo, que era V, passa a V - δv. 3 - Sistema contador de radiações nucleares com o tubo de Geiger Vimos que, quando a tensão aplicada ao tubo de Geiger é convenientemente escolhida, a cada radiação nuclear que nele incide, atravessando as suas paredes, corresponde uma pequena 10
variação -δv do potencial do ânodo. Uma contagem destas pequenas variações dá-nos o número de radiações que, nesse intervalo de tempo, produzem interacção no interior do tubo de Geiger. Essa contagem consegue fazer-se com o auílio de circuitos electrónicos que amplificam aquele pequeno sinal δv até que accione um contador de impulsos. Todo este conjunto funciona pois como um sistema contador de radiações nucleares. 4 - Tempo de resolução Quando pela passagem de uma partícula (electrão, fotão, etc.) num detector de Geiger produzindo um sinal, há um certo intervalo de tempo durante o qual o detector fica insensível a outras radiações. Este intervalo de tempo, variável de sistema para sistema, denomina-se tempo de resolução do sistema e designa-se usualmente pela letra τ. Qualquer partícula que chegue ao detector durante este intervalo de tempo não é contada, podendo dar ("paralyzable systems" - tipo I) ou não ("non-paralyzable systems" - tipo II) origem a novo tempo de resolução. É necessário, portanto, corrigir a taa de contagem observada, para obter a taa verdadeira. Essa correcção deve ser feita a cada medida individual e antes de lhe subtraír o fundo. Os sistemas que mais vulgarmente se usam - contadores Geiger-Muller self-quenching, cintiladores, contadores proporcionais, etc. - são do tipo II: o intervalo de tempo morto não aumenta pela chegada de nova(s) partícula(s). Para estes, se for n a taa de contagem medida e τ o tempo de resolução, a correspondente taa corrigida, n τ, vem dada por n = n τ e - τn Esta epressão, quando τn<<1, toma a forma: n τ = n 1 - τn Portanto, esta epressão correntemente utilizada, para corrigir as taas medidas é aproimada e serve apenas para taas de contagem a que correspondem valores de τn<<1. 11
Specifications for ST150 Nuclear Lab Station: APÊNDICE III Specifications for ST350 Radiation Counter Detector Geiger-Muller G35: 35mm end window, 2mg/cm2, 150v plateau, 150 microsec. deadtime, BNC connector. 35mm OD, 90mm L. 12