REVISÃO DE ÁLGEBRA LINEAR I) INTRODUÇÃO D1. Estabilidade para a operação + : x E, y E, x + y E D2. Definição de grupo comutativo (Abeliano): (E,+) é um grupo comutativo se e somente se: 1) Associatividade: x E, y E, z E, (x + y) + z = x + (y + z) 2) Elemento neutro: x E, x + 0 = 0 + x = x 3) Oposto (inverso, simétrico): x E, -x E, x + (-x) = (-x) + x = 0 4) Comutatividade: x E, y E, x + y = y + x D3. (R, +, ) é um corpo comutativo: 1) (R, +) é um grupo comutativo 2) (R*, ) é um grupo comutativo 3) Distributividade: x E, y E, z E, x (y + z) = x y + x z D4. (R, +,, ) é um corpo comutativo totalmente ordenado D5. E é um espaço vetorial sobre R: 1) (E, +)é um grupo abeliano 2) λ R, x E, y E, λ (x + y) = λ x + λ y 3) λ R, μ R, x E, λ (μ x) = (λ μ) x 4) x E, 1 x = x D.6 H sup-espaço vetorial de E: 1) H E 2) H estável para + e 1
T.1 Teorema : F s.e.v. de E e G s.e.v. de F, G s.e.v. de E T.2 Teorema : Se G e F são s.e.v. de E, G F é um s.e.v. de E II) APLICAÇÕES LINEARES D.7 a função f, de E em F, espaços vetoriais, é uma aplicação linear se e somente se: Nota-se f: E F 1) x E, y E, f (x + y) = f (x) + f (y) 2) λ R, y E, f (λ y) = λ f (y) T.3 Teorema : Se f, f: E F, é uma aplicação linear: f (0 E ) = 0 F D.8 uma forma linear é um aplicação linear de E em R T.4 Teorema : A composição de duas aplicações lineares é uma aplicação linear III) ISOMORFISMOS, NÚCLEO E IMAGEM D.9 Isomorfismo Sejam E e F dois espaços vetoriais. Chama-se isomofismo toda aplicação linear bijetora entre E e F. D.10 Núcleo Seja f: E F uma aplicação linear chama-se núcleo ao conjunto de E (chamado ker(f)) tal que: x ker(f), f (x) = 0 F T.5 Teorema : O núcleo é um sub-espaço vetorial de E. 2
T.6 Teorema : Se f, f: E F, aplicação linear, e ker (f) = 0 E, então f é injetora D.11 Imagem Seja f: E F uma aplicação linear, chama-se Imagem ao conjunto de F (chamado Im (f)) tal que: y Im(f), x E, f (x) = y T.7 Teorema : A imagem é um sub-espaço vetorial de F. IV) COMBINAÇÕES LINEARES E BASES D.12 Combinação Linear Sejam (x 1, x 2,, x n ) n vetores de E e (λ 1, λ 2,, λ n ) n valores reais, chama-se combinação linear a x: x = λ 1 x 1 + λ 2, x 2 + + λ n x n D.13 Independência Linear Sejam (x 1, x 2,, x n ) um sistema de n vetores de E. Diz-se que o sistema é linearmente independente, ou livre, se o único sistema de reais (λ 1, λ 2,, λ n ) tais que: λ 1 x 1 + λ 2, x 2 + + λ n x n = 0 E é o sistema λ 1 = 0, λ 2 = 0,, λ n = 0 T.8 Teorema : Seja f: E F uma aplicação linear, e sejam (x 1, x 2,, x n ) n vetores de E linearmente dependentes, então (y 1, y 2,, y n ) tais que: y i = f(x i ) são linearmente dependentes. 3
T.9 Teorema : Seja f: E F uma aplicação linear, com Ker(f)={0 E }, e sejam (x 1, x 2,, x n ) n vetores de E linearmente independentes, então (y 1, y 2,, y n ) tais que: y i = f(x i ) são linearmente independentes. D.13 Geração Sejam (x 1, x 2,, x n ) n vetores de E, diz-se que este sistema gera E se todo elemento de E é combinação linear deste sistema. D.14 Base Um sistema (x 1, x 2,, x n ) de n vetores de E é uma base de E se o sistema gera E e se os vetores são linearmente independetes T.10 Teorema : Seja (x 1, x 2,, x n ) uma base de E, então para qualquer elemento x de E existe um único sistema de n reais (λ 1, λ 2,, λ n ) tais que: x = λ 1 x 1 + λ 2, x 2 + + λ n x n D.15 Coordenadas Seja B = (x 1, x 2,, x n ) uma base de E, para todo vetor x de E, chama-se coordenada k (1 k n) de x ao k-ésimo termo da seqüência (λ 1, λ 2,, λ n ) que verifica: x = λ 1 x 1 + λ 2, x 2 + + λ n x n Regras R.1 Obtem-se as coordenadas da soma de dois vetores em uma base B, fazendo-se a soma das coordenadas correspondentes a esses dois vetores na base B R.2 Obtem-se as coordenadas do produto de um vetor por um real, em uma base B, multiplicando-se cada coordenada do vetor pelo real R.3 Uma aplicação linear é caracterizada completamente pela imagem dos vetores de uma base. 4
V) DIMENSÃO D.16 Um espaço vetorial de dimensão 0 (zero) é composto pelo elemento nulo unicamente. D.17 Um espaço vetorial de dimensão 1 (um) tem bases com apenas um elemento D.18 A dimensão de um espaço vetorial é dada pelo número de elementos de uma base qualquer. VI) ESPAÇO VETORIAL MÉTRICO D.19 Produto Interno ou Escalar Define-se norma com uma forma bilinear, isto é uma aplicação de E E em R que é notada com as seguintes propriedades: 1) Bilinearidade: x E, y E, z E, λ R, μ R, (λ x + μ y) z = λ (x z) + μ (y z) 2) Simetria x E, y E, x y = - y x 3) Positividade x E, x x 0 x E, x x = 0 x = 0 E D.20 Norma A norma é uma aplicação de E em R que é notada propriedades: e que tem as seguintes 1) x E, λ R, λ x = λ x 2) Positividade x E, x 0 x E, x = 0 x = 0 E 5
3) Desigualdade Triangular x E, y E, x + y x + y D.21 Espaço vetorial métrico Chama-se espaço vetorial métrico a um espaço vetorial dotado de uma norma. 6