CURSO D Disciplina: Laboratório de Engenharia Química I Período: 2016.2 rev. 1.4 TEMPO DE ESVAZIAMENTO DE RESERVATÓRIOS 1. Objetivo Estudar o escoamento de fluidos no problema do esvaziamento de distintos tipos de recipientes. Objetivos específicos 1.1 Analisar o escoamento de fluidos através de diferentes recipientes com diâmetros de orifício de saída também distintos, determinar a altura em função do tempo por meio de diferentes equacionamentos; 1.2 Comparar os valores obtidos experimentalmente com aqueles esperados por abordagens teóricas (Equação de Bernoulli e aproximações); 1.3 Determinar em cada ensaio o número de Reynolds e caracterizar o regime de escoamento (laminar ou turbulento). 2. Fundamentação Teórica O experimento aborda o tema de esvaziamento de reservatórios contendo fluidos, que constitui um problema corriqueiro na prática industrial. Este tema será estudado a luz de conceitos básicos da mecânica dos fluidos. O tema de esvaziamento de reservatórios é um problema clássico da mecânica dos fluidos que aparece em diversas situações de interesse industrial. Para ilustrar consideremos o tanque cilíndrico indicado na Figura a seguir. D é o diâmetro do reservatório; d é o diâmetro do orifício de saída de fluido; h é a altura (nível de líquido) no tanque. Figura 1 Esquema mostrando o esvaziamento de um tanque cilíndrico. Tempo de esvaziamento de reservatórios, v. 1.4. Revisão Janeiro de 2017 Página 1
CURSO D Uma abordagem teórica rigorosa para este problema modela o mesmo como um escoamento em regime transiente, viscoso e rotacional. Entretanto, estimativas aproximadas podem ser obtidas a partir de adaptações de equações tais como a de Bernoulli com as devidas correções. Sabe-se que o emprego da equação de Bernoulli se justifica em situações de escoamento em regime permanente, invíscido e incompressível e deve ser aplicado em pontos do escoamento situados numa mesma linha de corrente. Fazendo-se isso para os pontos 1 e 2 da figura, tem-se: p 1 γ + V 1 2 2g + z 1 = p 2 γ + V 2 2 2g + z 2 = H (1) Sendo: p γ é a carga referente à pressão; V 2 2g é a carga da velocidade (cinética); z é a cota ou carga da elevação H é a carga total do escoamento. Uma das grandes limitações do emprego da equação de Bernoulli para o problema em questão é o fato de a situação real ocorrer em regime transiente. Modelo Dinâmico 1: Adaptação da Equação de Bernoulli com V 1 << V 2 e processo pseudo-estacionário. Para superar a dificuldade descrita nas suposições necessárias ao emprego da Equação 1, supõe-se que a velocidade da superfície do líquido no reservatório é muito menor que a velocidade na saída, visto que sua área de seção transversal é grande comparativamente ao diâmetro de saída em 2. Considerando ainda que os dois pontos estão submetidos à pressão atmosférica, a Equação (1) torna-se: z 1 = V 2 2 2g + z 2 (2) Nota-se que a velocidade instantânea (dh/dt) no ponto 1 não aparece na equação (2). Esta poderá ser obtida através da aplicação da lei de conservação da massa (Equação da Continuidade) para o sistema em questão, admitindo escoamento incompressível e regime pseudo-estacionário. Procedendo-se desta forma, tem-se: A 1 V 1 A 2 V 2 π D2 dh d2 π V 4 dt 4 2 V 2 D2 dh d 2 dt (3) Tempo de esvaziamento de reservatórios, v. 1.4. Revisão Janeiro de 2017 Página 2
CURSO D Substituindo-se (3) em (2), tem-se uma primeira estimativa teórica para dh/dt: dh dt = d2 D 2 2g(z 1 z 2 ) (4) A integração da equação (4) permite escrever h(t) como: h = 1 2 (d D ) 4 gt 2 ( d D ) 2 2gh 0 t + h 0 (5) Onde, h 0 = h(t=0). As alturas são medidas em relação à saída do reservatório. Modelo Dinâmico 2: Adaptação da Equação de Bernoulli partindo-se da hipótese de processo pseudo-estacionário. Uma outra possibilidade de estimativa para dh/dt pode ser obtida substituindo-se diretamente a Equação (3) em (1). Neste caso, obtém-se: dh dt = 2g(z 1 z 2 ) [( D 4 d ) 1] (6) A integração da equação (6) permite escrever h(t) como: h = 1 g 2 [( D t 2 2gh 0 4 d ) 1] [( D t + h 4 0 { d ) 1] } (7) Onde, h 0 = h(t=0). As alturas são medidas em relação à saída do reservatório. Modelo dinâmico 3: Adaptação da Equação de Bernoulli com V 1 << V 2 e processo pseudo-estacionário, levando em conta a perda de carga e a contração do jato de fluido na saída do reservatório. O coeficiente de descarga é um parâmetro adimensional definido por: C d = Descarga real Descarga teórica (8) A velocidade real no ponto 2 (V 2 ) é dada pelo produto entre a velocidade teórica, dada na equação 2, e o coeficiente de velocidade C v, que reflete a perda de carga associada ao escoamento. V 2 = C v V 2 = C v 2g(z 1 z 2 ) (9) Tempo de esvaziamento de reservatórios, v. 1.4. Revisão Janeiro de 2017 Página 3
CURSO D O ponto 2 está logo após o orifício de descarga do reservatório, devido à contração do jato do fluido, a área real do jato no ponto 2 é dada por: A 2 = C c A 2 (10) Onde (Cc) é o coeficiente de contração, um parâmetro adimensional para correção da área do jato. A vazão real de fluido é dada por: Sendo: Q = A 2V 2 = C v C c A 2 2g(z 1 z 2 ) = C d A 2 2g(z 1 z 2 ) (11) Q = A 1 dh dt (12) Igualando as equações (12) e (11): dh dt = C A 2 d 2g(z A 1 z 2 ) (13) 1 A integração da equação (11) permite escrever h(t) como: h = C d 2 4 2 (d D ) gt 2 [C d ( d 2 D ) 2gh 0 ] t + h 0 (14) Modelo para esvaziamento de recipientes cônicos Figura 2 Esquema mostrando o esvaziamento de um tanque cônico. Através da análise da geometria do problema, tem-se: r 0 = r z 0 z = r = r 2 z z 2 Aplicando balanço de massa, em termos da elevação da superfície do líquido: V(z ) = z2 dz z 2 dt V 2 = V(z 2 ) = z2 dz 2 z 2 dt O balanço de energia mecânica fornece: d dt (K tot + Φ tot ) = Δ [( 1 2 V2 + gz) w] Δ(p < V > A) W E v Tempo de esvaziamento de reservatórios, v. 1.4. Revisão Janeiro de 2017 Página 4
CURSO D No qual E v é a energia dissipada. O trabalho realizado sobre a superfície líquida é dado por: Considerando que V 1 0, tem-se: W = p(πr 2 )( dz dt ) Δ(p < V > A) = pv 2 A 2 = p(πr 2 2 ) ( z2 z 2 2 ) (dz dt ) Este termo é cancelado com o trabalho realizado sobre a superfície livre. Desprezando a dissipação viscosa E v 0 e o termo associado ao acúmulo de energia cinética. O balanço de energia mecânica é escrito: z d dt (ρgz )πr 2 dz = 1 z 2 2 V 2 2 w 2 gz 2 w 2 2 Dividindo por w 2 = ρv 2 πr 2 e usando r 2 = z 2 ( r 2 2 2) (15). z 2 Substituindo V 2 = z2 dz e resolvendo: z2 2 dt 4 g d z 2 2 V 2 z 2 dt (z4 ) = 1 4 2 V 2 2 gz 2 gz = 1 2 V 2 2 gz 2 V 2 = 2g(z z 2 ) (16) Do balanço de massa: Substituindo as equações 12 e 13 na 14: z d dt ρπr 2 2 dz = ρv 2 πr 2 (17) z 2 ( 1 2 d ) z 2 dt [1 3 (z3 z 3 2 )] = 2g(z z 2 ) Para z 2 z: z 3 2 dz = z dt 2 2 2g Sendo z = z 0 quando t = t 0 = 0 a integração fornece: 5 z 2 5 0 z 2 = 5 2 z 2 2 t 2g Tempo de esvaziamento de reservatórios, v. 1.4. Revisão Janeiro de 2017 Página 5
CURSO D Isolando z: z 5 = 25 z 4 2 4 2gt 2 5 2gz 2 5 2 z 2 0 t + 5 z0 (18) A equação 15 representa um modelo pseudo-estacionário para a altura de fluido durante o escoamento em recipiente cônico. Levando em conta o coeficiente de descarga, tem-se: 3. Materiais z 5 = 25 4 z 2 4 2gC 2 d t 2 5 2gz 2 5 2 z 2 5 0 Cd t + z 0 (19) - Água e/ou um outro fluido a ser testado; - Pigmento solúvel em água (Anilina azul); - 01 Becker de 2 L (frascos coletores); - 01 Barrilete para armazenamento de água; - 01 Bureta sem válvula e 01 Bureta 50 ml; - Termômetros (utilizar sempre o mesmo termômetro para as medições); - 01 Argola; - 02 Suportes para bureta e 01 Suporte universal; - 01 Garrafa PET de 1 L adaptada; - Tampas de garrafa PET perfuradas ao centro (mensurar e escolher somente 3); - Suporte para a garrafa; - Rolhas perfuradas ao centro de diferentes diâmetros (mensurar e escolher somente três); - Papel milimetrado, 01 Paquímetro e 01 Régua graduada ou trena; - Fita adesiva; - 01 Cronômetro; - Câmera de filmagem com boa resolução (celular ou máquina fotográfica). Tempo de esvaziamento de reservatórios, v. 1.4. Revisão Janeiro de 2017 Página 6
CURSO D 4. Procedimento Experimental 4.1 - Teste 1: Esvaziamento de uma bureta de vidro sem válvula com diâmetros diferentes na saída a. Com o uso de um paquímetro e régua, registrar as dimensões importantes no recipiente para a descrição do fenômeno. Efetuar cada leitura em triplicata e adotar a média do resultado. b. Com o uso de um termômetro, registrar a temperatura do fluido a ser testado. c. Adicione uma gota do pigmento ao fluido. d. Use a fita adesiva para criar marcas na bureta correspondentes aos volumes de 0; 10; 20; 30; 40 e 50 ml. e. Adaptar a rolha ao recipiente de vidro e posicionar o recipiente de coleta. f. Encher o recipiente com o fluido a ser testado, tomando o cuidado de tampar a saída do orifício. (OBS: Encher o reservatório até o primeiro ponto da escala criada). g. Destampar a saída de fluido, filmando o escoamento do mesmo da primeira até a sexta marca na bureta, deixando-o escoar para o recipiente de coleta. h. Através da análise da gravação determinar os tempos referentes a 10 ml escoados e o tempo total de esvaziamento do recipiente. (DICA: Utilize algum programa com tempo entre os quadros de aproximadamente 0,03s, por exemplo: Movie Maker ) i. Anotar os valores obtidos. j. Repetir os passos anteriores com as demais rolhas testadas. De posse dos dados coletados, obter h x t para cada rolha, comparando os valores experimentais com os três modelos teóricos propostos. 4.2.- Teste 2: Esvaziamento de uma bureta de vidro com válvula a. Repetir os passos de a. a d. do item 4.1. b. Encher o recipiente com o fluido a ser testado, tomando o cuidado de deixar a válvula na posição fechada. (OBS: Encher o reservatório até o primeiro ponto da escala criada). c. Abrir a válvula de saída do fluido, filmando o escoamento do mesmo da primeira até a sexta marca na bureta, deixando-o escoar para o recipiente de coleta. d. Através da análise da gravação determinar os tempos referentes a 10 ml escoados e o tempo total de esvaziamento do recipiente.. (DICA: Utilize algum programa com tempo entre os quadros de aproximadamente 0,03s, por exemplo: Movie Maker ) e. Anotar os valores obtidos. Com esses dados obter h x t para a bureta com válvula, comparando os valores experimentais com os modelos teóricos propostos e com os resultados obtidos no experimento 4.1. Tempo de esvaziamento de reservatórios, v. 1.4. Revisão Janeiro de 2017 Página 7
CURSO D 4.3.- Teste 3: Esvaziamento da água existente em um barrilete a. Com o uso de um paquímetro e/ou régua, registrar as dimensões importantes no recipiente para a descrição do fenômeno. b. Estando a válvula de saída de água fechada, encher o barrilete com água. (OBS: Encher o reservatório até o primeiro ponto da escala). c. Abrir totalmente a válvula de saída, deixando a água escoar. Anotar os tempos correspondentes a variações de 1 cm no nível de água do recipiente. (DICA: Neste experimento a velocidade é lenta o suficiente para permitir o uso de um cronômetro de voltas). d. Fechar a válvula quando o mesmo atingir na última marcação indicada. e. Anotar os valores obtidos. 4.4.-Teste 4: Esvaziamento da água existente em uma garrafa PET adaptada utilizando 1 tampa com diâmetro de orifício distinto para cada grupo. Figura 3 Teste 3: Esvaziamento de água em um barrilete. a. Com o uso de um paquímetro e/ou régua, registrar as dimensões importantes no recipiente para a descrição do fenômeno. b. Adaptar a tampa ao recipiente e posicionar o recipiente de coleta quando necessário. c. Adicione uma gota do pigmento à água. d. Encher o recipiente inicialmente com água, tomando o cuidado de tampar a saída do orifício. (OBS: Encher o reservatório até o primeiro ponto da escala). e. Destampar a saída de fluido, filmando o movimento da superfície do líquido ao longo da escala, e deixando-o escoar para o recipiente de coleta. Figura 4 Teste 4: Esvaziamento de uma garrafa PET adaptada. Tempo de esvaziamento de reservatórios, v. 1.4. Revisão Janeiro de 2017 Página 8
CURSO D f. Através da análise da gravação determinar os tempos referentes a cada 1 cm escoado e o tempo total de esvaziamento do recipiente. (DICA: Utilize algum programa com tempo entre os quadros de aproximadamente 0,03s, por exemplo: Movie Maker ). g. Anotar os valores obtidos. 4.5.- Teste 5: Esvaziamento de recipiente cônico a. Com o uso de um paquímetro e régua, registrar as dimensões importantes no recipiente para a descrição do fenômeno (Ver equação 15 e Figura 2). Efetuar a leitura em triplicata e adotar a média do resultado. b. Adicione uma gota do pigmento ao fluido. c. Encher o recipiente com o fluido testado até o limite da região cônica, tomando o cuidado de deixar a válvula na posição fechada. d. Abrir a válvula de saída do fluido, filmando o escoamento do mesmo ao longo da escala colocada atrás do recipiente, deixando-o escoar para o recipiente de coleta. e. Através da análise da gravação determinar os tempos referentes a cada 1 cm escoado e o tempo total de esvaziamento do recipiente. f. Anotar os valores obtidos. Figura 5 Teste 5: Esvaziamento de recipiente cônico. 6. Cálculos e análises dos resultados Os resultados e discussões efetuados deverão ser apresentados no relatório da prática na forma de tabelas e gráficos que possam apresentar/responder ao que se pede, conforme questionamento descrito abaixo. A partir de um ajuste de curvas aos dados experimentais é possível propor um modelo dinâmico empírico. Este modelo está de acordo com a teoria? Justifique. Porque é mais adequado utilizar os modelos na forma integrada do que na diferencial? Qual modelo dinâmico teórico apresentado se aproxima mais dos resultados empíricos? O que justifica este comportamento? Tempo de esvaziamento de reservatórios, v. 1.4. Revisão Janeiro de 2017 Página 9
CURSO D Ao considerarmos que a velocidade na superfície do líquido é aproximadamente zero estaremos cometendo um erro significativo? Compare os modelos empregados para responder esta pergunta. O atrito no recipiente e a formação da vena contracta foram importantes? Em cada intervalo de medição, Δt, determinar se o escoamento é laminar ou turbulento. Observar se o tipo de escoamento se mantém sempre o mesmo, justificando. Sabendo que o coeficiente de descarga depende do número de Reynolds, proponha uma modificação no modelo teórico que leve em conta a transitoriedade do escoamento. Para isto calcule em cada intervalo de medição, Δt, o coeficiente de descarga, em seguida relacione-o com o tempo médio entre as medições. De que fato decorre a incerteza associada ao novo modelo? Com base nos fatores desprezados pelos modelos, que condições experimentais permitiriam uma maior aproximação dos modelos teóricos com o resultado empírico? É possível exprimir uma relação funcional entre altura adimensional (h/h) e tempo adimensional (t/t) para os resultados experimentais? 7. Conclusões Inserir as conclusões com base nos resultados alcançados. 8. Bibliografia: ÇENGEL, Y. A.; CIMBALA, J. M. Mecânica dos Fluidos. 1ª. Edição. McGraw Hill Artmed, 2007. FOX, R. W.; McDONALD, A. T.; PRITCHARD, P. J. Mecânica dos Fluidos - 6ª edição, LTC, 2006. YOUNG, D. F.; MUNSON, B. R.; OKIISHI, T. H. Fundamentos da Mecânica dos Fluidos. Tradução da 4ª edição norte-americana. Edgard Blucher, 2004. BIRD, R. B.; STEWART, W. E; LIGHTFOOT, E. N. Fenômenos de Transporte - 2ª edição, Editora LTC, 2004. Histórico de revisões/atualizações deste roteiro: Versão 1.1 - Prof. Édler Lins de Albuquerque em 2013.2 Versão 1.2 - Discente Murilo Fontes em 2014.1 Versão 1.3 - Prof. Édler Lins de Albuquerque em 2015.2 Versão 1.4 Prof. Édler Lins de Albuquerque em 2016.2 Tempo de esvaziamento de reservatórios, v. 1.4. Revisão Janeiro de 2017 Página 10