Universidade Federal de Santa Catarina - Câmpus Blumenau Física Experimental 1 Roteiro: Experimento 8: Rotações e Momento de Inércia Prof. Rafael L. Novak 1 Introdução Neste experimento, será estudado o movimento de rotação de um corpo rígido. Este tipo de movimento está presente em nosso dia-a-dia de várias maneiras, e possui uma enorme importância. Basta lembrar que qualquer motor produz movimento rotacional, utilizado para realizar trabalho em diversas aplicações. As equações que descrevem a cinemática e a dinâmica do movimento de rotação são análogas às equações já vistas para movimentos retilíneos, após a substituição das grandezas lineares por grandezas angulares: Posição: x(t) Posição angular: θ(t); Velocidade: v x (t) Velocidade angular: ω(t); Aceleração: a x (t) Aceleração angular: α(t); Força: F Torque: τ = rf sin φ (onde r é o módulo do vetor que liga o eixo de rotação ao ponto onde a força F é aplicada, e φ é o ângulo entre r e F ); Quando um corpo rígido efetua um movimento de rotação, este movimento ocorre em torno de um eixo, o eixo de rotação. Ao contrário do que ocorre em um movimento retilíneo, no qual a massa do corpo que importa na hora de se investigar a sua dinâmica, em movimentos rotacionais a forma como a massa está disposta em torno desse eixo é fundamental. Ao tentar fazer girar dois objetos de mesma massa, mas geometrias diferentes, somos imediatamente confrontados por esse fato: alguns desses objetos serão mais fáceis de girar que outros, apesar das massas serem iguais. Essa dependência da inércia de corpos rígidos com a sua geometria, além da massa, é sintetizada numa grandeza chamada momento de inércia. O momento de inércia de um corpo rígido, ou de uma distribuição de massas, é uma medida da inércia rotacional, ou deja, da resistência que o corpo ou a distribuição de massas oferece ao movimento de rotação. Essa grandeza é o análogo rotacional da massa inercial (m) no caso de um movimento linear. Para um sistema de i partículas, cada uma com vetor posição r i (em relação a uma origem sobre o eixo de rotação) e massa m i, o momento de inércia é definido como: I = i m i r 2 i (1) No caso de uma distribuição contínua de massa, como num corpo rígido, o momento de inércia deve ser escrito como: I = r 2 dm (2) 1
Os momentos de inércia de corpos com geometrias simples (cilindros, anéis, esferas, paralelepípedos, etc.) podem ser obtidos através da aplicação da integral acima, e em geral estão tabelados em livros texto de Física básica (procurem nos livros do curso!). Alguns valores que poderão ser úteis nessa prática se encontram abaixo: I = 1 2 MR2 (Disco ou cilindro) (3) I = 1 2 M(R2 int + R 2 ext) (Anel ou tubo) (4) Nas fórmulas acima, M é a massa total do corpo, R int é o raio interno do anel, R ext o raio externo do anel e R é raio do cilindro (ou disco) (Figura 1). Reparem que em ambos os casos (cilindro ou anel) o momento de inércia não depende da altura do corpo. Para outras distribuições de massa, o cálculo deve ser realizado sempre de maneira análoga. Figura 1: Esquemas de um anel e de um disco, com os eixos principais de rotação e as dimensões relevantes para o cálculo do momento de inércia. Voltando à dinâmica da rotação de um corpo rígido, o momento de inércia estará ligado à aceleração angular α devida à aplicação de um torque resultante τ através da 2 a Lei de Newton em sua forma rotacional: τ = I α (5) Dessa expressão, após sua análise e passagem para a forma algébrica, pode-se obter o valor do momento de inércia em função dos módulos do torque e da aceleração angular: I = τ α (6) Neste experimento, o módulo do torque poderá ser obtido a partir da força aplicada tangencialmente à polia do sensor de rotação através de um fio ideal ligado a um suporte com uma massa fixa pendurada. Aplicando a Segunda Lei à massa pendurada, temos o seguinte resultado: mg F = ma (7) onde m é a massa total do suporte pendurado ao fio e F é a força de tensão no fio, que corresponde à força aplicada na borda da polia. Daí obtemos F = m(g a), onde a é a aceleração do suporte e a aceleração tangencial do bordo da polia. Como a = αr (lembrem-se que v = ωr), temos finalmente que F = m(g αr), 2
ou seja, podemos obter F, e consequentemente o torque τ = rf (o torque neste caso vale rf pois o ângulo φ entre eles é 90 ), a partir das medidas de α que serão realizadas ao longo do experimento. Substituindo τ = rf = mr(g αr) na equação (6), chegamos à seguinte expressão: I = mgr α mr2 (8) Ou seja: conhecendo-se a massa do suporte pendurado ao fio (m), o raio da polia onde o torque é aplicado (r) e a aceleração angular do sistema (α, obtida a partir do ajuste de reta nos gráficos de ω(t) que serão medidos no experimento), podemos determinar o momento de inércia total da peça composta pela polia e pelo corpo rígido (disco, tubo, ou outro) a ela acoplado. Polia do sensor de rotação Corpo rígido (anel, disco, etc.) Sensor de rotação Sensor de rotação Experimento Suporte e massa Figura 2: Esquema do sensor de rotação com a polia (esquerda); e do experimento, onde um corpo rígido (anel, cilindro, ou outro) será fixado sobre a polia. Um suporte pendurado aplica uma tensão no fio, que por sua vez transmite essa tensão para o bordo da polia, gerando o torque que faz o sistema polia/corpo rígido girar. 2 Objetivos Determinar experimentalmente os momentos de inércia de um anel, de um disco, de uma haste e de duas massas girando em torno de eixos que passam por seus respectivos centros; Comparar esses valores aos valores teóricos calculados através de fórmulas; Compreender como pode-se obter o momento de inércia de objetos mais complexos através dos momentos de inércia de suas partes. 3 Procedimento experimental O procedimento experimental está delineado nas abas abertas no programa de aquisição da PASCO. As abas devem ser lidas em ordem. Em resumo, um torque conhecido será aplicado na polia do sensor de rotação, provocando movimento rotacional uniformemente acelerado do corpo rígido composto pela própria polia 3
+ o objeto montado sobre ela. A aceleração angular resultante será determinada através do ajuste de uma reta ao gráfico da velocidade angular em função do tempo (ωvs.t). Os momentos de inércia dos objetos serão determinados experimentalmente a partir desta aceleração angular e do torque aplicado pelo pesinho. 4 Material utilizado 1 disco 1 anel 1 haste curta 1 suporte suspenso para massa Diversas massas em forma de disco 1 polia 1 fio 1 sensor de rotação (Rotary Motion Sensor PS-2120A) 1 USB Link PS-2100A 1 balança analógica 1 paquímetro Parafusos Linha Notebook ou desktop com programa de aquisição de dados. 5 Tratamento de dados e discussão Responda ao questionário na folha anexa, que será entregue ao final da aula e avaliado pelo professor. Para construção dos gráficos e a análise dos dados, o Scidavis deverá ser utilizado. Vejam os vídeos tutoriais no Moodle do curso. Referências [1] Freedman, R. A., Young, H. D. Sears & Zemansky Física 1 Mecânica, 12a Ed., 2008. Ed. Pearson. [2] Halliday, D., Resnick, R. e Walker, J. Fundamentos de Física Vol. 1 Mecânica, 9a Ed., 2012. Ed. LTC. 4
[3] Nussenzveig, H. M. Curso de Física Básica Vol. 1 Mecânica, 5a Ed., 2013. Ed. Edgard Blucher. [4] Piacentini, J. J., Grandi, B. C. S., Hofmann, M. P., de Lima, F. R. R., e Zimmermann, E. Introdução ao Laboratório De Física, 4a Ed., 2012. Ed. Série Didática. 5