Inversão de Matrizes

Inversão de Matrizes Prof. Márcio Nascimento Universidade Estadual Vale do Acaraú Centro de Ciências Exatas e Tecnologia Curso de Licenciatura em Matemática Disciplina: Álgebra Matricial - 2015.2 21 de janeiro de 2016 1 / 30

Sumário 1 Elemento Inverso 2 Equações Matriciais 3 Condição de existência da Matriz Inversa 4 Determinação da Inversa 2 / 30

Elemento Inverso Na soma de matrizes, vimos o inverso aditivo A = [a ij ] C n m Elemento neutro da soma: 0 = [0] C n m Inverso aditivo: A = [ (a ij )], pois A + ( A) = 0 4 / 30

Elemento Inverso Para o produto, no caso de números complexos: Elemento neutro do produto: 1; se α 0 então a equação αx = 1 tem exatamente uma solução: x = α 1 Portanto, o inverso multiplicativo de α é o complexo α 1 ou 1 α. 5 / 30

Elemento Inverso Para o produto de Matrizes em C n n : Elemento neutro do produto: I n ; Definição (Inverso Multiplicativo de uma matriz) Seja A uma matriz quadrada de ordem n n. Se existir uma matriz quadrada B também de ordem n n tal que AB = I n e BA = I n dizemos que A é inversível ou não singular e que B é a inversa de A. Notação B = A 1. 6 / 30

Exemplo Considerando as matrizes [ ] 2 1 A =, B = 4 3 temos = [ 3/2 ] 1/2 2 1 [ ] A1 B A.B = 1 A 1 B 2 A 2 B 1 A 2 B 2 [ ] (2.(3/2) + 1.( 2)) (2.( 1/2) + 1.1) = (4.(3/2) + 3.( 2)) (4.( 1/2) + 3.1) Da mesma forma, B.A = I 2 ; Portanto, A é não singular com A 1 = [ 3/2 ] 1/2 2 1 [ ] 1 0 = I 0 1 2 7 / 30

Observação Assim como no caso dos números complexos, quando uma matriz A possuir uma inversa, esta será única. Com efeito, suponha que B 1 e B 2 sejam inversas de A. Então AB 1 = AB 2 = I = B 1 A = B 2 A e B 1 = B 1.I = B 1 (AB 2 ) = (B 1 A)B 2 = IB 2 = B 2 8 / 30

Equações Matriciais Considere as matrizes A n n e B n p. Suponha que A seja não singular. Se desejarmos encontrar X tal que AX = B então AX = B A 1 (AX ) = A 1 B (A 1 A)X = A 1 B (I )X = A 1 B X = A 1 B Todos os produtos acima são compatíveis, uma vez que A 1 tem ordem n n assim como a matriz identidade I. Quando se trata da equação matricial de um sistema com número de equações igual ao número de variáveis, digamos, A n n.x n 1 = B n 1 então (caso A seja uma matriz não singular) a solução será dada por X = A 1 B 10 / 30

Condição de existência da Matriz Inversa A questão agora é determinar se a inversa existe ou não. Teorema Seja A uma matriz quadrada de ordem n n. São equivalentes: (i) A 1 existe; (ii) posto(a) = n; (iii) A pode ser transformada em I n através do método de Gauss-Jordan; (iv) Se AX = 0 então X = 0 12 / 30

Exemplo Considere a matriz A = 1 2 1 3 1 2 2 3 1 Aplicando o método de Gauss-Jordan, obtemos: 1 0 0 0 1 0 0 0 1 Portanto, A I foi possível ou, posto(a) = n = 3. Pelo Teorema, existe A 1. Ainda pelo Teorema, A.X = 0 implica que X = 0. Isso significa que qualquer sistema homogêneo que tenha A como matriz dos coeficientes, tem solução única! 13 / 30

Observação B é a inversa de A se A.B = I e também B.A = I No entanto, quando A for inversível, A.B = I = B.A = I. Seja B uma matriz tal que A n n.b n n = I n. Afirmação: B é não singular. Suponha, por absurdo, que B é singular. Então, pelo Teorema, o produto B.X = 0 ocorre para alguma matriz X não nula. Por outro lado, X = I.X = (AB)X = A(BX ) = A.0 = 0. O que é um absurdo! Portanto, existe, sim, a inversa de B e AB = I (AB)B 1 = I.B 1 A(BB 1 ) = B 1 AI = B 1 A = B 1 BA = BB 1 BA = I 14 / 30

Determinação da Inversa Nosso objetivo é resolver a equação sendo A inversível. A n n X n n = I n (A 1.X 1 ) (A 1.X 2 )... (A 1.X n ) 1 0... 0 (A 2.X 1 ) (A 2.X 2 )... (A 2.X n )...... = 0 1... 0...... (A n.x 1 ) (A n.x 2 )... (A n.x n ) 0 0... 1 ou seja, A.X 1 = I 1, A.X 2 = I 2,..., A.X n = I n que são n sistemas, cada um deles com n variáveis. 16 / 30

Determinação da Inversa Usando a notação matricial e resolvendo esses sistemas pelo método de Gauss-Jordan, teremos: A.X 1 = I 1 [A I 1 ] [I B 1 ] A.X 2 = I 2 [A I 2 ] [I B 2 ]. A.X n = I n [A I n ] [I B n ] As operações elementares empregadas foram as mesmas nos n sistemas. Por outro lado, com essas mesmas operações elementares, cada coluna de I foi transformada em uma nova coluna: I 1 B 1, I 2 B 2,..., I n B n 17 / 30

Determinação da Inversa Como se tratam de matrizes colunas de ordem n 1, podemos dizer que exatamente com as mesmas operações elementares: A I I B onde B é a reunião das colunas de I depois de transformadas! Retomando os sistemas, A.X k = I k significa que X k = A 1.I k (1) Já [I B k ] representa o sistema I.X k = B k, ou seja, X k = I 1 B k = B k (2) 18 / 30

De (1) e (2), temos A 1.I k = B k (3) Para encontrarmos de vez a inversa de A, lembremos que Lema Se M é uma matriz de ordem n n e I k a k-ésima coluna da matriz identidade I n, então M.I k é a k-ésima coluna de M Assim, a igualdade em (3) equivale a (A 1 ) k = B k ou seja, cada coluna da matriz B obtida a partir da transformação da matriz identidade (usando-se o método de Gauss-Jordan) equivale a uma coluna da matriz inversa de A. Portanto, A 1 = B 19 / 30

Determinação da Inversa Resumindo: Seja A uma matriz não singular. O Teorema de Caracterização garante que A pode ser transformada na matriz identidade através de operações elementares; Transforme A n n em I n ; Usando exatamente as mesmas operações elementares, transforme I. Você encontrará uma outra matriz. Chame-a de B. A 1 = B. 20 / 30

Exemplo 1 1 1 Verificar se a matriz A = 1 2 2 é não singular e, em caso 1 2 3 afirmativo, encontrar A 1 21 / 30

Teorema Sejam A e B matrizes não singulares: Provemos (i) (i) (A 1 ) 1 = A (ii) AB é não singular (quando o produto for possível); (iii) (AB) 1 = B 1.A 1 (iv) (A 1 ) T = (A T ) 1 e (A ) 1 = (A 1 ) Seja Y a inversa de A 1. Então A 1 Y = I = A(A 1 Y ) = AI = (AA 1 )Y = A = IY = A = Y = A e portanto A é a inversa de A 1 ou, em símbolos: A = (A 1 ) 1. 22 / 30

Provemos (ii) e (iii): AB é não singular e que (AB) 1 = B 1.A 1 Devemos mostrar que AB possui inversa, ou seja, que existe solução para a equação (AB)X = I. (AB)X = I = A 1 (AB)X = A 1 I = BX = A 1 = B 1 (BX ) = B 1 A 1 = X = B 1 A 1 e portanto a inversa de AB é B 1 A 1 ou, equivalentemente, (AB) 1 = B 1 A 1 23 / 30

Provemos (iv): (A 1 ) T = (A T ) 1 Encontremos a inversa de A T, isto é, vamos resolver a equação A T X = I : A T X = I = (A T X ) T = I T = X T.(A T ) T = I = X T.A = I = X T = A 1 = (X T ) T = (A 1 ) T = X = (A 1 ) T ou seja, a inversa de A T é a matriz (A 1 ) T. Em símbolos: (A T ) 1 = (A 1 ) T 24 / 30

Corolário Sejam A n n e B n n duas matrizes de posto n. Então AB tem posto n. Prova: Se A tem ordem n n e tem posto n, então A é não singular. O mesmo acontece para B. Pelo Teorema anterior, AB é não singular. Já pelo Teorema de caracterização, posto(ab) = n uma vez que a ordem de AB é n n. 25 / 30

Exemplo Seja A uma matriz diagonal de ordem n n. Quais as condições para que exista A 1? Qual a forma geral da inversa de A 1? Solução... Se A = [a ij ] n n então a ii 0, isto é, os elementos da diagonal principal devem ser todos não nulos. Aplicando Gauss-Jordan a [A I ] obteremos [I A 1 ] onde a diagonal principal de A 1 é da forma 1 a ii. 26 / 30

Exemplo Se A é não singular e simétrica, mostre que A 1 é simétrica. Solução Devemos mostrar que (A 1 ) T = A 1 Vimos que (A 1 ) T = (A T ) 1 Sendo A simétrica, A T = A Logo, (A 1 ) T = (A T ) 1 = A 1 27 / 30

Exemplo Se A, B e A + B são não singulares, mostre que A(A + B) 1 B = B(A + B) 1 A = (A 1 + B 1 ) 1 Solução Queremos mostrar que A(A + B) 1 B = (A 1 + B 1 ) 1 B(A + B) 1 A = (A 1 + B 1 ) 1 Mostremos que [A(A + B) 1 B] 1 = A 1 + B 1 [B(A + B) 1 A] 1 = A 1 + B 1 28 / 30

Exemplo A(A + B) 1 B = (A 1 + B 1 ) 1 [A(A + B) 1 B] 1 = B 1.[A(A + B) 1 ] 1 = B 1.[(A + B) 1 ] 1.A 1 = B 1.(A + B).A 1 = (B 1.A + B 1.B).A 1 = (B 1.A + I ).A 1 = (B 1.A).A 1 + I.A 1 = B 1.(A.A 1 ) + A 1 = B 1.I + A 1 = B 1 + A 1 = A 1 + B 1 29 / 30

Exemplo 1 2 1 0 Verificar se a matriz A = 0 2 1 3 1 1 1 4 é não singular e, em 0 2 4 2 caso afirmativo, encontrar A 1 Resposta... (2/5) 1 (3/5) (3/10) A 1 = (1/3) (2/3) ( 1/3) ( 1/3) ( 1/15) ( 1/3) (1/15) (11/30) ( 1/5) 0 (1/5) (1/10) 30 / 30