ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA

ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA Resolução do Exame (Época Especial) 17 de Setembro de 2015; 19:00 Ano Lectivo: 2014-2015 Semestre: Verão

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Álgebra Linear e Geometria Analítica - Resolução do Exame (Época Especial) 3 PARTE 1 1 ç Considere o seguinte sistema de equações lineares, nas incógnitas reais BßCßD, onde + e, são parâmetros reais: +B,D œ # +B +C %D œ % +C #D œ, a ç Discuta o sistema, em função dos valores dos parâmetros reais + e,. b ç Resolva o sistema para +œ,œ". c ç Seja E a matriz simples do sistema para +œ,œ". Mostre que Eé regular e determine E ". Resposta 1a ç Para discutir a natureza do sistema em função dos parâmetros reais + e,, construímos a matriz w ampliada E œ E Fe levamos a cabo a sua condensação vertical. Temos: +!, # +!, # +!, # PPÄP # " # PPÄP # + + % % µ! + %, # µ! + %, #! + #,! + #,!!,#,# 1 É agora possível fazer a discussão do sistema em função dos valores reais dos parâmetros + e,, onde <œc E, =œc E w e 8œ é o número de incógnitas: ñ Se + œ! e, œ #, o sistema é equivalente ao sistema de matriz completa!! # #!! " " PPÄP # " #!! # # µ!!!! "!!!! # PÄP " "!!!! O sistema é possível e duplamente indeterminado ( <œ=œ" e 8<œ"œ# ). ñ Se +œ! e,á#, o sistema é equivalente ao sistema de matriz completa (note que é,#á!)!!, # "!! " " PÄP!! %, # µ!! %, # µ PÇP "!!,#,#!!, #!! " "!! " " PPÄP #!!!,# µ!!! " "!!! #,,# PÄP # #!!!! P %, P ÄP,# # " # P,PÄP " O sistema é impossível ( <œ" e =œ#á< ). ñ Se +Á!,œ#, o sistema é equivalente ao que tem a matriz completa (fazer,œ# na equação 1) +! # #! + # # à+á! 2!!!! O sistema é possível e simplesmente indeterminado ( <œ=œ# e 8<œ#œ" ). ñ Se +Á!,Á#, o sistema é possível e determinado ( <œ=œ8œ ). Ano Lectivo: 2014-2015 Semestre: Verão 2015 Setembro 17; 19:00

4 Álgebra Linear e Geometria Analítica - Resolução do Exame (Época Especial) O esquema seguinte resume a discussão anterior: Caso +, < = < œ = Natureza do sistema Grau de indet. " +œ!, œ# <œ" =œ" Sim Duplamente indeterminado <œ# #, Á # < œ " = œ # Não Impossível +Á!, œ# <œ# =œ# Sim Simplesmente indeterminado <œ" %,Á# <œ = œ Sim Determinado <œ! 1b ç Como vimos, o sistema é determinado para +œ,œ"(caso %). Fazendo +œ,œ" em 1, vem +!, # "! " #! + %, #! " #!!,#,#!! " " "!! " "!! " P ÄP! "! " µ! "! "!! " "!! " " A solução (única) do sistema é Bß Cß D œ "ß "ß ". P P ÄP # # +œ,œ" µ PPÄP " " 1c ç Para +œ,œ", a matriz simples do sistema é "! " Eœ " " %! " # Como vimos antes, a característica de E é < œ e, portanto, E é invertível. Determinemos a inversa de E, mediante a condensação vertical da matriz E M Portanto, "! " "!! "! " "!! PPÄP # " # PPÄP # " " %! "! µ! " " "! µ! " #!! "! " #!! " "! " "!! "!! # " " P # P ÄP#! " " "! µ! "! # # PPÄP " "!! " " " "!! " " " " "!! # " "! "! # #!! " " " " E " # " " œ # # " " " " " P ÄP Nota: Podemos confirmar a correcção deste resultado, verificando que EE œ E E œ M. µ 2015 Setembro 17; 19:00 Ano Lectivo: 2014-2015 Semestre: Verão

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Resolução do Exame (Época Especial) 5 # # 2 ç Seja 0 o endomorfismo de definido por 0Bß C œ B #Cß %B C e 1À Ä a função linear tal que 1 "ß! œ!ß"ß e 1!ß" œ"ß"ß! : # " # a ç Prove que 0 é um automorfismo de e calcule 0 BßC, para todo o BßC. b ç Calcule o núcleo, a imagem, a nulidade e a característica de 1 e ainda a matriz de 1 em relação à # base canónica de e à base "ß!ß! ß!ß"ß! ß!ß"ß" de. c ç Sendo 2œ1 0, determine a matriz de 2em relação às bases canónicas dos espaços envolvidos e a expressão de 2BßC, para todo o BßC #. Resposta 2a ç As colunas da matriz canónica de 0 são as coordenadas de 0 "ß! œ ß % e 0!ß " œ #ß em relação à base canónica de #, portanto, Jœ # % Ora detj œ *) œ " Á!, donde J e 0 são invertíveis pelo que 0 é um automorfismo de. Determinemos J " : " " % # J œ J œ œ detj adj # % " Observe-se é J œ J (uma matriz nestas condições diz-se involutiva). Daqui se conclui que Então " " 0 "ß! œ ß% e 0!ß" œ#ß " " " 0 BßC œb0 "ß! C0!ß" œb ß% C#ß œ B#Cß%BC " Observe-se é 0 œ 0 (uma função nestas condições diz-se também involutiva ou uma involução). T # 2b ç Determinemos 1BßC para qualquer BßC # : 1BßC œ1b "ß! C!ß" œb1 "ß! C1!ß" œb!ß "ß C"ß "ß! œcßbcßb O núcleo de 1 é Ker1œ BßCÀ1BßC œ!ß!ß! œbßcàc œ! BC œ! Bœ! œ!ß! Portanto, 1 é injectiva e a nulidade de 1 é igual a dimker 1 œ!þ O teorema fundamental permite-nos concluir que a característica de 1é igual a dimimg 1 œdim # dimker 1 œ#!œ#. Portanto, 1 não é sobrejectiva. A imagem de 1 é o subespaço de gerado pelas imagens por 1 de uma qualquer base de #, por exemplo a base canónica cujas imagens são conhecidas 1 "ß! œ!ß"ß e 1!ß" œ"ß"ß! : Img1œP!ß"ß ß "ß"ß! É óbvio que a lista anterior é linearmente independente, pois nenhum dos seus vectores é múltiplo do outro. Assim, trata-se de uma base de Img 1, pelo que se confirma que dimimg 1 œ #. Ano Lectivo: 2014-2015 Semestre: Verão 2015 Setembro 17; 19:00

6 Álgebra Linear e Geometria Analítica - Resolução do Exame (Época Especial) As colunas da matriz K w de 1 em relação à base canónica de # e à base /œ"ß!ß! ß!ß"ß! ß!ß"ß" de são constituídas pelas coordenadas de 1 "ß! œ!ß"ß e 1!ß" œ"ß"ß! em relação à base / anterior. Essas coordenadas são imediatas: 1 "ß! œ!ß"ß œ! "ß!ß! #!ß"ß!!ß"ß" 1!ß" œ"ß"ß! œ" "ß!ß! "!ß"ß!!!ß"ß" Então,! " w K œ # "! 2c ç A matriz canónica K de 1 é obtida imediatamente a partir dos dados do problema:! " Kœ " "! A figura seguinte ilustra o processo de composição: f R 2 R 2 h=g o f g R 3 A matriz canónica de 2œ1 0é o produto das matrizes canónicas de 1e de 0(por esta ordem):! " # % LœKJœ " " œ ( & %! * ' Então, as coordenadas de 2BßC na base canónica de são Pelo que: B % B %B C L œ ( & œ (B&C C C * ' *B'C 2Bß C œ %B Cß (B &Cß *B 'Cà Bß C # 2015 Setembro 17; 19:00 Ano Lectivo: 2014-2015 Semestre: Verão

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Resolução do Exame (Época Especial) 7 3 ç Considere o endomorfismo 2À # Ä # definido por a ç Seja L a matriz canónica de 2. Determine L. 2BßC œbcß#b%c. b ç Determine os valores próprios de 2 e os respectivos subespaços próprios. Indique ainda o valor da multiplicidade geométrica de cada um dos valores próprios calculados e conclua, justificando, que 2 é diagonalizável. Com base nos valores próprios que determinou e justificando a sua resposta, conclua ainda que 2 é um automorfismo de #. " c ç Determine uma matriz diagonal H e uma matriz invertível X tais que H œ X LX. Resposta 3a ç A matriz L de 2 em relação à base canónica de # tem por colunas as coordenadas dos vectores 2 "ß! œ"ß# e 2!ß" œ ß% em relação à base canónica de # (coincidentes com as próprias componentes). Portanto, " Lœ # % 3b ç O polinómio característico de 2 é: " - # : 2- œ œ " % 'œ #œ " # # - - - - - - % - Concluímos que o espectro de 2 é E2 œ "ß# Como!ÂE2, podemos garantir que 2é um automorfismo de #. Como ambos os valores próprios têm multiplicidade algébrica 7+ - œ " e " Ÿ 71 - Ÿ 7+ -, isto implica que 71- œ ". As coordenadas \ dos vectores próprios de 2 na base canónica de # são, para cada valor próprio - E2, as soluções dos seguintes sistemas homogéneos simplesmente indeterminados (porque o grau de indeterminação é 71- œ "). L- M # \œsàpara - E2 Temos, portanto: ç Para - œ": " #! #! " Î#! µ µ #!!!!!!! Ê Bœ # C # " # # " " CœC PPÄP P ÄP A solução geral do sistema homogéneo simplesmente indeterminado anterior é C ß" C C œ ß# œ = ß#, com = œ # # # Ano Lectivo: 2014-2015 Semestre: Verão 2015 Setembro 17; 19:00

8 Álgebra Linear e Geometria Analítica - Resolução do Exame (Época Especial) Assim, o subespaço próprio associado ao valor próprio - œ" é I"2 œ = ß # À = œ P ß # A multiplicidade geométrica de - œ" é 7 " œdimi 2 œ" (confirma-se o que já sabíamos). ç Para - œ#: 1 "! " PÄ " # " "! # " "!! B œ C P" P# #P" ÄP# µ µ Ê #! #!!! C œ C A solução geral do sistema homogéneo simplesmente indeterminado anterior é C"ß"àC. O subespaço próprio associado ao valor próprio - œ# é, pois: I#2 œ C "ß " À C œ P "ß " A multiplicidade geométrica de - œ# é 7 # œdimi 2 œ", o que já sabíamos. O quadro seguinte resume a situação de 2: 1 # - I-2 71-7+ - " P ß# " " # P "ß" " " 7 - œ # - E2 1 3c ç Como mostra o quadro anterior, a soma das multiplicidades geométricas dos valores próprios de 2 é #œdim #. Daqui se conclui que 2é diagonalizável e que, portanto, existem uma matriz diagonal H " e uma matriz invertível X tais que H œ X LX ( L é semelhante à matriz diagonal H). A representação matricial diagonal de 2 ocorrerá em relação a qualquer base de # formada exclusivamente por vectores próprios de 2, por exemplo, em relação à base / œ ß # ß "ß ", a matriz H é Hœ diag! "ß# œ "! # e a matriz X é matriz de mudança da base canónica para a base /, cujas colunas são formadas pelas coordenadas dos vectores de / em relação à base canónica de # : Xœ # Nota: O que se segue não é pedido no enunciado, mas destina-se apenas a precisar melhor o que se passa quanto à diagonalização de 2: w Existem, neste caso, duas matrizes diagonais possíveis: Hœ diag "ß# e H œ diag #ß" : " " çhé a matriz de 2em relação a qualquer base de # da forma /œ + ß# ß, "ß", com +Á!, Á! 2015 Setembro 17; 19:00 Ano Lectivo: 2014-2015 Semestre: Verão

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Resolução do Exame (Época Especial) 9 A matriz X é a matriz de mudança da base canónica para a base /, cujas colunas são formadas pelas coordenadas dos vectores de / em relação à base canónica de # : +, Xœ +Á!,Á! #+,, com Temos " " " #+ ", X œ X œ œ detx adj +,,, + +,, #+ + T Portanto, " ",, " +, ",, +, X LX œ œ +, #+ + # % #+, +, %+ '+ #+, " +,! "! œ œ œ H +,! #+,! # w # çhé a matriz de 2em relação a qualquer base de da forma w /œ + "ß" ß, ß#, com +Á!, Á! A matriz X é, mais uma vez, a matriz de mudança da base canónica para a base /, cujas colunas são formadas pelas coordenadas dos vectores de / em relação à base canónica de # : w +, X œ + Á!, Á! + #,, com Temos w" " w " #, + " #,, X œ adjx œ œ X w det +,, + +, + + T Portanto, w" w " #,, " +, " %, ', +, X LX œ œ +, + + # % + #, +, + + + #, " # +,! #! w œ œ œ H +,! +,! " Ano Lectivo: 2014-2015 Semestre: Verão 2015 Setembro 17; 19:00

10 Álgebra Linear e Geometria Analítica - Resolução do Exame (Época Especial) 4 ç Considere, no espaço cartesiano real # dotado do produto interno usual, os vectores?t œ Î&ß %Î& e @t œ "ß! a ç Mostre que a sequência de vectores?tß @t é uma base normada mas não ortogonal de #. b ç Determine o ângulo entre?t e @t, bem como a projecção ortogonal de @t sobre?t. c ç Determine uma base ortonormada de #, a partir da base?tß @t. Resposta 4a ç A sequência de vectores?tß @t constitui, obviamente, uma base de #, visto que os seus vectores são linearmente independentes e em número de #. Determinemos as normas de?t e de @t :?t œ?t?t œ Î&ß %Î& Î&ß %Î& œ *Î#& "'Î#& œ " œ " @t œ @t @t œ "ß! "ß! œ " œ " Os cálculos anteriores mostram que a base?tß @t é normada. Averiguemos agora a ortogonalidade de?tß @t :?t @t œ Î&ß %Î& "ß! œ Á! & Mostrámos, assim, que a base?tß @t não é ortogonal. 4b ç O ângulo entre?t e @t é dado por ang?tß @t œ?t @t rad º œ arccos arccos?t @t & #Þ#"% "#'Þ)( Quanto à projecção ortogonal de @t sobre?t, temos @t?t =t œ proj?t @t œ?t œ Î&ß %Î& œ ß %?t?t & #& 2015 Setembro 17; 19:00 Ano Lectivo: 2014-2015 Semestre: Verão

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Resolução do Exame (Época Especial) 11 4c ç O vector At projectante ortogonal de @t sobre?t é, como sabemos, ortogonal a?t e é dado por: % At œ @ t = t œ "ß! ß % œ %ß #& #& Assim,?tß At é uma base ortogonal de # e vers?tß vers At será uma base ortonormada: " " vers?t ßversAt œ ß% ß %ß Observe que o que fizémos foi, afinal, aplicar o método de ortogonalização de Gram-Schmidt à base?tß @t. A figura seguinte ilustra geometricamente o problema: & & u vers( w ) O 126,87º v s w Ano Lectivo: 2014-2015 Semestre: Verão 2015 Setembro 17; 19:00

12 Álgebra Linear e Geometria Analítica - Resolução do Exame (Época Especial) PARTE 2 1 ç No espaço linear real, considere os vectores?t œ 'ß!ß, @t œ 5ß#ß!, com 5, e At œ ß "ß " e ainda as seguintes proposições: +ç Para todo o 5,?t e @t são linearmente independentes.,ç Para todo o 5,?t, @t e At são linearmente dependentes. - ç Para 5 œ %Î, At pertence ao subespaço de gerado por?t e @t. " " #.ç Para 5œ#, tem-se Atœ?t @t. A lista completa de proposições verdadeiras é: úç,ß- úç +ß-ß. úç +ß- ú ç +ß. Resposta ç A primeira proposição é verdadeira porque, qualquer que seja 5, nenhum dos vectores é múltiplo escalar do outro. ç A segunda proposição é falsa. De facto, '! det?tß @tß At œ 5 #! œ "# 5 ") œ 5 ' " " O cálculo anterior mostra que?t, @t e At são linearmente dependentes sse 5 ' œ!, isto é, 5 œ # e não para todo o 5. ç A terceira proposição é falsa. Se a proposição fosse verdadeira, o determinante anterior deveria ser nulo, para 5 œ %Î, mas não o é. ç A última proposição é verdadeira. Para o justificar, basta calcular o vector do # º membro, fazendo 5œ# no vector @t, e constatar que obtemos efectivamente o vector At : " " " "?t @t œ 'ß!ß #ß #ß! œ #ß!ß " "ß "ß! œ ß "ß " œ At # # A resposta correcta é, portanto, a última +ß.. 2015 Setembro 17; 19:00 Ano Lectivo: 2014-2015 Semestre: Verão

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Resolução do Exame (Época Especial) 13 2 ç Sejam 8" um número natural e Euma matriz real quadrada de ordem 8. Atente nas seguintes proposições envolvendo 8 e E: +ç detm E œ"dete. 8,ç Se dete œ!, então o sistema homogéneo E\œStem infinitas soluções. -ç Se a forma escalonada reduzida de Etiver uma linha de zeros, então a matriz Eé invertível..ç detee Á". T A lista completa de proposições verdadeiras é: úç +ß,ß. ú ç,ß. úç, úç -ß. Resposta ç A proposição dada é falsa: Ela sugere que o determinante de uma soma de matrizes é igual à somas dos determinantes das parcelas, o que é falso! Mostramos agora um contra-exemplo, com 8œ# e " # # # " # Eœ Ê M E œ œ' " E œ" œ% " " det 8 " # det " " ç A proposição dada é verdadeira: Se dete œ!, então E é singular e a sua característica é <8. Então, o sistema homogéneo E\ œ S é possível e indeterminado de grau 8 <!, tendo, consequentemente, uma infinidade de soluções. ç A proposição dada é falsa: Se a forma escalonada reduzida de E tiver uma linha de zeros, então a matriz E tem característica < 8 e é, portanto, singular o que implica que E não é invertível. ç A proposição dada é verdadeira, T T det det det det det det T EE œ E E œ E E œ E! Ê detee Á " Em face do exposto, a resposta correcta é a segunda,,ß.. # Ano Lectivo: 2014-2015 Semestre: Verão 2015 Setembro 17; 19:00