Razões Profº Cláudio Mendes
Definição: Dados dois números reais a e b (com b diferente de zero), chamamos de razão entre a e b (nessa ordem) o quociente a : b ou a/b. a b antecedente consequente
Exemplo: Um grupo é composto de 14 homens e 20 mulheres. Determine a razão entre: a) O total de homens e o total de mulheres. Homens: 14 Mulheres: 20 Razão = 14 2 20 = 2 10 b) O total de mulheres e o total de pessoas. Mulheres: 20 Razão = 20 2 34 = 10 2 17 Pessoas: 14 + 20 = 34 7
Algumas grandezas especiais: Velocidade Média Densidade demográfica
vmv Velocidade Média = Distância tempo Um automóvel percorreu 280 km em 4 horas. Qual foi a velocidade média do automóvel? V = 280 4 = 70 km/h
Densidade demográfica: Nº habitantes Área A estado de Metrópolis tem área de 10000 km 2 e uma população de180000 habitantes. Qual a densidade demográfica do estado de Metrópolis? D = 180000 10000 = 18 hab/km 2
REGRA DE TRÊS COMPOSTA Profº Cláudio Mendes
Regra de Três Composta A regra de três composta é uma ferramenta que permite resolver problemas que envolvem mais de duas grandezas proporcionais. Para isso é necessário a análise das grandezas inseridas no problema e a aplicação da propriedade principal das proporções
(Eletrobrás) Em um ano de operação normal, a usina de Angra 2, cuja potência nominal é de 1.350 MW, consumiria 30 toneladas de urânio enriquecido. Considerando- se que o consumo de urânio enriquecido seja diretamente proporcional à potência nominal da usina e ao tempo de funcionamento da mesma, qual seria o consumo de urânio enriquecido da usina de Angra 1, cuja potência nominal é de 657 MW, em seis meses de operação normal? (A) 6,5 (B) 7,3 (C) 9,2 (D) 14,6 (E) 18,5 Potência: Ton/Uranio: Meses: 1350 30 12 657 x 6 Ton e potencia G. D. P. Ton e meses G. D. P. 30 = _1350_ x 657 30 _2700_ = x 657 2700x = 657 30 2700x = 19710 x = 19710 2700 _12_ =_2_ 6 1 = 7,3 toneladas
(TRANSPETRO) Se 3 operários, trabalhando 6 horas por dia, constroem um muro em 20 dias, em quantos dias 5 operários, trabalhando 8 horas por dia, construiriam o mesmo muro? (A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 8 (E) 9 Grandezas: Operários: Horas/dia: Dias: 3 6 20 5 8 x Dias e operários G. I. P. Dias e horas/dia G. I. P. 20 x 20 x = _5_ 3 40x = 20 18 40x = 360 x = = _40_ 18 360 40 _8_ 6 = 9 dias
(MPA) Uma equipe de 12 operários levaria 20 dias para executar uma determinada obra. Ocorre que, após 4 dias de trabalho 4 operários foram dispensados. Se os operários restantes manqveram o mesmo ritmo de trabalho, o número de dias que ainda levaram para concluir a obra foi de: A) 20 dias. B) 22 dias. C) 24 dias. D) 26 dias. E) 28 dias. Grandezas: Operários: Obra: Dias: 12 100% 20 8 80% x Dias e operários G. I. P. Dias e obra G. D. P. 20 x 20 x = _8_ 12 800x = 960 20 800x = 19200 = _800_ 960 x = 19200 800 _100_ 80 = 24 dias
REGRA DE TRÊS SIMPLES Profº Cláudio Mendes
Regra de Três A regra de três é uma ferramenta que permite resolver problemas que envolvem grandezas proporcionais. Para isso é necessário a análise das grandezas inseridas no problema e a aplicação da propriedade principal das proporções
Comprei 15 litros de suco e paguei R$ 60,00. Quanto pagarei por 40 litros desse mesmo suco? Litros de suco: 15 40 Grandezas: Preço R$ 60,00 x grandezas diretamente proporcionais 15 40 = 60 x 15x = 60 40 15x = 2400 x = 2400 15 = R$ 160,00
Um veículo trafegando com uma velocidade média de 60km/h, faz determinado percurso em quatro horas. Quanto tempo levaria um outro veículo para cumprir o mesmo percurso se ele manqvesse uma velocidade média de 80km/h. Grandezas: Velocidade Tempo 60 km/h 80 km/h 4 horas x horas 60 80 = _x_ 4 80x = 60 4 80x = 240 x = 240 80 grandezas inversamente proporcionais = 3 horas
(Correios- RJ)Uma impressora a laser é capaz de imprimir 8 páginas por minuto, em funcionamento conxnuo. Nessa situação, em três quartos de hora ela imprimirá a) 180 páginas. b) 360 páginas. c) 120 páginas. d) 190 páginas. e) 320 páginas. 8_ x = 1_ 45 páginas 8 x x = 8 45 x = 360 páginas 1 minuto tempo 45 minutos grandezas diretamente proporcionais
(CEF) Uma pessoa x pode realizar uma certa tarefa em 12 horas. Outra pessoa, y, é 50% mais eficiente que x. Nessas condições, o número de horas necessárias para que y realize essa tarefa é: (A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7 (E) 8 tempo 12 horas x horas eficiência 100% 150% grandezas inversamente proporcionais 12_ x = 150_ 100 150x = 12 100 150x = 1200 x = 1200_ 150 = 8 horas
SISTEMAS DE MEDIDAS Profº Cláudio Mendes
Medidas de comprimento x10 x10 x10 x10 x10 x10 km hm dam m dm cm mm 10 10 10 10 10 10 Medidas de massa kg hg dag g dg cg mg Medidas de volume ou capacidade kl hl dal l dl cl ml
Assinale a alternaqva que corresponde a 0,23 dam expresso em cm. a) 0,023. x10 x10 x10 b) 230. c) 23. d) 2,3. e) 2300. km hm dam m dm cm mm 0,23 dam 1000 = 230 cm
Medidas de área x100 x100 x100 x100 x100 x100 km 2 hm 2 dam 2 m 2 dm 2 cm 2 mm 2 100 100 100 100 100 100 A área do retângulo abaixo é igual a: 8 m 12 m Área = 8 12 = 96 m 2 = 9600 dm 2
O valor em cm 2 da área de 0,032 dam 2 é, no sistema legal de medidas: a) 3200. b) 320. x100 x100 x100 c) 32000. km 2 d) 0,32. e) 3,2. hm 2 dam 2 m 2 dm 2 cm 2 mm 2 0,032 dam 2 1000000 = 32000 cm 2
Medidas de capacidade ou volume x1000 x1000 x1000 x1000 x1000 x1000 km 3 hm 3 dam 3 m 3 dm 3 cm 3 mm 3 1000 1000 1000 1000 1000 1000 O volume do paralelepípedo abaixo é: 8dm 18dm 6dm Volume = 8 6 18 = 864 dm 3 = 0,864 m 3
O volume de um recipiente é expresso como sendo de 0,970 dm 3. Esse volume corresponde no sistema legal de medidas a a) 9,7 cm 3. b) 0,097 m 3. c) 0,0097 m 3. d) 970 cm 3. e) 9700 mm 3. 0,970 dm 3 1000 = 0,970 dm 3 1000 = 0,000970 m 3 970 cm 3 1000 1000 km 3 hm 3 dam 3 m 3 dm 3 cm 3 mm 3
OBSERVAÇÕES: Para calcular áreas ou volumes, é necessário que todas as medidas estejam na mesma unidade. Volume em litros: 1 dm 3 = 1 l 1 m 3 = 1000 l
Dona Tida comprou: 5 pacotes de açúcar de 2kg cada um; 10 pacotes de maizena com 600g cada um; 20 pacotes de margarina de 250g cada um. Qual a massa total dessa compra? (A) 2,1kg Açúcar: (B) 21 Kg (C) 11.100 g 5 pacotes com 2 Kg cada = 10 Kg = 10000g (D) 2.100 g Maizena: (E) 855 g 10 pacotes com 600 g cada= 6000 g = 6 Kg Margarina: 20 pacotes com 250 g cada= 5000 g = 5 Kg Massa total: 10 + 6 + 5 = 21 Kg
(Petrobras) Um reservatório que tem o formato de um paralelepípedo reto- retângulo de 2m de profundidade, 8,5m de largura e 10m de comprimento está parcialmente cheio de óleo. Se, para enchê- lo completamente, são necessários mais 168.000 litros, quantos litros de óleo há dentro desse reservatório? (A) 2.000 Volume total: 2 8,5 10 = 170 m 3 (B) 4.000 (C) 8.000 1 m 3 = 1000 l 170 m 3 = 170000 l (D) 12.000 (E) 20.000 Quanqdade de óleo: 170000 168000 = 2000 litros
(PETROBRÁS) Uma folha de papel retangular, com 30 cm de comprimento e 21 cm de largura, será cortada em quatro partes iguais. Qual será, em cm 2, a área de cada parte? (A) 157,5 (B) 212,5 (C) 310,0 (D) 415,5 (E) 630,0 Área do papel: 30 21 = 630 cm 2 630 4 = 157,5 cm 2
Sistemas do 1º grau Profº Cláudio Mendes
Um sistema é formado por pelo menos 2 equações com mesma solução. Ex: ax + by = c dx + ey = f Os valores de x e y são os mesmos para as duas equações. A solução do sistema pode ser definido pelo par ordenado (x, y)
Ex: MÉTODO DA ADIÇÃO 2x + y = 9 3x y = 11 5x = 20 x = 20 5 x = 4 + 2x + y = 9 2 4 + y = 9 8 + y = 9 y = 9 8 y = 1 S = (4, 1)
(Correios- RJ) Considere as equações r e s a seguir: r : x + 2y = 3 s : 3x y = 9 Assinale a alternaqva que corresponde ao par que é solução simultânea do par de equações. a) (2; 1). b) (3; 0). c) (0; 3). d) ( 2; 1). e) ( 3; 0). x + 2y = 3 3x y = 9 (x 2) x + 2y = 3 6x 2y = 18 7x = 21 x = 21 7 x = 3 + x+ 2y = 3 3 + 2y = 3 2y = 3 3 2y = 0 y = 0
(DECEA) Para comprar 3 kg de batatas e 2 kg de tomates são necessários R$14,70. Com R$4,55 compra- se exatamente 1 kg de batatas e 0,5 kg de tomates. Qual é, em reais, o preço de um quilograma de tomates? (A) 1,70 (B) 1,90 (C) 2,10 (D) 2,50 (E) 2,80 3B + 2T = 14,70 1B +0,5T = 4,55 (x 2) 0,5 T = 1,05 x(- 3) T = R$ 2,10 (x 2) 3B + 2T = 14,70-3B 1,5T = - 13,65
(BNDES) Para que o sistema linear a b 20 6 20 6 5x 6y = 1 possua ax + 4y = b infinitas soluções, os valores de a e b devem ser tais que (A) 5 (B) 2 (C) 0 (D) 2 (E) 5 valha: _5_ a Sistema indeterminado = - 6a = 20 a = a = - 6_ 4 20 6 10 3-6_ 4 = - 6b = 4 b = b = _1_ b 4 6 2 3 a b a b _5_ a = = 5 20 6 = 10 3 2 3-6_ 4 = = _1_ b 10 2
(Fiocruz) Em uma lanchonete, uma pizza e um refrigerante custam juntos 20 reais. A pizza custa 18 reais a mais que o refrigerante. O refrigerante sozinho custa: P + R = 20 (A) R$1,00 P = R + 18 (B) R$1,25 (C) R$1,50 R + 18 + R = 20 (D) R$1,75 2R + 18 = 20 (E) R$2,00 2R = 20 18 2R = 2 R = _2_ 2 R = R$ 1,00
PROGRESSÕES ARITMÉTICAS 2ª PARTE Profº Cláudio Mendes
Observe a soma: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 +...+ 97 + 98 + 99 + 100 Temos: 1 + 100 = 101 2 + 99 = 101 3 + 98 = 101 4 + 97 = 101 50 pares que somados dão como resultado 101 Então a soma é igual a 50 101 = 5.050
Dada a sequência ( a,a,a,a,...,a 1 ( a 21, a2, a3, a34,..., a n ) 4 n O resultado da soma ) (a 1 a n ) n S = + 2 ( a + a + a + a +... + a 1 2 3 4 n ) Pode ( a1ser + a2 + adefinido + a 4 +... + a n ) como: 3 S n = (a + a ) n 1 n 2
Lembrando: S n = (a + a ) n 1 n 2 S n = A soma dos n termos da P. A. a 1 = primeiro termo a n = úlqmo termo n = total de termos
(BNDES) A sequência (6, 10, 14,..., 274, 278, 282) tem 70 números. A soma desses 70 números é : a) 8.920 Dados: (a1 + a n ) n b) 10.080 Sn = c) 13.560 a 1 = 6 2 d) 17.840 ( 6 + 282) 70 a e) 20.160 n = a 70 = 282 S50 = 2 n = 70 S n =? 288 70 S50 = 2 20. 160 S 50 = 2 S 50 = 10. 080
vmv Determine a soma dos 50 primeiros números ímpares com 3 algarismos. Dados: n = 50 a 1 = 101 a n = a 50 =? S n =? r = 2 S (a1 n ) n Termo n = geral da P. A. S n + a 2 a n = a 1 + (n 1) r a 50 = 101 + (50 1) 2 a 50 = 101 + 49 2 (a = 1 n ) n + a 2 a 50 = 101 + 98 a 50 = 199 S n S = n (a (a = 1 n ) n 1 n ) n + a 2 + a 2 ( 101+ 199) 50 S50 = 2 300 50 S50 = 2 15. 000 S 50 = 2 S 50 = 7. 500
PROGRESSÕES ARITMÉTICAS 1ª PARTE Profº Cláudio Mendes
Uma progressão aritméqca (P. A.) é uma sequência numérica ordenada de forma que cada termo, a parqr do segundo, é igual ao termo anterior somado à um valor constante, denominado razão. Ex: (2, 4, 6, 8, 10, 12) razão 2 (9, 7, 5, 3, 1) razão - 2
Seja a sequência: ( a a, a, a,..., ), 1 2 3 4 a n r a a = a a 2 = razão = 1 3 2 a a2 1 = 1º termo = 2º termo a 3 = 3º termo n = nº de termos a n = úlqmo termo (ou termo procurado)
Observe a sequência: S = Temos: ( 2,5,8,11,14,17,20,23) a a2 a1 = 5 2 = 3 a 1 = 2 2 a 1 = 5 2 = 3 a2 a 21 = 5 25 a a = 3 3 2 = 8 5 = 3 a3 = 8 a4 a 3 A razão da P. A. é: r = 3 = 11 8 = 3 a n = 23 n = 8
Termo Geral de uma P. A. a n ( n ) r = a + 1 1 Número de termos da P.A. Primeiro termo da P.A. Último termo de uma P.A. ou termo procurado Razão
Em uma P. A. de razão 8, o 1º termo é igual a 7. Determine o 75º termo. Dados: r = 8 a 1 = 7 a n = a 75 =? n = 75 Termo geral da P. A. a n = a 1 + (n 1) r a 75 = 7 + (75 1) 8 a 75 = 7 + 74 8 a 75 = 7 + 592 a 75 = 599 3 74 x 8 592
Em uma Progressão Aritméqca o primeiro termo é 23 e a razão é - 6. A posição ocupada pelo elemento - 13 é: (A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7 (E) 8 Dados: r = - 6 a 1 = 23 a n = - 13 n =? a n = a 1 + (n 1) r - 13 = 23 + (n 1) ( 6) + + - 13 = 23 + ( 6n + 6) - 13 = 23 6n + 6 6n = 23 + 6 + 13 6n = 42 n = 42 n = 7 6