Colégio Técnico São Bento. Noções de Matemática

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1 Colégio Técnico São Bento Noções de Matemática

2 SUMÁRIO Capítulo 1 - Unidades de Comprimento Conversão de Medidas Unidades de comprimento Unidades de Área Unidades de Volume Outras Unidades de Medida... 7 Capítulo 2 - Porcentagem Conceito... 9 Capitulo 3 Regra de três simples Conceito Grandezas Diretamente e Inversamente Proporcionais Regra de três composta Capitulo 4 Juros Simples e Compostos Juros Exatos Juros Compostos

3 3 Capítulo 1 - Unidades de Comprimento

4 4 1.1 Conversão de Medidas A conversão de medidas é importante para resolver questões de matemática, assim como de física. Quando um problema apresenta diferentes unidades de medida, a conversão é necessária para solucionar a questão. As unidades de medidas estão presentes no nosso cotidiano. Repare que muitas vezes vemos escrito nas caçambas espalhadas pelas ruas 5 m³ ou, no final dos rótulos de xampus, 100 ml. E até mesmo o bonito piso que gostaríamos de ter em nossas casas é vendido pelo metro quadrado. Mas, afinal, o que significam essas medidas? Para facilitar, iremos tomar como base a unidade de comprimento: metro. Depois, veremos os demais casos que completam o sistema métrico. 1.2 Unidades de comprimento Ao medirmos a altura de uma pessoa, usamos a unidade conhecida como metro : 1,60m, 1,83m etc. Mas seria muito difícil se usássemos a mesma unidade para calcular a distância entre cidades ou países, pois são longas distâncias, ou seja, números que podem ser muito grandes. Teríamos dificuldade também ao escrever a espessura de um fio de cabelo ou a tampa de uma caneta: pequenas distâncias, pequenos números. Logo, para resolver esse problema, criou-se uma convenção para as unidades de comprimento. Do maior ao menor: quilômetro, hectômetro, decâmetro, metro, decímetro, centímetro e milímetro. Seus símbolos são respectivamente: km, hm, dam, m, dm, cm, mm. Tomando o metro como referência, temos: Quilômetro Hectômetro Decâmetro Metro Decímetro Centímetro Milímetro km hm dam m dm cm Mm 1000m 100m 10m 1m 0,1m 0,01m 0,001m Exemplos: Helena quis usar uma fita em seu embrulho de Natal. Após uma rápida medição notou que bastavam 45cm (quarenta e cinto centímetros). No entanto, a papelaria aonde foi só vendia a fita por 3,50 reais a cada metro. Quanto Helena teve que pagar para comprar o tamanho necessário de fita?

5 5 Assim, com a ajuda da tabela acima, temos que: 1cm = 0,01m, portanto 45cm = 0,45m. Daí, Helena necessita de 0,45m, mas se a cada metro temos 4,00 reais, basta multiplicar 3,50 por 0,45 e temos 1,80 real. Conversão: 57,83 hectômetros em centímetros: km hm dam m dm cm Mm 5 7, Veja, deixamos a vírgula no hm, completamos o número normalmente e acrescentamos zeros até chegar à unidade desejada. Então 57,83hm = cm. 1.2 Unidades de Área Mas e para medir o piso que gostaria de colocar na minha casa? Ou o terreno da minha casa? Lembre-se de que para calcular a área de um quadrado, basta multiplicar comprimento de seu lado duas vezes (o que chamamos de elevar ao quadrado). Então a unidade de área é basicamente elevar ao quadrado a unidade de comprimento. Portanto temos: Quilômetro Quadrado Hectômetro Quadrado Decâmetro Quadrado Metro Quadrado Decímetro Quadrado Centímetro Quadrado Milímetro Quadrado km² hm² dam² m² dm² cm² mm² 1000m x 1000m = m² 100m x 100m =10.000m² 10m x 10m = 100m² 1m x 1m = 1m² 0,1m x 0,1m = 0,01m² 0,01m x 0,01m = 0,0001m² 0,001m x 0,001m =0,000001m² Exemplos: Uma loja de construção vende um determinado tipo de ladrilho por 0,04 reais o cm². Roberto mediu os lados da parede de seu banheiro - de forma retangular - e achou comprimento 2m por 3m. Quanto Roberto deverá desembolsar para comprar o ladrilho? Se a parede tem forma retangular, basta multiplicar os lados para descobrir sua área, portanto 6m². Temos que transformar 6m² em cm². Se, pela tabela, 0,00001m² = 1cm² então 1m² = cm², portanto, 6m² = cm². Como cada cm² custa 0,04 reais, então 0,04 x = Ou seja, Pedro irá gastar 2400,00 reais.

6 6 km² hm² dam² m² dm² cm² mm² , 3 Note que nesse caso dividimos as casas em duas, pois temos a unidade ao quadrado. Repare também que o caso é bem parecido com a unidade de comprimento. Portanto, 78456,3dm² = 0, km². 1.3 Unidades de Volume Repare que, para descrever as unidades de área, multiplicamos as unidades duas vezes. O caso do volume será muito parecido. Basta lembrar que para calcular o volume de um cubo, devemos fazer a multiplicação do comprimento de suas arestas três vezes (elevar ao cubo), portanto, basta multiplicar essa quantidade de vezes a unidade de comprimento. Quilômetro Cúbico Hectômetro Cúbico Decâmetr o Cúbico Metro Cúbico Decímetr o Cúbico Centímetr o Cúbico Milímetro Cúbico km³ hm³ dam³ m³ dm³ cm³ mm³ 1000m x 1000m x 1000m = m³ 100m x 100m x 100 = m³ 10m x 10m x 10m = 1000m³ 1m x 1m x 1m = 1m³ 0,1m x 0,1m x 0,1m = 0,001m³ 0,01m x 0,01m x 0,01m = 0, m³ 0,001m x 0,001m x 0,001m = 0, m³ Exemplos: Uma viagem de caminhão recolhe uma caçamba de lixo de 5m³ por vez. Se após a obra de um edifício o entulho foi calculado em 0,015hm³, quantas viagens serão necessárias para remover o lixo? Com auxílio da tabela, temos 1hm³ = m³, daí temos um entulho de 0,0152 x = 15200m³. Se uma viagem retira 5m³, obtemos = 3040 viagens. Conversão: mm³ em dam³ km³ hm³ dam³ m³ dm³ cm³ mm³ ,

7 7 1.4 Outras Unidades de Medida Unidades de Massa Grama (g). Deve ser tratado de maneira semelhante ao da unidade de comprimento. Daí, temos: quilograma (kg), hectograma (hg), decagrama (dag), grama, decigrama, centigrama e miligrama. Acrescentando a tonelada (ton). Onde, 1ton = 1.000kg. Unidades de Capacidade Litro (l). Também deve ser tratado da mesma maneira que o metro. Então existem: quilolitro (kl), hectolitro (hl), decalitro (dal), litro (l), decilitro (dl), centilitro (cl), mililitro (ml). E suas conversões serão da mesma forma do metro. Lembrando que existe uma relação direta entre a unidade do litro e a unidade de volume m³: 1l = 1dm³. Unidades de Tempo Juntamente com o metro, as unidades de medição do tempo são, talvez, as mais comuns. Segundo (s). E as demais: minuto, hora, dia, ano, década, século e milênio. 1 milênio = 1000 anos ; 1 ano = 365 dias ; 1 dia = 24horas ; 1 hora = 60 min ; 1 minuto = 60 segundos

8 8 Capítulo 2 - Porcentagem

9 9 2.1 Conceito O símbolo % é utilizado para representar porcentagem, e por cento quer dizer algum valor em 100. Por exemplo, na loja em que Carlinhos viu o anúncio, se comprarmos um aparelho no valor de R$ 100,00, obtemos um desconto de R$ 15,00, pois esse valor corresponde a 15% de R$ 100,00. A porcentagem possui representação através de uma fração centesimal (denominador igual a cem) ou um número decimal. Ela é muito utilizada para representar partes de um inteiro, aumentos e descontos dos preços de produtos, cobrança de juros entre outros. Vamos observar alguns exemplos na forma de porcentagem e sua representação na forma de fração centesimal e número decimal. Vamos aprender como calcular a porcentagem de um determinado número: 15% de % de 400

10 10 30% de O preço de uma geladeira na loja Preço Bom é de R$ 800,00. No pagamento à vista, a loja oferece um desconto de 12%. Qual o valor da geladeira após o desconto? 12% de 800 O desconto será de R$ 96,00. À vista a geladeira irá custar R$ 800,00 R$ 96,00 = R$704,00. - Na sala de Pedro, 40% dos alunos jogam futebol. Sabendo que o total de alunos é igual a 50. Quantos não jogam futebol? 40% de 50 Temos que 20 alunos jogam futebol, então 30 alunos não jogam futebol. - O salário mensal de Bruno é de R$ 600,00 por mês. Ele recebeu um aumento de 40%. Qual deve ser o novo salário de Bruno? 40% de 600 O novo salário de Bruno é igual a R$ 600,00 + R$ 240,00 = R$ 840,00.

11 11 Capitulo 3 Regra de três simples

12 Conceito A ideia de regra de três simples é comumente utilizada em diversas situações do cotidiano. Utiliza-se um processo prático para resolver problemas que envolvam quatro valores dos quais conhecemos três deles. Vejamos quatro passos práticos utilizados numa regra de três simples: 1º) Construir uma tabela, agrupando as grandezas em colunas e relacionando cada valor a sua grandeza; 2º) Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais, o que veremos após o último passo; 3º) Montar a equação da seguinte maneira: se as grandezas forem diretamente proporcionais, multiplica-se os valores em forma de X; se as grandezas forem inversamente proporcionais, multiplica-se os valores em linha; 4º) Resolver a equação. 3.2 Grandezas Diretamente e Inversamente Proporcionais Duas grandezas são diretamente proporcionais quando, ao se multiplicar o valor de uma delas por um número positivo, o valor da outra é multiplicado por esse mesmo número positivo. Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, ao se multiplicar o valor de uma delas por um número positivo, o valor da outra é dividido por esse mesmo número positivo. Exemplos: 1) Uma torneira despeja 50 litros de água em 10 minutos. Quantos litros serão despejados por essa torneira em 30 minutos? Solução: Vamos construir uma tabela e verificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais:

13 13 litros minutos x 30 As grandezas litros e minutos são diretamente proporcionais visto que, quanto mais tempo for utilizado, mais litros de água serão despejados. Logo, a equação descrita será obtida multiplicando-se os valores em X: 10.x = x = 1500 x = 150 Resposta: 150 litros 2) Um atleta, com velocidade constante de 8km/h, leva 50 minutos para percorrer um quarteirão. Se sua velocidade passar a ser de 16km/h, de forma constante, quanto tempo ele levará para percorrer esse mesmo quarteirão? Solução: Vamos construir uma tabela e verificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais: Velocidade (km/h) Tempo (minutos) X As grandezas velocidade e tempo são inversamente proporcionais visto que, quanto maior for a sua velocidade, menor será o tempo que ele conseguirá concluir o seu percurso. Logo, a equação descrita será obtida multiplicando-se os valores em linha: 16.x = x = 400 x = 25 Resposta: 25 minutos.

14 Regra de três composta Uma regra de três é classificada como composta quando apresentar três ou mais grandezas. Vejamos quatro passos utilizados numa regra de três composta: 1º) Construir uma tabela, agrupando as grandezas em colunas e relacionando cada valor a sua respectiva grandeza. Começaremos colocando os valores na última linha da tabela e, em seguida, na linha acima. 2º) Isolar a grandeza cujo valor é desconhecido. As grandezas que não forem destacadas serão relacionadas, uma de cada vez, com a grandeza que foi destacada para determinar se estas duas são diretamente ou inversamente proporcionais. Caso seja diretamente proporcional, colocaremos um d sobre esta grandeza não destacada; caso contrário, sendo inversamente proporcional, colocaremos uma letra i sobre esta grandeza não destacada; 3º) Montar a equação da seguinte maneira: o valor desconhecido da grandeza destacada será igual ao valor conhecido da grandeza destacada que multiplica as frações das grandezas não destacadas da seguinte maneira: se a grandeza tiver a letra d acima, é só repetir a fração e, caso contrário, tiver a letra i, inverte-se a fração. 4º) Resolver a equação. Exemplo: Doze pedreiros fizeram 5 barracões em 30 dias, trabalhando 6 horas por dia. Calcule o número de horas por dia que deverão trabalhar 18 pedreiros para fazer 10 barracões em 20 dias. Solução: Vamos construir uma tabela, relacionando cada valor a sua respectiva grandeza, começando pela última linha e, em seguida, na linha acima. Regra de três - exemplo As grandezas número de pedreiros e horas/dia são inversamente proporcionais. As grandezas número de barracões e horas/ dia são diretamente proporcionais. As grandezas tempo (dias) e horas/dia são inversamente proporcionais. Logo, temos que: x = x = 12

15 15 Resposta: 12 horas/dia Capitulo 4 Juros Simples e Compostos

16 Juros Simples Regime de Juros Simples O regime de juros simples não é muito utilizado pelo atual sistema financeiro nacional, mas ele se relaciona à cobrança em financiamentos, compras a prazo, impostos atrasados, aplicações bancárias, etc. Nesse regime, a taxa de juros é somada ao capital inicial durante o período da aplicação. O cálculo para juros simples é dado pela fórmula: J = PV. i. n J = Juro PV = Capital inicial, principal ou valor presente i = taxa de juros n = número de períodos em que foi aplicado o capital No cálculo do juro simples, também chamado de juro comercial, o juro sob o capital aplicado é diretamente proporcional ao capital e o tempo de aplicação. Através da taxa de juros, irá variar ao longo do período. Assim, utiliza-se o ano comercial, sendo 360 dias no ano e 30 dias no mês. Ex.: Saiba Calcular Juros Simples 1) Qual o valor dos juros aplicados a um empréstimo de R$ 200, durante 6 meses, numa taxa de juros simples de 6% ao mês? Dados encontrados: PV= R$ 200 i = 6 %a.m. n = 6 meses J =? Conversão da taxa de juros: 6% 6/100 0,06 Resolução: J = PV x i x n J = R$ 200 x 0,06 x 6 J = R$ 72,00 Explicação do Problema em Juros Simples

17 17 1º mês R$ 200 x 0,06 = R$ 12,00 ( ou seja, R$ 200 de capital renderá R$ 12 de juros) 2º mês R$ 200 x 0,06 = R$ 12,00 ( ou seja, R$ 200 de capital renderá R$ 12 de juros) 3º mês R$ 200 x 0,06 = R$ 12,00 ( ou seja, R$ 200 de capital renderá R$ 12 de juros) 4º mês R$ 200 x 0,06 = R$ 12,00 ( ou seja, R$ 200 de capital renderá R$ 12 de juros) 5º mês R$ 200 x 0,06 = R$ 12,00 ( ou seja, R$ 200 de capital renderá R$ 12 de juros) 6º mês R$ 200 x 0,06 = R$ 12,00 ( ou seja, R$ 200 de capital renderá R$ 12 de juros) Na soma dos juros durante seis meses temos R$ 72,00 de juros. Com esse exemplo, verifica-se que no cálculo de juros simples, os juros são iguais, pois ele sempre será acrescentado ao capital inicial. Importante Os períodos sempre devem estar na mesma unidade de tempo da taxa de juros: Taxa de Juros = 6% ao mês (a.m.) Número de Períodos= 6 meses Caso contrário, é preciso ajustar os elementos. Veja: Taxa de Juros = 0,06% ao semestre (a.s.) Número de Períodos = 3 anos 6 semestres Cálculo de Juros Simples em Períodos Não Inteiros Existem situações em que o prazo da aplicação é um número não inteiro, sendo preciso utilizar frações de períodos para que não hajam erros no valor final. Supondo que o período de aplicação é 5 anos e 9 meses, é sugerido as seguintes soluções para transformá-lo de acordo com a taxa de juros: 1) transformar o período para semestres ou meses: 69 meses ou 11,5 semestres. 2) transformar o período e a taxa para a mesma unidade de tempo:

18 18 n = 5 anos e 9 meses 69 meses i = 20% a.s 20/6 3,3 % ao mês Juros Exatos O juro exato é utilizado quando o período de tempo da aplicação está expressa em dias ou quando é considerado o ano civil (365 dias ou 366 dias para ano bissexto) para a realização do cálculo. A fórmula a ser utilizada será: J = Pv i n / 365 Saiba Calcular Juros Exato 1) Qual é o juro exato de um capital de R$ aplicado por 40 dias à taxa de 30% ao ano? Dados encontrados: PV= R$ i = 30 %a.a. n = 40 dias J =? Conversão da taxa de juros: 30% 30/100 0,3 Resolução: = R$ 657,53 J = Pv i n / 365 J = R$ x 0,3 x 40 / 365 J = R$ / 365 J Juros Compostos Regime de Capitalização Composta Esse regime é utilizado amplamente pelo sistema financeiro, no dia a dia e em diversos cálculos econômicos. Os juros são gerados em cada período e acrescentados ao capital principal para o cálculo dos juros no período posterior.

19 Nesse regime, diz-se que os juros são capitalizados, pois a cada período o juro é adicionado ao capital inicial. Assim, não existe capitalização no regime de juros simples, pois apenas o capital inicial rende juros. Para o cálculo do juro composto é utilizado a seguinte fórmula: M= C (1+i)ᵑ 19 Saiba Calcular Juros Compostos 1) Qual será o montante de um empréstimo de R$ 200, durante 6 meses, numa taxa de juros composta de 6% ao mês? Dados encontrados: PV= R$ 200 i = 6 %a.m. N = 6 meses M=? Conversão da taxa de juros: 6% 6/100 0,06 Resolução: M = C (1+i)n M = R$ 200 (1+ 0,06)⁶ M = R$ 200 (1,06)⁶ M = R$ 200 x 1,41 M= R$283,70 A diferença entre o capital inicial e o montante é o Juro Composto. Veja: J = C M J = R$ ,70 J = R$ 83,70