Aula 4 Parte 1 1 Sistemas de Amortização... 2 1.1 Conceito... 2 1.2 Sistema Francês de Amortização... 2 1.2.1 Tabela Price... 4 1.2.2 Descrição das parcelas no Sistema Francês... 4 1.2.3 Exercícios Resolvidos... 5 1.3 Sistema de Amortização Constante (SAC)... 21 1.3.1 Exercícios Resolvidos... 27 1.4 Sistema de Amortização Misto (SAM)... 34 1.4.1 Exercício Resolvido... 34 1.5 Sistema Americano de Amortização... 36 1.5.1 Exercícios Resolvidos... 37 2 Relação das questões comentadas... 40 3 Gabaritos... 47 4 Tabelas Financeiras... 48 Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 1
Olá pessoal! De acordo com a nossa programação, hoje vamos estudar os Sistemas de Amortização e Análise de Investimentos. 1 Sistemas de Amortização 1.1 Conceito A amortização de um empréstimo é o processo de sua liquidação por meio de pagamentos periódicos (anuidades). Há vários processos para amortizar o capital emprestado de modo que, para efeito deste concurso, estudaremos os seguintes: Sistema Francês (Tabela Price), Sistema de Amortização Constante (SAC), Sistema de Amortização Misto (SAM) e o Sistema Americano (SA). Ao estudar um sistema de amortização tem-se como principal objetivo a descrição do estado da dívida ao longo do tempo: a decomposição de cada prestação (juros + quota de amortização) e o saldo devedor após o pagamento de cada prestação. Em suma, as prestações são compostas de duas parcelas: as amortizações, que correspondem ao pagamento da dívida; os juros que correspondem à remuneração do capital emprestado. 1.2 Sistema Francês de Amortização Esse sistema admite prestações constantes e periódicas ao longo de todo o período de amortização. Cada prestação é composta de duas partes: a quota de amortização e os juros. A quota de amortização diminui o valor da dívida e os juros remuneram o capital. Em suma, as prestações relativas ao pagamento de um empréstimo são formadas por duas parcelas: - as quotas de amortizações, que correspondem à devolução do capital emprestado. - os juros, que correspondem à remuneração do capital emprestado. Onde P é a prestação, A é a quota de amortização e J o juro. Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 2
Já que a prestação é constante, à medida que são pagas as parcelas, a quota de amortização vai aumentando enquanto a quota de juros vai diminuindo. Esse sistema corresponde à sequência de anuidades periódicas postecipadas e esquematizadas da seguinte forma: D 0 1 2 3 4 5 6 7 8 n P P P P P P P P P Onde D é o valor do empréstimo na data 0 e P é o valor de cada prestação. Trata-se na realidade do cálculo do valor atual de uma sequência uniforme de capitais. Podemos relacionar o valor da dívida com o valor de cada prestação pela fórmula a seguir: Onde an i é o fator de valor atual de uma série de pagamentos. Utilizaremos esta expressão caso a questão forneça a tabela financeira. Caso contrário, utilizaremos o fato de que: Podemos também escrever a prestação em função do valor da dívida: Ou ainda: Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 3
Onde o número é chamado de Fator de Recuperação de Capital. 1.2.1 Tabela Price Sabemos que, para aplicar as fórmulas de Matemática Financeira, a unidade da taxa de juros deve ser a mesma do número de períodos. Se por acaso isso não acontecer, isto é, estivermos trabalhando com taxas nominais, o Sistema Francês será chamado de Sistema Price ou Tabela Price, em homenagem ao teólogo, filósofo e especialista em finanças e seguros Richard Price. Trata-se apenas de um caso particular do Sistema Francês. Em suma, o Sistema Price tem as mesmas características do Sistema Francês. O único detalhe é que a taxa de juros será dada em termos nominais. O enunciado da questão será idêntico, a taxa que poderá ser escrita assim, por exemplo: - 24% ao ano com capitalização mensal - 24% ao ano, Tabela Price Ao informar Tabela Price já estará indicada que a capitalização será na mesma unidade que o número de parcelas. Por exemplo: 20 parcelas bimestrais, a uma taxa de 24% ao ano, Tabela Price. Isso significa que a taxa será 24% ao ano com capitalização bimestral. 1.2.2 Descrição das parcelas no Sistema Francês Descrever as parcelas no Sistema Francês significa indicar qual o juro pago e qual a quota de amortização em cada parcela. No Sistema Francês de Amortização as parcelas são calculadas a partir das seguintes expressões: Vamos aprender agora a calcular a quota de amortização em cada prestação e, consequentemente, o juro pago em cada prestação. O primeiro passo é calcular o juro pago na primeira prestação. Para isso, basta calcular Di. Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 4
A prestação P (constante) do primeiro período compreende uma parcela de amortização do capital (A 1 ), somada aos juros do primeiro período (J 1 = D.i). Logo, P = A 1 + J 1 Feito isso, calculamos a quota de amortização de qualquer parcela de acordo com a fórmula abaixo: n 1 1 (1 )n A A i Para calcular o juro, basta efetuar P = A n + J n. 1.2.3 Exercícios Resolvidos 01. (Petrobras 2010/CESGRANRIO) Genivaldo contraiu um empréstimo de R$ 100.000,00 (cem mil reais), junto a uma instituição financeira, para adquirir maquinário e insumos agrícolas. Estabeleceu-se que a dívida deveria ser quitada em vinte parcelas, a taxa de juros efetiva de 30 % ao ano. Foi acordado, ainda, que o principal da dívida seria restituído em parcelas iguais, e os juros, calculados sobre o saldo devedor imediatamente anterior, sendo que a prestação mensal devida compõe-se da respectiva cota de amortização do principal, acrescida dos juros correspondentes. Nesse sentido, o sistema de amortização utilizado na transação descrita foi (A) Amortização Constante. (B) Amortização Francês (Tabela Price). (C) Amortização Americano. (D) Amortização Misto. (E) Amortizações Variáveis. Resolução A situação descreve perfeitamente o Sistema de Amortização Francês, já que as prestações são constantes. Letra B 02. (FINEP 2011/CESGRANRIO) Uma empresa de táxi adquiriu um automóvel no valor de R$ 30.107,51, utilizando o Sistema Price de Amortização Tabela Price. O financiamento foi em 36 meses, a taxa de juros do empréstimo foi de 1% ao mês, e o valor da prestação mensal, R$ 1.000,00. Depois de ser paga a 18ª prestação, a dívida era de R$ 16.398,27. Os sócios combinaram que pagariam mais uma prestação e, em seguida, iriam zerar a dívida. O valor da dívida, depois de paga a 19 a prestação, em reais, é (A) 16.234,29 (B) 16.226,01 (C) 15.570,53 (D) 15.562,25 Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 5
(E) 15.398,27 Resolução Depois de ser paga a 18ª prestação, a dívida era de R$ 16.398,27. Como a taxa é de 1% ao mês, então a quota de juros na próxima prestação será igual a: A prestação é igual a R$ 1.000,00. Destes R$ 1.000,00, R$ 163,98 são referentes aos juros da transação. Qual é a cota de amortização? O que diminui a dívida é a quota de amortização. A dívida antes era de R$ 16.398,27. Ao pagar a próxima prestação, esta dívida diminuirá R$ 836,02 e passará a ser reais. Letra D 03. (AFRE MG 2005 ESAF) Um empréstimo contraído no início de abril, no valor de R$ 15.000,00 deve ser pago em dezoito prestações mensais iguais, a uma taxa de juros compostos de 2% ao mês, vencendo a primeira prestação no fim de abril, a segunda no fim de maio e assim sucessivamente. Calcule quanto está sendo pago de juros na décima prestação, desprezando os centavos. a) R$ 300,00 b) R$ 240,00 c) R$ 163,00 d) R$ 181,00 e) R$ 200,00 Resolução Já que as prestações são mensais e iguais, a questão trata sobre o Sistema Francês de Amortização. O juro pago na primeira prestação é dado por: J1 D i J1 15.000 0,02 J1 300 Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 6
Para calcular as quotas de amortização, precisamos saber qual o valor da prestação. D P a n i São 18 prestações mensais a uma taxa de 2% ao mês. 15.000 Pa 18 2% E como sabemos que J1 300 15.000 P 14,992031 P 1.000,00, então a quota de amortização da primeira prestação será: P A1 J1 A1 P J1 Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 7
A1 1.000 300 A1 700 Estamos interessados na décima prestação. Calculamos a quota de amortização de qualquer parcela de acordo com a fórmula abaixo: A A i n 1 1 (1 )n Assim, a quota de amortização da 10ª prestação será: A A (1 i) 10 1 10 1 9 A10 700 1,02 O valor de 1,02 9 foi dado na tabela abaixo. A10 700 1,195092 Como a prestação é constante e igual a R$ 1.000,00, o juro pago na décima prestação é igual a 1.000 836,56 = 163,44. Letra C A10 836,56 04. (BB 2006 FCC) Uma pessoa assume, hoje, o compromisso de devolver um empréstimo no valor de R$ 15 000,00 em 10 prestações mensais iguais, vencendo a primeira daqui a um mês, à taxa de juros nominal de 24% ao ano, com capitalização mensal. Sabe-se que foi utilizado o Sistema Francês de Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 8
Amortização (Sistema Price) e que, para a taxa de juros compostos de 2% ao período, o Fator de Recuperação de Capital (10 períodos) é igual a 0,111. O respectivo valor dos juros incluídos no pagamento da segunda prestação é a) R$ 273,30 b) R$ 272,70 c) R$ 270,00 d) R$ 266,70 e) R$ 256,60 Resolução Temos nessa questão um empréstimo no valor de R$ 15.000,00 para ser quitado em 10 prestações mensais iguais. A taxa de juros nominal de 24% ao ano com capitalização mensal deverá ser transformada em uma taxa efetiva. Já que a capitalização é mensal, a taxa de juros efetiva mensal será 24% / 12 = 2% ao mês. Temos uma novidade nessa questão: para a taxa de juros compostos de 2% ao período, o Fator de Recuperação de Capital (10 períodos) é igual a 0,111. O que é o Fator de Recuperação de Capital? Eis a resposta: 1 an i Para começar, vamos calcular o valor de cada prestação. D P a n i D 1 P D a a a10 2% n i n i 1 P 15.000 15.000 0,111 1.665 Calculemos o juro da primeira prestação. J1 D i J1 15.000 0,02 Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 9
J1 300 Como as prestações são constantes e iguais a R$ 1.665,00 e o juro pago na primeira prestação é igual a R$ 300,00, então a quota de amortização da primeira prestação é igual a 1.665,00 300,00 = 1.365,00. Ou seja, já que P A1 J1 A1 P J1 A1 1.665 300 1.365 Vamos calcular a quota de amortização da segunda prestação. Calculamos a quota de amortização de qualquer parcela de acordo com a fórmula abaixo: A A i n 1 (1 )n Assim, a quota de amortização da 2ª prestação será: Letra B Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 10 1 A A (1 i) 2 1 21 1 A2 1.365 1,02 A2 1.392,30 Já que P A2 J2 J2 P A2 J2 1.665 1.392,30 272,70 05. (AFT 2010 ESAF) Um financiamento no valor de R$ 82.000,00 deve ser pago em 18 prestações trimestrais iguais, a uma taxa de 10% ao trimestre, vencendo a primeira prestação ao fim do primeiro trimestre. Calcule o valor mais próximo do saldo devedor imediatamente após o pagamento da segunda prestação. a) R$ 75.560,00. b) R$ 76.120,00.
A u c i l e n e F e l i x M a r i n h o 0 6 3 1 7 7 8 8 4 5 6 MATEMÁTICA PARA CEF c) R$ 78.220,00. d) R$ 77.440,00. e) R$ 76.400,00. Resolução Trata-se novamente da quitação de um financiamento pelo Sistema Francês. O valor do financiamento é de R$ 82.000,00 e será feito em 18 prestações trimestrais iguais, a uma taxa de 10% ao trimestre. O grande problema é que nessa prova não foi fornecida a tabela financeira. O valor da parcela será calculado com o auxílio da seguinte expressão: Onde i = 0,10 e n = 18. O problema surge aqui. A questão foi anulada porque alguns candidatos receberam a tabela financeira e outros candidatos não receberam. Quem recebeu a tabela financeira fez apenas uma divisão. Quem não recebeu, teve que calcular na mão, o que não deve ter sido agradável. O juro pago na primeira parcela é J1 D i 82.000 0,10 8.200 Assim a quota de amortização da primeira parcela é A 1 = 10.000 8.200 = 1.800 Ou seja, dos R$ 82.000,00 (valor da dívida), foram pagos R$ 8.200,00 de juros e amortizados R$ 1.800 da dívida. Assim, o saldo devedor é igual a 82.000 1.800 = 80.200. Calculamos a quota de amortização de qualquer parcela de acordo com a fórmula abaixo: Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 11
A A i n 1 1 (1 )n Assim, a quota de amortização da 2ª prestação será: A A (1 i) 2 1 21 1 A2 1.800 1,10 A2 1.980 Ao efetuar o pagamento da 1ª prestação (R$ 10.000,00) o saldo devedor foi de R$ 80.200,00. Ao efetuar o pagamento da 2ª prestação (também de R$ 10.000,00) foram amortizados mais R$ 1980,00. Assim, o saldo devedor é igual a 80.200 1.980 = 78.220,00. Letra C (questão anulada) 06. (APOFP/SEFAZ-SP/FCC/2010) Uma dívida no valor de R$ 40.000,00 deverá ser liquidada em 20 prestações mensais, iguais e consecutivas, vencendo a primeira um mês após a data da contração da dívida. Utilizou-se o Sistema Francês de Amortização (Tabela Price), a uma taxa de juros compostos de 2,5% ao mês, considerando o valor do Fator de Recuperação de Capital (FRC) correspondente igual a 0,06415 (20 períodos). Pelo plano de amortização, o saldo devedor da dívida, imediatamente após o pagamento da 2ª prestação, apresenta um valor de a) R$ 37.473,15 b) R$ 36.828,85 c) R$ 35.223,70 d) R$ 35.045,85 e) R$ 34.868,15 Resolução Temos nessa questão uma dívida no valor de R$ 40.000,00 para ser quitado em 20 prestações mensais iguais. Calculemos o valor de cada prestação. D P a n i D 1 P D a a n i n i Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 12
Vamos calcular agora o juro da primeira prestação. J1 D i Como as prestações são constantes e iguais a R$ 2.566,00 e o juro pago na primeira prestação é igual a R$ 1.000,00, então a quota de amortização da primeira prestação é igual a 2.566,00 1.000,00 = 1.566,00. Vamos calcular a quota de amortização da segunda prestação. Calculamos a quota de amortização de qualquer parcela de acordo com a fórmula abaixo: A A i n 1 1 (1 )n Assim, a quota de amortização da 2ª prestação será: A A (1 i) 2 1 21 O saldo devedor após o pagamento da segunda prestação será D A 1 A 2 = 40.000 1.566,00 1.605,15 = 36.828,85 Letra B 07. (ACE MDIC 2002 ESAF) Um financiamento no valor de US$ 300.000,00 possui um período de carência de pagamentos de dois anos, seguido pela amortização do financiamento em prestações iguais e semestrais, vencendo a primeira prestação seis meses após o término da carência. Calcule esta prestação, desprezando os centavos de dólar e considerando que: a taxa é nominal de 12% ao ano, o prazo total para o financiamento é de oito anos, incluindo a carência os juros devidos durante a carência não são pagos, mas se acumulam ao saldo devedor do financiamento. a) US$ 37,134.00 b) US$ 39,253.00 c) US$ 40,564.00 d) US$ 43,740.00 e) US$ 45,175.00 Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 13
Resolução As prestações são semestrais. Tem-se uma carência de 2 anos (4 semestres). A taxa nominal é de 12% ao ano. Como as prestações serão pagas semestralmente, então a taxa é de 12% ao ano com capitalização semestral. Logo, a taxa efetiva é de 12% / 2 = 6% ao semestre. Temos o seguinte desenho do enunciado. 300.000,00 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 P P P P P P P P P P P P Podemos relacionar o valor da dívida com o valor de cada prestação pela fórmula a seguir: D P an i (1) Onde an i é o fator de valor atual de uma série de pagamentos. Tem-se que a n i n (1 i) 1 n (1 i) i. Para utilizar corretamente essa fórmula a primeira prestação deve ser paga exatamente uma data após a realização do empréstimo. Em suma, não pode haver carência. Carência é o período compreendido entre a tomada do empréstimo e o pagamento da 1ª parcela. A dificuldade dessa questão está no fato de que há uma carência de 4 semestres. A primeira prestação é paga no 5º semestre. Lembre-se sempre: a primeira prestação deve ser paga exatamente uma data após a realização do empréstimo. Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 14
Assim, devemos transportar o empréstimo de US$ 300.000,00 para o 4º semestre. Para avançar um valor para o futuro multiplicamos por (1 i) n. Assim, devemos multiplicar 300.000,00 por 4 (1 0,06) Dessa forma, US$ 300.000,00 na data 0 equivale a 4 300.000 1,06 378.743,10 no 4º semestre. O desenho da questão ficará assim: Podemos, agora, aplicar a fórmula do Sistema Francês. D P a n i 378.743,10 Pa 12 6% Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 15
378.743,10 P 8,383844 378.743,10 P 45.175,35 8,383844 Letra E MATEMÁTICA PARA CEF 08. (Auditor do Tesouro Municipal Pref. do Recife 2003 ESAF) Um financiamento no valor de R$ 100.000,00 é obtido a uma taxa nominal de 12% ao ano para ser amortizado em oito prestações semestrais iguais, vencendo a primeira prestação seis meses após o fim de um período de carência de dois anos de duração, no qual os juros devidos não são pagos, mas se acumulam ao saldo devedor. Calcule a prestação semestral do financiamento, desprezando os centavos. a) R$ 20.330,00 b) R$ 18.093,00 c) R$ 16.104,00 d) R$ 15.431,00 e) R$ 14.000,00 Resolução As prestações são semestrais. Tem-se uma carência de 2 anos (4 semestres). A taxa nominal é de 12% ao ano. Como as prestações serão pagas semestralmente, então a taxa é de 12% ao ano com capitalização semestral. Logo, a taxa efetiva é de 12% / 2 = 6% ao semestre. Temos o seguinte desenho do enunciado. Podemos relacionar o valor da dívida com o valor de cada prestação pela fórmula a seguir: Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 16
D P a Onde n i MATEMÁTICA PARA CEF an i é o fator de valor atual de uma série de pagamentos. Tem-se que a n i n (1 i) 1 n (1 i) i. Para utilizar corretamente essa fórmula a primeira prestação deve ser paga exatamente uma data após a realização do empréstimo. A dificuldade dessa questão está no fato de que há uma carência de 4 semestres. A primeira prestação é paga no 5º semestre. Assim, devemos transportar o empréstimo de R$ 100.000,00 para o 4º semestre. Para avançar um valor para o futuro multiplicamos por (1 i) n. Assim, devemos multiplicar 100.000,00 por 4 (1 0,06) Assim, R$ 100.000,00 na data 0 equivale a semestre. O desenho da questão ficará assim: 4 100.000 1,06 126.247,70 no 4º Podemos, agora, aplicar a fórmula do Sistema Francês. D P a n i 126.247,70 Pa 8 6% Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 17
126.247,70 P 6, 209794 126.247, 70 P 20.330, 42 6, 209794 Letra A 09. (SEFAZ-RJ 2010/FGV) Um indivíduo adquiriu uma moto, no valor de R$ 19.804,84 a ser pago em 36 prestações pelo Sistema Price de Amortização. Ao final do 12º mês ele ainda deve R$ 14.696,13. Sabendo-se que a taxa de juros do empréstimo é de 2% ao mês e que a prestação tem o valor de R$ 777,00, o saldo devedor, após o pagamento da próxima prestação, será de: a) R$ 14.000,00. b) R$ 14.147,53. c) R$ 14.198,84. d) R$ 14.213,05. e) R$ 14.322,01. Resolução A próxima prestação é composta pelo juro e pela quota de amortização. O juro pago na próxima prestação é igual a: Como a parcela é constante e igual a R$ 777,00, então a quota de amortização é igual a: Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 18
O saldo devedor ao final do 12º mês era de R$ 14.696,13 e com o pagamento da próxima prestação foram amortizados R$ 483,08. Assim, o saldo devedor após este pagamento será de: Letra D 10. (AFRE-SC 2010/FEPESE) Um empréstimo de $ 100.000,00 será pago em 12 prestações mensais iguais e sucessivas pela tabela price a juros de 1% ao mês. Calcule o saldo devedor do empréstimo no 6º mês e assinale a alternativa que indica a resposta correta. a) $ 51.492,10 b) $ 58.492,10 c) $ 62.492,52 d) $ 66.492,10 e) $ 68.234,52 Resolução O primeiro passo é calcular o valor da prestação P. Infelizmente a FEPESE não forneceu as tabelas financeiras. Para saber o saldo devedor no 6º mês, basta calcular o valor na data 6 de todas as parcelas que ainda faltam ser pagas. Precisamos pagar ainda 6 prestações (pois são 12 prestações). Logo, Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 19
Letra A 11. (Esp-Adm-Orç-Fin-Púb Pref. de São Paulo 2010/FCC) Uma dívida no valor de R$ 80.000,00 deverá ser liquidada em 35 prestações mensais iguais e consecutivas, vencendo a primeira prestação um mês após a data da contração da dívida. Sabe-se que foi adotado o sistema de amortização francês (tabela PRICE), a uma taxa de juros compostos de 2% ao mês, considerando o valor de 0,0400 para o Fator de Recuperação de Capital (FRC) correspondente. A soma dos respectivos valores das amortizações incluídos nos valores da primeira prestação e da segunda prestação é igual a a) R$ 3.168,00. b) R$ 3.232,00. c) R$ 3.264,00. d) R$ 3.368,00. e) R$ 3.374,00. Resolução No sistema de amortização francês, temos a seguinte relação entre o valor da dívida e as prestações. O número é o chamado Fator de Recuperação de Capital. O juro pago na primeira prestação é dado por: Portanto, a quota de amortização da primeira prestação é igual a Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 20
Calculamos a quota de amortização de qualquer parcela de acordo com a fórmula abaixo: Assim, a quota de amortização da 2ª prestação será: A soma dos respectivos valores das amortizações incluídos nos valores da primeira prestação e da segunda prestação é igual a Letra B 1.3 Sistema de Amortização Constante (SAC) Cada prestação é composta de duas partes: a quota de amortização e os juros. Em suma, as prestações relativas ao pagamento de um empréstimo são formadas por duas parcelas: - as quotas de amortizações, que correspondem à devolução do capital emprestado. - os juros, que correspondem à remuneração do capital emprestado. P = A + J Onde P é a prestação, A é a quota de amortização e J o juro. Como o próprio nome já indica, as quotas de amortização do SAC são constantes. Logo, as prestações não serão constantes. É óbvio que à medida que vamos pagando as prestações, cada vez mais amortizamos a dívida, de modo que os juros pagos em cada prestação vão diminuindo. Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 21
O juro pago em cada prestação é calculado incidindo a taxa de juros sobre o saldo devedor do período anterior. Vejamos um simples exemplo para entender o funcionamento do SAC. Exemplo: Construa o plano de amortização de um empréstimo de R$ 96.000,00 que deve ser pago em 6 prestações trimestrais pelo SAC, à taxa de 9% ao trimestre. Construir o plano de amortização é dizer quanto será a prestação em cada período, discriminando em cada período a quota de amortização, o juro pago e qual o saldo devedor após o pagamento. O SAC caracteriza-se por obrigar a quota de amortização ser constante em cada prestação. Dessa forma, se o empréstimo de R$ 96.000,00 será quitado em seis prestações, de modo que em cada prestação o valor de amortização seja o mesmo, devemos dividir R$ 96.000,00 por 6 para saber quanto será amortizado em cada prestação. Chamando de a quota de amortização: 96.000 A 16.000 6 Chamando o valor da dívida de D, então A D n Ou seja, em cada prestação foram amortizados R$ 16.000,00 da dívida. Assim para calcular o valor da prestação, devemos saber quanto será o juro devido ao saldo devedor do período anterior. Vejamos passo a passo: A primeira prestação será paga ao fim do primeiro trimestre. Assim, como a taxa de juros é de 9% ao trimestre, então na primeira prestação serão pagos 0,09 96.000 8.640 referentes aos juros. Dessa forma, a primeira prestação será a quota de amortização R$ 16.000,00 mais o juro relativo ao saldo devedor R$ 8.640,00. E qual o novo saldo devedor? P1 16.000 8.640 24.640,00 Para calcular o saldo devedor devemos efetuar a seguinte diferença: Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 22
(Saldo devedor anterior) (quota de amortização). Assim, como antes o saldo devedor era de R$ 96.000,00 e foram amortizados R$ 16.000,00 da dívida, então o novo saldo devedor é de R$ 80.000,00. Observe que juros não amortizam dívida. Eis o início da planilha para esse empréstimo. Trimestre Saldo Devedor Amortização Juros Prestação Capital total amortizado 0 96.000,00 - - - - 1 80.000,00 16.000,00 8.640,00 24.640,00 16.000,00 Vejamos a segunda prestação: o saldo devedor é de R$ 80.000,00 e como a taxa de juros é de 9% ao trimestre, então o juro pago no próximo trimestre será igual a 0,09 80.000 7.200. Como a quota de amortização é igual a R$ 16.000,00, então a prestação será igual a R$ 16.000,00 + R$ 7.200,00 = R$ 23.200,00. Como o saldo devedor era de R$ 80.000,00 e foram amortizados R$ 16.000,00, então o novo saldo devedor é igual a R$ 80.000,00 R$ 16.000,00 = R$ 64.000,00. Trimestre Saldo Devedor Amortização Juros Prestação Capital total amortizado 0 96.000,00 - - - - 1 80.000,00 16.000,00 8.640,00 24.640,00 16.000,00 2 64.000,00 16.000,00 7.200,00 23.200,00 32.000,00 Terceira prestação: O saldo devedor é de R$ 64.000,00. Como a taxa de juros é de 9% ao trimestre, então no próximo trimestre serão pagos 0,09 64.000 5.760 referentes aos juros. Como no SAC a quota de amortização é constante, a dívida de Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 23
R$ 64.000,00 diminuirá R$ 16.000,00. O novo saldo devedor é de R$ 48.000,00. A prestação será igual a R$ 16.000,00 (quota de amortização) + R$ 5.760,00 (juro do período). A planilha ficará assim: Trimestre Saldo Devedor Amortização Juros Prestação Capital total amortizado 0 96.000,00 - - - - 1 80.000,00 16.000,00 8.640,00 24.640,00 16.000,00 2 64.000,00 16.000,00 7.200,00 23.200,00 32.000,00 3 48.000,00 16.000,00 5.760,00 21.760,00 48.000,00 Quarta prestação: O saldo devedor é de R$ 48.000,00. Como a taxa de juros é de 9% ao trimestre, então no próximo trimestre serão pagos 0,09 48.000 4.320 referentes aos juros. Como no SAC a quota de amortização é constante, a dívida de R$ 48.000,00 diminuirá R$ 16.000,00. O novo saldo devedor é de R$ 32.000,00. A prestação será igual a R$ 16.000,00 (quota de amortização) + R$ 4.320,00 (juro do período). A planilha ficará assim: Trimestre Saldo Devedor Amortização Juros Prestação Capital total amortizado 0 96.000,00 - - - - 1 80.000,00 16.000,00 8.640,00 24.640,00 16.000,00 2 64.000,00 16.000,00 7.200,00 23.200,00 32.000,00 3 48.000,00 16.000,00 5.760,00 21.760,00 48.000,00 4 32.000,00 16.000,00 4.320,00 20.320,00 64.000,00 Quinta prestação: O saldo devedor é de R$ 32.000,00. Como a taxa de juros é de 9% ao trimestre, então no próximo trimestre serão pagos Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 24
0,09 32.000 2.880 referentes aos juros. Como no SAC a quota de amortização é constante, a dívida de R$ 32.000,00 diminuirá R$ 16.000,00. O novo saldo devedor é de R$ 16.000,00. A prestação será igual a R$ 16.000,00 (quota de amortização) + R$ 2.880,00 (juro do período). A planilha ficará assim: Trimestre Saldo Devedor Amortização Juros Prestação Capital total amortizado 0 96.000,00 - - - - 1 80.000,00 16.000,00 8.640,00 24.640,00 16.000,00 2 64.000,00 16.000,00 7.200,00 23.200,00 32.000,00 3 48.000,00 16.000,00 5.760,00 21.760,00 48.000,00 4 32.000,00 16.000,00 4.320,00 20.320,00 64.000,00 5 16.000,00 16.000,00 2.880,00 18.880,00 80.000,00 Sexta prestação: O saldo devedor é de R$ 16.000,00. Como a taxa de juros é de 9% ao trimestre, então no próximo trimestre serão pagos 0,09 16.000 1.440 referentes aos juros. Como no SAC a quota de amortização é constante, a dívida de R$ 16.000,00 diminuirá R$ 16.000,00. O saldo devedor é R$ 0,00. A prestação será igual a R$ 16.000,00 (quota de amortização) + R$ 1.440,00 (juro do período). A planilha ficará assim: Trimestre Saldo Devedor Amortização Juros Prestação Capital total amortizado 0 96.000,00 - - - - 1 80.000,00 16.000,00 8.640,00 24.640,00 16.000,00 2 64.000,00 16.000,00 7.200,00 23.200,00 32.000,00 3 48.000,00 16.000,00 5.760,00 21.760,00 48.000,00 Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 25
4 32.000,00 16.000,00 4.320,00 20.320,00 64.000,00 5 16.000,00 16.000,00 2.880,00 18.880,00 80.000,00 6-16.000,00 1.440,00 17.440,00 96.000,00 Vejamos alguns fatos interessantes na planilha do SAC. Já havia comentado que as prestações são decrescentes (isso porque os juros pagos nas prestações vão diminuindo). Observe que a prestação foi diminuindo. E o valor subtraído de uma parcela par outra foi um valor constante. A cada período a prestação diminuiu R$ 1.440,00. O mesmo aconteceu com o juro de cada período. Dessa forma, os juros pagos em cada período formam uma Progressão Aritmética de razão 1.440. Assim, se o empréstimo fosse quitado em 200 prestações não precisaríamos construir a planilha passo a passo como o fizemos aqui. Basta utilizar os conceitos de Progressão Aritmética. Os passos que seguiremos serão os seguintes: i) Calcular a quota de amortização. Para isso, basta dividir o valor da dívida original pelo número de prestações. Assim, nosso exemplo, 96.000 A 16.000. 6 A D n. No ii) Calculamos o juro da primeira prestação. Basta multiplicar a taxa pelo valor original da dívida. Assim, 1. No nosso exemplo, J1 0,09 96.000 8.640. iii) Calculamos o valor da primeira prestação. Basta somar a quota de amortização com o juro referente ao primeiro período. J i D P A J. No nosso exemplo, temos Assim, 1 1 P1 16.000 8.640 24.640. iv) Teremos duas progressões aritméticas decrescentes. Uma formada pela sequência de juros e a outra formada pela sequência de prestações. Os primeiros termos das progressões já foram calculados nos passos ii e iii. Precisamos calcular a razão. Para calcular a razão, devemos multiplicar a taxa de juros pela quota de amortização. Lembre-se que a razão é negativa, pois a progressão aritmética é decrescente. Assim, r i A. No nosso exemplo, r 0,09 16.000 1.440. Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 26
Observação: o valor do juro pago na última prestação é igual ao módulo da razão das progressões. No caso, o módulo de 1.440 é igual a 1.440, que é justamente o juro pago na última prestação. v) O saldo devedor após o pagamento da prestação no período n é igual a S D n A. Por exemplo, o saldo devedor após o n pagamento da quarta prestação será igual a S4 D 4 A. No nosso exemplo, o saldo devedor após o pagamento da terceira prestação será S3 D 3 A 96.000 3 16.000 48.000 É importantíssimo observar o seguinte fato: se fizermos uma comparação entre os dois sistemas de amortização estudados Sistema Francês (Price) e SAC a primeira prestação será maior no SAC (mantendo a mesma taxa e o mesmo número de prestações). 1.3.1 Exercícios Resolvidos 12. (Economista BNDES 2009/CESGRANRIO) Um investidor está decidindo como vai repagar um financiamento que obteve. Poderá escolher o Sistema Price ou o Sistema de Amortização Constante (SAC), ambos com o mesmo número de prestações, o mesmo prazo total e a mesma taxa de juros. Comparando os dois, o investidor observa que (A) o valor presente líquido do SAC é menor do que o do Price. (B) a prestação, pelo SAC, é constante ao longo do tempo. (C) a prestação, pelo Price, é declinante ao longo do tempo. (D) a primeira prestação do SAC é maior do que a do Price. (E) as prestações do SAC são sempre maiores que as do Price. Resolução Vamos analisar cada um dos itens de per si. A alternativa A fala em valor presente líquido. Valor presente líquido é quando você transporta todas as prestações para a data 0 e calcula o somatório. Não há como dizer qual deles é maior e qual deles é menor. Cada caso é um caso. A alternativa B é falsa. As prestações, pelo SAC, são decrescentes. Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 27
A alternativa C é falsa. Pelo Price, as prestações são constantes (Sistema Francês). A alternativa D é verdadeira. A primeira prestação sempre é maior no SAC (mantendo a mesma taxa de juros e prazo). A alternativa E é falsa. Já que as prestações do SAC são decrescentes, é possível que elas em algum momento sejam menores que a do sistema francês. Letra D 13. (Casa da Moeda do Brasil 2009/CESGRANRIO) Uma pessoa deve pagar um financiamento de R$ 1.000,00 em dez prestações calculadas pelo Sistema de Amortização Constante (SAC), com a primeira prestação sendo devida um mês após o financiamento. A taxa de juros compostos usada é de 1% a.m. O valor, em reais, da primeira prestação é de (A) 90,00. (B) 100,00. (C) 110,00. (D) 120,00. (E) 125,00. Resolução No SAC, a quota de amortização é constante. Assim, um financiamento de R$ 1.000,00 em 10 prestações tem a seguinte quota de amortização: No pagamento da primeira parcela, a pessoa deve pagar 1% de juros. Assim, a primeira parcela será igual a R$ 100,00 + R$ 10,00 = R$ 110,00. Letra C 14. (SEFAZ-RJ 2008/FGV) Um empresário deseja comprar um equipamento cujo valor é de R$ 50.000,00, utilizando o Sistema de Amortização Constante - SAC. O banco financia esse equipamento em 100 meses, a uma taxa de 2% ao mês, juros compostos. Assim, a primeira prestação a ser paga será de: a) R$ 5.000,00. b) R$ 1.000,00. c) R$ 1.666,00. Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 28
d) R$ 500,00. e) R$ 1.500,00. Resolução As prestações são formadas por duas parcelas: i) As quotas de amortizações (a quota de amortização é constante no SAC). ii) Os juros. Ou seja, Para calcular a quota de amortização no SAC, basta dividir o valor da dívida pelo número de prestações. Assim: O juro pago na primeira prestação corresponde a 2% da dívida. Dessa forma, Letra E 15. (Auditor da Receita Estadual - Amapá 2010/FGV) Carlos comprou em janeiro de 2010 uma casa por R$180.000,00, com um financiamento sem entrada no sistema de amortização constante (SAC) a ser pago em 10 anos com prestações mensais e taxa de juros de 1% ao mês no regime de juros compostos. O contrato determina que a primeira prestação deva ser paga em fevereiro deste ano e as outras em cada um dos meses seguintes. Então, o valor da prestação que Carlos deverá pagar no mês de junho de 2010 é de: a) R$ 3.020,00 b) R$ 3.160,00 c) R$ 3.240,00 d) R$ 3.300,00 e) R$ 3.450,00 Resolução Calculemos o valor da quota de amortização. Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 29
O juro pago na primeira prestação corresponde a 1% da dívida. Desta forma, a primeira prestação é de: Como a primeira prestação é paga em fevereiro de 2010, a prestação referente a junho de 2010 é a quinta. Lembremos que as prestações no SAC formam uma progressão aritmética decrescente de razão. Queremos calcular a quinta prestação. Utilizemos a fórmula do termo geral de uma Progressão Aritmética. Letra C 16. (Esp-Adm-Orç-Fin-Púb Pref. de São Paulo 2010/FCC) Um empréstimo no valor de R$ 150.000,00 foi contratado para ser pago em 60 prestações mensais e consecutivas, vencendo a primeira prestação um mês após a data da realização do empréstimo. Utilizou-se o sistema de amortização constante (SAC) a uma taxa de juros de 2,5% ao mês. O valor da primeira prestação supera o valor da penúltima prestação em (A) R$ 3.625,00. (B) R$ 3.687,50. (C) R$ 3.750,00. (D) R$ 3.812,50. (E) R$ 3.875,00. Resolução Queremos calcular a diferença O primeiro passo é calcular a quota de amortização. Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 30
As prestações no SAC formam uma progressão aritmética de razão razão é negativa porque as prestações são decrescentes.. A São 60 prestações. Queremos calcular a 59ª prestação. Já que se trata de uma progressão aritmética, a relação entre a 59ª prestação e a 1ª prestação é a seguinte. Que é justamente o que queríamos calcular. Letra A 17. (CEF 2004 FCC) Uma dívida no valor de RS 3.600,00 foi amortizada em 8 parcelas mensais, com taxa de 4% ao mês pelo Sistema de Amortização Constante (SAC) e a primeira prestação foi paga ao completar 30 dias da data do empréstimo. O saldo devedor, logo após o pagamento da quarta prestação, era de a) R$ 2.260,00 b) R$ 1.350,00 c) R$ 1.500,00 d) R$ 1.750,00 e) R$ 1.800,00 Resolução O primeiro passo é calcular a quota de amortização. Basta dividir a dívida pelo número de prestações. No caso, a quota de amortização será D 3.600 A 450. O saldo devedor, logo após o pagamento da quarta n 8 S D 4 A S 3.600 4 450 1.800. prestação 4 4 Letra E 18. (CEF 2004 FCC) Um empréstimo de R$ 50 000,00 deve ser devolvido em 20 prestações mensais, pelo Sistema de Amortização Constante (SAC), Se a Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 31
taxa de juros cobrada é de 2% ao mês, o valor da décima prestação deverá ser a) R$ 2 950,00 b) R$ 3 000,00 c) R$ 3 050,00 d) R$ 3 100,00 e) R$ 3 150,00 Resolução i) O primeiro passo é calcular a quota de amortização. Devemos dividir o valor da dívida pelo número de prestações mensais. D 50.000 A 2.500 n 20 ii) Calcular o juro da primeira prestação. Basta multiplicar a taxa pelo valor original da dívida. Assim, J1 i D J1 0,02 50.000 1.000. iii) Calculamos o valor da primeira prestação. Basta somar a quota de amortização com o juro referente ao primeiro período. Assim, P A J P 2.500 1.000 P 3.500. 1 1 1 1 iv) Teremos duas progressões aritméticas decrescentes. Uma formada pela sequência de juros e a outra formada pela sequência de prestações. Os primeiros termos das progressões já foram calculados nos passos ii e iii. Precisamos calcular a razão. Para calcular a razão, devemos multiplicar a taxa de juros pela quota de amortização. Lembre-se que a razão é negativa, pois a progressão aritmética é decrescente. Assim, r i A. No nosso exemplo, r 0,02 2.500 50. Vamos calcular a décima prestação. A sequência de prestações é uma progressão aritmética de razão r 50 e primeiro termo igual a R$ 3.500,00. Assim, P10 P1 9 r P10 3.500 9 ( 50) 3.500 450 3.050 Letra C 19. (CEF 2008 CESGRANRIO) Um empréstimo de R$ 200,00 será pago em 4 prestações mensais, sendo a primeira delas paga 30 dias após o empréstimo, com juros de 10% ao mês, pelo Sistema de Amortização Constante (SAC). O valor, em reais, da terceira prestação será Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 32
a) 50,00 b) 55,00 c) 60,00 d) 65,00 e) 70,00 Resolução Seguiremos os mesmos passos descritos anteriormente. i) O primeiro passo é calcular a quota de amortização. Devemos dividir o valor da dívida pelo número de prestações mensais. ii) iii) Calcular o juro da primeira prestação. Basta multiplicar a taxa pelo valor original da dívida. Assim,. Calculamos o valor da primeira prestação. Basta somar a quota de amortização com o juro referente ao primeiro período. Assim,. iv) Teremos duas progressões aritméticas decrescentes. Uma formada pela sequência de juros e a outra formada pela sequência de prestações. Os primeiros termos das progressões já foram calculados nos passos ii e iii. Precisamos calcular a razão. Para calcular a razão, devemos multiplicar a taxa de juros pela quota de amortização. Lembre-se que a razão é negativa, pois a progressão aritmética é decrescente. Assim,. Dessa forma,,. v) Vamos calcular a terceira prestação. A sequência de prestações é uma progressão aritmética de razão e primeiro termo igual a R$ 70,00. Assim,. Letra C 20. (AFTE-RO 2010 FCC) A dívida referente à aquisição de um imóvel deverá ser liquidada pelo Sistema de Amortização Constante (SAC) por meio de 48 prestações mensais, a uma taxa de 2% ao mês, vencendo a primeira prestação um mês após a data de aquisição. Se o valor da última prestação é de R$ 2.550,00, tem-se que o valor da 26ª prestação é igual a a) R$ 3.700,00 b) R$ 3.650,00 Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 33
c) R$ 3.600,00 d) R$ 3.550,00 e) R$ 3.500,00 Resolução Vimos anteriormente que o valor do juro pago na última prestação é igual ao módulo da razão das progressões. Ou seja, o juro pago na última prestação é igual a. Sabemos que as prestações são iguais aos juros correspondentes do período mais a quota de amortização. Assim, a última prestação é igual a E a razão da progressão é dada por Temos a 48ª prestação e estamos querendo calcular a 26ª prestação. Isso porque 26 48 = - 22. Letra B 1.4 Sistema de Amortização Misto (SAM) A prestação do Sistema de Amortização Misto (SAM) é obtida pela média aritmética entre as prestações do Sistema de Amortização Constante (SAC) e do Sistema Francês (Tabela Price). 1.4.1 Exercício Resolvido 21. (Agente Fiscal de Rendas/FCC/2006) Um plano de pagamentos referente à aquisição de um imóvel foi elaborado com base no sistema de amortização Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 34
misto (SAM) e corresponde a um empréstimo no valor de R$ 120.000,00 a uma taxa de 2% ao mês, a ser liquidado em 60 prestações mensais, vencendo a primeira um mês após a data do empréstimo. O valor da 30ª (trigésima) prestação é igual a a) R$ 3.320,00 b) R$ 3.360,00 c) R$ 3.480,00 d) R$ 4.140,00 e) R$ 4.280,00 Resolução Trabalharemos separadamente com os dois sistemas SAC e Price. i) Sistema Francês (Price) A principal característica do Sistema Price é que as prestações são constantes. Vamos calcular o valor de cada prestação. ii) Sistema de Amortização Constante (SAC) Seguiremos os mesmos passos descritos anteriormente. i) O primeiro passo é calcular a quota de amortização. Devemos dividir o valor da dívida pelo número de prestações mensais. Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 35
ii) iii) iv) Calcular o juro da primeira prestação. Basta multiplicar a taxa pelo valor original da dívida. Assim,. Calculamos o valor da primeira prestação. Basta somar a quota de amortização com o juro referente ao primeiro período. Assim,. Vamos calcular a razão da progressão aritmética (formada pelas prestações do SAC). Sabemos que. Dessa forma,. v) Vamos calcular a trigésima prestação. A sequência de prestações é uma progressão aritmética de razão e primeiro termo igual a R$ 4.400,00. Assim,. Sistema de Amortização Misto a parcela de um período qualquer é a média aritmética entre a parcela do SAC e a parcela do Sistema Francês. Parcela pelo Sistema Price: R$ 3.480,00 Parcela pelo Sistema SAC : R$ 3.240,00 Parcela pelo Sistema Misto Letra B 1.5 Sistema Americano de Amortização O Sistema de Amortização Americano é uma forma de pagamento de empréstimos que se caracteriza pelo pagamento apenas dos juros da dívida, deixando o valor da dívida constante, que pode ser paga em apenas um único pagamento. Exemplo: Construa a planilha de um empréstimo no valor de R$ 100.000,00 deve ser quitado pelo Sistema Americano de Amortização, à taxa de juros de Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 36
10% ao mês. Considere uma carência de 3 meses e que os juros são pagos durante o período de carência. Resolução O juro pago em cada período da carência é de 10% ao mês. Logo, o juro pago em cada período é igual a: Mês Amortização Juros Prestação Saldo Devedor 0 0 0 0 100.000 1 0 10.000 10.000 100.000 2 0 10.000 10.000 100.000 3 100.000 10.000 110.000 0 1.5.1 Exercícios Resolvidos 22. (AFRM Pref. de Angra dos Reis 2010/FGV) Com relação aos diversos sistemas de amortização, analise as afirmativas a seguir: I. No Sistema Francês de Amortização as prestações são constantes, com amortização crescente. II. No Sistema de Amortização Constante, a segunda prestação anual, para um empréstimo de R$ 80.000, a ser amortizado em 5 anos, com uma taxa de juros de 20% ao ano, é de R$ 28.800,00. III. O Sistema Americano de Amortização se caracteriza por ser um sistema de pagamentos em que são pagos somente os juros devidos, com o principal da dívida mantendo-se constante. Assinale a) se somente as afirmativas I e II estiverem corretas. b) se somente as afirmativas I e III estiverem corretas. c) se somente a afirmativa III estiver correta. d) se somente as afirmativas II e III estiverem corretas. e) se todas as afirmativas estiverem corretas. Resolução I. Verdadeiro. Esse sistema admite prestações constantes e periódicas ao longo de todo o período de amortização. II. A quota de amortização é de R$ 80.000,00/5 = R$ 16.000,00. Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 37
Trimestre Saldo Devedor Amortização Juros Prestação 0 80.000,00 - - - 1 64.000,00 16.000,00 0,2 x 80.000 = 16.000,00 2 48.000,00 16.000,00 0,2 x 64.000 = 12.800,00 32.000,00 28.800,00 Portanto, a proposição II é verdadeira. III. Verdadeiro. O Sistema de Amortização Americano é uma forma de pagamento de empréstimos que se caracteriza pelo pagamento apenas dos juros da dívida, deixando o valor da dívida constante, que pode ser paga em apenas um único pagamento. Letra E 23. (SEFAZ-RJ 2010/FGV) Com relação aos diferentes sistemas de amortização, analise as afirmativas a seguir: I. Segundo o Sistema de Amortização Constante, para um empréstimo de R$ 50.000,00, a ser amortizado em 25 vezes a uma taxa de juros de 5% ao mês, o valor acumulado das três primeiras prestações é de R$ 12.700,00. II. No Sistema Francês de Amortização as prestações são crescentes, com juros decrescentes. III. No Sistema Americano de Amortização, para um empréstimo de R$ 50.000,00, a ser amortizado em 25 vezes a uma taxa de juros de 5% ao mês, o valor acumulado das três primeiras prestações é de R$ 7.500,00. Assinale: a) se somente as afirmativas I e II estiverem corretas. b) se somente as afirmativas I e III estiverem corretas. c) se somente a afirmativa III estiver correta. d) se somente as afirmativas II e III estiverem corretas. e) se todas as afirmativas estiverem corretas. Resolução Analisemos cada uma das alternativas de per si. I. Falso A quota de amortização é dada por: Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 38
O juro pago na primeira prestação é igual a 5% de 50.000. Portanto, a primeira prestação é igual a: As prestações formam uma progressão aritmética decrescente de razão Desta forma: O valor acumulado das três primeiras prestações é igual a: II. Falso As prestações no Sistema Francês são constantes. III. Verdadeiro No Sistema Americano de Amortização, apenas os juros são pagos durante o período de carência, de forma que a dívida é liquidada de uma vez no último pagamento. Durante o período de carência, a quota de amortização é 0, de forma que a prestação é composta apenas pelo juro do período. Em cada período, o juro corresponde a 5% da dívida. O valor total pago pelas três primeiras prestações é igual a: Letra C Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 39
2 Relação das questões comentadas MATEMÁTICA PARA CEF 01. (Petrobras 2010/CESGRANRIO) Genivaldo contraiu um empréstimo de R$ 100.000,00 (cem mil reais), junto a uma instituição financeira, para adquirir maquinário e insumos agrícolas. Estabeleceu-se que a dívida deveria ser quitada em vinte parcelas, a taxa de juros efetiva de 30 % ao ano. Foi acordado, ainda, que o principal da dívida seria restituído em parcelas iguais, e os juros, calculados sobre o saldo devedor imediatamente anterior, sendo que a prestação mensal devida compõe-se da respectiva cota de amortização do principal, acrescida dos juros correspondentes. Nesse sentido, o sistema de amortização utilizado na transação descrita foi (A) Amortização Constante. (B) Amortização Francês (Tabela Price). (C) Amortização Americano. (D) Amortização Misto. (E) Amortizações Variáveis. 02. (FINEP 2011/CESGRANRIO) Uma empresa de táxi adquiriu um automóvel no valor de R$ 30.107,51, utilizando o Sistema Price de Amortização Tabela Price. O financiamento foi em 36 meses, a taxa de juros do empréstimo foi de 1% ao mês, e o valor da prestação mensal, R$ 1.000,00. Depois de ser paga a 18ª prestação, a dívida era de R$ 16.398,27. Os sócios combinaram que pagariam mais uma prestação e, em seguida, iriam zerar a dívida. O valor da dívida, depois de paga a 19 a prestação, em reais, é (A) 16.234,29 (B) 16.226,01 (C) 15.570,53 (D) 15.562,25 (E) 15.398,27 03. (AFRE MG 2005 ESAF) Um empréstimo contraído no início de abril, no valor de R$ 15.000,00 deve ser pago em dezoito prestações mensais iguais, a uma taxa de juros compostos de 2% ao mês, vencendo a primeira prestação no fim de abril, a segunda no fim de maio e assim sucessivamente. Calcule quanto está sendo pago de juros na décima prestação, desprezando os centavos. a) R$ 300,00 b) R$ 240,00 c) R$ 163,00 d) R$ 181,00 e) R$ 200,00 04. (BB 2006 FCC) Uma pessoa assume, hoje, o compromisso de devolver um empréstimo no valor de R$ 15 000,00 em 10 prestações mensais iguais, vencendo a primeira daqui a um mês, à taxa de juros nominal de 24% ao ano, com capitalização mensal. Sabe-se que foi utilizado o Sistema Francês de Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 40
Amortização (Sistema Price) e que, para a taxa de juros compostos de 2% ao período, o Fator de Recuperação de Capital (10 períodos) é igual a 0,111. O respectivo valor dos juros incluídos no pagamento da segunda prestação é a) R$ 273,30 b) R$ 272,70 c) R$ 270,00 d) R$ 266,70 e) R$ 256,60 05. (AFT 2010 ESAF) Um financiamento no valor de R$ 82.000,00 deve ser pago em 18 prestações trimestrais iguais, a uma taxa de 10% ao trimestre, vencendo a primeira prestação ao fim do primeiro trimestre. Calcule o valor mais próximo do saldo devedor imediatamente após o pagamento da segunda prestação. a) R$ 75.560,00. b) R$ 76.120,00. c) R$ 78.220,00. d) R$ 77.440,00. e) R$ 76.400,00. 06. (APOFP/SEFAZ-SP/FCC/2010) Uma dívida no valor de R$ 40.000,00 deverá ser liquidada em 20 prestações mensais, iguais e consecutivas, vencendo a primeira um mês após a data da contração da dívida. Utilizou-se o Sistema Francês de Amortização (Tabela Price), a uma taxa de juros compostos de 2,5% ao mês, considerando o valor do Fator de Recuperação de Capital (FRC) correspondente igual a 0,06415 (20 períodos). Pelo plano de amortização, o saldo devedor da dívida, imediatamente após o pagamento da 2ª prestação, apresenta um valor de a) R$ 37.473,15 b) R$ 36.828,85 c) R$ 35.223,70 d) R$ 35.045,85 e) R$ 34.868,15 07. (ACE MDIC 2002 ESAF) Um financiamento no valor de US$ 300.000,00 possui um período de carência de pagamentos de dois anos, seguido pela amortização do financiamento em prestações iguais e semestrais, vencendo a primeira prestação seis meses após o término da carência. Calcule esta prestação, desprezando os centavos de dólar e considerando que: Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 41
a taxa é nominal de 12% ao ano, o prazo total para o financiamento é de oito anos, incluindo a carência os juros devidos durante a carência não são pagos, mas se acumulam ao saldo devedor do financiamento. a) US$ 37,134.00 b) US$ 39,253.00 c) US$ 40,564.00 d) US$ 43,740.00 e) US$ 45,175.00 08. (Auditor do Tesouro Municipal Pref. do Recife 2003 ESAF) Um financiamento no valor de R$ 100.000,00 é obtido a uma taxa nominal de 12% ao ano para ser amortizado em oito prestações semestrais iguais, vencendo a primeira prestação seis meses após o fim de um período de carência de dois anos de duração, no qual os juros devidos não são pagos, mas se acumulam ao saldo devedor. Calcule a prestação semestral do financiamento, desprezando os centavos. a) R$ 20.330,00 b) R$ 18.093,00 c) R$ 16.104,00 d) R$ 15.431,00 e) R$ 14.000,00 09. (SEFAZ-RJ 2010/FGV) Um indivíduo adquiriu uma moto, no valor de R$ 19.804,84 a ser pago em 36 prestações pelo Sistema Price de Amortização. Ao final do 12º mês ele ainda deve R$ 14.696,13. Sabendo-se que a taxa de juros do empréstimo é de 2% ao mês e que a prestação tem o valor de R$ 777,00, o saldo devedor, após o pagamento da próxima prestação, será de: a) R$ 14.000,00. b) R$ 14.147,53. c) R$ 14.198,84. d) R$ 14.213,05. e) R$ 14.322,01. 10. (AFRE-SC 2010/FEPESE) Um empréstimo de $ 100.000,00 será pago em 12 prestações mensais iguais e sucessivas pela tabela price a juros de 1% ao mês. Calcule o saldo devedor do empréstimo no 6º mês e assinale a alternativa que indica a resposta correta. a) $ 51.492,10 b) $ 58.492,10 c) $ 62.492,52 d) $ 66.492,10 Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 42
e) $ 68.234,52 11. (Esp-Adm-Orç-Fin-Púb Pref. de São Paulo 2010/FCC) Uma dívida no valor de R$ 80.000,00 deverá ser liquidada em 35 prestações mensais iguais e consecutivas, vencendo a primeira prestação um mês após a data da contração da dívida. Sabe-se que foi adotado o sistema de amortização francês (tabela PRICE), a uma taxa de juros compostos de 2% ao mês, considerando o valor de 0,0400 para o Fator de Recuperação de Capital (FRC) correspondente. A soma dos respectivos valores das amortizações incluídos nos valores da primeira prestação e da segunda prestação é igual a a) R$ 3.168,00. b) R$ 3.232,00. c) R$ 3.264,00. d) R$ 3.368,00. e) R$ 3.374,00. 12. (Economista BNDES 2009/CESGRANRIO) Um investidor está decidindo como vai repagar um financiamento que obteve. Poderá escolher o Sistema Price ou o Sistema de Amortização Constante (SAC), ambos com o mesmo número de prestações, o mesmo prazo total e a mesma taxa de juros. Comparando os dois, o investidor observa que (A) o valor presente líquido do SAC é menor do que o do Price. (B) a prestação, pelo SAC, é constante ao longo do tempo. (C) a prestação, pelo Price, é declinante ao longo do tempo. (D) a primeira prestação do SAC é maior do que a do Price. (E) as prestações do SAC são sempre maiores que as do Price. 13. (Casa da Moeda do Brasil 2009/CESGRANRIO) Uma pessoa deve pagar um financiamento de R$ 1.000,00 em dez prestações calculadas pelo Sistema de Amortização Constante (SAC), com a primeira prestação sendo devida um mês após o financiamento. A taxa de juros compostos usada é de 1% a.m. O valor, em reais, da primeira prestação é de (A) 90,00. (B) 100,00. (C) 110,00. (D) 120,00. (E) 125,00. 14. (SEFAZ-RJ 2008/FGV) Um empresário deseja comprar um equipamento cujo valor é de R$ 50.000,00, utilizando o Sistema de Amortização Constante - SAC. O banco financia esse equipamento em 100 meses, a uma taxa de 2% ao mês, juros compostos. Assim, a primeira prestação a ser paga será de: a) R$ 5.000,00. b) R$ 1.000,00. c) R$ 1.666,00. d) R$ 500,00. e) R$ 1.500,00. 15. (Auditor da Receita Estadual - Amapá 2010/FGV) Carlos comprou em janeiro de 2010 uma casa por R$180.000,00, com um financiamento sem Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 43
entrada no sistema de amortização constante (SAC) a ser pago em 10 anos com prestações mensais e taxa de juros de 1% ao mês no regime de juros compostos. O contrato determina que a primeira prestação deva ser paga em fevereiro deste ano e as outras em cada um dos meses seguintes. Então, o valor da prestação que Carlos deverá pagar no mês de junho de 2010 é de: a) R$ 3.020,00 b) R$ 3.160,00 c) R$ 3.240,00 d) R$ 3.300,00 e) R$ 3.450,00 16. (Esp-Adm-Orç-Fin-Púb Pref. de São Paulo 2010/FCC) Um empréstimo no valor de R$ 150.000,00 foi contratado para ser pago em 60 prestações mensais e consecutivas, vencendo a primeira prestação um mês após a data da realização do empréstimo. Utilizou-se o sistema de amortização constante (SAC) a uma taxa de juros de 2,5% ao mês. O valor da primeira prestação supera o valor da penúltima prestação em (A) R$ 3.625,00. (B) R$ 3.687,50. (C) R$ 3.750,00. (D) R$ 3.812,50. (E) R$ 3.875,00. 17. (CEF 2004 FCC) Uma dívida no valor de RS 3.600,00 foi amortizada em 8 parcelas mensais, com taxa de 4% ao mês pelo Sistema de Amortização Constante (SAC) e a primeira prestação foi paga ao completar 30 dias da data do empréstimo. O saldo devedor, logo após o pagamento da quarta prestação, era de a) R$ 2.260,00 b) R$ 1.350,00 c) R$ 1.500,00 d) R$ 1.750,00 e) R$ 1.800,00 18. (CEF 2004 FCC) Um empréstimo de R$ 50 000,00 deve ser devolvido em 20 prestações mensais, pelo Sistema de Amortização Constante (SAC), Se a taxa de juros cobrada é de 2% ao mês, o valor da décima prestação deverá ser a) R$ 2 950,00 b) R$ 3 000,00 c) R$ 3 050,00 d) R$ 3 100,00 e) R$ 3 150,00 Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 44
19. (CEF 2008 CESGRANRIO) Um empréstimo de R$ 200,00 será pago em 4 prestações mensais, sendo a primeira delas paga 30 dias após o empréstimo, com juros de 10% ao mês, pelo Sistema de Amortização Constante (SAC). O valor, em reais, da terceira prestação será a) 50,00 b) 55,00 c) 60,00 d) 65,00 e) 70,00 20. (AFTE-RO 2010 FCC) A dívida referente à aquisição de um imóvel deverá ser liquidada pelo Sistema de Amortização Constante (SAC) por meio de 48 prestações mensais, a uma taxa de 2% ao mês, vencendo a primeira prestação um mês após a data de aquisição. Se o valor da última prestação é de R$ 2.550,00, tem-se que o valor da 26ª prestação é igual a a) R$ 3.700,00 b) R$ 3.650,00 c) R$ 3.600,00 d) R$ 3.550,00 e) R$ 3.500,00 21. (Agente Fiscal de Rendas/FCC/2006) Um plano de pagamentos referente à aquisição de um imóvel foi elaborado com base no sistema de amortização misto (SAM) e corresponde a um empréstimo no valor de R$ 120.000,00 a uma taxa de 2% ao mês, a ser liquidado em 60 prestações mensais, vencendo a primeira um mês após a data do empréstimo. O valor da 30ª (trigésima) prestação é igual a a) R$ 3.320,00 b) R$ 3.360,00 c) R$ 3.480,00 Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 45
d) R$ 4.140,00 e) R$ 4.280,00 22. (AFRM Pref. de Angra dos Reis 2010/FGV) Com relação aos diversos sistemas de amortização, analise as afirmativas a seguir: I. No Sistema Francês de Amortização as prestações são constantes, com amortização crescente. II. No Sistema de Amortização Constante, a segunda prestação anual, para um empréstimo de R$ 80.000, a ser amortizado em 5 anos, com uma taxa de juros de 20% ao ano, é de R$ 28.800,00. III. O Sistema Americano de Amortização se caracteriza por ser um sistema de pagamentos em que são pagos somente os juros devidos, com o principal da dívida mantendo-se constante. Assinale a) se somente as afirmativas I e II estiverem corretas. b) se somente as afirmativas I e III estiverem corretas. c) se somente a afirmativa III estiver correta. d) se somente as afirmativas II e III estiverem corretas. e) se todas as afirmativas estiverem corretas. 23. (SEFAZ-RJ 2010/FGV) Com relação aos diferentes sistemas de amortização, analise as afirmativas a seguir: I. Segundo o Sistema de Amortização Constante, para um empréstimo de R$ 50.000,00, a ser amortizado em 25 vezes a uma taxa de juros de 5% ao mês, o valor acumulado das três primeiras prestações é de R$ 12.700,00. II. No Sistema Francês de Amortização as prestações são crescentes, com juros decrescentes. III. No Sistema Americano de Amortização, para um empréstimo de R$ 50.000,00, a ser amortizado em 25 vezes a uma taxa de juros de 5% ao mês, o valor acumulado das três primeiras prestações é de R$ 7.500,00. Assinale: a) se somente as afirmativas I e II estiverem corretas. b) se somente as afirmativas I e III estiverem corretas. c) se somente a afirmativa III estiver correta. d) se somente as afirmativas II e III estiverem corretas. e) se todas as afirmativas estiverem corretas. Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 46
3 Gabaritos 01. B 02. D 03. C 04. B 05. C 06. B 07. E 08. A 09. D 10. A 11. B 12. D 13. C 14. E 15. C 16. A 17. E 18. C 19. C 20. B 21. B 22. E 23. C Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 47
4 Tabelas Financeiras MATEMÁTICA PARA CEF Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 48