Livro Eletrônico Aula 00 Curso Regular de Matemática Financeira - Com videoaulas

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1 Livro Eletrônico Aula Curso Regular de Matemática Financeira - Com videoaulas Professor: Arthur Lima

2 !! AULA (demonstrativa) SUMÁRIO PÁGINA 1. Apresentação 1 2. Cronograma do curso 2 3. Resolução de questões 3 4. Questões apresentadas na aula Gabarito APRESENTAÇÃO Seja bem-vindo a este curso regular de Matemática Financeira. Trata-se de um curso voltado para você que pretende se preparar com antecedência para concursos onde essa matéria é normalmente exigida. Além de vermos todo o conteúdo teórico, resolveremos juntos cerca de 6 (seiscentos!!) exercícios, das bancas mais tradicionais (FCC, ESAF, CESPE, FGV, CESGRANRIO, CEPERJ, VUNESP etc.) e também de outras bancas de menor porte, cujas questões sejam interessantes para o seu aprendizado. Além de um completíssimo curso escrito (em PDF), você poderá assistir as vídeo-aulas que gravei sobre os temas mais importantes, diversificando a sua forma de estudo! Caso você não me conheça, segue uma breve introdução. Sou Engenheiro Aeronáutico pelo Instituto Tecnológico de Aeronáutica (ITA), e trabalhei por 5 anos no mercado de aviação, até ingressar no cargo de Auditor-Fiscal da Receita Federal do Brasil quando também fui aprovado para o cargo de Analista-Tributário. Gostaria de terminar esta introdução dizendo que estarei disponível diariamente para tirar dúvidas através do fórum da área do aluno. Portanto, encorajo-o a entrar em contato comigo sempre que sentir necessidade. E caso precise de algum esclarecimento antes de adquirir o material, basta me escrever: arthurlima@estrategiaconcursos.com.br.

3 2. CRONOGRAMA DO CURSO!! Segue abaixo o cronograma do nosso curso. Ele foi preparado após minunciosa análise de diversos editais de Matemática Financeira de concursos recentes, para abordar tudo aquilo que vem sendo cobrado com maior frequência, e mesmo alguns tópicos cobrados menos vezes. Pretendo deixá-lo com um material que permita enfrentar a grande maioria dos concursos! Data Aula 25/11/213 Aula demonstrativa 1/12/213 Aula 1 - Conceito de juros e regimes de capitalizações. Capitalização simples: cálculo de juros e montantes. Capitalização composta: cálculo de juros e montantes. Convenção linear e exponencial. Taxas equivalentes, proporcionais, nominais e efetivas. Influência da inflação: taxa real e taxa aparente. Taxa média e prazo médio. Capitalização contínua. 2/12/213 Aula 2 - Desconto simples e composto, racional (por dentro) e comercial (por fora) 3/12/213 Aula 3 - Bateria extra de exercícios: juros e descontos 1/1/214 Aula 4 - Sistemas de amortização de empréstimos: Sistema Francês (Tabela Price); Sistema de Amortização Constante (SAC); Sistema Misto (SAM); e Sistema Americano de Amortização a uma e a duas taxas (Sinking Fund). Operação Balão. 2/1/214 Aula 5 - Valor atual. Equivalência financeira. Séries finitas e infinitas (ou perpétuas) de pagamentos: postecipadas, antecipadas e diferidas. Utilização de tabelas financeiras. Valor futuro. 3/1/214 Aula 6 - Fluxo de caixa, VPL, taxa interna de retorno, payback, custo efetivo de empréstimos, avaliação de alternativas de investimentos 1/2/214 Aula 7 - Resumo teórico Os vídeos abordarão os temas mais importantes: juros simples, compostos, contínuos, descontos, sistemas de amortização, valor atual, séries de pagamentos, fluxo de caixa, taxa de retorno etc. Sem mais, vamos a uma demonstração do curso.

4 !! 3. RESOLUÇÃO DE QUESTÕES DE MATEMÁTICA FINANCEIRA Nesta primeira aula vamos resolver juntos uma bateria de questões de Matemática Financeira. São questões das principais bancas, selecionadas para te dar uma ideia geral do que você irá aprender no nosso curso. É natural que você sinta alguma dificuldade em resolver as questões neste momento, afinal ainda não passamos pelos tópicos teóricos correspondentes. Ao longo das aulas voltaremos a essas questões nos momentos oportunos, isto é, após estudar a respectiva teoria. Aproveite esta aula para avaliar também a minha forma de lecionar. Vamos começar? 1. FCC ICMS/SP 213) Em 17/1/212, uma pessoa tomou R$ 2., emprestados do Banco A, por um ano, a juro simples, à taxa de 4% ao mês. Após certo tempo, soube que o Banco B emprestava, a juros simples, à taxa de 3% ao mês. Tomou, então, R$ 2., emprestados do Banco B até 17/1/213 e no mesmo dia liquidou sua dívida com o Banco A. Em 17/1/213, os juros pagos aos Bancos A e B totalizaram R$ 8.2,. O número de meses correspondente ao prazo de segundo empréstimo é (A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7 (E) 8 Entre 17/1/212 e 17/1/213 temos 12 meses. Chamando de t meses o período de empréstimo no banco A, o período de empréstimo no banco B será 12 t meses, pois juntos esses dois períodos compreendem 1 ano, ou 12 meses:

5 !! Pelo regime simples, os juros de uma operação são dados pela fórmula J = C x j x t, onde C é o capital inicial, j é a taxa de juros e t é o prazo de aplicação. Assim, os juros pagos a cada banco foram de: J A = 2 x 4% x t = 8t J A = 2 x,4 x t = 8t J B = 2 x 3% x (12 t) J B = 2 x,3 x (12 t) J B = 6 x (12 t) J B = 72 6t A soma dos juros foi de 82 reais, ou seja: J A + J B = 82 8t + (72 6t) = 82 2t = 1 t = 5 meses Assim, o número de meses correspondente ao prazo de segundo empréstimo é de: 12 t = 12 5 = 7 meses Resposta: D 2. FCC ICMS/SP 213) Um investidor aplicou um capital de R$ 5.,, resgatando o total de R$ 5.8, ao final de um quadrimestre. Nesse período, a taxa de inflação foi de 2%. Das taxas abaixo, a que mais se aproxima da taxa real de juros desse período é (A) 14,% (B) 13,8% (C) 13,7% (D) 13,6% (E) 13,5%

6 !! Do valor inicialmente investido (5) para o valor final (58), temos um ganho aparente de 8 reais. Em relação ao investimento inicial, este valor representa, percentualmente: 8 / 5 =,16 = 16% Chamamos este percentual de juros nominais ou juros aparentes, simbolizado por j n. Assim, j n = 16%. A inflação foi i = 2% neste período. A fórmula que relaciona os juros reais (j real ), os juros aparentes (j n ) e a inflação (i) é: 1+ jn 1+ jreal = 1 + i 1+,16 1+ j real = 1 +,2 1+ j real = 1,137 j real =,137 j real = 13,7% Assim, embora aparentemente o investidor tenha ganho 16%, a inflação do período correu parte destes ganhos, de modo que o ganho real foi de apenas 13,7%. Resposta: C 3. FCC ICMS/SP 213) Um agente deseja descontar hoje um título com vencimento para daqui a 3 dias e tem as seguintes opções: Banco I: taxa de 3% ao mês, operação de desconto simples racional. Banco II: taxa de 3% ao mês, operação de desconto simples comercial. Banco III: taxa de 4% ao mês, operação de desconto composto racional. Banco IV: taxa de 3,5% ao mês, operação de desconto simples racional. Para obter o maior valor líquido, ele deve optar pelo Banco (A) III ou IV. (B) IV. (C) III. (D) II.

7 (E) I.!! Para todos os 4 bancos, temos a informação de que o de vencimento dos títulos se dará daqui a 3 dias, ou seja, daqui a t = 1 mês. Para cada um dos casos, precisaremos lembrar a fórmula para o cálculo do desconto, e aplicá-la corretamente. Sendo N o valor nominal ou futuro do título, e A o valor atual ou presente, temos: - Banco I: taxa j = 3% ao mês, operação de desconto simples racional. N = A x (1 + j x t) N = A x (1 +,3 x 1) A = N / 1,3 A =,971N - Banco II: taxa de 3% ao mês, operação de desconto simples comercial. A = N x (1 j x t) A = N x (1,3 x 1) A =,97N - Banco III: taxa de 4% ao mês, operação de desconto composto racional. N = A x (1 + j) t N = A x (1 +,4) 1 A = N / 1,4 A =,961N - Banco IV: taxa de 3,5% ao mês, operação de desconto simples racional. N = A x (1 + j x t) N = A x (1 +,35 x 1) A = N / 1,35 A =,966N Portanto, o maior valor atual (ou valor líquido) é obtido no banco I, sendo igual a,971n. Isto é, neste caso o valor atual do título é 97,1% do seu valor nominal.

8 Resposta: E!! Obs.: Veremos que não é necessário efetuar todos esses cálculos. Para obter a opção de maior valor líquido, basta buscar aquela onde o desconto é menor. Sabemos que quanto menor é a taxa, menor é o desconto, o que nos deixaria apenas entre as opções I e II. Dentre elas, sabemos que o desconto comercial é maior que o racional (não é à toda que os bancos preferem o desconto comercial!), de modo que o menor desconto é o racional, aplicado pelo banco I. 4. FCC ICMS/SP 213) Uma dívida no valor de R$ 1., foi liquidada pelo Sistema de Amortização Constante (SAC) por meio de 5 prestações mensais consecutivas, vencendo a primeira delas um mês após a data do empréstimo. Se a taxa foi de 2% ao mês, é verdade que (A) a cota de amortização paga na 5 a prestação foi de R$ 25,. (B) a cota de juro paga na 1 a prestação foi de R$ 164,. (C) o valor da 15 a prestação foi R$ 34,. (D) o saldo devedor após ser paga a 2 a prestação foi de R$ 6.2,. (E) a cota de juro paga na última prestação foi de R$ 5,. Temos uma dívida de valor inicial VP = 1 reais, a ser paga em n = 5 prestações, corrigida pela taxa de j = 2%am. Vamos analisar cada alternativa: (A) a cota de amortização paga na 5 a prestação foi de R$ 25,. As cotas de amortização A são, simplesmente: A = VP/n A = 1 / 5 A = 2 reais Alternativa FALSA. (B) a cota de juro paga na 1 a prestação foi de R$ 164,. Após pagar 9 prestações, o saldo devedor é diminuído em 9 vezes a amortização mensal, que é de 2 reais cada: SD = 1 9 x 2 SD = 82 reais

9 !! Os juros incidentes sobre este saldo serão cobrados na 1ª prestação: J 1 = 82 x 2% J 1 = 82 x,2 J 1 = 164 reais Alternativa VERDADEIRA. (C) o valor da 15 a prestação foi R$ 34,. Após pagar 14 prestações, o saldo devedor é reduzido em 14 vezes a amortização mensal: SD = 1 14 x 2 = 72 reais prestação: Os juros incidentes sobre este saldo serão cobrados na décima quinta J 15 = 72 x 2% = 144 reais A 15ª prestação é dada pela soma da amortização mensal (2 reais) com os juros do 15º período (144 reais), totalizando 344 reais. Alternativa FALSA. (D) o saldo devedor após ser paga a 2 a prestação foi de R$ 6.2,. Após pagar 2 prestações, o saldo devedor é: SD = 1 2 x 2 = 6 reais Alternativa FALSA. (E) a cota de juro paga na última prestação foi de R$ 5,. Grave isso: no início do último período o saldo devedor é a última cota de amortização. Ou seja, o saldo no início do último mês é de 2 reais. Sobre ele vão incidir juros de 2%: J última = 2 x,2 = 4 reais Resposta: B Alternativa FALSA.

10 !! 5. FCC ICMS/SP 213) O dono de uma empresa deseja adquirir um equipamento e tem duas opções, mostradas na tabela abaixo. Considerando-se a taxa anual de juros compostos de 4% e sendo A1 e A2 os respectivos módulos dos valores atuais das opções 1 e 2, na data de hoje, é verdade que (A) A1 A2 = R$ 55, (B) A1 A2 = R$ 566,8 (C) A1 A2 = R$ 63, (D) A2 A1 = R$ 96, (E) as duas opções são equivalentes. Temos 2 fluxos de caixa, em relação aos quais devemos calcular os respectivos VPLs. Para isso, repare que temos uma saída de recursos inicial, correspondente ao custo inicial, e mais 1 saídas de recursos anuais, correspondentes à manutenção. Ao final temos uma entrada de recursos correspondente ao valor residual, que é o valor pelo qual o equipamento pode ser vendido após 1 anos de uso. Genericamente, temos algo assim:

11 !! Assim, VPL = VPentradas VPsaídas 3181, 2 VPL = + (1 +,4) ( 1 1 FRC ) 1 1 1,4% Repare que o fator de recuperação de capital para 1 períodos e taxa de 4% foi dado pelo enunciado como sendo 2,41, e o fator de acumulação de capital para 1 períodos e taxa de 4% foi dado como sendo 28,92. Assim: 3181, 2 VPL 1 = ( ,41) 28,92 VPL 1 = 123 Da mesma forma, VPL 224, 4 = + (1 +,4) ( 7 2 FRC ) 2 1 1,4% 224, 4 VPL 2 = ( ,41) 28,92 VPL 2 = 1175 Como A1 e A2 são os módulos dos valores atuais, podemos dizer que A1 = 123 e A2 = 1175, de modo que A1 A2 = 55. Resposta: A 6. CESPE CEF 21) Antônio fez os dois investimentos seguintes, em que ambos pagam juros compostos de 3% ao mês. I Três depósitos mensais, consecutivos e iguais a R$ 2.,; o primeiro foi feito no dia 1.º/3/29. II Dois depósitos mensais, consecutivos e iguais a R$ 3.,; o primeiro foi feito no dia 1.º/3/29.

12 !! Considerando que M 1 e M 2 sejam, respectivamente, os montantes das aplicações I e II na data do terceiro depósito correspondente ao investimento I, assinale a opção correta. a) M 2 M 1 = R$9,9 b) M 2 M 1 = R$45,45 c) M 2 = M 1 d) M 1 M 2 = R$45,45 e) M 1 M 2 = R$9,9 Vejamos na linha do tempo os depósitos efetuados na aplicação I: Observe que, na data do 3º depósito, o 1º depósito já rendeu juros por t = 2 meses e o 2º depósito já rendeu juros por t = 1 mês. Assim, somando os montantes dos 3 depósitos, na data de 1/5/29, podemos obter o montante M 1 : M 1 = 2 x (1,3) x (1,3) M 1 = 2 x 1, x 1,3 + 2 = 6181,8 reais Vejamos agora os depósitos efetuados na aplicação II: Repare que, na data de interesse do enunciado (1/5/29), o 1º depósito terá rendido juros por t = 2 meses e o 2º depósito terá rendido juros por t = 1 mês. Assim, podemos obter o valor de M 2 : M 2 = 3 x (1,3) x (1,3) 1

13 !! M 2 = 3 x 1, x 1,3 = 6272,7 reais Resposta: A Portanto, veja que: M 2 M 1 = 6272,7 6181,8 = 9,9 reais 7. CESPE TRE/ES 211) Com base nos conceitos e aplicações da matemática financeira, julgue os seguintes itens. ( ) Se uma pessoa investir determinada importância em um tipo de investimento cujo rendimento mensal é de 1% a juros compostos e, ao final de dois meses, o montante disponível for de R$ 121 mil, então a importância investida foi de R$ 96.8,. Temos um montante final M = 121 reais, taxa de juros compostos j = 1% ao mês, e prazo de aplicação t = 2 meses. Assim, podemos obter o capital inicial: M = C x (1 + j) t 121 = C x (1 +,1) = C x 1, = C x 1,21 C = 121 / 1,21 = 1 reais Portanto, a importância investida (capital inicial) é superior a R$96.8, tornando o item ERRADO. Resposta: E 8. CESPE STM 211) Carlos e Paulo ganharam R$ 2., em uma loteria. Com a sua metade do prêmio, Carlos comprou um apartamento e o alugou por R$6, ao mês. No mesmo dia, Paulo investiu a sua parte em uma aplicação financeira à taxa de juros compostos de,6% ao mês. Carlos guardava em casa o valor do aluguel recebido; Paulo deixava o seu rendimento na aplicação, para render nos meses seguintes.

14 !! Com base nessa situação, e considerando as aproximações 1,6 2 = 1,12; 1,6 3 = 1,18 e 1,6 6 = 1,363; julgue os itens que se seguem. ( ) O rendimento obtido por Paulo no primeiro mês de aplicação é o mesmo que o obtido por Carlos no primeiro mês de aluguel. ( ) No terceiro mês, o valor dos juros obtidos pelo investimento de Paulo foi inferior ao valor do aluguel recebido por Carlos. ( ) Para que, ao final do sexto mês, os montantes acumulados por Carlos e por Paulo fossem iguais, Carlos deveria ter alugado o seu apartamento por um valor superior a R$ 61,. ( ) Ao final do terceiro mês, Paulo acumulou um montante superior a R$ 12.,. ( ) O rendimento obtido por Paulo no primeiro mês de aplicação é o mesmo que o obtido por Carlos no primeiro mês de aluguel. Os juros auferidos por Paulo no primeiro mês são: J = 1 x,6% = 1 x,6 = 6 reais Trata-se do mesmo valor obtido por Carlos. Item CORRETO. ( ) No terceiro mês, o valor dos juros obtidos pelo investimento de Paulo foi inferior ao valor do aluguel recebido por Carlos. Vamos resolver essa questão sem efetuar contas, mas apenas entendendo a dinâmica do problema. Observe que Carlos receberá mensalmente R$6, afinal este é o valor fixo do aluguel. É como se ele houvesse aplicado o dinheiro a juros simples. Já Paulo recebeu também R$6 no primeiro mês, porém como a sua aplicação é feita no regime de juros compostos, isto significa que no segundo mês ele receberá um valor ligeiramente superior (pois os juros do primeiro mês são incorporados ao capital e rendem novos juros). No terceiro mês, Paulo receberá mais um pouco. Isto é, podemos afirmar que Paulo receberá mais do que R$6 nos meses subsequentes, ou seja, mais do que Carlos, o que torna o item ERRADO.

15 !! ( ) Para que, ao final do sexto mês, os montantes acumulados por Carlos e por Paulo fossem iguais, Carlos deveria ter alugado o seu apartamento por um valor superior a R$ 61,. Ao final de 6 meses, o montante de Paulo será: M = C x (1 + j) t M = 1 x (1 +,6) 6 Como o enunciado disse que 1,6 6 = 1,363, temos: M = 1 x 1,363 M = 1363 reais Para que Carlos também tivesse 1363 reais ao final de 6 meses, ele deveria ter recebido, a título de aluguel, = 363 reais. Dividindo este valor entre os 6 meses de aluguel, podemos dizer que Carlos deveria ter recebido 363 / 6 = 65 reais por mês. Como 65 é inferior a 61, o item encontrase ERRADO. ( ) Ao final do terceiro mês, Paulo acumulou um montante superior a R$ 12.,. Ao final do terceiro mês, o montante de Paulo é: M = 1 x (1 +,6) 3 Dado que 1,6 3 = 1,18 (fornecido pelo enunciado), temos: M = 1 x 1,18 = 118 reais ERRADO. Temos um valor ligeiramente inferior a R$12., portanto o item está Resposta: C E E E 9. CESPE CBM/ES 211) Considere que um capital de R$1., tenha sido aplicado em determinado investimento, em regime de juros simples, pelo período de 5 meses. Com base nessas informações, julgue os itens que se seguem.

16 !! ( ) Obtendo-se a quantia de R$ 13., ao final do período, é correto afirmar que a taxa de juros simples mensal da aplicação foi de 6%. ( ) Se a taxa de juros mensal da aplicação for de 5%, então o montante auferido no período será de R$ 12.,. O enunciado informa que o capital inicial é C = 1 reais, o regime é de juros simples, e o prazo de aplicação é t = 5 meses. Com isso em mãos, vejamos cada item. ( ) Obtendo-se a quantia de R$ 13., ao final do período, é correto afirmar que a taxa de juros simples mensal da aplicação foi de 6%. Sendo o montante final M = 13 reais, podemos obter a taxa de juros j assim: M = C x (1 + j x t) 13 = 1 x (1 + j x 5) 1,3 = 1 + 5j 5j =,3 j =,6 = 6% Item CORRETO. ( ) Se a taxa de juros mensal da aplicação for de 5%, então o montante auferido no período será de R$ 12.,. Sendo j = 5% ao mês, o montante ao final do período é: M = 1 x (1 +,5 x 5) M = 1 x 1,25 M = 125 reais Item ERRADO. Novamente repare que, apesar desse item ser errado, o valor encontrado (125) é próximo daquele apresentado no enunciado (12). Resposta: C E 1. FGV ICMS/RJ 211) Um indivíduo deixa de pagar um título no valor de R$2.,, atrasando o pagamento em três meses. A taxa de juros, juros simples, é de 35% ao ano. Ao pagar o título, seu valor é

17 (A) R$ 2.25,. (B) R$ 2.325,. (C) R$ 2.175,. (D) R$ 2.155,. (E) R$ 4.1,.!! Temos uma dívida inicial C = 2 reais, taxa j = 35% ao ano e período t = 3 meses. A fórmula que relaciona o montante (M), o capital inicial (C), a taxa de juros (j) e o prazo (t), no regime de juros simples, é: M = C x (1 + j x t) Veja que a taxa (35% ao ano) e o período (3 meses) estão em unidades temporais distintas (ano e meses). Podemos igualar as unidades através da regra de três abaixo: 12 meses ano 3 meses t anos 12 x t = 3 x 1 t = 3 / 12 t = 1 / 4 t =,25 ano Assim, temos j = 35% ao ano e t =,25 ano. Substituindo os valores conhecidos na fórmula de juros simples, temos: M = 2 x (1 + 35% x,25) M = 2 x (1 +,35 x,25) M = 2 x (1,875) = 2175 reais Assim, devido ao atraso de 3 meses deverá ser pago o valor de 2175 reais, em substituição aos 2 reais do início. Resposta: C 11. FGV ICMS/RJ 211 Adaptada) Um indivíduo tem uma dívida de R$ 5, cuja taxa de juros é de 1% ao mês, juros compostos. Após três meses, essa dívida é

18 (A) R$ 675,. (B) R$ 65,. (C) R$ 645,5. (D) R$ 665,5. (E) R$ 68,5.!! O enunciado informa que há uma dívida inicial C = 5, que é corrigida sob o regime de juros compostos, tendo taxa de juros j = 1% ao mês e período t = 3 meses. A fórmula que relaciona o montante (M), o capital inicial (C), a taxa de juros (j) e o prazo (t), no regime de juros compostos, é: M = C x (1 + j) t Substituindo os valores conhecidos, temos: M = 5 x (1 +,1) 3 M = 5 x 1,1 x 1,1 x 1,1 M = 5 x 1,21 x 1,1 M = 665,5 reais Resposta: D 12. FGV ICMS/RJ - 211) O número de anos para que um capital quadruplique de valor, a uma taxa de 5% ao mês, juros simples, é de (A) 7,5. (B) 3,8. (C) 4,5. (D) 5,. (E) 6,. Imagine que temos um capital inicial C. Para ele quadruplicar, é preciso que o montante final seja igual a 4C, ou seja, M = 4C. Sabemos ainda que a taxa de juros simples é j = 5% ao mês, portanto podemos usar a fórmula para obter o número de períodos necessários: M = C x (1 + j x t) 4C = C x (1 +,5t) 4 = 1 x (1 +,5t) = 1 +,5t

19 !!,5t = 4 1 t = 3 /,5 t = 6 meses Como 1 ano tem 12 meses, então 6 meses correspondem a 5 anos. Este é o período necessário para o capital quadruplicar, se aplicado a juros simples a uma taxa de 5% ao mês. Resposta: D 13. FGV ICMS/RJ 211) Em um período de um ano, a taxa aparente de juros foi de 15%, e a taxa de inflação, de 5%. Assim, a taxa real foi de (A) 9,52%. (B) 8,95%. (C) 1,%. (D) 7,5%. (E) 2,75%. A relação entre a taxa de juros real (j real ), a inflação (i) e a taxa de juros nominal ou aparente (j n ) é simplesmente: (1 + jn) (1 + i) = (1 + j ) real Veja que j n = 15% (taxa nominal ou aparente) e i = 5% (inflação). Portanto, a taxa real (j real ) é: Resposta: A (1 + 15%) = (1 + j real ) (1 + 5%) j real = 9,52% 14. FGV ICMS/RJ 211) Um título com valor de R$ 15., a vencer em 4 meses é descontado no regime de juros simples a uma taxa de desconto por fora de 6,25% ao mês. O valor presente do título é igual a

20 (A) R$ (B) R$ 12.. (C) R$ (D) R$ (E) R$ !! Nessa questão, temos um título com valor nominal N = 15, prazo de vencimento t = 4 meses, com taxa de desconto j = 6,25% ao mês. A fórmula do desconto comercial ( por fora ) simples é: presente (A): A = N (1 j t) Substituindo os valores conhecidos, podemos obter o valor atual ou valor A = 15 (1 6,25% 4) Resposta: E A = 1125 reais Considere os dados abaixo, para solução dos problemas de matemática financeira. 15. CEPERJ SEFAZ/RJ 212) A diferença entre os descontos racional e comercial de um título para 3 meses, à taxa de 12% a.a., é R$ 5,. O valor nominal do título é: A) R$ 7.839,72 B) R$ 8.732,2

21 C) R$ 7.222,22!! D) R$ 7.5, E) R$ 7.938,7 Seja N o valor nominal do título. A taxa de 12%aa pode ser convertida para a taxa efetiva de 1% ao mês. Aplicando o desconto racional simples temos: N A = 1 +,1 3 A = N / 1,3 Assim, o desconto racional é Dr = N A = N N/1,3 Aplicando o desconto comercial temos: A = N (1,1 3) =,7N Desse modo, o desconto comercial é Dc = N,7N =,3N O enunciado disse que Dc Dr = 5, ou seja:,3 N ( N N /1,3) = 5,39 N (1,3 N N) = 65,9N = 65 N = 7222,22 Resposta: C 16. CEPERJ SEFAZ/RJ 212) Três meses após ter tomado um empréstimo a 5% ao mês, o devedor toma um segundo empréstimo a 3,5% ao mês e liquida o

22 !! primeiro empréstimo; 5 meses após, liquida o segundo empréstimo, pagando R$ 6.75,. O valor do primeiro e do segundo empréstimos, respectivamente, era de: A) R$4.895,32; R$5.874,68 B) R$4.995,37; R$5.744,68 C) R$4.9,; R$5.674,98 D) R$4.9,97; R$5.444,99 E) R$4.125,3; R$5.238, Para o segundo empréstimo, sabemos que montante final é M = 675, o prazo do empréstimo é t = 5 meses e a taxa de juros é j = 3,5% ao mês. Colocando essas informações na fórmula de juros simples, encontramos o valor inicial (C) deste empréstimo: M =C (1+ j t ) =C (1+,35 5) 2 C = 5744,68 2 Com isso, vemos que o capital inicial do segundo empréstimo (ou seja, o valor do segundo empréstimo) é R$5744,68. Esta possibilidade está presente apenas na letra B. Resposta: B 17. CEPERJ SEFAZ/RJ 212) Um financiamento no valor de R$12., será quitado em um ano, à taxa de juros de 5% ao mês. O valor da 12 a prestação pelo Sistema Francês (SF) e o valor pelo Sistema de Amortização Constante (SAC) são, respectivamente: A) R$13.5,; R$1.55, B) R$13.539,5; R$11.5, C) R$13.539,5; R$1.5,

23 D) R$13.678,9; R$11.55,!! E) R$12.999,99; R$1.675,5 Pelo sistema francês, podemos calcular a prestação através da fórmula n j (1 + j) P = VP Vejamos: n (1 + j) 1 P P n j (1 + j),5 (1,5) = VP = 12 n 12 (1 + j) 1 (1,5) 1,5 1, = 12 = 13539,5 1, Obs.: veja que o valor de (1,5) 12 encontrava-se na tabela fornecida. Isso nos deixa entre as letras B e C. No sistema SAC, a amortização mensal será igual a 12 / 12 = 1 reais. Assim, no início do 12º mês a dívida é de apenas 1 reais. Acrescentando 5% de juros devidos neste mês, temos ao final do mês o valor de: P = 1,5 x 1 = 15 reais Ficamos com a letra C. Veja que valia a pena calcular primeiro a prestação pelo SAC, pois todas as alternativas eram diferentes (e o cálculo é bem mais simples). Como começamos calculando pelo francês, ficamos entre 2 alternativas iguais. Resposta: C 18. CEPERJ SEFAZ/RJ 212) Um imóvel no valor de R$3., será financiado em 2 anos pela Tabela Price, a 78% a.a.. Os valores da prestação, da amortização e dos juros contidos na 16 a prestação, respectivamente, são: A) R$26.11,; R$14.94,78; R$1.834,86 B) R$25.,1; R$14.789,77; R$1.988,99 C) R$35.19,1; R$15.194,34; R$11.824,76

24 !! D) R$25.119,19; R$14.294,94; R$1.8, E) R$25.19,1; R$14.194,24; R$1.824,86 Assumindo que as prestações são mensais, podemos dizer que a taxa de 78% ao ano corresponde à taxa efetiva de 6,5% ao mês. Portanto, a prestação no sistema price é dada por: P n j (1 + j),65 (1,65) = VP = 3 n 24 (1 + j) 1 (1,65) 1 24 P,65 4,5335 = 3 = 2519,31 4, Veja que para resolver utilizamos o valor dado na tabela para 1, Com isso, já podemos marcar a letra E, que é a única onde a prestação corresponde àquela por nós encontrada. Resposta: E 19. CEPERJ SEFAZ/RJ 212) Compre hoje (1/12/211) o seu bilhete RIO- PARIS-RIO e comece a pagar somente em 1/3/212. O preço à vista é US$85,, cobram-se juros de 3% a.m. e são 8 prestações mensais iguais. O valor das prestações é de: A) US$128,46 B) US$138,4 C) US$129,46 D) US$135,23 E) US$1278,36 Observe que nos primeiros três meses você não paga nada, porém a sua dívida (85 dólares) rende juros de 3% ao mês. Ao final de dois meses, temos: 2 M = 85(1 +,3) = 91,765

25 !! (a tabela mostra que 1,3 2 = 1,69, para auxiliar as contas) A partir do início do terceiro mês, começa a contar o financiamento propriamente dito, cuja primeira parcela será paga ao final deste terceiro mês. Temos 8 parcelas iguais, ou seja, devemos considerar o sistema price. Calculando o valor da parcela, temos: P n j (1 + j),3 (1,3) = VP = 91,765 n 8 (1 + j) 1 (1,3) 1 8 P,3 1,26677 = 91,765 = 128,46 1, Resposta: A (o exercício deu que 1,3 8 = 1,26677, para auxiliar as contas) 2. CESGRANRIO TRANSPETRO 211) Um aplicador realizou um investimento cujo valor de resgate é de R$ 8.,. Sabendo-se que a taxa de juros simples é de 3,5% ao mês e que faltam 5 meses para o resgate, o valor da aplicação, em reais, foi de: a) 68.85,1 b) 66., c) 65., d) ,12 e) ,98 Observe que, nessa questão, R$8., não é o valor que foi investido, mas sim o montante total ao final dos 5 meses de investimento. Assim, o capital final é M = 8., a taxa de juros é j = 3,5% a.m., e o tempo de aplicação é t = 5 meses. Utilizando a fórmula de juros simples, podemos descobrir o valor que foi investido no início (C):

26 Resposta: A.!! M = C (1 + j t) 8 = C (1+,35 5) 8 = C (1+,175) 8 = C (1,175) 8 C = = 6885,1reais 1, CESGRANRIO TRANSPETRO 211) Considerando o mês de 3 dias, qual o montante, em reais, correspondente a uma aplicação de R$ 125., por 225 dias, a uma taxa de juros simples de 4,5 % ao mês? a) , b) ,5 c) ,75 d) ,5 e) ,5 Se 1 mês tem 3 dias, 225 dias correspondem a 7 meses e meio (basta ver que 225 / 3 = 7,5). Portanto, vamos usar a fórmula de juros simples para calcular o montante M ao aplicar um capital inicial C = 125 por um período t = 7,5 meses e taxa de juros simples j = 4,5%. M = C (1 + j t) M = 125 (1+,45 7,5) M = ,5reais Resposta: D. 22. CESGRANRIO ANP 28) A Empresa Dias & Noites Ltda. obteve um empréstimo de R$1., pelo prazo de 6 meses a juros simples de 3% ao mês. No final do prazo de empréstimo, a empresa vai pagar ao Banco o montante de (A) 11.8, (B) ,99 (C) 11.5, (D) ,33 (E) 1.98,

27 !! Nessa questão, temos um capital inicial C = 1., aplicado pelo prazo t = 6 meses, rendendo juros de j = 3% ao mês. Note que a taxa de juros e o prazo estão na mesma unidade temporal: meses. Se não estivessem, o primeiro passo da resolução seria igualar essas unidades. Para obter o montante final, basta aplicar a fórmula: M = C (1 + j t) M = 1 (1+ 3% 6) M = 1 (1+,3 6) M = 1 (1+,18) = 1 1,18 M = 118 reais Ou seja, ao final de 6 meses a empresa vai pagar R$11.8, ao banco, isto é, os R$1. do capital inicial e mais R$1.8, a título de juros simples da operação de empréstimo. Resposta: A. 23. CESGRANRIO PETROBRÁS 211) Maria quer comprar uma bolsa que custa R$ 85, à vista. Como não tinha essa quantia no momento e não queria perder a oportunidade, aceitou a oferta da loja de pagar duas prestações de R$ 45,, uma no ato da compra e outra um mês depois. A taxa de juros mensal que a loja estava cobrando nessa operação era de (A) 5,% (B) 5,9% (C) 7,5% (D) 1,% (E) 12,5% Como Maria pagou 45 reais no ato da compra, restaram = 4 reais de saldo devedor. Este era o saldo devedor inicial, ou capital devido inicial C = 4. Entretanto, foi preciso pagar o montante de 45 reais (M = 45) após decorrido o prazo t = 1 mês. Colocando essas informações na fórmula de juros simples, podemos obter a taxa de juros j da operação:

28 !! M = C (1 + j t) 45 = 4 (1+ j 1) 45 = 1 + j 4 1,125 = 1+ j j =,125 = 12,5% Portanto, a taxa de juros praticada é de 12,5% ao mês (mesma unidade temporal de t ). Resposta: E. 24. CESGRANRIO TJ/RO 28) Um investidor que aplicou um capital durante 25 meses, à taxa de juros simples de 2,% ao mês, resgatou, no final da operação, R$25., de juros. Qual o valor, em reais, aplicado por esse investidor? (A) 32.5, (B) 37.5, (C) 42.5, (D) 5., (E) 52.5, Aqui foi dito que os juros totais da aplicação é J = 25 (e não o montante final M!). A taxa de juros é j = 2% ao mês, e o prazo de aplicação é t = 25 meses. Na fórmula de juros simples, temos: M = C (1 + j t) que é igual a: M = C + C j t Nessa última fórmula, vemos que o Montante final (M) é formado pela soma de duas parcelas: o capital inicial C e os Juros totais ( J = C j t ). Portanto, podemos dizer que: J = C j t 25 = C,2 25 C = 5 O capital inicial C, isto é, o valor aplicado inicialmente pelo investidor, foi de R$5.,.

29 Resposta: D!! 25. ESAF CVM 21) Qual o valor mais próximo do montante que atinge uma dívida de R$ 2.,, quatro meses e meio depois, a uma taxa de juros simples de 1,5% ao mês? a) R$ 2.115, b) R$ 2.92, c) R$ 2.9, d) R$ 2.15, e) R$ 2.12, A dívida inicial, ou capital inicial, é C = 2. O prazo é t = 4,5 meses. E a taxa de juros simples é j = 1,5% ao mês. Portanto: M = C (1 + j t) M = 2 (1 +,15 4,5) M = 2135 Entre as alternativas de resposta, o valor mais próximo a R$2.135, é o da letra E. Este poderia ser o gabarito, mas a ESAF preferiu anular a questão (após ter divulgado a letra D como gabarito preliminar). Resposta: E 26. ESAF SEFAZ/SP 29 Adaptada) Um capital unitário aplicado a juros gerou um montante de 1,1 ao fim de 2 meses e 15 dias. Qual a taxa de juros simples mensal de aplicação deste capital? a) 4% b) 1% c) 6% d) 54% e) 48% Aqui temos um capital inicial unitário (C = 1), um montante final M = 1,1 e o prazo de 2 meses e 15 dias, isto é, t = 2,5 meses. Podemos descobrir a taxa de juros simples através da fórmula:

30 !! M = C (1 + j t) 1,1 = 1 (1 + j 2,5) 1,1 = 1+ 2,5j 1,1 1 j = =, 4 = 4% 2,5 Essa já é a taxa mensal, pois o período (t) utilizado estava nesta unidade temporal. Resposta: A 27. ESAF RECEITA FEDERAL 212) Marta aplicou R$ 1., em um banco por 5 meses, a uma taxa de juros simples de 2% ao mês. Após esses 5 meses, o montante foi resgatado e aplicado em outro banco por mais 2 meses, a uma taxa de juros compostos de 1% ao mês. O valor dos juros da segunda etapa da aplicação é igual a a) R$ 221,1. b) R$ 22,. c) R$ 252,2. d) R$ 212,2. e) R$ 211,1. Marta aplicou o capital inicial C = R$ 1., em um banco pelo prazo t = 5 meses, a uma taxa de juros simples de j = 2% ao mês. O montante final foi: M = C x (1 + j x t) M = 1 x (1 + 2% x 5) M = 1 x (1 +,2 x 5) M = 1 x (1 +,1) M = 1 x (1,1) = 11 reais Após esses 5 meses, o montante de 11 reais foi resgatado e aplicado em outro banco pelo prazo t = 2 meses, a uma taxa de juros compostos de j = 1% ao mês. Repare que 11 reais passou a ser o capital inicial C dessa segunda aplicação. O montante obtido ao fim dos 2 meses foi:

31 !! M = C x (1 + j) t M = 11 x (1 + 1%) 2 M = 11 x (1,1) 2 M = 11 x (1,1 x 1,1) M = 11 x (1,21) M = 11221,1 reais Assim, o valor dos juros da segunda etapa da aplicação é igual a: Juros = Montante Capital inicial J = M C J = 11221,1 11 J = 221,1 reais Resposta: A 28. ESAF RECEITA FEDERAL 212) Um título de R$ 2., foi descontado 4 meses antes do seu vencimento, a uma taxa de desconto comercial simples de 5% ao mês. A taxa efetiva mensal de juros simples dessa operação é igual a a) 6,5%. b) 5,5%. c) 5,25%. d) 6,%. e) 6,25%. O título de valor nominal N = 2. reais foi descontado com um prazo de antecipação de t = 4 meses em relação ao seu vencimento, à taxa de desconto j = 5% ao mês, no regime de desconto comercial simples, cuja fórmula é: A = N x (1 j x t) título: Substituindo os valores conhecidos, podemos encontrar o valor atual (A) do A = 2 x (1 5% x 4) A = 2 x (1,5 x 4) A = 2 x (1,2) A = 2 x (,8)

32 !! A = 16 reais Para obter a taxa efetiva, basta usar a fórmula do desconto RACIONAL. Temos o valor atual A = 16 reais, valor nominal N = 2 reais, prazo t = 4 meses, e a fórmula do desconto racional simples, que é: N = A x (1 + j x t) 2 = 16 x (1 + j x 4) 2 / 16 = (1 + j x 4) 1,25 = 1 + j x 4,25 = j x 4 j =,25 / 4 j =,625 j = 6,25% ao mês Assim, embora tenha sido usada uma taxa nominal de 5% ao mês, a taxa efetivamente praticada foi maior (6,25% ao mês). Resposta: E Obs.: em nossas aulas também veremos fórmulas que permitem calcular diretamente a taxa efetiva a partir da taxa nominal. 29. ESAF PECFAZ 213) O capital de R$ 12., foi aplicado por um ano e gerou R$ 1.86, de juros. Se a inflação desse ano foi de 5%, então a taxa real de juros desse ano foi: a) 11% b) 1% c) 1,5% d) 9,5% e) 9% Temos um capital de 12 reais que gerou juros de 186 reais. Percentualmente, esses juros representam: P = 186 / 12 =,155 = 15,5%

33 !! Assim, a uma primeira vista ( aparentemente ) tivemos um ganho de 15,5%. Esse é o nosso ganho aparente ou nominal, simbolizado por j n. Ocorre que nesse período houve inflação à taxa i = 5%. Assim, parte do nosso ganho foi corroído pela inflação, restando o ganho real j real, que pode ser obtido pela seguinte fórmula: 1+ j 1+ i n = 1+ j real Substituindo os valores conhecidos: 1+ 15,5% = % 1+,155 = ,5 j real j real 1,155 = 1 + j real 1,5 1,1 = 1+ jreal,1 = jreal 1% = j real Resposta: B Assim, o taxa de juros real foi de apenas 1%. 3. VUNESP CASA 21) Um capital foi aplicado no sistema de juros simples durante 2 meses, e o montante recebido ao final da aplicação foi igual a 5/4 do capital inicial. A taxa anual de juros simples dessa aplicação foi (A) 15%. (B) 18%. (C) 2%. (D) 22%. (E) 25%.

34 !! No regime de juros simples, a fórmula que relaciona o capital inicialmente aplicado (C), a taxa de juros da aplicação (j), o tempo de duração da aplicação (t) e o montante obtido ao final do prazo (M) é: M = C (1 + j t) Sendo C o capital inicial, foi dito que o montante recebido foi igual a 5/4 deste capital, ou seja, 5 M = C 4 Além disso, o prazo de aplicação foi t = 2 meses. Assim, temos: M = C (1 + j t) 5 (1 2) 4 C = C + j 5 = (1 + j 2) = j = j = j 2 4, 25 = j 2,25 j = =,125 = 1,25% 2 Como o prazo t foi dado em meses, então a taxa de juros obtida é mensal, isto é, j = 1,25% ao mês. Como o enunciado pediu a taxa anual, basta multiplicarmos por 12 (pois temos 12 meses em 1 ano): j = 12 x 1,25% = 15% ao ano Resposta: A 31. VUNESP CASA 211) Um certo capital foi aplicado a uma taxa de juros simples de 3% ao ano, e o valor recebido de juros, ao final da aplicação,

35 !! correspondeu a 3/8 do capital inicial. Pode-se afirmar que esse capital permaneceu aplicado durante (A) 1 meses. (B) 1 ano. (C) 1 ano e 3 meses. (D) 1 ano e 5 meses. (E) 1 ano e meio. Aqui também temos o regime de juros simples, cuja fórmula é M = C (1 + j t). Foi dito que a taxa de juros é j = 3% ao ano, e que os juros recebidos foram de 3/8 do capital inicial, isto é: 3 J = C 8 inicial (C): Os juros totais obtidos (J) são a diferença entre o montante (M) e o capital J = M C Assim, temos: J = M C J = C (1 + j t) C Dividindo todos os termos por C: 3 (1 3% ) 8 C = C + t C 3 = (1 + 3% t) = 1 +,3 t =,3 t = 1 t = 1 t

36 1 8!! = t t = 1,25 Como a taxa de juros era anual, então este tempo é dado em anos. Isto é, t = 1,25 anos t = 1 ano +,25 ano Note que,25 ano =,25 x 12 meses = 3 meses. Logo, t = 1 ano + 3 meses Resposta: C Obs.: note que resolvemos essa questão usando apenas a fórmula básica M = C x (1 + j x t). Entretanto, aqui a questão sairia ainda mais rápido se você soubesse a relação entre os Juros Totais (J), o capital inicial (C), o prazo (t) e a taxa (j): J = C x j x t. 32. VUNESP SAP 211) Renato pediu R$ 3., emprestados para pagar depois de 5 meses, à taxa de 3% ao mês, no regime de juro simples. Ao fim desse período, Renato deverá pagar, de juro, (A) R$ 45,. (B) R$ 9,. (C) R$ 18,. (D) R$ 45,. (E) R$ 9,. Temos a dívida inicial C = 3 reais, a taxa de juros simples j = 3% ao mês e o prazo t = 5 meses. Portanto, usando a fórmula citada acima para o cálculo dos Juros Totais, temos: J = C x j x t J = 3 x 3% x 5 J = 3 x,3 x 5 J = 45 reais Resposta: D

37 ====!! 33. VUNESP CREFITO-3 212) Bruno financiou a compra de uma TV de LCD. Deu uma entrada de R$ 6,, no ato da compra, mais uma parcela de R$1.38, dois meses após a data da compra. Sabendo que o preço à vista dessa TV era R$ 1.8,, pode-se concluir que a taxa mensal de juro simples desse financiamento foi de (A) 7,5%. (B) 6,%. (C) 5,5%. (D) 5,%. (E) 4,75%. Para resolver essa questão você deve se lembrar que os juros recaem apenas sobre o saldo devedor. Como o preço à vista da TV era de 18 reais, e Bruno deu 6 reais de entrada, ele ficou com uma dívida de: 18 6 = 12 reais Assim, a dívida inicial era C = 12 reais. Porém, após o prazo t = 2 meses, Bruno teve que pagar o montante M = 138 reais. Vejamos qual foi a taxa de juros simples: M = C x (1 + j x t) 138 = 12 x (1 + j x 2) 138 / 12 = 1 + 2j 1,15 = 1 + 2j 1,15 1 = 2j,15 = 2j j =,75 = 7,5% ao mês Resposta: A 34. VUNESP PREF. SJC 212) Um valor de R$ 8., é aplicado a uma taxa de juros simples de 2,5% a.m. Outra aplicação é feita com o valor de R$5., a uma taxa de juros simples de 6% ao ano, durante quatro meses. O tempo necessário para que o montante da primeira aplicação seja igual aos juros obtidos na segunda aplicação é, em meses, igual a (A) 9.

38 (B) 1. (C) 11. (D) 12. (E) 13.!! A segunda aplicação teve C = 5 reais, j = 6% ao ano e t = 4 meses. Note que a taxa de juros e o prazo estão definidos sob unidades temporais diferentes (anos e meses). Para igualar essas unidades, podemos dividir a taxa de juros por 12, obtendo j = 5% ao mês. Assim, os juros totais da segunda aplicação são: J = C x j x t J = 5 x 5% x 4 J = 1 reais Na primeira aplicação temos o capital inicial C = 8 reais e a taxa de juros simples j = 2,5% ao mês. A questão quer saber o prazo t para que esta primeira aplicação atinja o montante M = 1 reais (que é o valor dos juros da segunda aplicação). Assim: M = C x (1 + j x t) 1 = 8 x (1 + 2,5% x t) 1 / 8 = 1 +,25t 1,25 = 1 +,25t,25 =,25t t = 1 meses Resposta: B Obs.: Ao longo das aulas veremos detalhes sobre como igualar as unidades temporais entre a taxa de juros e o prazo de aplicação. Nem sempre podemos, simplesmente, efetuar a divisão que fizemos aqui. *************************** Pessoal, por hoje, é só. Após avaliar as questões de Matemática Financeira dessa aula, creio que você tenha a exata noção de onde precisamos chegar! Portanto, mãos à obra. Espero vocês na aula 1. Saudações,

39 Prof. Arthur Lima!!

40 !! 4. LISTA DAS QUESTÕES APRESENTADAS NA AULA 1. FCC ICMS/SP 213) Em 17/1/212, uma pessoa tomou R$ 2., emprestados do Banco A, por um ano, a juro simples, à taxa de 4% ao mês. Após certo tempo, soube que o Banco B emprestava, a juros simples, à taxa de 3% ao mês. Tomou, então, R$ 2., emprestados do Banco B até 17/1/213 e no mesmo dia liquidou sua dívida com o Banco A. Em 17/1/213, os juros pagos aos Bancos A e B totalizaram R$ 8.2,. O número de meses correspondente ao prazo de segundo empréstimo é (A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7 (E) 8 2. FCC ICMS/SP 213) Um investidor aplicou um capital de R$ 5.,, resgatando o total de R$ 5.8, ao final de um quadrimestre. Nesse período, a taxa de inflação foi de 2%. Das taxas abaixo, a que mais se aproxima da taxa real de juros desse período é (A) 14,% (B) 13,8% (C) 13,7% (D) 13,6% (E) 13,5% 3. FCC ICMS/SP 213) Um agente deseja descontar hoje um título com vencimento para daqui a 3 dias e tem as seguintes opções: Banco I: taxa de 3% ao mês, operação de desconto simples racional. Banco II: taxa de 3% ao mês, operação de desconto simples comercial. Banco III: taxa de 4% ao mês, operação de desconto composto racional. Banco IV: taxa de 3,5% ao mês, operação de desconto simples racional. Para obter o maior valor líquido, ele deve optar pelo Banco (A) III ou IV. (B) IV.

41 (C) III. (D) II. (E) I.!! 4. FCC ICMS/SP 213) Uma dívida no valor de R$ 1., foi liquidada pelo Sistema de Amortização Constante (SAC) por meio de 5 prestações mensais consecutivas, vencendo a primeira delas um mês após a data do empréstimo. Se a taxa foi de 2% ao mês, é verdade que (A) a cota de amortização paga na 5 a prestação foi de R$ 25,. (B) a cota de juro paga na 1 a prestação foi de R$ 164,. (C) o valor da 15 a prestação foi R$ 34,. (D) o saldo devedor após ser paga a 2 a prestação foi de R$ 6.2,. (E) a cota de juro paga na última prestação foi de R$ 5,. 5. FCC ICMS/SP 213) O dono de uma empresa deseja adquirir um equipamento e tem duas opções, mostradas na tabela abaixo. Considerando-se a taxa anual de juros compostos de 4% e sendo A1 e A2 os respectivos módulos dos valores atuais das opções 1 e 2, na data de hoje, é verdade que (A) A1 A2 = R$ 55, (B) A1 A2 = R$ 566,8 (C) A1 A2 = R$ 63, (D) A2 A1 = R$ 96, (E) as duas opções são equivalentes.

42 !! 6. CESPE CEF 21) Antônio fez os dois investimentos seguintes, em que ambos pagam juros compostos de 3% ao mês. I Três depósitos mensais, consecutivos e iguais a R$ 2.,; o primeiro foi feito no dia 1.º/3/29. II Dois depósitos mensais, consecutivos e iguais a R$ 3.,; o primeiro foi feito no dia 1.º/3/29. Considerando que M 1 e M 2 sejam, respectivamente, os montantes das aplicações I e II na data do terceiro depósito correspondente ao investimento I, assinale a opção correta. a) M 2 M 1 = R$9,9 b) M 2 M 1 = R$45,45 c) M 2 = M 1 d) M 1 M 2 = R$45,45 e) M 1 M 2 = R$9,9 7. CESPE TRE/ES 211) Com base nos conceitos e aplicações da matemática financeira, julgue os seguintes itens. ( ) Se uma pessoa investir determinada importância em um tipo de investimento cujo rendimento mensal é de 1% a juros compostos e, ao final de dois meses, o montante disponível for de R$ 121 mil, então a importância investida foi de R$ 96.8,. 8. CESPE STM 211) Carlos e Paulo ganharam R$ 2., em uma loteria. Com a sua metade do prêmio, Carlos comprou um apartamento e o alugou por R$6, ao mês. No mesmo dia, Paulo investiu a sua parte em uma aplicação financeira à taxa de juros compostos de,6% ao mês. Carlos guardava em casa o valor do aluguel recebido; Paulo deixava o seu rendimento na aplicação, para render nos meses seguintes.

43 !! Com base nessa situação, e considerando as aproximações 1,6 2 = 1,12; 1,6 3 = 1,18 e 1,6 6 = 1,363; julgue os itens que se seguem. ( ) O rendimento obtido por Paulo no primeiro mês de aplicação é o mesmo que o obtido por Carlos no primeiro mês de aluguel. ( ) No terceiro mês, o valor dos juros obtidos pelo investimento de Paulo foi inferior ao valor do aluguel recebido por Carlos. ( ) Para que, ao final do sexto mês, os montantes acumulados por Carlos e por Paulo fossem iguais, Carlos deveria ter alugado o seu apartamento por um valor superior a R$ 61,. ( ) Ao final do terceiro mês, Paulo acumulou um montante superior a R$ 12.,. 9. CESPE CBM/ES 211) Considere que um capital de R$1., tenha sido aplicado em determinado investimento, em regime de juros simples, pelo período de 5 meses. Com base nessas informações, julgue os itens que se seguem. ( ) Obtendo-se a quantia de R$ 13., ao final do período, é correto afirmar que a taxa de juros simples mensal da aplicação foi de 6%. ( ) Se a taxa de juros mensal da aplicação for de 5%, então o montante auferido no período será de R$ 12.,. 1. FGV ICMS/RJ 211) Um indivíduo deixa de pagar um título no valor de R$2.,, atrasando o pagamento em três meses. A taxa de juros, juros simples, é de 35% ao ano. Ao pagar o título, seu valor é (A) R$ 2.25,. (B) R$ 2.325,. (C) R$ 2.175,. (D) R$ 2.155,. (E) R$ 4.1,.

44 !! 11. FGV ICMS/RJ 211 Adaptada) Um indivíduo tem uma dívida de R$ 5, cuja taxa de juros é de 1% ao mês, juros compostos. Após três meses, essa dívida é (A) R$ 675,. (B) R$ 65,. (C) R$ 645,5. (D) R$ 665,5. (E) R$ 68, FGV ICMS/RJ - 211) O número de anos para que um capital quadruplique de valor, a uma taxa de 5% ao mês, juros simples, é de (A) 7,5. (B) 3,8. (C) 4,5. (D) 5,. (E) 6,. 13. FGV ICMS/RJ 211) Em um período de um ano, a taxa aparente de juros foi de 15%, e a taxa de inflação, de 5%. Assim, a taxa real foi de (A) 9,52%. (B) 8,95%. (C) 1,%. (D) 7,5%. (E) 2,75%. 14. FGV ICMS/RJ 211) Um título com valor de R$ 15., a vencer em 4 meses é descontado no regime de juros simples a uma taxa de desconto por fora de 6,25% ao mês. O valor presente do título é igual a (A) R$ (B) R$ 12.. (C) R$ (D) R$ (E) R$

45 !! Considere os dados abaixo, para solução dos problemas de matemática financeira. 15. CEPERJ SEFAZ/RJ 212) A diferença entre os descontos racional e comercial de um título para 3 meses, à taxa de 12% a.a., é R$ 5,. O valor nominal do título é: A) R$ 7.839,72 B) R$ 8.732,2 C) R$ 7.222,22 D) R$ 7.5, E) R$ 7.938,7 16. CEPERJ SEFAZ/RJ 212) Três meses após ter tomado um empréstimo a 5% ao mês, o devedor toma um segundo empréstimo a 3,5% ao mês e liquida o primeiro empréstimo; 5 meses após, liquida o segundo empréstimo, pagando R$ 6.75,. O valor do primeiro e do segundo empréstimos, respectivamente, era de: A) R$4.895,32; R$5.874,68 B) R$4.995,37; R$5.744,68 C) R$4.9,; R$5.674,98 D) R$4.9,97; R$5.444,99 E) R$4.125,3; R$5.238,

46 !! 17. CEPERJ SEFAZ/RJ 212) Um financiamento no valor de R$12., será quitado em um ano, à taxa de juros de 5% ao mês. O valor da 12 a prestação pelo Sistema Francês (SF) e o valor pelo Sistema de Amortização Constante (SAC) são, respectivamente: A) R$13.5,; R$1.55, B) R$13.539,5; R$11.5, C) R$13.539,5; R$1.5, D) R$13.678,9; R$11.55, E) R$12.999,99; R$1.675,5 18. CEPERJ SEFAZ/RJ 212) Um imóvel no valor de R$3., será financiado em 2 anos pela Tabela Price, a 78% a.a.. Os valores da prestação, da amortização e dos juros contidos na 16 a prestação, respectivamente, são: A) R$26.11,; R$14.94,78; R$1.834,86 B) R$25.,1; R$14.789,77; R$1.988,99 C) R$35.19,1; R$15.194,34; R$11.824,76 D) R$25.119,19; R$14.294,94; R$1.8, E) R$25.19,1; R$14.194,24; R$1.824, CEPERJ SEFAZ/RJ 212) Compre hoje (1/12/211) o seu bilhete RIO- PARIS-RIO e comece a pagar somente em 1/3/212. O preço à vista é US$85,, cobram-se juros de 3% a.m. e são 8 prestações mensais iguais. O valor das prestações é de: A) US$128,46 B) US$138,4 C) US$129,46 D) US$135,23 E) US$1278,36

47 !! 2. CESGRANRIO TRANSPETRO 211) Um aplicador realizou um investimento cujo valor de resgate é de R$ 8.,. Sabendo-se que a taxa de juros simples é de 3,5% ao mês e que faltam 5 meses para o resgate, o valor da aplicação, em reais, foi de: a) 68.85,1 b) 66., c) 65., d) ,12 e) , CESGRANRIO TRANSPETRO 211) Considerando o mês de 3 dias, qual o montante, em reais, correspondente a uma aplicação de R$ 125., por 225 dias, a uma taxa de juros simples de 4,5 % ao mês? a) , b) ,5 c) ,75 d) ,5 e) ,5 22. CESGRANRIO ANP 28) A Empresa Dias & Noites Ltda. obteve um empréstimo de R$1., pelo prazo de 6 meses a juros simples de 3% ao mês. No final do prazo de empréstimo, a empresa vai pagar ao Banco o montante de (A) 11.8, (B) ,99 (C) 11.5, (D) ,33 (E) 1.98, 23. CESGRANRIO PETROBRÁS 211) Maria quer comprar uma bolsa que custa R$ 85, à vista. Como não tinha essa quantia no momento e não queria perder a oportunidade, aceitou a oferta da loja de pagar duas prestações de R$

48 !! 45,, uma no ato da compra e outra um mês depois. A taxa de juros mensal que a loja estava cobrando nessa operação era de (A) 5,% (B) 5,9% (C) 7,5% (D) 1,% (E) 12,5% 24. CESGRANRIO TJ/RO 28) Um investidor que aplicou um capital durante 25 meses, à taxa de juros simples de 2,% ao mês, resgatou, no final da operação, R$25., de juros. Qual o valor, em reais, aplicado por esse investidor? (A) 32.5, (B) 37.5, (C) 42.5, (D) 5., (E) 52.5, 25. ESAF CVM 21) Qual o valor mais próximo do montante que atinge uma dívida de R$ 2.,, quatro meses e meio depois, a uma taxa de juros simples de 1,5% ao mês? a) R$ 2.115, b) R$ 2.92, c) R$ 2.9, d) R$ 2.15, e) R$ 2.12, 26. ESAF SEFAZ/SP 29 Adaptada) Um capital unitário aplicado a juros gerou um montante de 1,1 ao fim de 2 meses e 15 dias. Qual a taxa de juros simples mensal de aplicação deste capital? a) 4% b) 1% c) 6% d) 54%

49 e) 48%!! 27. ESAF RECEITA FEDERAL 212) Marta aplicou R$ 1., em um banco por 5 meses, a uma taxa de juros simples de 2% ao mês. Após esses 5 meses, o montante foi resgatado e aplicado em outro banco por mais 2 meses, a uma taxa de juros compostos de 1% ao mês. O valor dos juros da segunda etapa da aplicação é igual a a) R$ 221,1. b) R$ 22,. c) R$ 252,2. d) R$ 212,2. e) R$ 211, ESAF RECEITA FEDERAL 212) Um título de R$ 2., foi descontado 4 meses antes do seu vencimento, a uma taxa de desconto comercial simples de 5% ao mês. A taxa efetiva mensal de juros simples dessa operação é igual a a) 6,5%. b) 5,5%. c) 5,25%. d) 6,%. e) 6,25%. 29. ESAF PECFAZ 213) O capital de R$ 12., foi aplicado por um ano e gerou R$ 1.86, de juros. Se a inflação desse ano foi de 5%, então a taxa real de juros desse ano foi: a) 11% b) 1% c) 1,5% d) 9,5% e) 9%

50 !! 3. VUNESP CASA 21) Um capital foi aplicado no sistema de juros simples durante 2 meses, e o montante recebido ao final da aplicação foi igual a 5/4 do capital inicial. A taxa anual de juros simples dessa aplicação foi (A) 15%. (B) 18%. (C) 2%. (D) 22%. (E) 25%. 31. VUNESP CASA 211) Um certo capital foi aplicado a uma taxa de juros simples de 3% ao ano, e o valor recebido de juros, ao final da aplicação, correspondeu a 3/8 do capital inicial. Pode-se afirmar que esse capital permaneceu aplicado durante (A) 1 meses. (B) 1 ano. (C) 1 ano e 3 meses. (D) 1 ano e 5 meses. (E) 1 ano e meio. 32. VUNESP SAP 211) Renato pediu R$ 3., emprestados para pagar depois de 5 meses, à taxa de 3% ao mês, no regime de juro simples. Ao fim desse período, Renato deverá pagar, de juro, (A) R$ 45,. (B) R$ 9,. (C) R$ 18,. (D) R$ 45,. (E) R$ 9,. 33. VUNESP CREFITO-3 212) Bruno financiou a compra de uma TV de LCD. Deu uma entrada de R$ 6,, no ato da compra, mais uma parcela de R$1.38, dois meses após a data da compra. Sabendo que o preço à vista dessa TV era R$ 1.8,, pode-se concluir que a taxa mensal de juro simples desse financiamento foi de (A) 7,5%.

51 (B) 6,%. (C) 5,5%. (D) 5,%. (E) 4,75%.!! 34. VUNESP PREF. SJC 212) Um valor de R$ 8., é aplicado a uma taxa de juros simples de 2,5% a.m. Outra aplicação é feita com o valor de R$5., a uma taxa de juros simples de 6% ao ano, durante quatro meses. O tempo necessário para que o montante da primeira aplicação seja igual aos juros obtidos na segunda aplicação é, em meses, igual a (A) 9. (B) 1. (C) 11. (D) 12. (E) 13.

52 5. GABARITO!! 1 D 2 C 3 E 4 B 5 A 6 A 7 E 8 CEEE 9 CE 1 C 11 D 12 D 13 A 14 E 15 C 16 B 17 C 18 E 19 A 2 A 21 D 22 A 23 E 24 D 25 E 26 A 27 A 28 E 29 B 3 A 31 C 32 D 33 A 34 B

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