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3 !! Cabe reiterar que, além das aulas escritas (formato PDF), disponibilizarei vídeo-aulas sobre os principais tópicos do seu edital, para que você possa estudar da maneira que considerar mais conveniente. Você poderá assistir vídeos sobre Juros, Descontos, Proporções, Porcentagem, Sistemas de Amortização, Lógica de Argumentação, Diagramas Lógicos e Probabilidade. Se sentir necessidade de mais explicações antes de adquirir o material, peço que entre em contato pelo arthurlima@estrategiaconcursos.com.br, ok? Sem mais, vamos a uma breve demonstração do curso.

4 3. INTRODUÇÃO: JUROS SIMPLES E COMPOSTOS!! Juros é o termo utilizado para designar o preço do dinheiro no tempo. Quando você pega certa quantia emprestada no banco, o banco te cobrará uma remuneração em cima do valor que ele te emprestou, pelo fato de deixar você ficar na posse desse dinheiro por um certo tempo. Esta remuneração é expressa pela taxa de juros. Existem duas formas principais, ou regimes, de cobrança de juros: juros simples e juros compostos. O seu edital exige que você conheça as duas, saiba efetuar cálculos com cada uma delas, e saiba distinguir situações onde se aplicam uma ou outra. 3.1 JUROS SIMPLES Continuemos imaginando que você contratou um empréstimo junto ao banco. Pode ser que fique combinado que será cobrada uma taxa de juros mensal apenas sobre o valor emprestado inicialmente. Não serão cobrados juros sobre juros, isto é, sobre o valor que vai sendo acrescido à dívida a cada mês. Neste caso, estamos diante da cobrança de juros simples. Para ilustrar, imagine que você pegou um montante de R$1000 emprestados com o banco a uma taxa de juros simples de 10% ao mês, para pagar após 5 meses. Quanto você deverá pagar ao banco ao final dos 5 meses? Como foi contratado um empréstimo a juros simples, ao final do primeiro mês você deve aplicar a taxa de juros (10%) sobre o capital inicial (R$1000). Como 10% de 1000 é igual a 100, podemos dizer que ao final do primeiro mês a dívida subiu para R$1100, onde R$1000 correspondem ao montante inicial e R$100 correspondem aos juros incorridos no período. Ao final do segundo mês, serão devidos mais 10% de 1000, ou seja, mais 100 reais. Ao final do terceiro, quarto e quinto meses serão devidos mais 100 reais por mês. Portanto, ao final de 5 meses você deverá devolver ao banco o capital inicial acrescido de 5 parcelas de 100 reais, totalizando R$1500. Deste valor, 500 reais referem-se aos juros ( preço que você paga por ter ficado com 1000 reais do banco durante 5 meses) e 1000 reais referem-se ao Principal da dívida, que é outra forma muito comum de designar o capital inicialmente obtido. Podemos usar simplesmente a fórmula abaixo: M = C (1 + j t )

5 !! Nessa fórmula, C é o capital inicial (R$1000), j é a taxa de juros (10% ao mês), t é o período analisado (5 meses), e M é o montante (valor total) devido ao final dos t períodos. Observe que a taxa de juros e o período analisado devem referir-se à mesma unidade temporal (neste caso, ambos referem-se a meses). Se elas não estiverem na mesma unidade, o primeiro passo da resolução deve ser a uniformização destas unidades, como veremos mais adiante neste curso. A fórmula acima pode ser dividida em duas partes, tirando os parênteses: M = C + C j t Nesta fórmula, C j é o valor dos juros pagos a cada período (R$100), que é sempre igual. Já C j t é o total pago na forma de juros (neste caso, R$500). Portanto, o valor dos juros totais devidos é simplesmente: J = C j t Veja ainda que o valor dos juros totais é igual à diferença entre o Montante e o Capital inicial: J = M C Veja que as fórmulas apresentadas possuem 4 variáveis (C, M, j e t). A maioria dos exercícios envolvendo juros simples fornecerão 3 dessas variáveis e perguntarão a quarta. O exercício poderia ter dito que João pegou R$1000 emprestados à taxa de juros simples de 10% ao mês, e perguntar quanto tempo levaria para que o valor devido chegasse a R$1500. Assim, você teria C = 1000, j = 10% e M = 1500, faltando encontrar t:

6 !! M = C (1 + j t) 1500 = 1000 (1+ 10% t) 1500 = 1 + 0,1 t ,5 = 1+ 0,1 t 0,5 = 0,1 t 5 = t Como a taxa de juros refere-se a meses, então t = 5 meses. 3.2 JUROS COMPOSTOS Em alguns casos, os juros não incidirão apenas sobre o capital inicial de um empréstimo. Eles incidirão sobre o valor devido, que aumenta a cada período (pois ao capital inicial vão sendo somados os juros devidos nos períodos anteriores). Por isso, os juros devidos em um mês serão diferentes dos juros devidos no mês seguinte. Vamos usar o mesmo exemplo: você contrata R$1000 de empréstimo junto ao banco, por um período de 5 meses e taxa de juros compostos de 10% ao mês. Qual é o valor devido ao final de 5 meses? Ao final do primeiro mês, aplicaremos a taxa de 10% sobre todo o valor devido, que neste caso é o próprio capital inicial (1000 reais), resultado em juros de 100 reais. Ou seja, ao fim deste mês você estará devendo 1100 reais. Ao final do segundo mês, aplicaremos novamente a taxa de 10% sobre todo o valor devido, que não é mais 1000 reais, e sim 1100 reais. Logo, os juros relativos ao segundo mês somam R$110 reais (e não 100). A dívida total chegou a R$1210 ( ). Portanto, ao final do terceiro mês serão devidos mais R$121 em juros, que resulta da aplicação de 10% sobre R$1210. E assim sucessivamente. Veja que: - ao final do primeiro período, o valor total devido é o mesmo que no caso dos juros simples (R$1100). Essa propriedade é importantíssima: juros simples e juros compostos são equivalentes para um único período. - a partir do segundo período, o valor total devido é maior no caso de juros compostos (R$1210) do que no caso de juros simples (R$1200). Ou seja, os juros compostos são mais onerosos que os juros simples, a partir do segundo período!

7 !! Não vamos demonstrar aqui, mas é importante você gravar que, para períodos fracionários (t entre 0 e 1), os juros simples são mais onerosos que os juros compostos. A fórmula para cálculo de juros compostos é: M = C (1 + j ) t As questões que versam a respeito de juros compostos costumam seguir a mesma linha: apresentam 3 das 4 variáveis e pedem para você calcular a restante. Como o tempo ( t ) está no expoente, será preciso trabalhar com potências e raízes. Para facilitar as contas, em alguns casos a sua prova pode fornecer valores específicos de (1 + j ) t, ou apresentar tabelas, normalmente usando as letras (1 + i ) n, para diferentes valores de i e diferentes valores de n. O termo (1 + i ) n é chamado de Fator de Acumulação de Capital (FAC). Basta você olhar na tabela qual o valor correto da expressão (1 + i ) n para a taxa de juros i e tempo n que você tiver em seu exercício. Vejamos alguns exercícios para você começar a praticar os cálculos de juros simples e compostos. Ainda precisamos ver diversos conceitos relativos a estes temas: taxas efetivas, equivalentes, reais, aparentes, convenções linear e exponencial. Estes temas serão abordados oportunamente ao longo do curso, ok? 3.3 RESOLUÇÃO DE EXERCÍCIOS 1. CESPE PM/AC 2008) Em cada um dos itens seguintes, é apresentada uma situação hipotética a respeito de juros simples e compostos, seguida de uma assertiva a ser julgada. ( ) Um indivíduo emprestou R$ ,00 a um amigo à taxa de juros simples de 1,8% ao mês. Ao final do período combinado, o amigo devolveu o montante de R$32.200,00. Nessa situação, o período do empréstimo foi inferior a 15 meses.

8 !! Veja que o valor inicial da dívida era C = reais. A taxa de juros simples mensal é j = 1,8% ao mês, e o montante final é M = reais. Para descobrir o período t do empréstimo, podemos usar a fórmula de juros simples: M = C x (1 + j x t) Substituindo os valores conhecidos, temos: = x (1 + 1,8% x t) / = (1 + 0,018t) 1,288 = 1 + 0,018t 0,018t = 0,288 t = 0,288 / 0,018 t = 16 meses Portanto, o período do empréstimo foi de 16 meses, prazo superior a 15 meses. Item ERRADO. Resposta: E ***Dica importantíssima: repare que, apesar desse item ser errado, o valor encontrado (16 meses) é muito próximo do valor apresentado pelo enunciado (15 meses). Esta proximidade ocorre na maioria das questões do CESPE, sejam elas certas ou erradas. Assim, se em sua resolução você encontrar um valor muito diferente do apresentado no item (para mais ou para menos), desconfie: há boa chance de você ter errado nos cálculos ou no raciocínio. 2. CESPE BRB 2011) Acerca de juros e taxas de juros, julgue os itens a seguir. ( ) No regime de juros simples, as taxas de 3% ao mês e 36% ao ano, aplicadas sobre o capital de R$ 100,00 e pelo prazo de dois anos, são proporcionais, pois ambas produzem o montante de R$ 172,00. ( ) O montante produzido pela aplicação de R$ 1.000,00 em uma instituição financeira, em 2 anos, à taxa de juros compostos de 10% ao ano, será de R$1.210,00 na data do resgate. Vejamos cada item separadamente:

9 !! ( ) No regime de juros simples, as taxas de 3% ao mês e 36% ao ano, aplicadas sobre o capital de R$ 100,00 e pelo prazo de dois anos, são proporcionais, pois ambas produzem o montante de R$ 172,00. Aplicando a taxa de juros simples j = 3% ao mês, durante 2 anos (t = 24 meses), no capital inicial C = 100 reais, temos o montante: M = C x (1 + j x t) M = 100 x (1 + 3% x 24) M = 100 x (1 + 0,03 x 24) M = 100 x 1,72 = 172 reais Já se aplicarmos a taxa de juros simples j = 36% ao ano, durante t = 2 anos, no capital inicial C = 100 reais, temos o montante: M = 100 x (1 + 36% x 2) M = 100 x (1 + 0,36 x 2) M = 100 x 1,72 = 172 reais De fato ambas as taxas levam 100 reais a 172 reais ao final do mesmo prazo. Como veremos em aulas posteriores, isso nos permite dizer que essas taxas são equivalentes entre si. Além disso, essas duas taxas guardam uma proporção em relação aos seus respectivos prazos. Veja essa proporção abaixo: 3% mês 36% meses (1 ano) Repare que 3% x 12 = 36% x 1. Isto nos permite afirmar também que essas taxas são proporcionais entre si. Assim, o item está CORRETO. Como veremos posteriormente, em se tratando de juros simples as taxas equivalentes são, também, proporcionais entre si. ( ) O montante produzido pela aplicação de R$ 1.000,00 em uma instituição financeira, em 2 anos, à taxa de juros compostos de 10% ao ano, será de R$1.210,00 na data do resgate.

10 !! Aplicando o capital inicial C = 1000 reais à taxa composta j = 10% ao ano pelo período t = 2 anos, o montante M pode ser obtido pela fórmula dos juros compostos: M = C x (1 + j) t Substituindo os valores conhecidos: M = 1000 x (1 + 10%) 2 M = 1000 x (1,10) 2 M = 1000 x 1,21 = 1210 reais CORRETO. Assim, na data do resgate o montante produzido será de 1210 reais. Item Resposta: C C 3. CESPE BRB 2011) Acerca de juros e taxas de juros, julgue os itens a seguir. ( ) Se um investidor aplicar a quantia de R$ 500,00 em uma instituição financeira, pelo prazo de 2 anos, à taxa de juros simples de 4% ao ano, e, ao final desse prazo, ele reinvestir todo o montante recebido na mesma aplicação, por mais 2 anos e nas mesmas condições iniciais, então, ao final desses 4 anos, esse investidor receberá o montante de R$ 580,00. Nesta questão temos duas aplicações sucessivas. Na primeira, o capital inicial C = 500 reais é aplicado pelo prazo t = 2 anos à taxa simples j = 4% ao ano, gerando o montante que pode ser calculado assim: M = C x (1 + j x t) M = 500 x (1 + 0,04 x 2) M = 500 x 1,08 = 540 reais O montante da primeira aplicação será o capital inicial da segunda aplicação (afinal todo ele foi reinvestido). Assim, na segunda aplicação temos C = 540 reais, j = 4% ao ano e t = 2 anos (mesmas condições do primeiro investimento). Portanto, o montante ao final deste prazo é: M = 540 x (1 + 0,04 x 2)

11 !! M = 540 x 1,08 = 583,20 reais Este valor é ligeiramente superior a R$580, portanto o item está ERRADO. Resposta: E Obs.: Repare que se você tivesse considerado uma única aplicação com C = 500, j = 4% ao ano e t = 4 anos (prazo total), teria obtido M = 580 reais. Entretanto esta resolução é incorreta, pois o exercício informa que após 2 anos todo o valor (inclusive os juros) foi reinvestido, de modo que os juros dos primeiros 2 anos passaram a render novos juros ao longo dos 2 anos seguintes, resultando em um montante final ligeiramente superior a 580 reais. 4. CESPE CBM/ES 2011) Considere que um capital de R$10.000,00 tenha sido aplicado em determinado investimento, em regime de juros simples, pelo período de 5 meses. Com base nessas informações, julgue os itens que se seguem. ( ) Obtendo-se a quantia de R$ ,00 ao final do período, é correto afirmar que a taxa de juros simples mensal da aplicação foi de 6%. ( ) Se a taxa de juros mensal da aplicação for de 5%, então o montante auferido no período será de R$ ,00. O enunciado informa que o capital inicial é C = reais, o regime é de juros simples, e o prazo de aplicação é t = 5 meses. Com isso em mãos, vejamos cada item. ( ) Obtendo-se a quantia de R$ ,00 ao final do período, é correto afirmar que a taxa de juros simples mensal da aplicação foi de 6%. Sendo o montante final M = reais, podemos obter a taxa de juros j assim: M = C x (1 + j x t) = x (1 + j x 5) 1,3 = 1 + 5j 5j = 0,3 j = 0,06 = 6% Item CORRETO.

12 !! ( ) Se a taxa de juros mensal da aplicação for de 5%, então o montante auferido no período será de R$ ,00. Sendo j = 5% ao mês, o montante ao final do período é: M = x (1 + 0,05 x 5) M = x 1,25 M = reais Item ERRADO. Novamente repare que, apesar desse item ser errado, o valor encontrado (12500) é próximo daquele apresentado no enunciado (12000). Resposta: C E 5. CESPE CORREIOS 2011) O piso de uma sala retangular, medindo 3,52 m 4,16 m, será revestido com ladrilhos quadrados, de mesma dimensão, inteiros, de forma que não fique espaço vazio entre ladrilhos vizinhos. Os ladrilhos serão escolhidos de modo que tenham a maior dimensão possível. Suponha que a despesa com mão de obra e materiais necessários para assentar os ladrilhos tenha sido orçada em R$ 1.000,00 o m 2 e que o proprietário da sala disponha de apenas R$ ,00. Nesse caso, o proprietário poderá obter o montante necessário aplicando o capital disponível à taxa de juros simples de 8% ao mês durante a) 6 meses. b) 7 meses. c) 8 meses. d) 4 meses. e) 5 meses. A área do retângulo é dada pela multiplicação de um lado (base) pelo outro (altura), isto é: A = b x h = 3,52 x 4,16 = 14,64 m 2 Se 1 metro quadrado custa R$1000, a regra de três simples abaixo nos permite encontrar o custo total (T) do piso desta sala:

13 !! 1 m R$ ,64m T Multiplicando as diagonais e igualando o resultado, temos: 1 x T = 14,64 x 1000 T = reais Se dispomos do capital inicial C = reais e queremos aplicá-lo num investimento que rende juros simples à taxa j = 8% ao mês, para alcançar o montante M igual ao valor total da obra (M = reais), o prazo t deste investimento é obtido assim: M = C x (1 + j x t) = x (1 + 0,08 x t) 1,464 = 1 + 0,08t 0,08t = 0,464 t = 5,8 meses Arredondando para o número inteiro de meses imediatamente acima, são necessários 6 meses para obter o valor da obra. Resposta: A 6. CESPE FUB 2011) Com relação ao regime de juros simples, julgue os itens a seguir. ( ) No regime de juros simples, não ocorre capitalização. No regime de juros simples, os juros incidem apenas sobre o valor inicial da dívida ou do investimento (capital inicial). Assim, esses juros não são capitalizados (incorporados ao capital), de modo a render juros no período seguinte. Esta capitalização dos juros acontece no regime de juros compostos. Item CORRETO. Resposta: C

14 !! 7. CESPE FUB 2011) Com relação ao regime de juros simples, julgue os itens a seguir. ( ) Um capital de R$ ,00 aplicado durante três períodos sucessivos, à taxa de 15% ao período, gerará um juro final igual à metade desse capital. Sendo C = reais, t = 3 períodos e j = 15% ao período, juros simples, a parcela de juros gerada é: J = C x j x t J = x 0,15 x 3 J = 4500 reais Veja que este valor é inferior à metade do capital inicial (4500 < 5000). Portanto, o item está ERRADO. Observe que não seria necessário saber o capital inicial. Isto porque, em 3 períodos, os juros representam 15% x 3 = 45% do capital inicial (ou seja, menos de 50%). Resposta: E 8. CESPE TRE/BA 2010) Acerca de matemática financeira, julgue os itens que se seguem, considerando, para os cálculos, o ano comercial de 360 dias. ( ) Para o investidor, é mais rentável aplicar R$ 5.000,00 por 3 meses, a juros compostos de 3% ao mês, do que aplicar esse mesmo valor, pelo mesmo prazo, a juros simples de 5% ao mês. ( ) Caso um investidor aplique R$ ,00 em quotas de um fundo de renda fixa, pelo período de 90 dias, e resgate, ao final do período, o valor total de R$ ,00, então é correto concluir que os juros simples desse investimento são de 2,5% ao mês. ( ) Para o investidor, é mais rentável aplicar R$ 5.000,00 por 3 meses, a juros compostos de 3% ao mês, do que aplicar esse mesmo valor, pelo mesmo prazo, a juros simples de 5% ao mês.

15 !! Aplicando o capital inicial C = 5000 por t = 3 meses a juros compostos de j = 3% ao mês, o montante obtido é: M = C x (1 + j) t M = 5000 x (1 + 0,03) 3 M = 5000 x 1, = 5463,63 reais Já aplicando este mesmo capital pelo mesmo prazo, porém utilizando a taxa de juros simples j = 5% ao mês, o montante obtido é: M = C x (1 + j x t) M = 5000 x (1 + 0,05 x 3) M = 5000 x 1,15 = 5750 reais Observe que a segunda aplicação leva a um montante maior, portanto é ERRADO dizer que a primeira aplicação é a mais rentável. Por fim, note que bastava perceber que (1 + 3%) 3 é menor que (1+ 5%x3), uma vez que o capital inicial é o mesmo. ( ) Caso um investidor aplique R$ ,00 em quotas de um fundo de renda fixa, pelo período de 90 dias, e resgate, ao final do período, o valor total de R$ ,00, então é correto concluir que os juros simples desse investimento são de 2,5% ao mês. Considerando que 90 dias correspondem a 3 meses, temos um capital inicial C = reais aplicado por t = 3 meses, juros simples, chegando a um montante M = reais. A taxa de juros j pode ser obtida assim: M = C x (1 + j x t) = x (1 + j x 3) 1,075 = 1 + 3j 3j = 0,075 j = 0,025 = 2,5% ao mês Item CORRETO. Resposta: E C 9. CESPE FUB 2011) A respeito de juros simples e compostos, julgue os itens que se seguem.

16 !! ( ) Considere que um capital de R$ ,00 seja aplicado em um fundo de investimentos e, ao final de 12 meses, o montante líquido atinja o dobro do capital inicial. Nesse caso, a taxa mensal de juros líquida, no regime de capitalização simples, é superior a 9%. Temos um capital inicial C = reais, prazo de aplicação t = 12 meses, e montante final M = reais (dobro do capital inicial). Sendo o regime de capitalização simples, a taxa de juros é: M = C x (1 + j x t) = x (1 + j x 12) 2 = j 12j = 1 j = 0,08333 = 8,333% ao mês Resposta: E Este valor é ligeiramente inferior a 9%, tornando o item ERRADO. 10. CESPE STM 2011) Julgue o item a seguir: ( ) A diferença entre a remuneração de capital devido a empréstimo, investimento etc. nos regimes de juros simples e compostos dá-se pelo fato de que, no caso de juros compostos, o cálculo da remuneração por determinado período é feito sobre o capital inicial acrescido dos rendimentos nos períodos anteriores, e, no caso de juros simples, a remuneração é calculada apenas sobre o capital inicial. Mais uma questão teórica versando sobre a diferença entre juros simples e compostos. Como sabemos, a diferença é justamente o fato de que no regime composto ocorre a capitalização dos juros periodicamente (eles são acrescidos ao capital inicial, passando a render juros nos períodos seguintes), o que não ocorre no regime de juros simples, onde apenas o capital inicial rende juros. Item CORRETO. Resposta: C

17 !! 11. CESPE ABIN 2010) Considere que três amigos tenham aplicado quantias diretamente proporcionais aos números 3, 5 e 7, em um banco que pague juros simples de 3% ao mês, e que os montantes dessas aplicações, ao final de 6 meses, tenham somado R$ ,00. Com base nessas informações, julgue os itens a seguir. ( ) A maior quantia aplicada foi superior a R$ ,00. ( ) O montante obtido ao final de 6 meses por uma das aplicações foi de R$11.800,00. ( ) A menor quantia aplicada foi inferior a R$ 5.800,00. Se os valores das aplicações são diretamente proporcionais a 3, 5 e 7, podemos dizer que os amigos aplicaram 3X, 5X e 7X respectivamente. Ou seja, o capital inicial somou, ao todo, C = 15X. Após t = 6 meses, esse capital gerou o montante M = 35400, à taxa simples j = 3% ao mês. Portanto: M = C x (1 + j x t) = 15X x ( 1 + 0,03 x 6) 15X = / 1,18 15X = X = 2000 reais Assim, os valores aplicados pelos rapazes foram: 3X = 6000 reais 5X = reais 7X = reais Com isso em mãos, vamos avaliar os itens: ( ) A maior quantia aplicada foi superior a R$ ,00. ERRADO. A maior quantia foi de R$14000 reais (mais uma vez, próximo do valor do enunciado). ( ) O montante obtido ao final de 6 meses por uma das aplicações foi de R$11.800,00.

18 !! Vamos calcular o montante relativo à aplicação de reais (você poderia testar as demais, se necessário): Item CORRETO. M = C x (1 + j x t) M = x (1 + 0,03 x 6) M = x 1,18 = reais ( ) A menor quantia aplicada foi inferior a R$ 5.800,00. ERRADO. A menor quantia aplicada foi de 6000 reais (próxima a 5800, porém superior). Resposta: E C E 12. CESPE ABIN 2010) Considerando que uma instituição financeira pratique juros mensais simples e compostos e tomando 1,12 como o valor aproximado de 1, , julgue os itens seguintes. ( ) Se 2 capitais iguais forem aplicados, nessa instituição, a juros compostos de 0,95% ao mês e outro for aplicado a juros simples mensais e se os montantes, ao final de 12 meses, forem iguais, então a taxa de juros simples mensais terá sido inferior a 1,1%. ( ) O montante obtido por um investimento de R$ 5.000,00, aplicado por 10 meses, nessa instituição, a juros simples mensais de 1,8% será superior a R$ 5.850,00. ( ) Se 2 capitais iguais forem aplicados, nessa instituição, a juros compostos de 0,95% ao mês e outro for aplicado a juros simples mensais e se os montantes, ao final de 12 meses, forem iguais, então a taxa de juros simples mensais terá sido inferior a 1,1%. Sendo C o valor de cada capital, e M o valor de cada montante (afinal eles são iguais), na aplicação a juros compostos temos a seguinte relação: M = C x (1 + j) t M = C x (1 + 0,0095) 12 Como o enunciado disse que 1, é aproximadamente 1,12:

19 !! M = C x 1,12 Na aplicação a juros simples, temos que: M = C x (1 + j x t) Podemos substituir M por C x 1,12, afinal M e C são iguais nas duas aplicações: C x 1,12 = C x (1 + j x 12) 1,12 = j 12j = 0,12 j = 0,01 = 1% ao mês Portanto, a taxa de juros simples é inferior a 1,1% ao mês. Item CORRETO. ( ) O montante obtido por um investimento de R$ 5.000,00, aplicado por 10 meses, nessa instituição, a juros simples mensais de 1,8% será superior a R$ 5.850,00. Sendo C = 5000 reais, t = 10 meses e j = 1,8% ao mês, temos o montante: M = C x (1 + j x t) M = 5000 x (1 + 0,018 x 10) M = 5000 x 1,18 = 5900 reais CORRETO. Temos um valor ligeiramente superior a R$5850, o que torna o item Resposta: C C 13. CESPE ABIN 2010) Considerando que determinado investidor tenha aplicado um capital em um banco que paga juros compostos mensais de 0,8%, e tomando 1,1 como o valor aproximado de 1,008 12, julgue os itens subsequentes. ( ) Se o investidor tivesse aplicado R$ ,00, no referido banco, o montante da aplicação, ao final de 12 meses, seria superior a R$ ,00. ( ) Caso o montante do investimento auferido em 12 meses tenha sido de R$8.800,00, o capital aplicado foi inferior a R$ 7.700,00.

20 !! ( ) Se o investidor tivesse aplicado R$ ,00, no referido banco, o montante da aplicação, ao final de 12 meses, seria superior a R$ ,00. Sendo C = reais, j = 0,8% ao mês, t = 12 meses, juros compostos, o montante final é: CORRETO. M = C x (1 + j) t M = x (1 + 0,008) 12 M = x 1,1 M = reais Temos um valor ligeiramente superior a reais, tornando o item ( ) Caso o montante do investimento auferido em 12 meses tenha sido de R$8.800,00, o capital aplicado foi inferior a R$ 7.700,00. Sendo M = 8800 reais, t = 12 meses, j = 0,8% ao mês, juros compostos, podemos obter o valor do capital inicial assim: M = C x (1 + j) t 8800 = C x (1 + 0,008) 12 C = 8800 / 1,1 C = 8000 reais Este valor é superior R$7700, tornando o item ERRADO. Resposta: C E 14. CESPE STM 2011) Carlos e Paulo ganharam R$ ,00 em uma loteria. Com a sua metade do prêmio, Carlos comprou um apartamento e o alugou por R$600,00 ao mês. No mesmo dia, Paulo investiu a sua parte em uma aplicação financeira à taxa de juros compostos de 0,6% ao mês. Carlos guardava em casa o valor do aluguel recebido; Paulo deixava o seu rendimento na aplicação, para render nos meses seguintes. Com base nessa situação, e considerando as aproximações 1,006 2 = 1,012; 1,006 3 = 1,018 e 1,006 6 = 1,0363; julgue os itens que se seguem.

21 !! ( ) O rendimento obtido por Paulo no primeiro mês de aplicação é o mesmo que o obtido por Carlos no primeiro mês de aluguel. ( ) No terceiro mês, o valor dos juros obtidos pelo investimento de Paulo foi inferior ao valor do aluguel recebido por Carlos. ( ) Para que, ao final do sexto mês, os montantes acumulados por Carlos e por Paulo fossem iguais, Carlos deveria ter alugado o seu apartamento por um valor superior a R$ 610,00. ( ) Ao final do terceiro mês, Paulo acumulou um montante superior a R$ ,00. ( ) O rendimento obtido por Paulo no primeiro mês de aplicação é o mesmo que o obtido por Carlos no primeiro mês de aluguel. Os juros auferidos por Paulo no primeiro mês são: J = x 0,6% = x 0,006 = 600 reais Trata-se do mesmo valor obtido por Carlos. Item CORRETO. ( ) No terceiro mês, o valor dos juros obtidos pelo investimento de Paulo foi inferior ao valor do aluguel recebido por Carlos. Vamos resolver essa questão sem efetuar contas, mas apenas entendendo a dinâmica do problema. Observe que Carlos receberá mensalmente R$600, afinal este é o valor fixo do aluguel. É como se ele houvesse aplicado o dinheiro a juros simples. Já Paulo recebeu também R$600 no primeiro mês, porém como a sua aplicação é feita no regime de juros compostos, isto significa que no segundo mês ele receberá um valor ligeiramente superior (pois os juros do primeiro mês são incorporados ao capital e rendem novos juros). No terceiro mês, Paulo receberá mais um pouco. Isto é, podemos afirmar que Paulo receberá mais do que R$600 nos meses subsequentes, ou seja, mais do que Carlos, o que torna o item ERRADO.

22 !! ( ) Para que, ao final do sexto mês, os montantes acumulados por Carlos e por Paulo fossem iguais, Carlos deveria ter alugado o seu apartamento por um valor superior a R$ 610,00. Ao final de 6 meses, o montante de Paulo será: M = C x (1 + j) t M = x (1 + 0,006) 6 Como o enunciado disse que 1,006 6 = 1,0363, temos: M = x 1,0363 M = reais Para que Carlos também tivesse reais ao final de 6 meses, ele deveria ter recebido, a título de aluguel, = 3630 reais. Dividindo este valor entre os 6 meses de aluguel, podemos dizer que Carlos deveria ter recebido 3630 / 6 = 605 reais por mês. Como 605 é inferior a 610, o item encontrase ERRADO. ( ) Ao final do terceiro mês, Paulo acumulou um montante superior a R$ ,00. Ao final do terceiro mês, o montante de Paulo é: M = x (1 + 0,006) 3 Dado que 1,006 3 = 1,018 (fornecido pelo enunciado), temos: M = x 1,018 = reais ERRADO. Temos um valor ligeiramente inferior a R$ , portanto o item está Resposta: C E E E 15. CESPE TRE/ES 2011) Com base nos conceitos e aplicações da matemática financeira, julgue os seguintes itens. ( ) Se uma pessoa investir determinada importância em um tipo de investimento cujo rendimento mensal é de 10% a juros compostos e, ao final de dois meses, o

23 !! montante disponível for de R$ 121 mil, então a importância investida foi de R$ ,00. Temos um montante final M = reais, taxa de juros compostos j = 10% ao mês, e prazo de aplicação t = 2 meses. Assim, podemos obter o capital inicial: M = C x (1 + j) t = C x (1 + 0,1) = C x 1, = C x 1,21 C = / 1,21 = reais Portanto, a importância investida (capital inicial) é superior a R$96.800, tornando o item ERRADO. Resposta: E 16. CESPE Banco do Brasil 2008) Considere que determinada concessionária de veículos ofereça, além do pagamento à vista, vários planos de financiamento, à taxa de juros compostos de 1,5% ao mês. Com base nessas informações e considerando 1,2 como valor aproximado para 1,015 12, julgue os seguintes itens. ( ) Caso um indivíduo disponha de R$ ,00 e, em vez de comprar um veículo, ele invista seu dinheiro em uma instituição financeira que pague 1,5% ao mês de juros compostos, em 24 meses ela obterá um montante superior a R$ ,00. Se temos um capital inicial C = reais e podemos aplicá-lo pelo prazo t = 24 meses à taxa composta j = 1,5% ao mês, o montante obtido será: M = C x (1 + j) t M = x (1 + 0,015) 24 Como o enunciado disse que 1, = 1,2, podemos dizer que: 1, = 1, x 1, = 1,2 x 1,2 = 1,44 Portanto, M = x 1,44 = reais

24 !! Resposta: E Como vemos, o montante é inferior a R$23000, tornando o item ERRADO. 17. CESPE CAIXA 2010) Antônio fez os dois investimentos seguintes, em que ambos pagam juros compostos de 3% ao mês. I Três depósitos mensais, consecutivos e iguais a R$ 2.000,00; o primeiro foi feito no dia 1.º/3/2009. II Dois depósitos mensais, consecutivos e iguais a R$ 3.000,00; o primeiro foi feito no dia 1.º/3/2009. Considerando que M 1 e M 2 sejam, respectivamente, os montantes das aplicações I e II na data do terceiro depósito correspondente ao investimento I, assinale a opção correta. a) M 2 M 1 = R$90,90 b) M 2 M 1 = R$45,45 c) M 2 = M 1 d) M 1 M 2 = R$45,45 e) M 1 M 2 = R$90,90 Vejamos na linha do tempo os depósitos efetuados na aplicação I: Observe que, na data do 3º depósito, o 1º depósito já rendeu juros por t = 2 meses e o 2º depósito já rendeu juros por t = 1 mês. Assim, somando os montantes dos 3 depósitos, na data de 01/05/2009, podemos obter o montante M 1 : M 1 = 2000 x (1,03) x (1,03)

25 !! M 1 = 2000 x 1, x 1, = 6181,80 reais Vejamos agora os depósitos efetuados na aplicação II: Repare que, na data de interesse do enunciado (01/05/2009), o 1º depósito terá rendido juros por t = 2 meses e o 2º depósito terá rendido juros por t = 1 mês. Assim, podemos obter o valor de M 2 : M 2 = 3000 x (1,03) x (1,03) 1 M 2 = 3000 x 1, x 1,03 = 6272,70 reais Resposta: A Portanto, veja que: M 2 M 1 = 6272, ,80 = 90,90 reais 18. CESPE TCE/AC 2009) Um fundo de investimentos pratica a taxa de juros compostos de 21% ao bimestre. Se forem investidos R$ 2.500,00 nesse fundo, o valor dos juros, em reais, obtidos por esse capital após quatro meses de aplicação será a) inferior a b) superior a e inferior a c) superior a e inferior a d) superior a e inferior a e) superior a Temos o capital inicial C = 2500 reais, taxa de juros j = 21% ao bimestre, prazo de aplicação t = 2 bimestres (4 meses), juros compostos. Assim, o montante obtido será: M = C x (1 + j) t M = 2500 x (1 + 21%) 2

26 !! M = 2500 x 1,21 2 M = 2500 x 1,4641 = 3660,25 reais O valor dos juros dessa aplicação é justamente a diferença entre o montante final e o capital inicial, isto é: J = M C J = 3660, = 1160,25 reais Resposta: C Temos um valor entre 1100 e 1200 reais, tornando a alternativa C o gabarito. 19. CESPE TCE/AC 2009) Um capital foi aplicado pelo período de um ano, em uma conta remunerada, à taxa de juros de 10% ao mês. Considerando que o regime de capitalização foi de juros simples nos primeiros 10 meses e de juros compostos nos 2 últimos meses, que, durante esse ano, o investimento gerou um lucro de R$3.075,01, e desconsiderando taxas de administração e outras taxas, então é correto afirmar que o capital aplicado, em reais, foi A inferior a B superior a e inferior a C superior a e inferior a D superior a e inferior a E superior a Seja C o valor deste capital inicialmente aplicado. Após t = 10 meses de aplicação a juros simples de j = 10% ao mês, o montante intermediário M 1 é: M 1 = C x (1 + 10% x 10) M 1 = C x (1 + 1) M 1 = 2C Nos últimos 2 meses, esse montante intermediário M 1 = 2C foi aplicado à taxa composta de 10% ao mês, levando ao valor final M: M = M 1 x (1 + 10%) 2 M = 2C x 1,1 2 M = 2C x 1,21

27 !! M = 2,42C Foi dito que este investimento gerou lucro de R$3075,01. Isto significa que a diferença entre o montante final M e o capital inicial C é de 3075,01 reais: M C = 3075,01 2,42C C = 3075,01 1,42C = 3075,01 C = 3075,01 / 1,42 = 2165,50 reais Portanto, o capital inicialmente aplicado foi inferior a R$2170, tornando a alternativa A o gabarito. Resposta: A 20. CESPE BANESE 2004) Julgue os itens que se seguem. ( ) Considere que uma pessoa tome R$ 1.500,00 emprestados a juros de 10% ao mês, pelo prazo de 2 meses. Nesse caso, se a capitalização for composta, o montante a ser devolvido no final do período será superior a R$ 1.800,00. Sendo a dívida inicial C = 1500 reais, j = 10% ao mês, t = 2 meses, juros compostos, o montante final é: M = C x (1 + j) t M = 1500 x (1 + 0,10) 2 M = 1500 x 1,21 = 1815 reais Temos um valor ligeiramente superior a R$1800, tornando o item CORRETO. Resposta: C *************************** Caro aluno, por hoje é só!! Como você pode perceber, questões exigindo os conhecimentos básicos de juros simples e compostos são muito comuns em provas do CESPE. Em nosso curso aprofundaremos este estudo, para garantir que você chegue na prova dominando-o!

28 !! Nos vemos na aula 01. Saudações, Prof. Arthur Lima

29 !! 4. LISTA DAS QUESTÕES APRESENTADAS NA AULA 1. CESPE PM/AC 2008) Em cada um dos itens seguintes, é apresentada uma situação hipotética a respeito de juros simples e compostos, seguida de uma assertiva a ser julgada. ( ) Um indivíduo emprestou R$ ,00 a um amigo à taxa de juros simples de 1,8% ao mês. Ao final do período combinado, o amigo devolveu o montante de R$32.200,00. Nessa situação, o período do empréstimo foi inferior a 15 meses. 2. CESPE BRB 2011) Acerca de juros e taxas de juros, julgue os itens a seguir. ( ) No regime de juros simples, as taxas de 3% ao mês e 36% ao ano, aplicadas sobre o capital de R$ 100,00 e pelo prazo de dois anos, são proporcionais, pois ambas produzem o montante de R$ 172,00. ( ) O montante produzido pela aplicação de R$ 1.000,00 em uma instituição financeira, em 2 anos, à taxa de juros compostos de 10% ao ano, será de R$1.210,00 na data do resgate. 3. CESPE BRB 2011) Acerca de juros e taxas de juros, julgue os itens a seguir. ( ) Se um investidor aplicar a quantia de R$ 500,00 em uma instituição financeira, pelo prazo de 2 anos, à taxa de juros simples de 4% ao ano, e, ao final desse prazo, ele reinvestir todo o montante recebido na mesma aplicação, por mais 2 anos e nas mesmas condições iniciais, então, ao final desses 4 anos, esse investidor receberá o montante de R$ 580, CESPE CBM/ES 2011) Considere que um capital de R$10.000,00 tenha sido aplicado em determinado investimento, em regime de juros simples, pelo período de 5 meses. Com base nessas informações, julgue os itens que se seguem. ( ) Obtendo-se a quantia de R$ ,00 ao final do período, é correto afirmar que a taxa de juros simples mensal da aplicação foi de 6%.

30 !! ( ) Se a taxa de juros mensal da aplicação for de 5%, então o montante auferido no período será de R$ , CESPE CORREIOS 2011) O piso de uma sala retangular, medindo 3,52 m 4,16 m, será revestido com ladrilhos quadrados, de mesma dimensão, inteiros, de forma que não fique espaço vazio entre ladrilhos vizinhos. Os ladrilhos serão escolhidos de modo que tenham a maior dimensão possível. Suponha que a despesa com mão de obra e materiais necessários para assentar os ladrilhos tenha sido orçada em R$ 1.000,00 o m 2 e que o proprietário da sala disponha de apenas R$ ,00. Nesse caso, o proprietário poderá obter o montante necessário aplicando o capital disponível à taxa de juros simples de 8% ao mês durante a) 6 meses. b) 7 meses. c) 8 meses. d) 4 meses. e) 5 meses. 6. CESPE FUB 2011) Com relação ao regime de juros simples, julgue os itens a seguir. ( ) No regime de juros simples, não ocorre capitalização. 7. CESPE FUB 2011) Com relação ao regime de juros simples, julgue os itens a seguir. ( ) Um capital de R$ ,00 aplicado durante três períodos sucessivos, à taxa de 15% ao período, gerará um juro final igual à metade desse capital. 8. CESPE TRE/BA 2010) Acerca de matemática financeira, julgue os itens que se seguem, considerando, para os cálculos, o ano comercial de 360 dias.

31 !! ( ) Para o investidor, é mais rentável aplicar R$ 5.000,00 por 3 meses, a juros compostos de 3% ao mês, do que aplicar esse mesmo valor, pelo mesmo prazo, a juros simples de 5% ao mês. ( ) Caso um investidor aplique R$ ,00 em quotas de um fundo de renda fixa, pelo período de 90 dias, e resgate, ao final do período, o valor total de R$ ,00, então é correto concluir que os juros simples desse investimento são de 2,5% ao mês. 9. CESPE FUB 2011) A respeito de juros simples e compostos, julgue os itens que se seguem. ( ) Considere que um capital de R$ ,00 seja aplicado em um fundo de investimentos e, ao final de 12 meses, o montante líquido atinja o dobro do capital inicial. Nesse caso, a taxa mensal de juros líquida, no regime de capitalização simples, é superior a 9%. 10. CESPE STM 2011) Julgue o item a seguir: ( ) A diferença entre a remuneração de capital devido a empréstimo, investimento etc. nos regimes de juros simples e compostos dá-se pelo fato de que, no caso de juros compostos, o cálculo da remuneração por determinado período é feito sobre o capital inicial acrescido dos rendimentos nos períodos anteriores, e, no caso de juros simples, a remuneração é calculada apenas sobre o capital inicial. 11. CESPE ABIN 2010) Considere que três amigos tenham aplicado quantias diretamente proporcionais aos números 3, 5 e 7, em um banco que pague juros simples de 3% ao mês, e que os montantes dessas aplicações, ao final de 6 meses, tenham somado R$ ,00. Com base nessas informações, julgue os itens a seguir. ( ) A maior quantia aplicada foi superior a R$ ,00. ( ) O montante obtido ao final de 6 meses por uma das aplicações foi de R$11.800,00. ( ) A menor quantia aplicada foi inferior a R$ 5.800,00.

32 !! 12. CESPE ABIN 2010) Considerando que uma instituição financeira pratique juros mensais simples e compostos e tomando 1,12 como o valor aproximado de 1, , julgue os itens seguintes. ( ) Se 2 capitais iguais forem aplicados, nessa instituição, a juros compostos de 0,95% ao mês e outro for aplicado a juros simples mensais e se os montantes, ao final de 12 meses, forem iguais, então a taxa de juros simples mensais terá sido inferior a 1,1%. ( ) O montante obtido por um investimento de R$ 5.000,00, aplicado por 10 meses, nessa instituição, a juros simples mensais de 1,8% será superior a R$ 5.850, CESPE ABIN 2010) Considerando que determinado investidor tenha aplicado um capital em um banco que paga juros compostos mensais de 0,8%, e tomando 1,1 como o valor aproximado de 1,008 12, julgue os itens subsequentes. ( ) Se o investidor tivesse aplicado R$ ,00, no referido banco, o montante da aplicação, ao final de 12 meses, seria superior a R$ ,00. ( ) Caso o montante do investimento auferido em 12 meses tenha sido de R$8.800,00, o capital aplicado foi inferior a R$ 7.700, CESPE STM 2011) Carlos e Paulo ganharam R$ ,00 em uma loteria. Com a sua metade do prêmio, Carlos comprou um apartamento e o alugou por R$600,00 ao mês. No mesmo dia, Paulo investiu a sua parte em uma aplicação financeira à taxa de juros compostos de 0,6% ao mês. Carlos guardava em casa o valor do aluguel recebido; Paulo deixava o seu rendimento na aplicação, para render nos meses seguintes. Com base nessa situação, e considerando as aproximações 1,006 2 = 1,012; 1,006 3 = 1,018 e 1,006 6 = 1,0363; julgue os itens que se seguem. ( ) O rendimento obtido por Paulo no primeiro mês de aplicação é o mesmo que o obtido por Carlos no primeiro mês de aluguel.

33 !! ( ) No terceiro mês, o valor dos juros obtidos pelo investimento de Paulo foi inferior ao valor do aluguel recebido por Carlos. ( ) Para que, ao final do sexto mês, os montantes acumulados por Carlos e por Paulo fossem iguais, Carlos deveria ter alugado o seu apartamento por um valor superior a R$ 610,00. ( ) Ao final do terceiro mês, Paulo acumulou um montante superior a R$ , CESPE TRE/ES 2011) Com base nos conceitos e aplicações da matemática financeira, julgue os seguintes itens. ( ) Se uma pessoa investir determinada importância em um tipo de investimento cujo rendimento mensal é de 10% a juros compostos e, ao final de dois meses, o montante disponível for de R$ 121 mil, então a importância investida foi de R$ , CESPE Banco do Brasil 2008) Considere que determinada concessionária de veículos ofereça, além do pagamento à vista, vários planos de financiamento, à taxa de juros compostos de 1,5% ao mês. Com base nessas informações e considerando 1,2 como valor aproximado para 1,015 12, julgue os seguintes itens. ( ) Caso um indivíduo disponha de R$ ,00 e, em vez de comprar um veículo, ele invista seu dinheiro em uma instituição financeira que pague 1,5% ao mês de juros compostos, em 24 meses ela obterá um montante superior a R$ , CESPE CAIXA 2010) Antônio fez os dois investimentos seguintes, em que ambos pagam juros compostos de 3% ao mês. I Três depósitos mensais, consecutivos e iguais a R$ 2.000,00; o primeiro foi feito no dia 1.º/3/2009. II Dois depósitos mensais, consecutivos e iguais a R$ 3.000,00; o primeiro foi feito no dia 1.º/3/2009.

34 !! Considerando que M 1 e M 2 sejam, respectivamente, os montantes das aplicações I e II na data do terceiro depósito correspondente ao investimento I, assinale a opção correta. a) M 2 M 1 = R$90,90 b) M 2 M 1 = R$45,45 c) M 2 = M 1 d) M 1 M 2 = R$45,45 e) M 1 M 2 = R$90, CESPE TCE/AC 2009) Um fundo de investimentos pratica a taxa de juros compostos de 21% ao bimestre. Se forem investidos R$ 2.500,00 nesse fundo, o valor dos juros, em reais, obtidos por esse capital após quatro meses de aplicação será a) inferior a b) superior a e inferior a c) superior a e inferior a d) superior a e inferior a e) superior a CESPE TCE/AC 2009) Um capital foi aplicado pelo período de um ano, em uma conta remunerada, à taxa de juros de 10% ao mês. Considerando que o regime de capitalização foi de juros simples nos primeiros 10 meses e de juros compostos nos 2 últimos meses, que, durante esse ano, o investimento gerou um lucro de R$3.075,01, e desconsiderando taxas de administração e outras taxas, então é correto afirmar que o capital aplicado, em reais, foi A inferior a B superior a e inferior a C superior a e inferior a D superior a e inferior a E superior a CESPE BANESE 2004) Julgue os itens que se seguem.

35 !! ( ) Considere que uma pessoa tome R$ 1.500,00 emprestados a juros de 10% ao mês, pelo prazo de 2 meses. Nesse caso, se a capitalização for composta, o montante a ser devolvido no final do período será superior a R$ 1.800,00.

36 5. GABARITO!! 01 E 02 CC 03 E 04 CE 05 A 06 C 07 E 08 EC 09 E 10 C 11 ECE 12 CC 13 CE 14 CEEE 15 E 16 E 17 A 18 C 19 A 20 C