1. JUROS SIMPLES Fórmula de juros simples. Matemática Financeira p/ Banco Central Prof Vítor Menezes Aula 01

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2 1. JUROS SIMPLES A situação é a seguinte: alguém possui dinheiro hoje, mas não precisa ou não quer usá-lo. Outra pessoa não possui dinheiro agora, mas quer ou precisa usar uma graninha no momento atual. Quem tem o dinheiro hoje pode cedê-lo para a pessoa que precisa. Para tanto, ela cobra um aluguel. Este aluguel são os juros. Esta é uma maneira simplificada de entender porque pagamos juros quando pegamos dinheiro emprestado. Estamos pagando uma remuneração para que quem nos emprestou deixe de usar o dinheiro hoje, para poder usá-lo só depois. Na realidade, os juros são calculados com base em vários fatores. Veja alguns deles: Risco: quem empresta o dinheiro está correndo um risco de não receber o dinheiro de volta. Despesas para emprestar: em alguns casos existem despesas para o empréstimo. Imagine um banco emprestando. Ele tem algumas despesas nesta operação, que certamente são cobradas de quem pegou o dinheiro emprestado. Perda de valor do dinheiro: sabemos que a inflação corrói o poder de compra do dinheiro. Obviamente, quem emprestou vai querer ter o seu poder de compra preservado. Ele vai repassar este ônus ao emprestador. Custo de Oportunidade: imagine que existam outras opções de investimento. Pense, por exemplo, que, em vez de emprestar o dinheiro, eu possa colocar na poupança. A poupança é um investimento muito seguro. Só vou deixar de investir meu dinheiro nela (deixando de auferir seus rendimentos), se o investimento pelo qual eu optar me propiciar um retorno maior. Esse retorno maior tem que compensar o custo de oportunidade que estou tendo (ou seja, o rendimento que estou deixando de ganhar, ao não aplicar na poupança) Fórmula de juros simples Exemplo 1: João empresta R$ 200,00 para Pedro, cobrando uma taxa de 1% ao mês (juros simples). Qual o valor da dívida, depois de dez meses? Pronto. Entramos em um dos problemas mais comuns de matemática financeira. A cobrança de juros. Este tipo de problema vai nos acompanhar durante todas as aulas de matemática financeira. A ideia é sempre a mesma. O que vai dificultando, aos poucos, são os cálculos envolvidos. A ideia dos juros é remunerar o capital. Pedro precisa do dinheiro hoje, mas não tem este dinheiro. João tem o dinheiro, mas não precisa dele agora. Assim, João empresta o dinheiro para Pedro, mas cobra uma remuneração por isto. Esta remuneração são os juros. Prof. Vítor Menezes 2

3 Os juros representam uma receita (ou rendimento) para quem empresta o dinheiro e uma despesa para quem toma emprestado. O valor dos juros depende da taxa. Dizer que é cobrada uma taxa de 1% significa que os juros cobrados são de: Portanto, os juros são iguais a R$ 2,00. =1% 200=0,01 200=2 Pois bem, passado o primeiro mês, Pedro já deve a João R$ 202,00. Deste valor, temos R$ 200,00 correspondentes ao inicialmente emprestado, mais R$ 2,00 de juros. Passa o segundo mês. Pedro continua usando o dinheiro de João. Portanto, terá que pagar novos juros. A taxa permanece em 1%. Como calcular os juros do segundo mês? A partir do segundo mês, temos que saber se a taxa é de juros simples ou de juros compostos. Quando temos juros simples, a taxa sempre incide sobre o valor inicial. Assim, os juros do segundo mês serão, novamente, iguais a R$ 2,00. Fica assim: =1% 200=2 Passa o terceiro mês. E o Pedro continua com o dinheiro do João. Portanto, vai ter que pagar mais uma remuneração. Novamente teremos uma taxa de 1%. E, como são juros simples, novamente esta taxa incidirá sobre o valor inicialmente emprestado (R$ 200,00). Portanto, os juros do terceiro mês serão novamente de R$ 2,00. E assim por diante, até o décimo mês. Ao final do décimo mês, Pedro terá que devolver os R$ 200,00 iniciais mais R$ 2,00 reais para cada mês que passou. Assim, Pedro terá que devolver: =220 Resposta: depois de dez meses o valor da dívida é de R$ 220,00. Alguns nomes importantes. A quantia inicial (=200,00) geralmente recebe um nome importante: capital inicial (C). A quantia final (=220,00) também recebe um nome importante: montante (M). Podemos dizer que o montante (M) é igual ao capital (C) mais os juros (J). = + Foi exatamente isto que aconteceu no nosso exemplo. O capital foi de 200. Os juros foram de 20. E o montante foi 220. Esta equação sempre vale, sejam juros simples, sejam compostos. O que vai mudar, conforme as taxas sejam simples ou compostas, é a forma de calcular os juros. No caso de regime simples, os juros ficam: Prof. Vítor Menezes 3

4 Nesta fórmula temos: J são os juros = n é o número de períodos que passaram i é a taxa de juros C é o capital E foi exatamente esta fórmula que usamos no problema acima. Pedro teve que pagar, de juros, vinte reais. Ou seja, Pedro teve que pagar juros de: Então esta é a fórmula que temos que saber para juros simples: = Considerando que = +, podemos obter: = + = + Colocando C em evidência: = (1+ ) Fórmulas para juros simples: = + (vale sempre, mesmo que sejam juros compostos) = (vale só para juros simples) = (1+ ) (decorrência das duas anteriores, então é só para juros simples) Mais alguns comentários sobre todas as parcelas vistas. Prof. Vítor Menezes 4

5 O capital é a quantidade de moeda que uma pessoa tem disponível para ceder a outra pessoa. Os problemas podem utilizar outros nomes, de mesmo significado. São eles: principal, valor aplicado, investimento inicial. A pessoa que cede o dinheiro é o investidor. Quem recebe o dinheiro é o tomador. A remuneração paga pelo empréstimo (ou ainda, pela cessão do dinheiro) são os juros. Como já dissemos, para o tomador os juros são uma despesa e para o investidor os juros são uma receita. O montante é o valor total da transação financeira, sendo equivalente à soma dos juros com o capital. A taxa de juros representa a relação entre o juro e o capital investido. No nosso exemplo, o capital investido foi de R$ 200,00 e os juros mensais eram de R$ 2,00. Vamos fazer a relação entre esses dois valores: =0,01=1% Este valor acima é justamente a taxa de juros. Dizemos que a taxa de juros é de 1% ao mês. Isto porque, a cada mês, serão pagos juros correspondentes a 1% do capital. Exemplo 2: Um capital no valor de R$ 1.000,00 é aplicado a uma taxa de juros simples de 3% ao mês, durante 5 meses. Qual o valor dos juros? Qual o valor do montante? Aplicação direta da fórmula. Primeiro identificamos os termos: =1.000 =3%=0,03 =5 Como temos o capital e precisamos calcular os juros, vamos para a fórmula que relaciona essas duas grandezas: Calculando o montante: = =5 0, =150 = + = =1.150 Exemplo 3: Um capital desconhecido foi aplicado a uma taxa de 10% ao mês (juros simples), durante 2 meses, resultando no montante de R$ 2.400,00. Calcule o valor do capital. Prof. Vítor Menezes 5

6 Como temos o montante, usamos a fórmula em que ele aparece. Há duas em que isso ocorre: = + Essa fórmula não é muito útil, pois nela há duas grandezas desconhecidas (C e J). Vamos optar pela outra fórmula do montante: = (1+ ) Agora sim, a única grandeza desconhecida é o capital. Ficamos com: O capital é de R$ 2.000, = (1+2 0,1) 2.400= 1,2 = ,2 =2.000 Exemplo 4: Um capital de 3.000,00 é aplicado durante determinado período, a uma taxa de juros simples 3% ao mês, resultando no montante de R$ 3.540,00. Calcule o número de meses da aplicação. Há duas opções: 1º) partimos direto para: O prazo de aplicação é 6 meses. = (1+ ) 3.540=3.000 (1+ 0,03) 3.540= , =90 = =6 2ª) Primeiro calculamos os juros: = = = =540 Agora aplicamos a fórmula dos juros: = Prof. Vítor Menezes 6

7 Exemplo 5: 540= 0, =90 = =6 Um capital de R$ ,00 é aplicado durante 10 meses, a uma taxa desconhecida, resultando no montante de R$ ,00. Calcule o valor da taxa de juros simples mensal. Há duas opções: 1º) partimos direto para: = (1+ ) = (1+ 0,03) = = = =0,05 A taxa é de 5% ao mês. Detalhe interessante: como o prazo foi trabalhado em meses, a taxa obtida também é mensal. 2ª) Primeiro calculamos os juros: Agora aplicamos a fórmula dos juros: = = = =5000 = 5000= = = =5% Nos exemplos acima vimos todas as variações. As questões dão todas as grandezas, a execção de uma (juro, montante, capital, taxa de juros ou prazo). Nossa tarefa é isolar a grandeza de interesse e fazer o cálculo Períodos da taxa Prof. Vítor Menezes 7

8 A taxa de juros, nos exemplos acima, foi sempre expressa para o período de 1 mês. Dizemos que trata-se de uma taxa mensal, ou ao mês. Exemplo: capital de 100,00, aplicado a uma taxa de 2% ao mês. Isso significa que, a cada mês, teremos juros de 2% incidindo sobre 100,00. Essa taxa é representada assim: 2% a.m. A sigla a.m significa ao mês. A taxa pode vir expressa em qualquer prazo. Cada um tem uma sigla. Exemplos: mensal: a.m (ao mês) bimestral: a.b (ao bimestre) trimestral: a.t. (ao trimestre) semestral: a.s. (ao semestre) anual: a.a. (ao ano) Exemplo: 1% a.m. = 1% ao mês; 2% a.a. = 2% ao ano; 3% a.b = 3% ao bimestre; 4% a.t. = 4% ao trimestre; 5% a.s. =5% ao semestre Cuidados na aplicação da fórmula de juros simples De uma forma geral, o conhecimento das fórmulas acima é suficiente para resolver todas as questões de juros simples. O cuidado que se deve ter é com as unidades. As unidades de tempo e da taxa têm que ser coerentes. Assim, se a taxa está ao mês e o prazo está em anos, não podemos sair aplicando a fórmula. Antes, temos que garantir que as unidades estejam condizentes. Temos sempre duas opções: podemos converter o prazo (passando-o de anos para meses, ou para dias etc.); podemos converter a taxa (passando uma taxa que está ao dia para outra ao mês, ao ano, ao semestre, ao bimestre etc.) A conversão de prazo é sempre feita por regra de três. Já a conversão da taxa depende do regime de juros. No caso do regime de juros simples, também basta a aplicação da regra de três. Veremos este assunto com mais detalhes nos itens seguintes. Prof. Vítor Menezes 8

9 Conversão de prazo: sempre aplicar regra de três Conversão de taxa: no caso do regime simples, aplicar regra de três. Exemplo 6: Um capital de 1.000,00 foi aplicado durante 6 bimestres a uma taxa de juros de 3% ao trimestre. Calcule o montante obtido. Resolução. Vejam que o prazo está em bimestres e a taxa é trimestral. Antes de sair fazendo contas, temos que igualar as unidades. 1ª opção: convertemos a taxa em bimestral. Basta aplicar regra de três: 3% meses (=1 trimestre) x meses (=1 bimestre) Agora multiplicamos cruzado: 3% 2=3 =2% A taxa bimestral é de 2%. Agora o prazo está em bimestres (6 bimestres) e a taxa está ao bimestre (2% ao bimestre) Basta aplicar a fórmula: = (1+ ) =1.000 (1+6 0,02) =1.000 (1,12) =1.120,00 2ª opção: convertemos o prazo para trimestres. Basta aplicar regra de três. 3 meses correspondem a 1 trimestre. O nosso prazo é de 12 meses (=6 bimestres). A quantos trimestres isso corresponde? 3 meses trimestre 12 meses ---- x 3 =12 1 =4 trimestres O prazo é de 4 trimestres e a taxa é de 3% a.t. Prof. Vítor Menezes 9

10 Aplicando a fórmula: = (1+ ) =1.000 (1+4 0,03) = ,12=1.120,00 A resposta foi exatamente a mesma. Tanto faz o método utilizado. Desde que haja coerência entre as unidades da taxa e do prazo, a resposta será a mesma. Exemplo 7: Um capital de R$ 1.000,00 foi aplicado a uma taxa de 2% ao bimestre (juros simples) gerando um montante de R$ 2.000,00. Calcule o prazo da aplicação em trimestres. Aplicando a fórmula: = (1+ ) 2.000=1.000 (1+ 0,02) =1+0,02 2=1+0,02 2 1=0,02 1=0,02 = 1 0,02 =50 Como a taxa utilizada está em bimestres, automaticamente este prazo obtido também está em bimestres. Logo, o prazo de aplicação é de 50 bimestres. 50 bimestres, por sua vez, corresponde a 100 meses. Para passar esse prazo para trimestres, fazemos assim: 1 trimestre meses x meses 3 =100 1 = = O prazo é de cem terços de trimestre. Ou ainda, o prazo é de 33 trimestres mais um terço de trimestre Juros exatos, bancários e comerciais Quando a conversão de prazo envolver a contagem de dias, aí nós temos uma série de detalhes a que temos que nos atentar. Prof. Vítor Menezes 10

11 Considere a seguinte transformação: queremos converter um prazo de 1 ano em meses. Como fazer? Bem, sabemos que 1 ano tem 12 meses. É imediato. Sem dificuldades, certo? Ok, isso aconteceu porque a conversão não envolveu o número de dias. Considere agora outra situação. Queremos converter o prazo de 1 mês em dias. De outro modo: quantos dias há em um mês? Bom, agora as coisas mudam. Temos várias opções. Um mês pode ter 30 dias. Pode também ter 31. Ou até mesmo 28. Assim como 1 ano pode ter 365 dias ou 366 (se for bissexto). Quando a conversão de prazo envolver o número de dias, podemos ter diversas convenções. São elas: juro exato: considera o ano civil (365 dias ou 366, se for bissexto) juro comercial ou ordinário: considera o ano comercial (360 dias); se o exercício for omisso, consideramos juro comercial. juro bancário: mistura dos dois anteriores. No juro exato, nós contamos os dias como se estivéssemos olhando um calendário. O ano terá 365 dias (ou 366, se for bissexto). Os meses de janeiro, março, maio, julho, agosto, outubro e dezembro terão 31 dias. Fevereiro terá 28 dias (ou 29, se o ano for bissexto). Os demais meses terão 30 dias. No juro comercial, consideramos que qualquer mês terá 30 dias (mesmo que seja fevereiro). E consideramos que qualquer ano terá 360 dias. Vejamos como fica por meio de um exemplo. Exemplo 8: Um capital de R$ ,00 é investido a uma taxa de juros simples de 10% ao ano, do dia 21/3/5 ao dia 9/6/5. Qual o montante obtido, considerando: a) juros exatos b) juros comerciais c) juros bancários a) Nos juros exatos, contamos os dias como se estivéssemos consultando um calendário. Assim, temos: Agora podemos fazer a regra de três a dias a dias a dias a dias Total 80 dias Prof. Vítor Menezes 11

12 Multiplicando cruzado: Dias Ano x =1 365=80 = Esse é o nosso prazo, em anos. Agora podemos aplicar a fórmula: = (1+ ) = ,10 = b) Nos juros comerciais, consideramos que todos os meses têm 30 dias e o ano tem 360 dias. Esta é a contagem usual. Se o exercício não disser nada, pode supor que se trata de juros comerciais. Agora podemos fazer a regra de três a dias a dias a dias a dias Total 78 dias Dias Ano x =1 360=78 = Esse é o nosso prazo, em anos. Agora podemos aplicar a fórmula: = (1+ ) = ,1 =13.424,70 c) Nos juros bancários, nós fazemos o seguinte. Nós contamos os dias como se estivéssemos olhando num calendário. É exatamente a mesma contagem que vimos lá nos juros exatos. Fica assim: a dias Prof. Vítor Menezes 12

13 1.4.5 a dias a dias a dias Total 80 dias Ok, até aqui, sem novidades. O detalhe é que, na hora de fazer a regra de três, consideramos que o ano tem 360 dias. Estranho não? Pois é. Ficou uma mistura dos dois métodos anteriores. Fazendo a regra de três: Dias Ano x =1 360=80 = Esse é o nosso prazo, em anos. Agora podemos aplicar a fórmula: = (1+ ) = ,1 = Observem que os juros bancários forneceram o maior montante. Isto ocorre porque esse método dá um jeito de esticar o prazo. Ele coloca no denominador o menor número possível (360). E no numerador coloca o maior número possível (aquele resultante da contagem no calendário). Com isso, o prazo em anos será maior que o obtido pelos demais métodos (salvo uma raríssima exceção em que a contagem de prazo passe pelo final de fevereiro, de modo que a contagem dos dias no calendário será menor que a contagem do ano comercial) Taxas equivalentes em juros simples Duas taxas são equivalentes quando, aplicadas sobre um mesmo capital, durante um mesmo período, produzem os mesmos juros (ou os mesmos montantes). É a equivalência de taxas que nos permite passar uma taxa que está ao ano para outra, ao semestre (ou ao mês, ao bimestre, etc). Quando mudamos a unidade da taxa, temos que garantir que a nova taxa obtida seja equivalente à que lhe deu origem, de forma a não alterar o montante final. No caso do regime simples, para achar tachas equivalentes, basta a aplicação da regra de três. Por isso, no regime simples, as taxas equivalentes são, além disso, proporcionais ao prazo de aplicação. Prof. Vítor Menezes 13

14 Exemplo 9: Uma taxa de juros simples de 4% ao bimestre equivale a qual taxa trimestral? Duas taxas são equivalentes quando, aplicadas sobre um mesmo capital, durante o mesmo tempo, produzem juros iguais. Vimos que, no caso de juros simples, vale a regra de três. Em 2 meses (=1 bimestre), a taxa é de 4%. Em três meses (=1 trimestre), a taxa é de x Taxa Meses 4% 2 x 3 4% =2 3 2 =3 4% =6% Concluímos que a taxa de 4% ao bimestre equivale à taxa de 6% ao trimestre. Vamos fazer um teste? Vamos aplicar R$ 1.000,00, durante um ano, num investimento que rende 4% ao bimestre (juros simples). Qual o rendimento conseguido? O prazo está em anos e a taxa está ao bimestre. Ainda não podemos aplicar a fórmula. Podemos considerar que 1 ano é o mesmo que 6 bimestres. Ficamos com: = =6 0, =240 Ok, agora vamos fazer outro investimento. Aplicamos R$ 1.000,00, durante 1 ano, em um investimento que rende 6% ao trimestre (juros simples). Qual o rendimento conseguido? O prazo está em anos e a taxa é ao trimestre. Ainda não podemos aplicar a fórmula. Podemos considerar que 1 ano é igual a 4 trimestres. = =4 0, =240 Os dois investimentos, a partir de um capital de R$ 1.000,00, aplicado durante 1 ano, produzem o mesmo rendimento. Exatamente por este motivo a taxa de 4% ao bimestre é equivalente à taxa de 6% ao trimestre. Prof. Vítor Menezes 14

15 1.5. Capital, taxa e prazo médios Considere que tenhamos vários investimentos. Cada um deles é feito a uma dada taxa de juros, durante um dado prazo, a partir de capitais diferentes. Existem situações em que estamos interessados em descobrir qual a taxa média de juros que estamos conseguindo em nossos investimentos. O que seria essa tal taxa média? É uma taxa que poderia substituir todas as taxas iniciais, de forma que o total dos juros não se altere. Assim, se aplicarmos todos os nossos investimentos a uma taxa igual à taxa média, o juro total não se altera. Com raciocínios semelhantes, além da taxa média, podemos pensar também em capital médio e prazo médio. Assim, poderíamos substituir todos os capitais acima referidos por um capital único, que vá produzir o mesmo juro da situação inicial. Este é o capital médio. Por fim, podemos substituir todos os prazos por um prazo único, de tal forma que o juro não se altera. Este seria o prazo médio. Vamos ver como fica, por meio de um exemplo. Antes de entrarmos no exemplo, vamos relembrar o que é uma média ponderada. A média ponderada é uma variação da média aritmética. Vamos ver do que se trata por meio de um exemplo. Num curso, o aluno faz quatro provas. A sua nota final é a média dessas quatro provas. Suponha que suas notas foram: 10, 9, 7, 6. A nota final fica: = =8 Ok, até aqui nenhuma novidade. Fizemos a média aritmética normal. Esse mesmo aluno faz outro curso, em que são aplicadas apenas duas provas. Suas notas são: 9,5 e 7,5. A média aritmética dessas notas fica: 9,5+7,5 2 =8,5 Só que, nesse segundo curso, a nota final não é calculada simplesmente por meio da média aritmética. Isso porque a primeira prova é de múltipla escolha. A segunda é discursiva. Como a segunda prova é mais complicada, mais difícil, ela vale mais. Ela tem peso três. A primeira prova, mais simples, tem peso 1. O que significa isso? Significa que, na hora de calcular a nota final, a segunda prova vale três vezes mais. A nota final, nesse segundo curso, é igual a: = 1 9,5+3 7,5 4 =8 Prof. Vítor Menezes 15

16 É como se a segunda prova fosse triplicada. É como se estivéssemos, na verdade, fazendo uma média aritmética entre os valores 9,5; 7,5; 7,5; 7,5. Triplicamos a segunda nota porque ela tem peso 3. A média ponderada é calculada assim: multiplicamos cada nota pelo seu peso: o 9,5 é multiplicada pelo seu peso 1 o 7,5 é multiplicada pelo seu peso 3 somamos tudo dividimos pela soma dos pesos (1 + 3 = 4) A nota final, neste segundo curso, é uma média ponderada das notas das duas provas. Ok, visto isso, vamos ao exemplo de taxa média, capital médio e prazo médio. Exemplo 10: Considere os dois investimentos abaixo (todos aplicados num regime de juros simples): R$ 100,00 aplicados durante 2 meses, a uma taxa de 2% ao mês; R$ 200,00 aplicados durante 3 meses, a uma taxa de 1% ao mês; Calcule: a) a taxa média b) o capital médio c) o prazo médio O primeiro passo é calcular qual o juro obtido com os dois investimentos. No primeiro investimento, temos: No segundo investimento, temos: Assim, o juro total obtido é de R$ 10,00. =100 (0,02 2)=4 =200 (0,01 3)=6 a) Vamos substituir todas as taxas por uma taxa i. Esta taxa i será a taxa média. Ela produzirá, a partir dos capitais iniciais, durante os prazos estabelecidos, o mesmo juro de R$ 10,00. No primeiro investimento, agora temos um capital de 100,00, aplicado durante 2 meses, a uma taxa i. O novo juro fica: =100 ( 2) Prof. Vítor Menezes 16

17 No segundo investimento, agora temos um capital de 200,00, aplicado durante 3 meses, a uma taxa i. =200 ( 3) Para que a i seja a taxa média, o juro total produzido deve permanecer igual a 10,00. Ou seja: = =10 =1,25% Resposta: a taxa média é de 1,25%. É uma taxa que substitui todas as outras, produzindo o mesmo juro total. Se, em vez de substituirmos os valores, tivéssemos mantido as expressões originais até o final, teríamos obtido a seguinte expressão para a taxa média: = (100 2) 2%+(200 3) 1% (100 2)+(200 3) Ou seja, a taxa média é simplesmente uma média ponderada das taxas individuais. E os pesos de ponderação são os produtos. b) Vamos substituir todos os capitais por um capital único, igual a C, de tal forma que o juro total não se altere. Este capital C será o capital médio. No primeiro investimento, ficamos com um capital C, investido durante 2 meses, a uma taxa de 2% ao mês. = (0,02 2) No segundo investimento, ficamos com um capital C, aplicado durante 3 meses, a uma taxa de 1% ao mês. = (0,01 3) Para que C seja o capital médio, o juro total deve se manter. O capital médio é de R$ 142,88. 0,04+ 0,03=10 = 10 0,07 142,88 Se tivéssemos mantido as expressões originais até o final, teríamos obtido o seguinte valor para o capital médio: = (0,02 2) 100+(0,01 3) 200 (0,02 2)+(0,01 3) O capital médio é uma média ponderada dos capitais individuais. Os pesos de ponderação são os produtos. Prof. Vítor Menezes 17

18 c) Vamos agora ao prazo médio. Vamos substituir todos os prazos por um prazo n, de tal forma que o juro total não se altere. Esse será o prazo médio. Os juros ficam: =100 ( 0,02)=2 =200 ( 0,01)=2 Para que o juro total não se altere, devemos ter: O prazo médio é de 2,5 meses =10 = 10 4 =2,5 Se tivéssemos mantido as expressões originais, teríamos chegado a: = (0,02 100) 2+(0,01 200) 3 (0,02 100)+(0,01 200) O prazo médio é uma média ponderada dos prazos individuais, onde os pesos de ponderação são os produtos. 2. QUESTÕES COMENTADAS Questão 1 SEFAZ RJ 2009 [FGV] O valor a ser pago por um empréstimo de R$ 4.500,00, a uma taxa de juros simples de 0,5% ao dia, ao final de 78 dias, é de: a) R$ 6.255,00 b) R$ 5.500,00 c) R$ 6.500,00 d) R$ 4.855,00 e) R$ 4.675,50 O capital é de R$ 4.500,00, a taxa de juros simples é de 0,5% ao dia e o prazo é de 78 dias. Pergunta-se o montante obtido. Note que a taxa está ao dia e o prazo também está em dias. Já podemos aplicar a fórmula. Gabarito: A = (1+ ) = ,5 100 =4.500 (1,39)=6.255 Prof. Vítor Menezes 18

19 Questão 2 CVM 2010 [ESAF] Qual o valor mais próximo do montante que atinge uma dívida de R$ 2.000,00, quatro meses e meio depois, a uma taxa de juros simples de 1,5% ao mês? a) R$ 2.115,00 b) R$ 2.092,00 c) R$ 2.090,00 d) R$ 2.105,00 e) R$ 2.120,00 Vejam que a taxa está ao mês (1,5% ao mês) e o período está em meses (4,5 meses). Então já podemos aplicar a fórmula. = (1+ ) =2.000 (1+4,5 0,015)=2.135 Gabarito: Anulado Questão 3 IRB 2006 [ESAF] Um capital de 1000 unidades monetárias foi aplicado durante um mês a 3% ao mês, tendo o montante ao fim do mês sido reaplicado no segundo mês a 4% ao mês e o montante ao fim do segundo mês sido reaplicado no terceiro mês a 5% ao mês. Indique o montante ao fim do terceiro mês. a) b) 1 124,76 c) d) 1 116,65 e) São três investimentos separados. No primeiro, o capital inicial é de 1.000, a taxa é de 3% (ao mês) e o prazo é de 1 mês. Repare que a taxa está ao mês e o prazo também está em meses. Já podemos aplicar a fórmula para achar o montante: = (1+ ) =1.000 (1+1 0,03)= ,03=1.030 O montante obtido foi de R$ 1.030,00. Prof. Vítor Menezes 19

20 Encerrado o primeiro investimento, pegamos todo este valor (1.030) e reaplicamos em um segundo investimento. Portanto, para o segundo investimento, o capital inicial será de R$ 1.030,00. A taxa é de 4% (ao mês) e o prazo é de 1 mês. O montante obtido com o segundo investimento é: = (1+ ) =1.030 (1+1 0,04)= ,04=1.071,20 O montante obtido, ao final do segundo investimento, foi de R$ 1.071,20. Encerrado o segundo investimento, pegamos todo este valor (1.071,20) e reaplicamos em um terceiro investimento. Portanto, para o terceiro investimento, o capital inicial é de R$ 1.071,20. A taxa é de 5% (ao mês). E o período é de 1 mês. O montante ao final do terceiro mês fica: Gabarito: B = (1+ ) =1.071,20 (1+1 0,05)=1.124,76 Questão 4 SEFAZ PB 2006 [FCC] Um investidor aplica em um determinado banco R$ ,00 a juros simples. Após 6 meses, resgata totalmente o montante de R$ ,00 referente a esta operação e o aplica em outro banco, durante 5 meses, a uma taxa de juros simples igual ao dobro da correspondente à primeira aplicação. O montante no final do segundo período é igual a (A) R$ ,00 (B) R$ ,00 (C) R$ ,00 (D) R$ ,00 (E) R$ ,00 Primeiro investimento: o capital é de R$ ,00, o prazo é de seis meses e o montante é R$ Precisamos calcular a taxa de juros. Logo: = = =900 = = 900= = =1,5% Prof. Vítor Menezes 20

21 Como o prazo utilizado na fórmula está em meses, esta taxa também é ao mês. A taxa é de 1,5% ao mês. Segundo investimento: o capital é de R$ ,00, o prazo é de cinco meses, a taxa é de 3% ao mês (o dobro da primeira aplicação). Pergunta-se o montante. Gabarito: A = = ,03 5=1.635 = + = = Questão 5 Julgue o item seguinte: MPE AM 2007 [CESPE] Considere que a quantia de R$ 3.000,00 seja aplicada à taxa de juros simples de 8% ao mês. Nessa situação, ao final de 12 meses, o montante dessa aplicação será superior a R$ 5.600,00. Resolução. O capital é de R$ 3.000,00, a taxa é de 8% ao mês e o prazo é de 12 meses. Notem que a unidade da taxa (ao mês) coincide com a unidade do prazo. Quando isso ocorre, não é necessária qualquer conversão. É só aplicar a fórmula. = (1+ ) =3.000 (1+0,08 12) = ,96 =5.880,00 O montante é maior que 5.600,00. O item está certo. Gabarito: certo Questão 6 SEFAZ ES 2008 [CESPE] Considere que os investimentos feitos na instituição financeira A são pagos a uma taxa de juros simples de 1% ao mês, enquanto os feitos na instituição financeira B são pagos a uma taxa de juros compostos também de 1% ao mês. Nessas condições, se o capital de R$ 1.000,00 foi aplicado por um período de 3 meses em uma dessas instituições e o montante dessa aplicação, ao final dos 3 meses, foi superior a R$ 1.030,00, é correto concluir que o capital foi investido na instituição financeira B. Prof. Vítor Menezes 21

22 Vamos analisar o caso da instituição A, pois juros simples são mais fáceis de serem trabalhados. O capital é de R$ 1.000,00, a taxa de juros é de 1% ao mês e o prazo é de 3 meses. O montante fica: = (1+ )=1.000 (1+3 0,01)=1.030,00 Como o montante indicado na questão é superior a 1.030, concluímos que o investimento não foi feito em A. O investimento só pode ter sido feito em B. Isto porque, quando temos juros compostos, há incidência de juros sobre juros, o que faz com que o montante seja maior que aquele que seria obtido no regime simples. Gabarito: certo Questão 7 SUSEP 2002 [ESAF] Um capital é aplicado a juros simples durante três meses e dez dias a uma taxa de 3% ao mês. Calcule os juros em relação ao capital inicial. a) 9% b) 10% c) 10,5% d) 11% e) 12% A taxa está ao mês (3% ao mês). No entanto, há uma parte do prazo que está em dias (prazo de 3 meses + 10 dias). Então ainda não podemos aplicar a fórmula. Temos que converter esses 10 dias em meses. 10 dias correspondem a 1/3 de mês. Assim, o capital foi aplicado por 3 mês + 1/3 de mês = 10/3 de mês =10 3 Agora sim, podemos aplicar a fórmula. Temos: = = ,03=0,1 Logo: Prof. Vítor Menezes 22

23 Gabarito: B =10% Questão 8 ANCINE 2006 [CESPE] O cálculo financeiro é relevante, tendo em vista as tarefas de escolha de melhores opções de uso do dinheiro. Acerca de matemática financeira, julgue os itens seguintes É 110% ao ano a taxa que, em 3 anos e 4 meses, fará quintuplicar de valor um capital aplicado a juros simples. Resolução. Observem que a taxa está ao ano e o prazo é de 3 anos e 4 meses. Para podermos aplicar as fórmulas, as unidades devem coincidir. Vamos passar o prazo para anos. Prazo: 3 anos + 4 meses. Precisamos saber a quantos anos correspondem 4 meses. Basta fazer regra de três. Multiplicando cruzado: 3 meses correspondem a 1/3 de ano. Assim, o prazo é de dez terços de ano. Agora sim, podemos aplicar a fórmula: 1 ano meses x anos meses. 4 1=12 = 4 12 =1 3 3 anos + 1/3 anos = 10/3 anos = (1+ ) O montante é cinco vezes o capital (informação dada na questão): 5 = = = 10 3 Gabarito: errado. = =1,2=120% Prof. Vítor Menezes 23

24 Questão 9 ANCINE 2006 [CESPE] Com referência à utilização da matemática financeira nas operações das empresas, julgue os itens seguintes. 61. Ao se aplicar R$ ,00 à taxa de 9% ao trimestre, durante nove meses, considerando-se juros simples, o total de juros será de R$ 5.400,00. Resolução O capital é de , a taxa é de 9% ao trimestre e o prazo é de 9 meses. Podemos converter o prazo em trimestres. 9 meses correspondem a 3 trimestres. Assim, o prazo estará em trimestres (3 trimestres) e a taxa estará ao trimestre. Já podemos aplicar a fórmula. Gabarito: certo. = = ,09=5.400 Questão 10 TCU 2009 [CESPE] Se um capital de R$ ,00 for aplicado pelo período de 1 ano à taxa de juros simples de 6% ao mês, então, ao término desse período, o montante existente nessa aplicação será superior a R$ ,00. Resolução O prazo é de 1 ano e a taxa é de 6% ao mês. Para que as unidades coincidam, podemos converter o período em meses. 1 ano é o mesmo que 12 meses. Gabarito: errado = (1+ ) = (1+ ) = (1+12 0,06) = (1,72)= Questão 11 SEFAZ SP 2009 [FCC] Uma pessoa aplicou um capital em um Banco que remunera os depósitos de seus clientes a uma taxa de juros simples de 12% ao ano. Completando 6 meses, ela retirou o montante correspondente a esta aplicação e utilizou R$ ,00 para liquidar uma dívida nesse valor. O restante do dinheiro, aplicou em um outro Banco, durante um ano, a uma taxa de Prof. Vítor Menezes 24

25 juros simples de 1,5% ao mês. No final do período, o montante da segunda aplicação apresentou um valor igual a R$ ,60. A soma dos juros das duas aplicações é igual a (A) R$ ,00 (B) R$ 8.506,80 (C) R$ 7.204,40 (D) R$ 6.933,60 (E) R$ 6.432,00 Como são dois investimentos diferentes, vou diferenciar os símbolos de capital, montante e taxa. M 1, C 1, n 1 e i 1 são o montante, o capital, o prazo e a taxa para o primeiro investimento. M 2, C 2, n 2 e i 2 são o montante, o capital, o prazo e a taxa para o segundo investimento. Primeiro investimento: o capital é desconhecido, a taxa é de 12% ao ano e o prazo é de seis meses. Note que a taxa está ao ano e o prazo está em meses. Não podemos aplicar a fórmula ainda. Antes, precisamos tornar as unidades do prazo e da taxa coerentes entre si. Vamos passar o prazo, que está em meses, para anos. Um ano corresponde a doze meses. Quantos anos correspondem a seis meses? Basta fazer regra de três: Multiplicando cruzado: O prazo é de 0,5 anos. Agora sim já podemos aplicar a fórmula. 1 ano meses x anos meses 1 6=12 = 6 12 =0,5 = (1+ ) = (1+0,5 0,12) =1,06 Passados os seis meses, a pessoa retira R$ ,00 para pagar uma dívida. A quantia restante é: Prof. Vítor Menezes 25

26 1, Esta quantia é aplicada durante um ano (=12 meses), a uma taxa de 1,5% ao mês. O montante assim obtido foi de R$ ,60. = (1+ ) ,60=(1, ) (1+0,015 12) ,60=(1, ) (1,18) 1, = ,60 1,18 1,06 = = ,06 = Ou seja, a pessoa partiu de R$ ,00 e obteve: - R$ ,00 usados para pagar a dívida - R$ ,60 que sobraram no final da aplicação. Total: ,60. = A diferença entre o valor total obtido e o capital inicial corresponde ao juro obtido com as duas aplicações. Gabarito: D =48.933, =6.933,60 Questão 12 SEFAZ-RJ 2008 [FGV] Um capital é aplicado durante 120 dias a uma taxa de juros simples ordinário de 15% ao ano, produzindo um montante de R$ 8.400,00. Nestas condições, o capital aplicado, desprezando os centavos, é: a) R$ 6.500,00 b) R$ 7.850,00 c) R$ 8.017,00 d) R$ 8.820,00 e) R$ 8.000,00 O exercício nos dá o prazo em dias e a taxa em anos. Dessa forma, não podemos aplicar de cara a fórmula para juros simples. Temos que colocar o prazo e a taxa nas mesmas unidades. Prof. Vítor Menezes 26

27 Vemos também que o exercício nos diz que se trata de juros simples ordinário. Isto significa que devemos considerar que todos os 12 meses possuem 30 dias cada um e que o ano possui 360 dias. Vamos transformar o prazo de dias para anos. Dias Ano x =1 = =1 3 Então nosso prazo de é 1/3 de ano e a taxa é de 15% ao ano. Agora podemos aplicar a fórmula dos juros simples. Vejam que nos foi dado o valor do Montante (o valor final) e nos foi pedido o valor do Capital aplicado (o capital inicial). Portanto, o capital inicial foi de R$ 8.000,00. Gabarito: E. = (1+ ) 8400= , = (1+0,05) = ,05 =8000 Questão 13 SEFAZ PB 2006 [FCC] Certas operações podem ocorrer por um período de apenas alguns dias, tornando conveniente utilizar a taxa diária e obtendo os juros segundo a convenção do ano civil ou do ano comercial. Então, se um capital de R$ ,00 foi aplicado por 5 dias à taxa de juros simples de 9,3% ao mês, em um mês de 31 dias, o módulo da diferença entre os valores dos juros comerciais e dos juros exatos é: a) R$ 7,50 b) R$ 15,00 c) R$ 22,50 d) R$ 30,00 e) R$ 37,50 Contagem pelos juros exatos: 1 mês dias Prof. Vítor Menezes 27

28 Multiplicando cruzado: Contagem pelos juros comerciais: A diferença entre os prazos é: x meses dias 31 =5 = mês dias y meses dias 30 =5 = = = = = A diferença entre os juros corresponde à incidência da taxa de 9,3% ao mês, durante o prazo de 1/186 meses. Gabarito: A 9,3% = =7,5 Questão 14 ANTAQ 2009 [CESPE] Sabendo-se que o ano de 2008 foi bissexto, conclui-se que uma quantia aplicada do dia 15 de janeiro até 10 de abril daquele ano à taxa de juros diários deve render o mesmo valor total de juros, não importando se o cálculo for feito por meio do método de juros comerciais ou de juros exatos. Resolução. Se o cálculo for feito por meio dos juros comerciais, o prazo será contado da seguinte forma: - do dia 15 de janeiro ao dia 30 de janeiro: 15 dias - do dia 1 de fevereiro ao dia 30 de fevereiro: 30 dias - do dia 1 de março ao dia 30 de março: 30 dias - do dia 1 de abril ao dia 10 de abril: 10 dias. Total: 85 dias. Se o cálculo for feito pelos juros exatos, temos: Prof. Vítor Menezes 28

29 - do dia 15 de janeiro ao dia 31 de janeiro: 16 dias - do dia 1 de fevereiro ao dia 29 de fevereiro: 29 dias - do dia 1 de março ao dia 31 de março: 31 dias - do dia 1 de abril ao dia 10 de abril: 10 dias. Total: 86 dias O prazo total mudou quando mudamos a forma de contagem dos dias. Com isso, haverá diferença entre juros exatos e comerciais. Gabarito: errado Questão 15 BANCOP 2007 [CESPE] Suponha que um capital C aplicado por 12 meses à taxa de juros simples de i% ao mês se transforme em um montante de R$ ,00. Esse mesmo capital aplicado à mesma taxa, no mesmo regime de juros, mas por 6 meses se transforma em um montante de R$ ,00. Nessa situação, a taxa anual equivalente à taxa de i% é A inferior a 37%. B superior ou igual a 37% e inferior a 40%. C superior ou igual a 40% e inferior a 43%. D superior ou igual a 43% e inferior a 46%. E superior ou igual a 46%. Resolução. O montante conseguido ao final de 6 meses é de ,00. O montante conseguido ao final de 12 meses é de ,00. = = A diferença entre ambos é justamente o juro que se consegue no período de 6 meses. Logo, num período de 6 meses o juro obtido é de: = =6.000 O enunciado informa que este capital, aplicado a uma taxa i ao mês, durante 6 meses, se transforma em um montante de R$ ,00. =? =6 =? = Prof. Vítor Menezes 29

30 Já vimos que, neste período de 6 meses, o juro é de Com isso, podemos achar o capital: Agora, aplicamos a fórmula dos juros: = = = = 6.000= = 1 25 =4% A taxa é de 4%. Como o prazo trabalhado foi de 6 meses, então a taxa é ao mês. Dizemos que a taxa de juros é de 4% ao mês. Outra forma de representar isso é escrevendo 4% a.m. Só que o exercício pergunta sobre a taxa anual equivalente. Duas taxas são equivalentes quando, aplicadas sobre um mesmo capital, durante o mesmo período de tempo, produzem o mesmo montante. Em juros simples, para achar taxas equivalentes, basta aplicar regra de três. Isto ocorre porque, em juros simples, a taxa é proporcional ao número de períodos. Temos: 4% correspondem a 1 mês Qual a taxa que corresponde a 12 meses (=1 ano)? Fazendo a regra de três: taxa número de meses 4% 1 x 12 As grandezas são diretamente proporcionais. Logo: 4% = 1 12 =48% ao ano Dizemos que a taxa de 4% ao mês é equivalente à taxa de 48% ao ano. Vamos checar se elas são mesmo equivalentes. Para tanto, considere um capital de R$ 1,00, aplicado a uma taxa de 4% ao mês, durante 12 meses. O montante obtido será: = (1+ ) =1 (1+0,04 12)=1,48 Agora, considere o mesmo capital de R$ 1,00, aplicado a uma taxa de 48% ao ano, durante 1 ano. O montante obtido será: Prof. Vítor Menezes 30

31 O montante foi o mesmo, nos dois casos. = (1+ ) =1 (1+0,48 1)=1,48 Por isso dizemos que as taxas em questão são equivalentes. Aplicamos o mesmo capital de R$ 1,00, durante o mesmo período de um ano (=12 meses) e obtivemos o mesmo montante. Gabarito: E Questão 16 GDF SEPLAG 2009 [UNIVERSA] Uma empresa aplicou, em uma instituição financeira, R$ ,00, resgatando R$ ,00 quatro meses depois. Assinale a alternativa que determina a taxa de juros simples equivalente, auferida nesta aplicação. (A) 6% ao trimestre. (B) 4% ao quadrimestre. (C) 22 % ao ano. (D) 10% ao semestre. (E) 1,5% ao mês. Resolução. Dados da questão: Ficamos com: =50.000,00; =54.000,00; =4 (meses) = (1+ ) = (1+4 ) 1,08=1+4 0,08=4 =0,02 Como o prazo utilizado está em meses, a taxa obtida é mensal. Resposta: a taxa é de 2% ao mês. Olhando as alternativas, vemos que não há qualquer uma com 2% ao mês. Cada alternativa apresenta um período diferente. Vamos ter que testar uma a uma. A letra e diz que a taxa é de 1,5% ao mês. Isto está errado. Já vimos que a taxa ao mês é de 2%. (A) 6% ao trimestre. Prof. Vítor Menezes 31

32 (B) 4% ao quadrimestre. (C) 22 % ao ano. (D) 10% ao semestre. (E) 1,5% ao mês. Vamos agora calcular a taxa ao trimestre. Basta fazer uma regra de três. Para agilizar as contas, vamos pensar assim. Quando passamos de um mês para um trimestre, o intervalo de tempo é triplicado. Assim, a taxa aumentará na mesma proporção (grandezas diretamente proporcionais). A taxa também será triplicada. Logo, a taxa ao trimestre será de: 2% 3=6%(ao trimestre) A taxa é de 6% ao trimestre, valor expresso na letra A. Gabarito: A Apesar de já sabermos a resposta correta, vamos testar as demais alternativas. Para achar a taxa ao quadrimestre, basta multiplicarmos a taxa mensal por 4. A taxa ao quadrimestre é de: 4 2%=8% A letra B está errada pois afirma que a taxa ao quadrimestre é de 4%. Para achar a taxa ao semestre, basta multiplicarmos a taxa mensal por 6. A taxa ao semestre é de: 6 2%=12% Finalmente, para achar a taxa ao ano, basta multiplicar por 12: Questão 17 TJ SE 2009 [FCC] 2% 12=24% Um capital foi aplicado, a juros simples, durante um período de 20 meses. Sabendo-se que o valor do montante no final do período foi igual a 5/4 do valor do capital inicial, tem-se que a taxa de juros anual correspondente foi de (A) 15% (B) 18% (C) 20% (D) 24% (E) 27% Prof. Vítor Menezes 32

33 = (1+ ) 5 4 = (1+ 20) 1,25 = (1+ 20) 1,25= =0,25 = 0,25 20 =1,25% Como o prazo utilizado foi em meses, esta taxa é mensal. Para encontrarmos a taxa anual, basta fazer regra de três. Multiplicando cruzado: A taxa anual é de 15%. Gabarito: A 1,25% mês. x meses 1,25% 12= =15% Questão 18 MPE RS 2008 [FCC] Uma pessoa investe em um banco um capital C, durante 9 meses, a uma taxa de juros simples de 27% ao ano. No final do período, ela resgata todo o montante e o investe totalmente em outro banco, a uma taxa de juros simples de 36% ao ano, durante 10 meses. Verificando-se que o montante referente ao segundo investimento foi igual a R$ ,00, tem-se que o valor de C, em R$, é igual a (A) ,00 (B) ,00 (C) ,00 (D) ,00 (E) ,00 Primeiro investimento: a taxa é de 27% ao ano e o prazo é de 9 meses. Para aplicarmos a fórmula, podemos converter a taxa anual em taxa mensal. Basta usar regra de três. Para reduzirmos um prazo de 12 meses para um mês, basta dividir por 12. Assim, para passar a taxa anual para mensal, basta dividir por 12. Prof. Vítor Menezes 33

34 A taxa mensal é: A taxa é de 2,25% ao mês. Agora podemos aplicar a fórmula: 27% 12 =2,25% = (1+ ) = (1+0,025 9)= 1,2025 Segundo investimento: pegamos a quantia acima, igual a 1,225C, e aplicamos a uma taxa de 36% ao ano, durante dez meses. A taxa mensal equivalente à taxa de 36% ao ano é: Ficamos com: Gabarito: E 36% 12 =3% = (1+ ) =1,2025 (1+10 0,03) = =1,225 1, ,2025 1,3 = ,2025 = Questão 19 SEFAZ-RJ 2008 [FGV] A taxa de juros simples de 0,05% ao dia equivale à taxa semestral de: a) 15,00% b) 1,50% c) 18,00% d) 9,00% e) 12,00% No nosso exercício, temos uma taxa diária de 0,05% ao dia e queremos a taxa semestral. Como não foi dito o tipo de juros de que estamos tratando (exato, comercial ou bancário), mas também não nos foi dito de quais meses estamos falando (quantos dias esses meses possuem), só podemos considerar que todos os meses têm igualmente 30 dias. A regra é essa! Se não foi dito qual o tipo devemos considerar, o normal é usar juros comerciais (ou ordinários). 1 dia ,05% Prof. Vítor Menezes 34

35 180 dias (1 semestre) x =180 0,05% =9% Ou seja, uma taxa de juros simples de 0,05% ao dia equivale a uma taxa de juros simples de 9% ao semestre. Gabarito: D. Questão 20 SEFAZ-RJ 2008 [FGV] Os valores de R$ e R$ foram aplicados à mesma taxa de juros simples durante 12 e 6 meses, respectivamente. O prazo médio da aplicação conjunta desses capitais, em meses é: a) 12 b) 8 c) 10 d) 9,2 e) 7,5 O prazo médio é uma média ponderada dos prazos originais. Os pesos de ponderação são os produtos. = 12 ( )+6 ( ) Podemos dividir o numerador e o denominador por i. = 12 (50.000)+6 ( ) Podemos dividir o numerador e o denominador por : O prazo médio é de 8 meses. Gabarito: B. = 12 (1)+6 (2) 1+2 = 24 3 =8 Questão 21 SEFAZ CE 2006 [ESAF] Uma pessoa aplicou um capital a juro simples exato a uma taxa de 20% ao ano e ele cresceu 8% ao fim do prazo. Qual foi o prazo de aplicação do capital? a) 144 dias b) 146 dias Prof. Vítor Menezes 35

36 c) 150 dias d) 153 dias e) 155 dias No juro exato, o ano tem 365 dias. Logo: Agora é só aplicar a regra de três. Multiplicando cruzado: Gabarito: B 365 dias correspondem a 20% X dias correspondem a 8% 365 dias % x dias --- 8% 20 =365 8 = =146 Questão 22 SEFAZ/CE 2006 [ESAF] Qual o capital que aplicado a juros simples à taxa de 2,4% ao mês rende R$ 1.608,00 em 100 dias? a) R$ ,00. b) R$ ,00. c) R$ ,00. d) R$ ,00. e) R$ ,00. Diante da omissão da questão, vamos usar os juros comerciais. Sabemos que a taxa é de 2,4% ao mês, o juro é de R$ 1.608,00 e o prazo é de 100 dias. Repare que o prazo está em dias e a taxa está ao mês. Ainda não podemos aplicar a fórmula. Vamos passar o prazo para meses. Fazendo a regra de três: Dias Meses x Prof. Vítor Menezes 36

37 =1 30=100 1 = 10 3 Pronto, agora o nosso prazo, em meses, é de 10/3. Aplicando a fórmula, temos: = 1608= ,4% = ,4% = Gabarito: B. Questão 23 SEFAZ SP 2009 [ESAF] Um capital unitário aplicado a juros gerou um montante de 1,1 ao fim de 2 meses e 15 dias. Qual a taxa de juros simples anual de aplicação deste capital? a) 4% b) 10% c) 60% d) 54% e) 48% O prazo é de 2,5 meses (=2 meses e meio), o capital é unitário, o montante é igual a 1,1. Ficamos com: = (1+ ) 1,1=1 (1+2,5 ) 2,5 =1,1 1 = 0,1 2,5 Multiplicando numerador e denominador por 4: A taxa mensal é de 4%. A taxa anual, portanto, é de 4% 12=48% = 0,4 10 =4% Prof. Vítor Menezes 37

38 Gabarito: E Questão 24 AFRF 2003 [ESAF] Os capitais de R$ 2.500,00, R$ 3.500,00, R$ 4.000,00 e R$ 3.000,00 são aplicados a juros simples durante o mesmo prazo às taxas mensais de 6%, 4%, 3% e 1,5%, respectivamente. Obtenha a taxa média mensal de aplicação destes capitais. a) 2,9% b) 3% c) 3,138% d) 3,25% e) 3,5% Resolução. A taxa média é uma média ponderada das taxas originais. Os pesos de ponderação são os produtos. = 6% (2.500 )+4% (3.500 )+3% (4.000 )+1,5% (3.000 ) Podemos dividir o denominador e o numerador por n: = 6% (2.500)+4% (3.500)+3% (4.000)+1,5% (3.000) = = =3,5% A taxa média é de 3,5%. Gabarito: E Questão 25 AFRF [ESAF] Os capitais de R$ 2.000,00, R$ 3.000,00, R$ 1.500,00 e R$ 3.500,00 são aplicados à taxa de 4% ao mês, juros simples, durante dois, três, quatro e seis meses, respectivamente. Obtenha o prazo médio de aplicação destes capitais. a) quatro meses b) quatro meses e cinco dias c) três meses e vinte e dois dias d) dois meses e vinte dias e) oito meses Prof. Vítor Menezes 38

39 O prazo médio é uma média ponderada dos prazos individuais. Os pesos de ponderação são os produtos Como as taxas são todas de 4%, no final das contas, os pesos de ponderação serão apenas os capitais. O prazo médio é de 4 meses. Gabarito: A = =4 Questão 26 AFRFB [ESAF] Os capitais de R$ 7.000,00, R$ 6.000,00, R$ 3.000,00 e R$ 4.000,00 são aplicados respectivamente às taxas de 6%, 3%, 4% e 2% ao mês, no regime de juros simples durante o mesmo prazo. Calcule a taxa média proporcional anual de aplicação destes capitais. a) 4% b) 8% c) 12% d) 24% e) 48% A taxa média é uma média ponderada das taxas individuais. Os pesos de ponderação são os produtos. Como os períodos são todos iguais, os pesos de ponderação acabam sendo apenas os capitais (C). A taxa média é de 4% ao mês. = % % % % = = =4% O exercício pediu a taxa anual. Basta multiplicar por 12 (pois um ano tem doze meses): Gabarito: E 4% 12=48% Questão 27 AFRF 2001 [ESAF] Os capitais de R$3.000,00, R$5.000,00 e R$ 8.000,00 foram aplicados todos no mesmo prazo, a taxas de juros simples de 6% ao mês, 4% ao mês e 3,25% ao mês, respectivamente. Calcule a taxa média de aplicação desses capitais. a) 4,83% ao mês Prof. Vítor Menezes 39

40 b) 4,859% ao mês c) 4,4167% ao mês d) 3,206% ao mês e) 4% ao mês A taxa média é uma média ponderada das taxas individuais. Os pesos de ponderação são os produtos. Como os períodos são todos iguais, os pesos de ponderação acabam sendo apenas os capitais (C). Gabarito: E = % % ,25% = = =4% Questão 28 AFPS 2002 [ESAF] Uma pessoa física recebeu um empréstimo de um banco comercial no valor de R$ ,00 por um prazo de três meses para pagar de volta este valor acrescido de 15% de juros ao fim do prazo. Todavia, a pessoa só pode usar em proveito próprio 75% do empréstimo, porque, por força do contrato, usou o restante para fazer uma aplicação no próprio banco que rendeu R$ 150,00 ao fim dos três meses. Indique qual foi a taxa efetiva de juros paga pela pessoa física sobre a parte do empréstimo que utilizou em proveito próprio. a) 12% ao trimestre b) 14% ao trimestre c) 15% ao trimestre d) 16% ao trimestre e) 18% ao trimestre Na data em que é contratado o empréstimo, a pessoa recebe do banco a quantia de 75% de ,00: =0, =7.500 Ao final do empréstimo, a pessoa deve devolver ao banco , acrescidos de juros de 15% sobre ,00. 15% =1500 Mas a pessoa pode abater os R$ que deixou aplicados no banco, bem como o rendimento de R$ 150,00 da sua aplicação: Prof. Vítor Menezes 40