Rodada #1 Matemática

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1 Rodada #1 Matemática Professor Guilherme Neves Assuntos da Rodada MATEMÁTICA: 1. Operações com números reais. 2. Mínimo múltiplo comum e máximo divisor comum. 3. Razão e proporção. 4. Porcentagem. 5. Regra de três simples e composta. 6. Média aritmética simples e ponderada. 7. Juros simples. 8. Equação do 1.º e 2.º graus. 9. Sistema de equações do 1.º grau. 10. Relação entre grandezas: tabelas e gráficos. 11. Sistemas de medidas usuais. 12. Noções de geometria: forma, perímetro, área, volume, ângulo, teorema de Pitágoras. 13.Resolução de situações-problema.

2 Recados importantes! A reprodução indevida, não autorizada, deste material ou de qualquer parte dele sujeitará o infrator a multa de até 3 mil vezes o valor do curso, à apreensão das cópias ilegais, à responsabilidade reparatória civil e persecução criminal, nos termos dos artigos 102 e seguintes da Lei 9.610/98. Você poderá fazer mais questões destes assuntos no teste semanal, liberado ao final da rodada. Tente cumprir as metas na ordem que determinamos. É fundamental para o perfeito aproveitamento do treinamento. Qualquer problema com a meta, envie uma mensagem para o WhatsApp oficial da Turma Elite (35)

3 a. Teoria 1. A Matemática Financeira é uma ciência que não se preocupa apenas com o cálculo dos juros simples e compostos. A Matemática Financeira é o elo entre os métodos matemáticos e os fenômenos financeiro-econômicos. É uma ciência que se preocupa com a construção de modelos gerais, representação de variáveis monetárias na linha do tempo. 2. Matemática Financeira é a disciplina que estuda o entendimento dos modelos de aplicação, avaliação de investimentos e captação de recursos. 3. A operação básica da matemática financeira é a operação de empréstimo. Alguém dispõe de certo capital, empresta-o por certo período de tempo. Após esse período, recebe o seu capital acrescido de uma remuneração pelo empréstimo. A essa remuneração denominamos juro. 4. Existem diversas razões que justificam o pagamento dos juros na operação de empréstimo. O primeiro deles é o custo de oportunidade. Obviamente, quando alguém disponibiliza certa quantia para ser emprestada, deixará de investir o capital em outros projetos. Portanto, o não-uso deste capital deverá ser remunerado. 5. Deve-se levar em consideração a perda do poder de compra na linha do tempo. Com o aumento generalizado de preços causado pela inflação, quem empresta o 3

4 dinheiro quer preservar o poder de compra. O elemento que será responsável por preservar o valor do dinheiro no tempo é o juro. 6. Os bancos em geral têm despesas administrativas e obviamente têm o interesse de repassar essas despesas para os devedores. 7. Um aspecto de destaque é o de considerar os valores em seu momento no tempo. A valoração que fazemos de algo está diretamente associada ao momento em que ocorre. 8. O juro é o dinheiro pago pelo dinheiro emprestado. É o custo do capital de terceiros colocado à nossa disposição. 9. Alguém que dispõe de um capital C (denominado principal, capital inicial, valor atual), empresta-o a outrem por certo período de tempo, e após esse período recebe o seu capital de volta. Esse capital ao ser devolvido deverá ser remunerado. Essa remuneração é chamada de juro. 10. Ao emprestarmos uma quantia em dinheiro, por determinado período de tempo, costumamos cobrar o juro, de tal modo que, no fim do prazo estipulado, disponhamos não só da quantia emprestada, como também de um acréscimo que compense a nãoutilização do capital financeiro, por nossa parte, durante o período em que foi emprestado. 4

5 11. A soma capital + juros é chamada de montante e será representada por M. 12. Os juros são fixados através de uma taxa percentual que sempre se refere a uma unidade de tempo: dia, mês, bimestre, trimestre, semestre, ano, Utilizamos, usualmente, a letra i para denotar a taxa de juros. A letra i é a inicial da palavra inglesa interest, que significa juros. O elemento que faz a equivalência dos valores ao longo do tempo é o juro, que representa a remuneração do capital. 14. Exemplo: 15. O objetivo da Matemática Financeira é permitir a comparação de valores em diversas datas de pagamento ou recebimento e o elemento chave para a comparação destes valores é a taxa de juros. 5

6 16. Imagine que o Banco Agi Ota cobra uma taxa de 6% ao mês no uso do cheque especial. E em determinado mês, Alberto precisou pegar emprestado do banco R$ ,00. Que valor ele deve depositar na sua conta daqui a um mês para saldar a dívida? Vimos anteriormente que ao pegar alguma quantia emprestada, além de devolver o principal, deve-se remunerar o capital. E quanto será a remuneração? Quem responderá essa pergunta é a taxa de juros. Se a taxa de juros é de 6% ao mês e a quantia emprestada é de R$ ,00, então para saldar a dívida deve-se pagar os R$ ,00 e mais os juros cobrados pelo banco. O juro que deverá ser pago daqui a um mês será 6% de R$ ,00. Ou seja, O valor total que Alberto deve depositar na sua conta para saldar a dívida é igual a. 17. É importante observar que no cálculo anterior, a taxa de juros 6% foi transformada em fração decimal para permitir a operação. Assim, as taxas de juros terão duas representações: i) Sob a forma de porcentagem (taxa percentual): 6% ao ano = 6% a.a. ii) Sob a forma de fração decimal (taxa unitária): A representação em percentagem é a comumente utilizada; entretanto, todos os cálculos e desenvolvimentos de fórmulas serão feitos através da notação em fração decimal. 6

7 18. Capital (C) Pode ser chamado de principal, capital inicial, valor presente, valor atual, montante inicial, valor de aquisição, valor à vista. No nosso exemplo, é o dinheiro que Alberto pegou emprestado do banco. Temos então, no nosso problema, que o capital é igual a R$ , Juros (J) Também chamado de rendimento. Quando uma pessoa empresta a outra um valor monetário, durante certo tempo, é cobrado um valor pelo uso do dinheiro. Esse valor é denominado juro. Pelos cálculos que fizemos no exemplo anterior: 20. Taxa de juros (i) A taxa de juros representa os juros numa certa unidade de tempo. A taxa obrigatoriamente deverá explicitar a unidade de tempo. Por exemplo, se Alberto vai ao banco tomar um empréstimo e o gerente diz: - Ok! O seu empréstimo foi liberado! E a taxa de juros que nós cobramos é de apenas 8%. Ora, a informação desse gerente está incompleta. Pois se os juros forem de 8% ao ano... Ótimo! E se essa taxa de juros for ao dia? PÉSSIMO! Portanto, perceba que a indicação da unidade da taxa de juros é FUNDAMENTAL. 21. Tempo (n) Quando falamos em tempo, leia-se NÚMERO DE PERÍODOS. 7

8 No nosso exemplo, se Alberto ficasse devendo ao banco por 3 meses, o número de períodos seria igual a 3. Agora, imagine a seguinte situação. Toma-se um empréstimo com a taxa de 7,5% a.b. (ao bimestre). Se Alberto demorar 6 meses para efetuar o pagamento da dívida, o seu n, ou seja, o seu tempo não será igual a 6. O seu tempo será igual a 3!!! Pois a taxa é bimestral, e em um período de 6 meses temos 3 bimestres. No nosso caso, a taxa era mensal e Alberto usou o cheque especial durante apenas um mês. 22. Montante (M) Pode ser chamado de montante, montante final, valor futuro. É o valor de resgate. Obviamente o montante é maior do que o capital inicial. O montante é, em suma, o capital mais os juros. As operações de empréstimo são feitas geralmente por intermédio de um banco que, de um lado, capta dinheiro de interessados em aplicar seus recursos e, de outro, empresta esse dinheiro aos tomadores interessados no empréstimo. 23. Denominamos regimes de capitalização aos diferentes processos como os juros são gerados e agregados ao capital aplicado. 24. Os juros são normalmente classificados em simples ou compostos, dependendo do processo de cálculo utilizado. Ou seja, se um capital for aplicado a certa taxa por período, por vários intervalos ou períodos de tempo, o valor do montante pode ser calculado segundo duas convenções de cálculo, chamadas de regimes de capitalização: capitalização simples (juros simples) e capitalização composta (juros compostos). 8

9 25. A definição e a fórmula que demos para MONTANTE, independe do processo de capitalização. Ou seja, não interessa se o regime adotado é o simples ou o composto, sempre teremos: Vejamos dois exemplos para entender os esses dois tipos de capitalização. 26. De acordo com o regime de capitalização simples, os juros gerados em cada período são sempre os mesmos. Nessa hipótese, os juros pagos de cada período são calculados sempre em função do capital inicial empregado. Vejamos um exemplo numérico visando a fixação desse conceito. Guilherme aplicou R$ ,00 a juros simples durante 5 anos à taxa de 20% a.a. Vamos calcular os juros gerados em cada período e o montante após o período de aplicação. Como a própria leitura da taxa indica: 20% ao ano (vinte por cento ao ano). Cada ano, de juros, receberei 20%. 20% de quem? Do capital aplicado R$ ,00. A taxa de juros, no regime simples, sempre incide sobre o capital inicial. Os juros gerados no primeiro ano são. Os juros gerados no segundo ano são. Os juros gerados no terceiro ano são. Os juros gerados no quarto ano são. 9

10 Os juros gerados no quinto ano são. 27. Na CAPITALIZAÇÃO SIMPLES os juros gerados em cada período são sempre os mesmos, ou seja, a taxa incide apenas sobre o capital inicial. Dessa forma, o montante após os 5 anos vale R$ ,00 (capital aplicado) mais 5 vezes R$ 2.000,00 (juros). Conclusão: o montante é igual a R$ ,00 (lembre-se que o montante é o capital inicial mais o juro). 28. No regime de capitalização composta, o juro gerado em cada período agrega-se ao capital, e essa soma passa a render juros para o próximo período. Daí que surge a expressão juros sobre juros. Imagine a seguinte situação: Guilherme aplicou R$ ,00 a juros compostos durante 5 anos à taxa de 20% a.a. Vamos calcular os juros gerados em cada período e o montante após o período de cada aplicação. Os juros gerados no primeiro ano são e o montante após o primeiro ano é = Os juros gerados no segundo ano são e o montante após o segundo ano é = Os juros gerados no terceiro ano são e o montante após o terceiro ano é = Os juros gerados no quarto ano são e o montante após o quarto ano é =

11 Os juros gerados no quinto ano são e o montante após o quinto ano é ,20 = , Se a operação de juros for efetuada em apenas um período, o montante será igual nos dois regimes. No nosso exemplo, se parássemos a aplicação no primeiro mês, teríamos um montante de R$ ,00 nos dois regimes de capitalização. Observe ainda que o dinheiro cresce mais rapidamente a juros compostos do que a juros simples. 30. Como vimos anteriormente, juros simples são aqueles calculados sempre sobre o capital inicial, sem incorporar à sua base de cálculo os juros auferidos nos períodos anteriores. Ou seja, os juros não são capitalizados. Vejamos outro exemplo para entendermos bem a fórmula de juros simples. Imagine que você aplique R$ 5.000,00 à taxa de juros simples de 3% ao mês. Então, ao final do primeiro mês de aplicação, o juro produzido será: Ou seja, para calcular o juro produzido no primeiro mês, basta multiplicar a taxa de juros pelo capital inicial. Como, sob o regime de capitalização simples, os juros produzidos em cada período são sempre iguais, podemos concluir que, se esse capital fosse aplicado por 10 meses, produziria juros de: 150 x 10 =

12 31. A partir desse exemplo, é fácil compreender a fórmula para o cálculo do juro simples. Adotaremos as seguintes notações: C Capital inicial i taxa de juros simples n tempo de aplicação J juro simples produzido durante o período de aplicação. M montante ao final da aplicação 32. O juro produzido no primeiro período de aplicação é igual ao produto do capital inicial (C) pela taxa de juros (i), como foi feito no nosso exemplo. E, consequentemente, o juro produzido em n períodos de aplicação será: E, lembrando também que o montante é a soma do capital com os juros produzidos, temos a seguinte fórmula abaixo: Substituindo a fórmula (1) na fórmula (2), temos então a seguinte expressão: 33. A fórmula do montante simples pode ser reescrita da seguinte forma: 12

13 34. A fórmula do montante composto é muito parecida com a fórmula do montante simples. A diferença é que devemos colocar n no expoente. 35. Devemos estar atentos ao seguinte fato: Deve-se utilizar a taxa na forma unitária. Assim, por exemplo, se a taxa for de 30%, utilizamos. 36. A taxa de juros deverá estar explicitada na mesma unidade de tempo apresentada pelo prazo de capitalização. Ou seja, deve existir concordância entre as unidades da taxa de juros e do tempo. Assim, se a taxa for mensal, o tempo deverá ser expresso em meses; Se a taxa for bimestral, o tempo deverá ser expresso em bimestres; E assim sucessivamente. 37. Exemplos i=3% a.m. n=150 dias. A taxa está expressa em meses e o tempo em dias. Para que haja concordância entre as unidades, deveremos escolher uma unidade comum e transformar um dos objetos. 13

14 O mês comercial é de 30 dias. Portanto, para transformar o tempo de 150 dias para meses, basta dividir por 30. i=3% a.m. n= 5 meses 38. Na prática, usualmente, é adotado o juro simples ordinário (utiliza o ano comercial com 360 dias e meses com 30 dias). O juro simples exato (utiliza o ano civil com 365 dias) somente é usado quando para isso for expresso explicitamente na operação. 39. Os juros são considerados ordinários ou comerciais quando utilizam o ano comercial para estabelecer a homogeneidade entre a taxa e o tempo. Logo, em juros ordinários, consideramos que todos os meses têm 30 dias e o ano tem 360 dias. 40. Juros exatos são aqueles em que se utiliza o calendário civil para verificarmos a quantidade de dias entre duas datas. Logo, quando o mês tem 31 dias deveremos considerar o total e não 30 dias. 41. Para facilitar o cálculo de juros nestas modalidades, é fundamental efetuarmos o cálculo com taxa anual e o tempo expresso em dias. Para calcular a taxa equivalente diária devemos dividir a taxa anual pelo número total de dias do ano comercial (360 dias) ou ano exato (365 ou 366 dias). 14

15 42. Devemos ficar atentos ao fato de o ano ser ou não bissexto no caso de juros exatos. Podemos criar dois processos mnemônicos para saber quais anos são bissextos ou não. Para começar, os anos bissextos obrigatoriamente são pares. Um ano é dito bissexto se for múltiplo de 4, exceto os que são múltiplos de 100, a não ser que sejam múltiplos de 400. Dica: Para verificar se um número é divisível por 4 basta dividir os últimos dois dígitos do número por 4. Assim, 1998 não é divisível por 4 e, portanto, não é bissexto. 43. Uma maneira mais lúdica de memorizar é o seguinte: Os anos pares ou são anos de Olimpíada ou são anos de Copa do Mundo. Os anos bissextos são os anos de Olimpíadas. Como em 1998 houve a Copa do Mundo da França, o ano não foi bissexto. 15

16 b. Revisão 1 QUESTÃO 01 - VUNESP - CREA/SP 2010 Um administrador precisa pagar R$ 7.000,00 no fim do mês. No início desse mesmo mês, ele aplica R$ 6.600,00 para conseguir, no mínimo, o valor necessário para concretizar o pagamento. A taxa mensal de juros simples a qual ele deve aplicar para conseguir esse mínimo deve ser de (A) 5,4% (B) 5,5% (C) 5,6% (D) 5,8% (E) 6,1% QUESTÃO 02 - VUNESP - CREA/SP 2010 Samuel vendeu um lote de terra à vista e recebeu R$ ,00 pela venda. Aplicou o dinheiro num fundo de investimento que, ao final de um ano, rendeu R$ 1.440,00. A taxa de juros simples mensal aplicada ao capital de Samuel foi de (A) 0,60% (B) 0,70% (C) 0,80% (D) 0,90% (E) 1,0% QUESTÃO 03 - VUNESP - AGENTE ADMINISTRATIVO CRF-SP 2009 Uma pessoa recebeu R$ 3.600,00 de juros calculados no regime de juro simples, após ter aplicado uma quantia por 2,5 anos à taxa de 2% ao mês. O montante dessa aplicação, isto é, a soma do capital mais os juros foi de 16

17 (A) R$ 9.600,00. (B) R$ 8.600,00. (C) R$ 7.200,00. (D) R$ 6.900,00. (E) R$ 6.000,00. QUESTÃO 04 - VUNESP - ESCRITURÁRIO CETESB 2009 Um capital colocado em uma aplicação A, a juro simples, com taxa de 1% ao mês, rende R$ 60,00 de juro em 4 meses. Esse mesmo juro poderia ser obtido se metade desse capital fosse colocado em uma aplicação B, também a juro simples, por 5 meses. A taxa mensal da aplicação B seria de (A) 1,2%. (B) 1,4%. (C) 1,6%. (D) 1,8%. (E) 2,0%. QUESTÃO 05 - FGV - FUNARTE 2014 Uma televisão pode ser comprada em certa loja por R$ 860,00 à vista ou em duas parcelas de R$ 460,00, uma no ato da compra e a outra 30 dias depois. A taxa de juros ao mês que a loja está cobrando é de: 17

18 a) 8% b) 10% c) 12% d) 15% e) 18% QUESTÃO 06 - FGV - AUDITOR DA RECEITA ESTADUAL/AP 2010 Em certa loja, um artigo pode ser comprado por R$ 172,00 à vista ou em duas prestações de R$ 92,00, uma no ato da compra e outra 30 dias depois. A taxa de juros (embutida) que a loja está cobrando nesta operação é de: (A) 15% (B) 13% (C) 11% (D) 9% (E) 7% QUESTÃO 07 - FGV - SEFAZ-RJ 2009 O valor a ser pago por um empréstimo de R$ 4.500,00, a uma taxa de juros simples de 0,5% ao dia, ao final de 78 dias é de: a) R$ 6.255,00 b) R$ 5.500,00 c) R$ 6.500,00 d) R$ 4.855,00 e) R$ 4.675,00 18

19 c. Revisão 2 QUESTÃO 08 - FGV - SEFAZ-RJ Um capital é aplicado durante 120 dias a uma taxa de juros simples ordinários de 15% ao ano, produzindo um montante de R$ 8.400,00. Nestas condições, o capital aplicado, desprezando os centavos é: a) R$ 6.500,00 b) R$ 7.850,00 c) R$ 8.017,00 d) R$ 8.820,00 e) R$ 8.000,00 QUESTÃO 09 - FGV - SEFAZ-RJ 2008 A taxa de juros simples de 0,05% ao dia equivale à taxa semestral de: a) 15,00% b) 1,50% c) 18,00% d) 9,00% e) 12,00% QUESTÃO 10 - FGV - SEFAZ-RJ

20 Um montante inicial foi aplicado a uma taxa de juros simples de 5% ao mês durante 2 meses e depois reaplicado a uma taxa de juros simples de 10% ao mês durante 2 meses, resultando em R$ ,00. O valor do montante inicial era de: a) R$ ,00 b) R$ ,00 c) R$ ,00 d) R$ ,00 e) R$ ,00 QUESTÃO 11 - FGV - PREF. DE PAULÍNIA 2016 Em certa loja, uma torradeira pode ser comprada por R$ 250,00 à vista ou então com pagamento de uma entrada de R$ 90,00 no ato da compra, mais uma parcela de R$ 180,00 um mês depois. A taxa de juros ao mês que está sendo aplicada é de a) 8% b) 12,5% c) 15% d) 17,5% e) 20% QUESTÃO 12 - FGV - AFRE-RJ

21 Um indivíduo deixa de pagar um título no valor de R$ 2.000,00, atrasando o pagamento em três meses. A taxa de juros, juros simples, é de 35% ao ano. Ao pagar o título, seu valor é a) R$ 2.250,00. b) R$ 2.325,00. c) R$ 2.175,00. d) R$ 2.155,00. e) R$ 4.100,00. QUESTÃO 13 - FGV - AFRE-RJ 2011 O número de anos para que um capital quadruplique de valor, a uma taxa de 5% ao mês, juros simples, é de (A) 7,50. (B) 3,80. (C) 4,50. (D) 5,00. (E) 6,00. QUESTÃO 14 - FGV - SMF CUIABÁ 2014 O número de meses necessários para que um investimento feito na poupança triplique de valor (assumindo que esta remunere à taxa de 6% ao ano, no regime de 21

22 juros simples) é de (A) 34. (B) 200. (C) 333. (D) 400. (E)

23 d. Revisão 3 QUESTÃO 15 - FGV - SSP-AM 2015 Jorge comprou uma televisão que custava R$ 4.000,00 à vista, pagando em duas parcelas: - a primeira, no ato da compra, no valor de R$ 2.200,00; - a segunda, um mês após a compra, no valor de R$ 2.250,00. A taxa mensal de juros cobrada de Jorge nessa compra foi de: a) 5%; b) 10%; c) 15%; d) 20%; e) 25%. QUESTÃO 16 - FGV - SMF NITERÓI 2015 Para pagamento de boleto com atraso em período inferior a um mês, certa instituição financeira cobra, sobre o valor do boleto, multa de 2% mais 0,4% de juros de mora por dia de atraso no regime de juros simples. Um boleto com valor de R$ 500,00 foi pago com 18 dias de atraso. O valor total do pagamento foi: a) R$ 542,00; b) R$ 546,00; 23

24 c) R$ 548,00; d) R$ 552,00; e) R$ 554,00. QUESTÃO 17 - VUNESP - TJM-SP 2017 Certo capital, aplicado por um período de 9 meses, a uma taxa de juro simples de 18% ao ano, rendeu juros no valor de R$ 1.620,00. Para que os juros do mesmo capital, aplicado no mesmo período, sejam de R$ 2.160,00, a taxa de juro simples anual deverá corresponder, da taxa de 18% ao ano, a: a) 7/6 b) 4/3 c) 3/2 d) 5/3 e) 11/6 QUESTÃO 18 - VUNESP - UNESP 2017 Carlos fez um empréstimo de R$ 2.800,00, à taxa de juros simples de 1,3% ao mês, que deve ser pago após 3 meses, juntamente com os juros. O valor que Carlos deverá pagar é igual a (A) R$ 2.839,40. (B) R$ 2.889,30. (C) R$ 2.909,20. 24

25 (D) R$ 2.953,20. (E) R$ 3.112,40. QUESTÃO 19 - VUNESP - PM-SP 2017 Laura tomou um empréstimo, que foi totalmente pago, de uma só vez, após 4 meses. Do valor total emprestado, 25% foram pagos com acréscimo de juros simples à taxa de 1% ao mês, e 75% foram pagos com acréscimo de juro simples à taxa de 2% ao mês. Se o valor total pago foi R$ ,00, então o valor que Laura tomou emprestado foi igual a (A) R$ 9.500,00. (B) R$ 9.800,00. (C) R$ 9.900,00. (D) R$ ,00. (E) R$ ,00. QUESTÃO 20 - VUNESP - CRBio 2017 Anselmo aplicou R$ ,00 a uma taxa de juro simples de 0,75% ao mês, durante x meses. Na mesma data, Bernardo aplicou, também, R$ ,00 a uma taxa de juro simples de 0,8% ao mês, durante x + 3 meses. Se o valor recebido de juros por Bernardo superou em R$ 255,00 o valor recebido de juros por Anselmo, então o número de meses da aplicação de Bernardo foi igual a (A) 5. 25

26 (B) 6. (C) 7. (D) 8. (E) 9. 26

27 e. Gabarito E E A C D A A E D E B C D D E B B C D B 27

28 f. Questões comentadas QUESTÃO 01 - VUNESP - CREA/SP 2010 Um administrador precisa pagar R$ 7.000,00 no fim do mês. No início desse mesmo mês, ele aplica R$ 6.600,00 para conseguir, no mínimo, o valor necessário para concretizar o pagamento. A taxa mensal de juros simples a qual ele deve aplicar para conseguir esse mínimo deve ser de (F) 5,4% (G) 5,5% (H) 5,6% (I) 5,8% (J) 6,1% Resolução O juro na capitalização simples é o produto do capital aplicado, taxa de juros e o tempo. O indivíduo possui R$ 6.600,00 e pretende ficar com R$ 7.000,00. Deve, portanto, ganhar R$ 400,00 em um mês. Temos os seguintes dados: Capital aplicado: R$ 6.600,00 Tempo: 1 mês Juro: R$ 400,00. 28

29 Letra E QUESTÃO 02 - VUNESP - CREA/SP 2010 Samuel vendeu um lote de terra à vista e recebeu R$ ,00 pela venda. Aplicou o dinheiro num fundo de investimento que, ao final de um ano, rendeu R$ 1.440,00. A taxa de juros simples mensal aplicada ao capital de Samuel foi de (F) 0,60% (G) 0,70% (H) 0,80% (I) 0,90% (J) 1,0% Resolução O tempo de aplicação é igual a 12 meses, o capital aplicado é de R$ ,00 e o juro auferido no período é igual a R$ 1.440,00. Letra E QUESTÃO 03 - VUNESP - AGENTE ADMINISTRATIVO CRF-SP

30 Uma pessoa recebeu R$ 3.600,00 de juros calculados no regime de juro simples, após ter aplicado uma quantia por 2,5 anos à taxa de 2% ao mês. O montante dessa aplicação, isto é, a soma do capital mais os juros foi de (A) R$ 9.600,00. (B) R$ 8.600,00. (C) R$ 7.200,00. (D) R$ 6.900,00. (E) R$ 6.000,00. Resolução O juro na capitalização simples é o produto do capital aplicado, taxa de juros e o tempo. O juro calculado é igual a R$ 3.600,00, a taxa é de 2% ao mês. O tempo de aplicação é igual a 2 anos e meio:. O capital aplicado foi de R$ 6.000,00. Como o juro é de R$ 3.600,00, então o montante é igual a 30

31 Letra A QUESTÃO 04 - VUNESP - ESCRITURÁRIO CETESB 2009 Um capital colocado em uma aplicação A, a juro simples, com taxa de 1% ao mês, rende R$ 60,00 de juro em 4 meses. Esse mesmo juro poderia ser obtido se metade desse capital fosse colocado em uma aplicação B, também a juro simples, por 5 meses. A taxa mensal da aplicação B seria de (A) 1,2%. (B) 1,4%. (C) 1,6%. (D) 1,8%. (E) 2,0%. Resolução O juro na capitalização simples é o produto do capital aplicado, taxa de juros e o tempo. Aplicação A: juro de R$ 60,00 em 4 meses; taxa de 1% ao mês. O capital colocado na aplicação A é de R$ 1.500,00. 31

32 O capital colocado na aplicação B é a metade do capital colocado na aplicação A. O juro da aplicação B é o mesmo (R$ 60,00) e o tempo é de 5 meses. Letra C QUESTÃO 05 - FGV - FUNARTE 2014 Uma televisão pode ser comprada em certa loja por R$ 860,00 à vista ou em duas parcelas de R$ 460,00, uma no ato da compra e a outra 30 dias depois. A taxa de juros ao mês que a loja está cobrando é de: a) 8% b) 10% c) 12% d) 15% e) 18% Resolução Esta é uma questão muito fácil de juros simples. A dificuldade que as pessoas têm é em saber qual é o capital e qual é o juro da operação. Vejamos o que diz o enunciado. A televisão custa R$ 860,00 à vista. O indivíduo dará uma entrada de R$ 460,00. Ora, se a 32

33 televisão custa R$ 860,00 e a pessoa dá uma entrada de R$ 460,00, quanto esta pessoa ficou devendo para a loja? Quatrocentos reais!! A situação é a seguinte: a pessoa está devendo 400 reais. A loja faz a proposta para que ele pague R$ 460,00 daqui a um mês. Assim, o capital que foi emprestado pela loja é de R$ 400,00. E o juro? O juro é de R$ 60,00. O prazo é de um mês. Vamos jogar estes dados na fórmula de juros simples. Para transformar esta taxa em porcentagem, devemos multiplicá-la por 100%. Letra D QUESTÃO 06 - FGV - AUDITOR DA RECEITA ESTADUAL/AP 2010 Em certa loja, um artigo pode ser comprado por R$ 172,00 à vista ou em duas prestações de R$ 92,00, uma no ato da compra e outra 30 dias depois. A taxa de juros (embutida) que a loja está cobrando nesta operação é de: (A) 15% (B) 13% (C) 11% (D) 9% (E) 7% 33

34 Resolução O artigo custa R$ 172,00. Como o indivíduo deu uma entrada de R$ 92,00, então ele ficou devendo. Simplificando a conversa: Há uma dívida de 80 reais (capital inicial) a ser paga em 30 dias (1 mês). O valor pago em um mês foi de R$ 92,00. Portanto, o cliente pagou R$ 12,00 de juros em um mês. Vamos aplicar a fórmula de juros simples. Letra A QUESTÃO 07 - FGV - SEFAZ-RJ 2009 O valor a ser pago por um empréstimo de R$ 4.500,00, a uma taxa de juros simples de 0,5% ao dia, ao final de 78 dias é de: a) R$ 6.255,00 b) R$ 5.500,00 c) R$ 6.500,00 d) R$ 4.855,00 e) R$ 4.675,00 34

35 Resolução Temos todas as informações necessárias para o cálculo dos juros simples: o capital, a taxa e o tempo. Além disso, a taxa e o tempo já conformidade em relação à unidade. Lembremos a fórmula de juros simples: Temos que o capital é igual a R$ 4.500,00, a taxa é igual a ao dia e o tempo é igual a 78 dias. O valor a ser pago é o montante (capital + juros). Letra A QUESTÃO 08 - FGV - SEFAZ-RJ Um capital é aplicado durante 120 dias a uma taxa de juros simples ordinários de 15% ao ano, produzindo um montante de R$ 8.400,00. Nestas condições, o capital aplicado, desprezando os centavos é: a) R$ 6.500,00 b) R$ 7.850,00 c) R$ 8.017,00 35

36 d) R$ 8.820,00 e) R$ 8.000,00 Resolução As unidades de tempo de referência do período de aplicação e da taxa devem ser iguais, porém a taxa de juros e o período de aplicação não estão expressos na mesma unidade. Devemos traçar a nossa estratégia: escolher uma unidade comum para a taxa e para o período de capitalização. Lembre-se que juro ordinário é um sinônimo de juro comercial. Desta forma, consideramos que cada mês tem 30 dias e o ano possui 360 (12 x 30) dias. Ora, se o ano comercial possui 360 dias, então os 120 dias do problema representam: Agora temos homogeneidade entre as unidades. A taxa de juros é igual a 15% = 0,15 ao ano e o tempo de aplicação é igual a 1/3 do ano. Lembremos a fórmula do montante simples: O montante fornecido é igual a R$ 8.400,00. Desta forma, o capital aplicado é igual a R$ 8.000,00. Letra E 36

37 QUESTÃO 09 - FGV - SEFAZ-RJ 2008 A taxa de juros simples de 0,05% ao dia equivale à taxa semestral de: a) 15,00% b) 1,50% c) 18,00% d) 9,00% e) 12,00% Resolução No regime de capitalização simples as taxas proporcionais são equivalentes. Duas taxas são proporcionais quando a razão entre elas é igual à razão entre os respectivos períodos expressos na mesma unidade de tempo. Simbolicamente, dizemos que a taxa referente ao período é proporcional à taxa referente ao período se Queremos comparar a taxa diária com a taxa semestral. Lembre-se que um semestre é a metade de um ano. Como o ano comercial tem 360 dias, um semestre tem 180 dias. O produto dos meios é igual ao produto dos extremos. 37

38 Poderíamos ter resolvido utilizando o raciocínio seguinte: como um semestre tem 180 dias, então a taxa semestral será igual a taxa diária multiplicada por 180. Letra D QUESTÃO 10 - FGV - SEFAZ-RJ 2009 Um montante inicial foi aplicado a uma taxa de juros simples de 5% ao mês durante 2 meses e depois reaplicado a uma taxa de juros simples de 10% ao mês durante 2 meses, resultando em R$ ,00. O valor do montante inicial era de: a) R$ ,00 b) R$ ,00 c) R$ ,00 d) R$ ,00 e) R$ ,00 Resolução Têm-se duas aplicações a juros simples sucessivas. Digamos que o capital inicial aplicado seja igual a C. Desta forma, aplicando C reais durante 2 meses a uma taxa de 5% ao mês, o montante será igual a: 38

39 Este montante M1 será o capital de uma nova aplicação. Aplicaremos M1 reais durante dois meses a uma taxa de 10% ao mês. O novo montante será igual a: O montante final é igual a R$ ,00. Portanto: O capital inicial é de R$ ,00. Letra E QUESTÃO 11 - FGV - PREF. DE PAULÍNIA 2016 Em certa loja, uma torradeira pode ser comprada por R$ 250,00 à vista ou então com pagamento de uma entrada de R$ 90,00 no ato da compra, mais uma parcela de R$ 180,00 um mês depois. A taxa de juros ao mês que está sendo aplicada é de a) 8% b) 12,5% 39

40 c) 15% d) 17,5% e) 20% Resolução Se o sujeito deu uma entrada de 90 reais, então ele está devendo = 160 reais. Como a segunda parcela será de 180 reais, então ele pagará = 20 reais de juros. Em suma: o sujeito está devendo 160 reais e pagará 20 reais de juros por isso um mês depois. Qual a taxa de juros? Letra B QUESTÃO 12 - FGV - AFRE-RJ 2011 Um indivíduo deixa de pagar um título no valor de R$ 2.000,00, atrasando o pagamento em três meses. A taxa de juros, juros simples, é de 35% ao ano. Ao pagar o título, seu valor é a) R$ 2.250,00. b) R$ 2.325,00. c) R$ 2.175,00. 40

41 d) R$ 2.155,00. e) R$ 4.100,00. Resolução A taxa é anual. Observe que 3 meses equivalem a 3/12 = 1/4 de um ano. Vamos aplicar a fórmula dos juros simples. Assim, o montante é = reais. Letra C QUESTÃO 13 - FGV - AFRE-RJ 2011 O número de anos para que um capital quadruplique de valor, a uma taxa de 5% ao mês, juros simples, é de (A) 7,50. (B) 3,80. (C) 4,50. (D) 5,00. (E) 6,00. Resolução Digamos que o dinheiro a ser aplicado seja de R$ 100,00. Queremos aplicar este dinheiro e 41

42 que o montante seja 4 vezes maior: R$ 400,00. Desta forma, o juro auferido nesta aplicação é de R$ 300,00. Letra D QUESTÃO 14 - FGV - SMF CUIABÁ 2014 O número de meses necessários para que um investimento feito na poupança triplique de valor (assumindo que esta remunere à taxa de 6% ao ano, no regime de juros simples) é de (A) 34. (B) 200. (C) 333. (D) 400. (E) 500. Resolução A taxa é de 6% ao ano. Como cada ano tem 12 meses, então a taxa mensal é de 6%/12 = 0,5%. Queremos triplicar o valor investido. Se investirmos 100 reais, queremos que o montante seja de 300 reais. Assim, o juro auferido será de 200 reais. 42

43 Letra D QUESTÃO 15 - FGV - SSP-AM 2015 Jorge comprou uma televisão que custava R$ 4.000,00 à vista, pagando em duas parcelas: - a primeira, no ato da compra, no valor de R$ 2.200,00; - a segunda, um mês após a compra, no valor de R$ 2.250,00. A taxa mensal de juros cobrada de Jorge nessa compra foi de: a) 5%; b) 10%; c) 15%; d) 20%; e) 25%. Resolução A TV custa reais à vista. Se Jorge pagou reais no ato da compra, então ele está devendo = reais. 43

44 A loja cobra reais um mês depois. Assim, Jorge pagará = 450 reais de juros. Em suma, Jorge estava devendo reais e pagará 450 reais de juros um mês depois. Letra E QUESTÃO 16 - FGV - SMF NITERÓI 2015 Para pagamento de boleto com atraso em período inferior a um mês, certa instituição financeira cobra, sobre o valor do boleto, multa de 2% mais 0,4% de juros de mora por dia de atraso no regime de juros simples. Um boleto com valor de R$ 500,00 foi pago com 18 dias de atraso. O valor total do pagamento foi: a) R$ 542,00; b) R$ 546,00; c) R$ 548,00; d) R$ 552,00; e) R$ 554,00. Resolução A multa será de 2% do valor da dívida. 44

45 Vamos calcular o valor do juro simples. Assim, o valor a ser pago é de = 546 reais. Letra B QUESTÃO 17 - VUNESP - TJM-SP 2017 Certo capital, aplicado por um período de 9 meses, a uma taxa de juro simples de 18% ao ano, rendeu juros no valor de R$ 1.620,00. Para que os juros do mesmo capital, aplicado no mesmo período, sejam de R$ 2.160,00, a taxa de juro simples anual deverá corresponder, da taxa de 18% ao ano, a: a) 7/6 b) 4/3 c) 3/2 d) 5/3 e) 11/6 Resolução Certo capital, aplicado por um período de 9 meses, a uma taxa de juro simples de 18% ao ano, rendeu juros no valor de R$ 1.620,00. Vamos calcular o capital aplicando a fórmula dos juros simples. Observe que 9 meses correspondem a 9/12 = 3/4 de um ano. 45

46 Vamos aplicar o mesmo capital pelo mesmo tempo. Entretanto, o juro auferido será de R$ 2.160,00. Simplificando por 9, temos: Queremos saber a relação entre as duas taxas. Para tanto, vamos dividir uma pela outra. Assim, temos: A segunda taxa corresponde a 4/3 da taxa de 18% ao ano (. 46

47 Letra B QUESTÃO 18 - VUNESP - UNESP 2017 Carlos fez um empréstimo de R$ 2.800,00, à taxa de juros simples de 1,3% ao mês, que deve ser pago após 3 meses, juntamente com os juros. O valor que Carlos deverá pagar é igual a (A) R$ 2.839,40. (B) R$ 2.889,30. (C) R$ 2.909,20. (D) R$ 2.953,20. (E) R$ 3.112,40. Resolução Vamos calcular o valor do juro. Assim, o montante a ser pago é de ,20 = 2.909,20. Letra C QUESTÃO 19 - VUNESP - PM-SP

48 Laura tomou um empréstimo, que foi totalmente pago, de uma só vez, após 4 meses. Do valor total emprestado, 25% foram pagos com acréscimo de juros simples à taxa de 1% ao mês, e 75% foram pagos com acréscimo de juro simples à taxa de 2% ao mês. Se o valor total pago foi R$ ,00, então o valor que Laura tomou emprestado foi igual a (A) R$ 9.500,00. (B) R$ 9.800,00. (C) R$ 9.900,00. (D) R$ ,00. (E) R$ ,00. Resolução Digamos que o valor emprestado seja de x reais. Do valor total emprestado, 25% foram pagos com acréscimo de juros simples à taxa de 1% ao mês. O período é de 4 meses. Do valor total emprestado, 75% foram pagos com acréscimo de juro simples à taxa de 2% ao mês. O período é de 4 meses. Assim, o montante total a ser pago é: Este montante é igual a reais. 48

49 Letra D QUESTÃO 20 - VUNESP - CRBio 2017 Anselmo aplicou R$ ,00 a uma taxa de juro simples de 0,75% ao mês, durante x meses. Na mesma data, Bernardo aplicou, também, R$ ,00 a uma taxa de juro simples de 0,8% ao mês, durante x + 3 meses. Se o valor recebido de juros por Bernardo superou em R$ 255,00 o valor recebido de juros por Anselmo, então o número de meses da aplicação de Bernardo foi igual a (A) 5. (B) 6. (C) 7. (D) 8. (E) 9. Resolução O juro recebido por Bernardo superou em 255 reais o valor recebido de juros por Anselmo. 49

50 Bernardo aplicou o dinheiro por x + 3 = = 6 meses. Letra B. 50