Aula 9 - Juros Simples e Descontos Simples

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1 1 Aula 9 - Juros Simples e Descontos Simples 1 Juros Regimes de Capitalização Juros Simples Juro Exato e Juro Comercial Prazo Médio, Taxa Média e Capital Médio Fórmulas do Prazo Médio, Taxa Média e Capital Médio Disposição gráfica do montante no regime simples Descontos Simples Desconto Racional Simples (por dentro) Desconto Comercial Simples (por fora) Relação entre os descontos simples por fora e por dentro Progressão Aritmética Relação das questões comentadas Gabaritos

2 2 1 Juros Ao emprestarmos uma quantia em dinheiro, por determinado período de tempo, costumamos cobrar certa importância, o juro, de tal modo que, no fim do prazo estipulado, disponhamos não só da quantia emprestada, como também de um acréscimo que compense a não-utilização do capital financeiro, por nossa parte, durante o período em que foi emprestado. O conceito de juros pode ser fixado através das expressões: i) Dinheiro pago pelo uso de dinheiro emprestado, ou seja, custo do capital de terceiros colocado à nossa disposição. ii) Remuneração do capital empregado em atividades produtivas, ou ainda, remuneração paga pelas instituições financeiras sobre o capital nelas aplicado. Em suma, o juro corresponde ao aluguel recebido ou pago pelo uso de certo capital financeiro. Ilustrarei através de um pergunta uma observação importantíssima que todo estudante de matemática financeira deve saber: Você prefere receber R$ ,00 hoje ou daqui a 20 anos? É importante perceber que o valor de uma quantia depende da época à qual ela está referida. Um aspecto muito relevante é o de considerar os valores em seu momento no tempo. A valoração que fazemos de algo está diretamente associada ao momento em que ocorre. O elemento que faz a equivalência dos valores ao longo do tempo é o juro, que representa a remuneração do capital. Os juros são fixados através de uma taxa percentual que sempre se refere a uma unidade de tempo: ano, semestre, trimestre, mês, dia. Exemplo: i= 24% ao ano= 24% aa. i=. 6% ao trimestre = 6% at i=.. 2,5% ao dia = 2,5% Utilizamos, usualmente, a letra i para denotar a taxa de juros. A letra i é a inicial da palavra inglesa interest, que significa juros. ad

3 3 Logo, o grande objetivo da MATEMÁTICA FINANCEIRA é permitir a comparação de valores em diversas datas de pagamento ou recebimento e o elemento chave para a comparação destes valores é a taxa de juros. Na prática da Matemática Financeira, o juro é o elemento que nos permite levar um valor datado de uma data para outra, isto é, são os juros que nos permitem levar um Valor Presente para um Valor Futuro ou vice-versa. Enfim, são os juros que nos permitem comparar valores e decidirmos pela melhor alternativa de compra, venda ou pagamento. Imagine que o meu banco cobra uma taxa de 6% ao mês no uso do cheque especial. E em determinado mês, precisei pegar emprestado do banco R$ 2.000,00. Que valor eu devo depositar na minha conta daqui a um mês para saldar a dívida? Ora, se a taxa de juros é de 6% ao mês e eu peguei emprestado R$ 2.000,00, então para saldar a minha dívida eu devo pagar os R$ 2.000,00 e mais os juros cobrados pelo banco. O juro que irei pagar daqui a um mês será 6% de Ou seja, 6 j= 6% de 2000= 2000= O valor total que devo depositar na minha conta para saldar a minha dívida é igual a = É importante observar que no cálculo anterior, a taxa de juros 6% foi transformada em fração decimal para permitir a operação. Assim, as taxas de juros terão duas representações: i) Sob a forma de porcentagem (taxa percentual): 6% ao ano = 6% a.a. ii) Sob a forma de fração decimal (taxa unitária): 6 0, = A representação em percentagem é a comumente utilizada; entretanto, todos os cálculos e desenvolvimentos de fórmulas serão feitos através da notação em fração decimal. Na situação descrita acima, podemos perceber os principais elementos de uma operação de juros. Imagine que o meu banco cobra uma taxa de 6% ao mês no uso do cheque especial. E em determinado mês, precisei pegar emprestado do banco R$ 2.000,00. Que valor eu devo depositar na minha conta daqui a um mês para saldar a dívida?

4 4 Capital (C) Pode ser chamado de principal, capital inicial, valor presente, valor atual, montante inicial, valor de aquisição, valor à vista. No nosso exemplo, é o dinheiro que peguei emprestado do banco. Temos então, no nosso problema, que o capital é igual a R$ 2.000,00. C=R$2.000,00 Juros (J) Quando uma pessoa empresta a outra um valor monetário, durante certo tempo, é cobrado um valor pelo uso do dinheiro. Esse valor é denominado juros. J=R$ 120,00 Taxa de juros (i) A taxa de juros representa os juros numa certa unidade de tempo. A taxa obrigatoriamente deverá explicitar a unidade de tempo. Por exemplo, se eu vou ao banco tomar um empréstimo e o gerente me diz: Ok! O seu empréstimo foi liberado!! E a taxa de juros que nós cobramos é de apenas 8%. Ora, a informação desse gerente está incompleta. Pois se os juros forem de 8% ao ano... Ótimo!!! E se essa taxa de juros for ao dia?? Portanto, perceba que a indicação da unidade da taxa de juros é FUNDAMENTAL. i=6% a.m. Tempo (n) Quando falamos em tempo, leia-se NÚMERO DE PERÍODOS. No nosso exemplo, se eu ficasse devendo ao banco por 3 meses, o nosso número de períodos seria igual a 3. Agora, imagine a seguinte situação. Tomase um empréstimo com a taxa de 7,5% a.b. (ao bimestre). Se você demorar 6 meses para efetuar o pagamento da dívida, o seu n, ou seja, o seu tempo não será igual a 6. O seu tempo será igual a 3!!! Pois a taxa é bimestral, e em um período de 6 meses é composto por 3 bimestres. No nosso exemplo, a taxa era mensal e eu usei o cheque especial durante apenas um mês. n = 1 mês Montante (M) Pode ser chamado de montante, montante final, valor futuro. É o valor de resgate. Obviamente o montante é maior do que o capital inicial. O montante é, em suma, o capital mais os juros. M=R$2.120,0 Podemos então escrever que M=C+J.

5 5 As operações de empréstimo são feitas geralmente por intermédio de um banco que, de um lado, capta dinheiro de interessados em aplicar seus recursos e, de outro, empresta esse dinheiro aos tomadores interessados no empréstimo. 2 Regimes de Capitalização Os juros são normalmente classificados em simples ou compostos, dependendo do processo de cálculo utilizado. Ou seja, se um capital for aplicado a certa taxa por período, por vários intervalos ou períodos de tempo, o valor do montante pode ser calculado segundo duas convenções de cálculo, chamadas de regimes de capitalização: capitalização simples (juros simples) e capitalização composta (juros compostos). Vejamos dois exemplos para entender os esses dois tipos de capitalização. Capitalização Simples De acordo com esse regime, os juros gerados em cada período são sempre os mesmos. Atenção!! OS JUROS SÃO PAGOS SOMENTE NO FINAL DA APLICAÇÃO!!! EP 1. Imagine a seguinte situação: Apliquei R$ ,00 a juros simples durante 5 anos à taxa de 20% a.a. Vamos calcular os juros gerados em cada período e o montante após o período de aplicação. Como a própria leitura da taxa indica: 20% ao ano (vinte por cento ao ano). Cada ano, de juros, receberei 20%. 20% de quem? De R$ ,00!! 20 Os juros gerados no primeiro ano são = Os juros gerados no segundo ano são = Os juros gerados no terceiro ano são = Os juros gerados no quarto ano são =

6 6 20 Os juros gerados no quinto ano são = NA CAPITALIZAÇÃO SIMPLES os juros gerados em cada período são sempre os mesmos, ou seja, a taxa incide apenas sobre o capital inicial. Dessa forma, o montante após os 5 anos vale R$ ,00 (capital aplicado) mais 5 vezes R$ 2.000,00 (juros). Conclusão: o montante é igual a R$ ,00 (lembre-se que o montante é o capital inicial mais o juro). Capitalização Composta No regime de capitalização composta, o juro gerado em cada período agrega-se ao capital, e essa soma passa a render juros para o próximo período. Daí que surge a expressão juros sobre juros. EP 2. Imagine a seguinte situação: Apliquei R$ ,00 a juros compostos durante 5 anos à taxa de 20% a.a. Vamos calcular os juros gerados em cada período e o montante após o período de cada aplicação. 20 Os juros gerados no primeiro ano são = e o montante 100 após o primeiro ano é = Os juros gerados no segundo ano são = e o montante 100 após o segundo ano é = Os juros gerados no terceiro ano são = e o montante 100 após o terceiro ano é = Os juros gerados no quarto ano são = e o montante após 100 o quarto ano é = Os juros gerados no quinto ano são = 4.147,20 e o montante 100 após o quinto ano é ,20=24.883,20. Observação: Se a operação de juros for efetuada em apenas um período, o montante será igual nos dois regimes. No nosso exemplo, se parássemos a aplicação no primeiro mês, teríamos um montante de R$ ,00 nos dois regimes de capitalização. Verifique! Vejamos uma questão que faz uma comparação entre os dois regimes de capitalização.

7 7 EC 1. (Universidade Federal da Fronteira Sul Economista 2009 FEPESE) Sobre o tema Capitalização Simples e Composta assinale a alternativa incorreta. a. Na capitalização composta os juros produzidos ao final de um dado período n se agregam ao capital, passando ambos a integrar a nova base de cálculo para o período subseqüente n+1 e assim sucessivamente. b. Uma aplicação financeira que rende 12% ao ano irá gerar o maior montante quando aplicado segundo o regime de capitalização simples, em comparação com o regime de capitalização composta. c. Capitalização simples é o regime segundo o qual os juros produzidos no final de cada período têm sempre como base de cálculo o capital inicial empregado. d. Uma aplicação de um capital de $1.000,00 à taxa de juro de 10% a.m., durante três meses, no regime de capitalização simples, gera um montante de $1.300,00. e. Uma aplicação de um capital de $1.000,00 à taxa de juro de 10% a.m., durante três meses, no regime de capitalização composta, gera juros de $331,00. Vamos comentar cada uma das alternativas. a. Na capitalização composta os juros produzidos ao final de um dado período n se agregam ao capital, passando ambos a integrar a nova base de cálculo para o período subseqüente n+1 e assim sucessivamente. Absolutamente verdadeira é a alternativa!! Comentamos praticamente a mesma coisa anteriormente... Com outras palavras... No regime de capitalização composta, o juro gerado em cada período agrega-se ao capital, e essa soma passa a render juros para o próximo período. Essa foi fácil demais!! Vamos para a próxima... b. Uma aplicação financeira que rende 12% ao ano irá gerar o maior montante quando aplicado segundo o regime de capitalização simples, em comparação com o regime de capitalização composta. Basta dar uma olhada no nosso exemplo para constatar que se trata de uma alternativa falsa. No nosso exemplo, em que a taxa era de 20% a.a. e o capital inicial igual a R$ ,00, ao final de 5 anos o montante da capitalização simples foi igual a R$ ,00 e o montante da capitalização composta foi igual a R$ ,20.

8 8 Portanto, a resposta da questão é a letra B. Analisemos as outras alternativas. c. Capitalização simples é o regime segundo o qual os juros produzidos no final de cada período têm sempre como base de cálculo o capital inicial empregado. Praticamente a definição de capitalização simples. A alternativa c. está perfeitamente correta. d. Uma aplicação de um capital de $1.000,00 à taxa de juro de 10% a.m., durante três meses, no regime de capitalização simples, gera um montante de $1.300,00. Lembre-se que de acordo com o regime simples, os juros gerados em cada período são sempre os mesmos. 10 Dessa forma, os juros gerados no primeiro mês são = Temos então que os juros gerados em qualquer outro mês serão iguais aos juros gerados no primeiro mês. Portanto, o montante no final da aplicação de 3 meses será o capital investido (R$ 1.000,00) mais os juros (3 x R$ 100,00 = R$ 300,00). O montante é igual a R$ 1.000,00+R$ 300,00 = R$ 1.300,00. A alternativa D é verdadeira. E finalmente a última alternativa. e. Uma aplicação de um capital de $1.000,00 à taxa de juro de 10% a.m., durante três meses, no regime de capitalização composta, gera juros de $331,00. No regime de capitalização composta, o juro gerado em cada período agrega-se ao capital, e essa soma passa a render juros para o próximo período. Dessa forma, os juros gerados no primeiro mês são o primeiro mês é = = 100 e o montante após 100

9 9 Os juros gerados no segundo mês são o segundo mês é = = 110 e o montante após 100 Os juros gerados no terceiro mês são terceiro mês é = = 121 e o montante após o 100 O total de juros é igual a R$ 100,00 + R$ 110,00 + R$ 121,00 = R$ 331,00. Podemos obter os juros da seguinte maneira: Se aplicamos R$ 1.000,00 durante três meses e obtemos um montante igual a R$ 1.331,00, o juro total será igual a R$ 1.331,00 R$ 1.000,00 = R$ 331,00. Portanto, a alternativa E é verdadeira!! Como a questão nos perguntou quem é a incorreta... LETRA B Obviamente não resolveremos questões de juros simples e juros compostos da maneira como o fizemos agora. A minha intenção foi mostrar o DNA dos dois regimes de capitalização. Faremos agora um estudo pormenorizado de cada um dos regimes. Comecemos pelo regime simples. 3 Juros Simples Como vimos anteriormente, juros simples são aqueles calculados sempre sobre o capital inicial, sem incorporar à sua base de cálculo os juros auferidos nos períodos anteriores. Ou seja, os juros não são capitalizados. Vejamos outro exemplo para entendermos bem a fórmula de juros simples. Imagine que você aplique R$ 5.000,00 à taxa de juros simples de 3% ao mês. Então, ao final do primeiro mês de aplicação, o juro produzido será: 3 3% de 5.000= 5.000= Ou seja, para calcular o juro produzido no primeiro mês, basta multiplicar a taxa de juros pelo capital inicial. Como, sob o regime de capitalização simples, os juros produzidos em cada período são sempre iguais, podemos concluir que, se esse capital fosse aplicado por 10 meses, produziria juros de: 150 x 10 =

10 10 A partir desse exemplo, é fácil compreender a fórmula para o cálculo do juro simples. Adotaremos as seguintes notações: C Capital inicial i taxa de juros simples n tempo de aplicação J juro simples produzido durante o período de aplicação. M montante ao final da aplicação O juro produzido no primeiro período de aplicação é igual ao produto do capital inicial (C) pela taxa de juros (i), como foi feito no nosso exemplo. E, consequentemente, o juro produzido em n períodos de aplicação será: J = C i n (1) E, lembrando também que o montante é a soma do capital com os juros produzidos, temos a seguinte fórmula abaixo: M = C+ J (2) Substituindo a fórmula (1) na fórmula (2), temos então a seguinte expressão: M = C+ C i n Em álgebra, C significa 1 C, portanto, M = 1 C+ C i n Colocando o C em evidência, M = C (1 + i n) (3) Devemos saber memorizadas as fórmulas (1), (2) e (3)!!! J J = C i n (1) M = C+ J (2)

11 11 M = C (1 + i n) (3) E devemos estar atentos a algumas observações importantíssimas... Para começar, deve-se utilizar a taxa na forma fracionária ou unitária. Assim, por exemplo, se a taxa for de 10%, utilizamos 10 ou 0,1.

12 12 Quando a questão não diz o regime de capitalização, por convenção, adotamos o regime simples. O capital aplicado é de R$ ,00, durante um ano e três meses ( = 15 meses), à taxa de 36% ao ano. Devemos entrar em um consenso com relação às unidades da taxa de juros e do número de períodos. Uma taxa de 36% ao ano gera 3% ao mês (36%/12). Podemos simplesmente dividir a taxa anual por 12, pois no regime de juros simples, para fazer a conversão de taxas utilizamos o conceito de taxas proporcionais. Lembre-se também que 3% = 3/100 = 0,03. = = ,03 15 = E como o montante é a soma do capital com o juro gerado... M = C + J = = ,00. Letra B EC 3. (Técnico da Receita Federal 2006 ESAF) Um indivíduo devia R$1.200,00 três meses atrás. Calcule o valor da dívida hoje considerando juros simples a uma taxa de 5% ao mês, desprezando os centavos. a) R$ 1.380,00 b) R$ 1.371,00 c) R$ 1.360,00 d) R$ 1.349,00 e) R$ 1.344,00 Calcular o valor da dívida hoje significa calcular o montante da operação de juros simples. A taxa e o período estão em conformidade quanto à unidade (mês), portanto podemos aplicar diretamente a fórmula de juros simples. O capital é R$ 1.200,00, a taxa de juros é de 5% ao mês e o tempo é igual a três meses. J = C i n 5 J =

13 13 J = 180 Como o montante é a soma do capital inicial com os juros, M = C+ J M M = = Letra A EC 4. (Prefeitura de Ituporanga 2009 FEPESE) Quais são os juros simples de R$ ,00, à taxa de 7,5% ao ano, em 4 anos e 9 meses? a. R$ 4.488,75 b. R$ 1.023,75 c. R$ 3.780,00 d. R$ 1.496,25 e. R$ 5.386,50 As unidades de tempo de referência do período de aplicação e da taxa devem ser iguais. Temos todas as informações necessárias para o cálculo dos juros simples: o capital, a taxa e o tempo. O único problema é que a taxa de juros e o período de aplicação não estão expressos na mesma unidade. E quem disse que isso é problema? Devemos traçar a nossa estratégia. Devemos escolher uma unidade comum para a taxa e para o período de capitalização. Sabemos que um ano é a mesma coisa que 12 meses. Logo, 4 anos são o mesmo que 4 x 12 = 48 meses. Portanto, o período de capitalização é igual a = 57 meses. Já a taxa é igual a 7,5% ao ano ou 0,075 ao ano. Para sabermos a taxa equivalente ao mês, basta-nos dividir essa taxa por 12. Portanto a taxa de juros mensal será igual a 0,075/12. Agora estamos prontos para aplicarmos a fórmula de juros simples! J = C i n Temos que o capital é igual a R$ ,00, a taxa é igual a o tempo é igual a 57 meses. 0,075 J = , ao mês e

14 14 Como dividido por 12 é igual a 1.050, J = , J = 4.488,75 Letra A EC 5. (UnB/CESPE PMCE 2008) No regime de juros simples, R$ ,00 investidos durante 45 meses à taxa de 15% ao semestre produzirão um montante inferior a R$ ,00. Devemos estar sempre atentos quanto à conformidade da unidade da taxa de juros com a unidade do tempo de investimento do capital. O tempo de aplicação foi dado em meses. A taxa de 15% ao semestre poderá ser escrita em meses, utilizando o conceito de taxas proporcionais. Ou seja, para calcular taxas equivalentes no regime simples podemos fazêlo utilizando uma regra de três simples e direta. Temos uma taxa de 15% ao semestre (6 meses). Queremos calcular a taxa de juros para 1 mês. Taxa de Juros 15% 6 i Assim, 6 i= 1 15% 6 i= 15% Meses 1 i= 2,5% ao mês i= 0,025 Poderíamos ter simplesmente dividido 15% por 6. O juro simples é calculado da seguinte maneira: J = C i n J = , J =

15 15 Basta lembrar que o montante é a soma do capital aplicado com o juro obtido. M = C+ J M = M = O montante é superior a R$ ,00 e o item está ERRADO. EC 6. (IPESC Economista 2005 FEPESE) A fim de produzir os bens de que necessita no seu dia-a-dia, o Homem combina recursos naturais, trabalho e capital. Pode-se dizer que os organizadores dos sistemas produtivos recebem lucros e os proprietários do capital recebem remuneração, na forma de juros. Os juros simples podem ser calculados, usando-se a relação: juros simples = capital taxa unitária no de períodos Neste contexto, assinale a alternativa correta. Fórmulas: j = Cin M = C(1 + in) a. Se colocarmos o capital de R$ ,00 a juros simples, durante 5 meses, à taxa de 2% ao mês, teremos em cada mês R$ 250,00 de juros. b. O montante de R$ ,00, a 2% ao mês, durante cinco meses, é exatamente igual ao montante de R$ ,00 a 5% ao mês, durante dois meses. c. Se colocarmos o capital de R$ ,00 a juros simples, durante 1 semestre, à taxa de 5% ao mês, vamos duplicar o capital. é meses, 2 durante mês, ao 5% a ,00, R$ de d. O montante exatamente igual a R$ ,00. e. R$ 120,00 representa os juros da capitalização de R$ ,00, no decorrer do primeiro mês, quando a taxa é de 10% ao mês. Devemos analisar alternativa por alternativa. a. Se colocarmos o capital de R$ ,00 a juros simples, durante 5 meses, à taxa de 2% ao mês, teremos em cada mês R$ 250,00 de juros. Já que a taxa de juros é de 2% ao mês, para calcular o juro de cada mês 2 =, logo a alternativa basta-nos calcular 2% de 10000: a. está errada. b. O montante de R$ ,00, a 2% ao mês, durante cinco meses, é exatamente igual ao montante de R$ ,00 a 5% ao mês, durante dois meses.

16 16 Já que o capital inicial é o mesmo, basta verificarmos se os juros produzidos são os mesmos. Basta perceber que 2% ao mês durante 5 meses são gerados ao todo 10% de juros e que 5% ao mês durante dois meses também geram 10% de juros. Podemos resolver efetuando os dois cálculos de juros simples a partir da fórmula 1 J = C i n J 1= = e 2 5 J = = Logo, os montantes gerados são iguais e a alternativa B está correta. c. Se colocarmos o capital de R$ ,00 a juros simples, durante 1 semestre, à taxa de 5% ao mês, vamos duplicar o capital. Lembrando que 1 semestre é o mesmo que 6 meses, temos o seguinte cálculo: J = C i n 5 = = Portanto, o montante será M = = O capital não dobrou e a alternativa C é falsa. é meses, 2 durante mês, ao 5% a ,00, R$ de d. O montante exatamente igual a R$ ,00. J = C i n 5 = = Portanto, o montante será M = = A alternativa D é falsa. e. R$ 120,00 representa os juros da capitalização de R$ ,00, no decorrer do primeiro mês, quando a taxa é de 10% ao mês.

17 17 Na capitalização simples, para calcular os juros da capitalização em um mês basta multiplicar a taxa pelo capital. Portanto, o juro será igual a 10% de R$10.000, % de = = Portanto, a alternativa E é falsa. Resposta: Letra B EC 7. (AFRE-PB 2006/FCC) Um investidor aplica em um determinado banco R$ ,00 a juros simples. Após 6 meses, resgata totalmente o montante de R$ ,00 referente a esta operação e o aplica em outro banco, durante 5 meses, a uma taxa de juros simples igual ao dobro da correspondente à primeira aplicação. O montante no final do segundo período é igual a (A) R$ ,00 (B) R$ ,00 (C) R$ ,00 (D) R$ ,00 (E) R$ ,00 Temos duas aplicações em regime simples. A taxa da segunda aplicação é igual ao dobro da taxa da primeira aplicação. Portanto, o primeiro passo é determinar a taxa da primeira aplicação. 1ª aplicação: O capital é igual a R$ ,00 e o montante é igual a R$ ,00. Portanto o juro é igual a J = = 900. O tempo de aplicação é de 6 meses. Assim, podemos aplicar a fórmula de juros simples. J = C i n 900= i 6 900= i i= i= 0,015

18 18 2ª aplicação: Lembrando que a taxa da segunda aplicação é o dobro da taxa da primeira aplicação, concluímos que a segunda taxa é igual a 0,015 x 2 = 0,03. O capital aplicado da segunda aplicação é o montante da primeira aplicação. Portanto, o capital aplicado é igual a R$ ,00. O tempo de aplicação é igual a 5 meses. Logo, o montante será dado por M = C (1 + i n) M = (1+ 0,03 5) M = ,15 M = Letra A EC 8. (Agente Administrativo SAAE Pref. Porto Feliz SP 2006/CETRO) Aplicando um determinado valor à taxa simples de 2% a.m., um investidor resgatou a quantia correspondente ao dobro do principal. Indique o prazo desta aplicação: (A) 10 meses. (B) 20 meses. (C) 40 meses. (D) 50 meses. (E) 60 meses. Imagine, por hipótese que você aplicou R$ 100,00. Se você pretender resgatar o dobro do principal, você pretende resgatar R$ 200,00. O valor resgatado é o que denominamos MONTANTE. Ora, se aplicamos R$ 100,00 e resgatamos R$ 200,00, então o juro gerado no período é igual a R$ 100,00. A taxa de juros 2% ao mês é igual a 2/100=0,02 ao mês. = 100 = 100 0, = 2 O número 2 que está multiplicando no segundo membro, passa dividindo para o primeiro membro. Assim, = = 50

19 19 Letra D EC 9. (UnB/CESPE PMAC 2008) Um indivíduo emprestou R$ ,00 a um amigo à taxa de juros simples de 1,8% ao mês. Ao final do período combinado, o amigo devolveu o montante de R$ ,00. Nessa situação, o período do empréstimo foi inferior a 15 meses. Para efeito de cálculo a taxa de juros 1,8% será escrita como 1,8/100 = 0,018. Sabemos que o montante é a soma do capital com o juro. M = C+ J. Dessa forma, J = M C= = E como J = C i n, O item está ERRADO = ,018 n 7.200= 450 n n= = 16 meses. 450 EC 10. (Agente de Defesa Civil - Pref. Mairinque/SP 2009 CETRO) Um capital de R$750,00, aplicado a juros simples de 12% ao ano, gerou um montante de R$1.020,00. Com esses dados, é correto afirmar que o tempo de aplicação foi de (A) 12 meses. (B) 24 meses. (C) 36 meses. (D) 48 meses. (E) 60 meses. Ora, sabemos que o montante é a soma do capital com o juro gerado no período. Assim, se o montante foi de R$ 1.020,00 e o capital aplicado foi de R$ 750,00, então o juro gerado no período foi de = 270 reais. Sabemos que o juro simples é dado por =. A taxa de 12% ao ano, para efeito de cálculo deverá ser escrita na forma unitária. O símbolo p% significa p/100. Assim 12% = 12/100 = 0,12.

20 20 = 270 = 750 0, = 90 = 3 Como o número de períodos nas alternativas está em meses, sabemos que um ano são 12 meses e, consequentemente, 3 anos são 36 meses. Letra C EC 11. (AFRE-CE 2006 ESAF) Qual o capital que aplicado a juros simples à taxa de 2,4% ao mês rende R$ 1 608,00 em 100 dias? a) R$ ,00. b) R$ ,00. c) R$ ,00. d) R$ ,00. e) R$ ,00. Questão clássica de juros simples! O enunciado forneceu a taxa, o juro e o tempo. Está faltando apenas o capital que foi aplicado. Para começar, a taxa e o tempo devem ser expressos na mesma unidade! Já que a taxa é de 2,4% = 0,024 ao mês, devemos dividir a taxa mensal por 30 para calcular a taxa diária (isso porque o mês comercial é composto por 30 dias). Logo, i = 0,024 ad.. 30 O rendimento (juro) é igual a R$1.608,00 e o tempo é igual a 100 dias. Lembremos a fórmula do juro simples. J = C i n De acordo com o enunciado: J = 1.608, i = 0,024/30 e n = 100. Logo, 0, = C

21 21 Observe que 0, = 2, , 4 = C 30 E já que 2,4/30 = 0,08; 1.608= C 0,08 C = C= , Letra B EC 12. (Técnico da Receita Federal 2006 ESAF) Indique qual o capital que aplicado a juros simples à taxa de 3,6% ao mês rende R$96,00 em 40 dias. a) R$ 2.000,00 b) R$ 2.100,00 c) R$ 2.120,00 d) R$ 2.400,00 e) R$ 2.420,00 A taxa de juros e o período não estão na mesma unidade. Adotaremos o mês comercial que possui 30 dias. Portanto se queremos saber a taxa diária equivalente a 3,6% ao mês, temos que dividir 3,6% por 30. Dessa forma, obtém-se 3, 6% 0,12% 30 = ao dia. Aplicando os dados do enunciado na fórmula de juro simples: J = C i n 0,12 96= C

22 22 0,048 C = 96 C = 96 0,048 Já que 0,048 possui 3 casas decimais, para efetuar essa divisão devemos igualar a quantidade de casas decimais e então apagar as vírgulas. C C 96, = = 0, = Letra A EC 13. (UnB CESPE TRT 6º Região 2002) Julgue o item seguinte. Se um capital aplicado a juros simples durante seis meses à taxa mensal de 5% gera, nesse período, um montante de R$ 3.250,00, então o capital aplicado é menor que R$ 2.600,00. A primeira preocupação que devemos ter em uma questão de juros simples é quanto à conformidade da unidade de tempo com a unidade de taxa de juros. Nesse item tanto a taxa de juros quanto a quantidade de períodos estão expressos em meses. Ok! Queremos saber o capital que aplicado durante 6 meses a uma taxa de juros simples de 5% = 0,05 ao mês gera um montante de R$ 3.250,00. Devemos aplicar a fórmula do montante na capitalização simples. M = C (1 + i n) = C (1+ 0,05 6) 3.250= C 1, C= 1, 3 Para dividir, devemos igualar a quantidade de casas decimais e depois apagar as vírgulas.

23 3.250, C= = = , 3 13 Realmente o capital aplicado é menor do que R$ 2.600,00 e o item está CERTO. EC 14. (Administrador - Prefeitura Municipal de Florianópolis 2007 FEPESE) Um banco concedeu a um cliente um empréstimo a juros simples por 18 meses. Se o montante (capital inicial + juro) é igual a 190% do capital emprestado, então a taxa mensal do empréstimo é: a. 2% b. 5% c. 7% d. 10,5% e. 20% Ora, sabemos M = C (1 + i n) e, além disso, o enunciado nos disse que o montante é igual a 190% do capital inicial. Podemos escrever essa afirmação assim: Montante = 190% do capital inicial Ou seja, 23 M 190 = C 100 O que faremos com essas duas equações?? Ora, sabemos que M é igual a C(1+in) e M também é igual a C. Portanto podemos afirmar que C(1+in) e C são iguais. 190 C (1 + in) = C 100 Neste ponto, podemos cancelar os dois C s e simplificar a fração in= 10 O enunciado nos disse que o empréstimo será saldado em 18 meses, logo n=18.

24 i= 1, 9 18i= 0,9 0,9 9 1 i= = = Para transformarmos essa taxa em porcentagem basta que multipliquemos por 100%. 1 i= 100% 20 i= 5% a.m. Letra B EC 15. (APOFP/SEFAZ-SP/FCC/2010) Um capital no valor de R$ ,00 é aplicado a juros simples, durante 12 meses, apresentando um montante igual a R$ ,00. Um outro capital é aplicado, durante 15 meses, a juros simples a uma taxa igual à da aplicação anterior, produzindo juros no total de R$ 5.250,00. O valor do segundo capital supera o valor do primeiro em a) R$ ,00 b) R$ 8.500,00 c) R$ 7.500,00 d) R$ 6.000,00 e) R$ 5.850,00 Primeira aplicação: Um capital de R$ ,00 gera um montante de R$ ,00, logo o juro do período é de R$ 2.500,00. Sabemos a relação de juro simples: Segunda aplicação: = =. =.. =.. =... =. =

25 25 =. =. = =. O segundo capital supera o primeiro em = Letra B EC 16. (AFRE-SC 2010/FEPESE) Um Capital de $ 1.000,00 ficou aplicado durante 135 dias, alcançando no final deste período o montante de $ 1.450,00. Calcule a taxa mensal de juros simples que esse capital rendeu e assinale a alternativa que indica a resposta correta. a) 10,00%. b) 12,00%. c) 15,00%. d) 17,00%. e) 21,00%. Se o capital aplicado é de $ 1.000,00 e o montante é de $ 1.450,00, então o juro obtido na aplicação é de $ 450,00, pois, por definição, o montante é o capital aplicado mais o juro. Considerando o mês comercial, 135 dias equivalem a 4,5 meses. A fórmula para o cálculo do juro simples é a seguinte: = 450 = ,5 450 = Letra A (UnB / CESPE DOCAS / PA -2004) Mário dispunha de um capital de R$ ,00. Parte desse capital ele aplicou no banco BD, por 1 ano, à taxa de juros simples de 3% ao mês. O restante, Mário aplicou no banco BM, também pelo período de 1 ano, à taxa de juros simples de 5% ao mês.

26 26 Considerando que, ao final do período, Mário obteve R$ 4.500,00 de juros das duas aplicações, julgue os itens seguintes. EC 17. A quantia aplicada no banco BM foi superior a R$ 4.000,00. EC 18. Os juros obtidos pela aplicação no banco BM superaram em mais de R$ 500,00 os juros obtidos pela aplicação no banco BD. EC 19. Ao final do ano, o montante obtido pela aplicação no banco BD foi superior a R$ 8.000,00. Deixe-nos analisar a situação do enunciado e depois avaliar cada item. Mário dispunha de um capital de R$ ,00 para aplicar em dois bancos: BD e BM. Chamemos o capital aplicado no banco BD de D e o capital aplicado no banco BM de M. É importante que você utilize letras que façam referência aos nomes que foram usados no enunciado da questão. Seria ruim utilizar, por exemplo, utilizar as letras x e y, pois, no final, teríamos que procurar quem é x e quem é y! Pois bem, se o capital total é R$ , então a nossa primeira equação é D + M = Aplicação no Banco BD A taxa de juros e o tempo de aplicação devem sempre estar na mesma unidade! Assim, se a taxa de juros no banco BD é de 3% ao mês, então o tempo de aplicação que é de 1 ano será escrito como 12 meses. Temos os seguintes dados: Capital aplicado no Banco BD: D Taxa de juros: 3% ao mês = 0,03 ao mês. Tempo de aplicação: 12 meses. Temos todas as informações necessárias para utilizar a expressão do juro simples! J = C i n Já que nessa questão temos aplicações em dois bancos, para não confundir colocarei índices nos dados das fórmulas.

27 27 J = C i n BD BD BD BD Assim, JBD = D 0,03 12 JBD = 0,36 D Aplicação no Banco BM A taxa de juros e o tempo de aplicação devem sempre estar na mesma unidade! Assim, se a taxa de juros no banco BM é de 5% ao mês, então o tempo de aplicação que é de 1 ano será escrita como 12 meses. Temos os seguintes dados: Capital aplicado no Banco BM: M Taxa de juros: 5% ao mês = 0,05 ao mês. Tempo de aplicação: 12 meses. Temos todas as informações necessárias para utilizar a expressão do juro simples! Assim, BM J = C i n J = C i n BM BM BM JBM = M 0,05 12 JBM = 0,60 M O enunciado também informa que ao final do período, Mário obteve R$ 4.500,00 de juros das duas aplicações. Ou seja, o juro obtido no Banco BD mais o juro obtido no Banco BM totalizam R$ 4.500,00.

28 28 J + J = BD BM ,36 D+ 0,60 M = Para não trabalhar com números decimais, podemos multiplicar ambos os membros da equação por 100! 36 D+ 60 M = Temos, então, um sistema linear com duas equações e duas incógnitas. A outra equação foi escrita no início da resolução. O capital total aplicado nos dois bancos (BD e BM) é igual a R$ ,00. Eis o sistema: D+ M = 36 D+ 60 M = D+ M = Existem diversos métodos para resolver esse sistema linear. Farei de duas maneiras. Método I Substituição Nesse método, devemos isolar uma das incógnitas em uma das equações e substituir esse valor na outra equação. Claramente, nesse caso, é mais fácil isolar qualquer uma das incógnitas na segunda equação. Vamos isolar o D. D+ M = D= M Devemos substituir essa expressão na primeira equação! 36 D+ 60 M = ( M ) + 60 M =

29 M + 60 M = M = M = M = E como o capital total aplicado é igual a , o capital aplicado no banco BD é igual a = Método II Adição Voltemos ao sistema linear. D= D+ 60 M = D+ M = ( 36) Nesse método, devemos multiplicar ambos os membros de uma equação por algum fator, de modo que possamos somar as equações para que uma das incógnitas seja cancelada. Podemos, por exemplo, multiplicar ambos os membros da segunda equação por - 36, pois dessa forma, ao somarmos as duas equações, a incógnita D será cancelada. 36 D+ 60 M = D 36 M = Ao somarmos as duas equações membro a membro teremos: 36 D 36 D= 0, 60 M 36 M = 24 M =

30 30 Ou seja, 36 D+ 60 M = D 36 M = M = M = E como o capital total aplicado é igual a , o capital aplicado no banco BD é igual a = J = CBD ibd nbd J = ,03 12= BD J = C i n BM BM BM BM J = ,05 12= BM Como os juros obtidos nos dois bancos são iguais, o item está ERRADO. 19. Ao final do ano, o montante obtido pela aplicação no banco BD foi superior a R$ 8.000,00. Basta lembrar que o montante é a soma do capital aplicado com o juro obtido. M = C+ J

31 31 M = M = Assim, o item está CERTO. EC 20. (UnB / CESPE CHESF 2002) Uma pessoa recebeu R$ 6.000,00 de herança, sob a condição de investir todo o dinheiro em dois tipos particulares de ações, X e Y. As ações do tipo X pagam 7% a.a. e as ações do tipo Y pagam 9% a.a. A maior quantia que a pessoa pode investir nas ações X, de modo a obter R$ 500,00 de juros em um ano, é A) inferior a R$ 1.800,00. B) superior a R$ 1.800,00 e inferior a R$ 1.950,00. C) superior a R$ 1.950,00 e inferior a R$ 2.100,00. D) superior a R$ 2.100,00 e inferior a R$ 2.250,00. E) superior a R$ 2.250,00. Se o capital total é R$ 6.000,00, então a nossa primeira equação é X + Y = Aplicação na ação X A taxa de juros e o tempo de aplicação devem sempre estar na mesma unidade! Assim, se a taxa de juros na ação X é de 7% ao ano e o tempo de aplicação é de 1 ano, nada precisamos modificar nesses dados. Temos os seguintes dados: Capital aplicado na ação X: X Taxa de juros: 7% ao ano = 0,07 ao ano. Tempo de aplicação: 1 ano. Temos todas as informações necessárias para utilizar a expressão do juro simples! J = C i n Assim, J = CX ix nx

32 32 JX = X 0,07 1 J X = 0,07 X Aplicação na ação Y A taxa de juros e o tempo de aplicação devem sempre estar na mesma unidade! Assim, se a taxa de juros na ação Y é de 9% ao ano e o tempo de aplicação é de 1 ano, nada precisamos modificar nesses dados. Temos os seguintes dados: Capital aplicado na ação Y : Y Taxa de juros: 9% ao ano = 0,09 ao ano. Tempo de aplicação: 1 ano. Temos todas as informações necessárias para utilizar a expressão do juro simples! Assim, Y J = C i n J = C i n Y Y Y JY = Y 0,09 1 JY = 0,09 Y O enunciado também informa que ao final do período, a pessoa obteve R$ 500,00 de juros das duas aplicações. Ou seja, o juro obtido na ação X mais o juro obtido na ação Y totalizam R$ 500,00. J + J = X Y 500 0,07 X + 0,09 Y = 500

33 33 Para não trabalhar com números decimais, podemos multiplicar ambos os membros da equação por 100! 7 X + 9 Y = Temos, então, um sistema linear com duas equações e duas incógnitas. A outra equação foi escrita no início da resolução. O capital total aplicado nas duas ações (X e Y) é igual a R$ 6.000,00. Eis o sistema: X + Y = 7 X + 9 Y = X + Y = Novamente os dois métodos descritos na questão anterior. Método I Substituição Nesse método, devemos isolar uma das incógnitas em uma das equações e substituir esse valor na outra equação. Claramente, nesse caso, é mais fácil isolar qualquer uma das incógnitas na segunda equação. Vamos isolar o Y, já que estamos querendo calcular o valor de X. X + Y = Y = X Devemos substituir essa expressão na primeira equação! 7 X + 9 Y = X + 9 (6.000 X ) = X X = X = X = 4.000

34 34 X = Letra C Método II Adição Voltemos ao sistema linear. 7 X + 9 Y = X + Y = ( 9) Nesse método, devemos multiplicar ambos os membros de uma equação por algum fator, de modo que possamos somar as equações para que uma das incógnitas seja cancelada. Podemos, por exemplo, multiplicar ambos os membros da segunda equação por - 9, pois dessa forma, ao somarmos as duas equações, a incógnita Y será cancelada (cancelamos o Y pois queremos calcular o valor de X ). 7 X + 9 Y = X 9 Y = Ao somarmos as duas equações membro a membro teremos: 7 X 9 X = 2 X, 9 Y 9 Y = = Ou seja, 7 X + 9 Y = X 9 Y = X = X = 2.000

35 35 Letra C EC 21. (UnB / CESPE CHESF 2002) Um capital acrescido dos seus juros simples de 21 meses soma R$ 7.050,00. O mesmo capital, diminuído dos seus juros simples de 13 meses, reduz-se a R$ 5.350,00. O valor desse capital é A) inferior a R$ 5.600,00. B) superior a R$ 5.600,00 e inferior a R$ 5.750,00. C) superior a R$ 5.750,00 e inferior a R$ 5.900,00. D) superior a R$ 5.900,00 e inferior a R$ 6.100,00. E) superior a R$ 6.100,00. Sabemos que o juro simples é dado por J = C i n Assim, o juro simples de 21 meses é J = C i 21 J = 21 Ci O juro simples de 13 meses é J = C i 13 J = 13 Ci Um capital acrescido dos seus juros simples de 21 meses soma R$ 7.050,00 pode ser escrito algebricamente C+ 21 Ci= O mesmo capital, diminuído dos seus juros simples de 13 meses, reduz-se a R$ 5.350,00 pode ser escrito algebricamente C 13 Ci= Temos o seguinte sistema de equações: C+ 21 Ci= C 13 Ci = Podemos novamente resolver pelo método da adição ou pelo método da substituição. Método da Substituição Da segunda equação, podemos concluir que C = Ci. Substituindo essa expressão na primeira equação do sistema... C+ 21 Ci= Ci+ 21 Ci= Ci=

36 36 34 Ci= Ci= Ci= De posse do valor C.i, podemos substituir em qualquer uma das equações do sistema. Substituindo na primeira equação, obtemos: C + 21 Ci= C = C = C = Letra D EC 22. (Contador de Recife 2003/ESAF) Um capital é aplicado a juros simples a uma taxa de 3% ao mês. Em quanto tempo este capital aumentaria 14% em relação ao seu valor inicial? a) 3 meses e meio b) 4 meses c) 4 meses e 10 dias d) 4 meses e meio e) 4 meses e 20 dias O capital aumentar 14% em relação ao valor inicial significa que o juro da aplicação é igual a 14% do capital inicial. Dessa forma, Temos também que J = C i n. Podemos, então, igualar as duas 14 C i n= C 100 expressões. 14 J = C 100. Nesse ponto, podemos cancelar os C s e substituir a taxa por 3%= 0,03

37 37 0, 03 n= 0,14 0,14 14 n= = 0,03 3 Como a taxa é mensal, o tempo será expresso em meses. Devemos dividir 14 meses por meses dividido por 3 é igual a 4 meses - resto 2 meses. Só que o resto (2 meses) é igual a 60 dias, e 60 dias dividido por 3 é igual a 20 dias. Resposta: 4 meses e 20 dias. Letra E EC 23. (CVM 2003 FCC) Em determinada data, uma pessoa aplica R$ ,00 à taxa de juros simples de 2% ao mês. Decorridos 2 meses, outra pessoa aplica R$ 8.000,00 à taxa de juros simples de 4% ao mês. No momento em que o montante referente ao valor aplicado pela primeira pessoa for igual ao montante referente ao valor aplicado pela segunda pessoa, o total dos juros correspondente à aplicação da primeira pessoa será de a) R$ 4.400,00 b) R$ 4.000,00 c) R$ 3.600,00 d) R$ 3.200,00 e) R$ 2.800,00 Vamos analisar separadamente as duas aplicações. 1ª pessoa Aplicou R$ ,00 à taxa de juros simples de 2% ao mês. Lembremos a fórmula do montante: M1 = C (1 + i n) Chamando de M 1 o montante da primeira pessoa, ele será dado por: M M 1 1 = (1+ 0, 02 n) = n 2ª pessoa Aplicou R$ 8.000,00 à taxa de juros simples de 4% ao mês. O problema é quanto ao tempo de capitalização. A segunda pessoa começou a aplicar o

38 38 seu dinheiro 2 meses após a primeira pessoa. Se o tempo de aplicação da primeira pessoa é igual a n, o tempo de aplicação da segunda pessoa será n-2. Ou seja, nas fórmulas de juros simples, ao invés de colocarmos n para o tempo, colocaremos n-2. Assim, chamando de M 2 o montante da segunda pessoa, ele será dado por: M M M M [ ] M 2 = C 1 + i ( n 2) [ n ] [ n ] [ n ] = ,04 ( 2) = ,04 0,08) = ,04 + 0,92 = 320 n No momento em que o montante referente ao valor aplicado pela primeira pessoa for igual ao montante referente ao valor aplicado pela segunda pessoa, o total dos juros correspondente à aplicação da primeira pessoa será de... Devemos, portanto, igualar os montantes calculados anteriormente. M 2 = M1 320 n = n 320 n 200 n= n= n= 22 meses Essa ainda não é a resposta do problema!!! A questão pediu o total dos juros correspondente à aplicação da primeira pessoa. Lembremos que a primeira pessoa aplicou R$ ,00 à taxa de 2% ao mês durante 22 meses (observe que se estivéssemos calculando o juro correspondente a segunda pessoa, deveríamos utilizar 20 meses!!). Portanto, o juro será J = C i n J = ,02 22 J = Letra A

39 39 4 Juro Exato e Juro Comercial Na prática, usualmente, é adotado o juro simples ordinário (utiliza o ano comercial com 360 dias e meses com 30 dias). O juro simples exato (utiliza o ano civil com 365 dias) somente é usado quando para isso for expresso explicitamente na operação. Os juros são considerados ordinários ou comerciais quando utilizam o ano comercial para estabelecer a homogeneidade entre a taxa e o tempo. Logo, em juros ordinários, consideramos que todos os meses têm 30 dias e o ano tem 360 dias. Juros exatos são aqueles em que se utiliza o calendário civil para verificarmos a quantidade de dias entre duas datas. Logo, quando o mês tem 31 dias deveremos considerar o total e não 30 dias. Muita gente confunde os meses com 30 e os meses com 31 dias. Há um processo mnemônico muito fácil para a memorização destes meses. Primeiro, feche a sua mão conforme a figura abaixo. Para o nosso processo mnemônico, vamos da saliência do dedo indicador até a saliência do dedo mínimo, ignorando o polegar. Perceba que existem 4 saliências (dos ossos) e três reentrâncias (entre um dedo e outro), conforme a figura abaixo:

40 40 Agora vamos fazer o seguinte: Vamos considerar a primeira saliência como sendo janeiro, a primeira reentrância, como fevereiro, e assim por diante, conforme a figura abaixo: Marcados os meses de janeiro, fevereiro, março abril, maio, junho e julho, não tem mais espaço para marcarmos os outros meses. Faremos então a mesma coisa que fizemos com janeiro, começaremos do dedo mínimo: Todos os meses que estão em uma saliência, têm 31 dias. Todos os meses que estão em uma reentrância, têm 30 dias (exceto, claro, de fevereiro que tem 28 ou 29 dias, conforme já falamos).

41 41 Para facilitar o cálculo de juros nestas modalidades, é fundamental efetuarmos o cálculo com taxa anual e o tempo expresso em dias. Para calcular a taxa equivalente diária devemos dividir a taxa anual pelo número total de dias do ano comercial (360 dias) ou ano exato (365 ou 366 dias). Devemos ficar atentos ao fato de o ano ser ou não bissexto no caso de juros exatos. Podemos criar dois processos mnemônicos para saber quais anos são bissextos ou não. Para começar, os anos bissextos obrigatoriamente são pares. Um ano é dito bissexto se for múltiplo de 4, exceto os que são múltiplos de 100, a não ser que sejam múltiplos de 400. Dica: Para verificar se um número é divisível por 4 basta dividir os últimos dois dígitos do número por 4. Assim, 1998 não é divisível por 4 e, portanto, não é bissexto. Uma maneira mais lúdica de memorizar é o seguinte: Os anos pares ou são anos de Olimpíada ou são anos de Copa do Mundo. Os anos bissextos são os anos de Olimpíadas!!! Como em 1998 houve a Copa do Mundo da França, o ano não foi bissexto. EC 24. (AFRE-PB 2006 FCC) Certas operações podem ocorrer por um período de apenas alguns dias, tornando conveniente utilizar a taxa diária e obtendo os juros segundo a convenção do ano civil ou do ano comercial. Então, se um capital de R$ ,00 foi aplicado por 5 dias à taxa de juros simples de 9,3% ao mês, em um mês de 31 dias, o módulo da diferença entre os valores dos juros comerciais e dos juros exatos é a) R$ 37,50 b) R$ 30,00 c) R$ 22,50 d) R$ 15,00 e) R$ 7,50 Juros Comerciais

42 42 O capital de R$ ,00 foi aplicado durante 5 dias à taxa de juros simples de 9,3% ao mês. Para calcularmos a taxa equivalente diária, neste caso, devemos dividir por 30. = 9,3% 30 O juro comercial é dado por: Juros Exatos = 0,31% = 0,0031 = = , = 232,50 O capital de R$ ,00 foi aplicado durante 5 dias à taxa de juros simples de 9,3% ao mês. Para calcularmos a taxa equivalente diária, neste caso, devemos dividir por 31. O juro exato é dado por: = 9,3% 31 = 0,3% = 0,003 = = ,003 5 = 225,00 A questão pede o módulo da diferença entre os juros comerciais e os juros exatos. Letra E = 232,50 225,00 = 7,50 EC 25. (Auditor de Tributos Municipais Fortaleza 1998 ESAF) Um capital é aplicado a juros simples do dia 10 de fevereiro ao dia 24 de abril, do corrente ano, a uma taxa de 24% ao ano. Nessas condições calcule o juro simples exato ao fim do período, como porcentagem do capital inicial, desprezando as casas decimais superiores à segunda. a) 4,70% b) 4,75% c) 4,80% d) 4,88% e) 4,93% Para calcular o juro simples exato, precisamos saber o tempo total de aplicação. E já que o período de aplicação é do dia 10 de fevereiro ao dia 24 de abril, devemos nos perguntar se o ano de 1998 (ano de aplicação da prova) foi bissexto ou não.

43 43 Os anos bissextos obrigatoriamente são pares. Um ano é dito bissexto se for múltiplo de 4, exceto os que são múltiplos de 100, a não ser que sejam múltiplos de 400. Dica: Para verificar se um número é divisível por 4 basta dividir os últimos dois dígitos do número por 4. Assim, 1998 não é divisível por 4 e, portanto, não é bissexto. Uma maneira mais lúdica de memorizar é o seguinte: Os anos pares ou são anos de Olimpíada ou são anos de Copa do Mundo. Os anos bissextos são os anos de Olimpíadas!!! Como em 1998 houve a Copa do Mundo da França, o ano não foi bissexto. Vamos agora calcular o total de dias da aplicação. O mês de fevereiro de 1998 teve 28 dias (pois 1998 não foi bissexto). Como a aplicação começou no dia 10, então contamos 18 dias de aplicação (28 10 = 18 dias). O mês de março possui 31 dias e ainda temos 24 dias de aplicação no mês de abril. O total de dias da aplicação será = 73 dias. A taxa é de 24% = 0,24 ao ano. Para calcularmos a correspondente taxa diária devemos dividir por 365 (já que o ano não é bissexto) A taxa diária é igual a 0,24/365. Temos a seguinte expressão dos juros simples exatos. = = 0, = 0,048 Para transformar 0,048 em porcentagem, devemos multiplicar por 100%. Letra C = 4,80%

44 44 EC 26. (AFTN 1998/ESAF) Um capital é aplicado do dia 5 de maio ao dia 25 de novembro do mesmo ano, a uma taxa de juros simples ordinário de 36% ao ano, produzindo um montante de $ 4.800,00. Nessas condições, calcule o capital aplicado, desprezando os centavos. a) R$ 4.067,00 b) R$ 3.986,00 c) R$ 3.996,00 d) R$ 3.941,00 e) R$ 4.000,00 Como falei anteriormente, o juro simples ordinário considera que os meses possuem 30 dias. Portanto, para avançar do dia 5 de um mês para o dia 5 do mês seguinte consideramos um período de 30 dias. 5 de maio 5 de junho 5 de julho 5 de agosto 5 de setembro 5 de outubro 5 de novembro. No período considerado acima temos 30 x 6 = 180 dias. Temos ainda o período do dia 5 de novembro até o dia 25 de novembro (20 dias). Portanto, o total de dias da aplicação é igual a 200 dias. Como consideramos o ano comercial com 360 dias, para o cálculo da taxa diária devemos dividir a taxa anual por 360. Assim, a taxa considerada é de 36% 360 = 0,1% = 0,001 Sabemos que na capitalização simples o montante é dado por: = 1 + Portanto, = 1 + Vamos substituir os correspondentes valores: Letra E = , =4.800 = 4.000,00 1,2

45 45 EC 27. (AFTN 1998/ESAF) A quantia de R$ ,00 foi aplicada a juros simples exatos do dia 12 de abril ao dia 5 de setembro do corrente ano. Calcule os juros obtidos, à taxa de 18% ao ano, desprezando os centavos. a) R$ 705,00 b) R$ 725,00 c) R$ 715,00 d) R$ 720,00 e) R$ 735,00 No cálculo dos juros exatos consideramos o calendário civil. Assim, devemos considerar a quantidade de dias de cada mês e o ano com 365 dias (ou com 366 dias se for bissexto). Como em 1998 houve a Copa do Mundo da França, o ano não foi bissexto. Vejamos a quantidade de dias em cada mês: Abril: o mês de abril possui 30 dias. Como a aplicação começou no dia 12, contaremos apenas = 18 dias. Maio: 31 dias Junho: 30 dias Julho: 31 dias Agosto: 31 dias. Setembro: 5 dias. Total: = 146 dias. A taxa é de 18% ao ano. Como o ano de 1998 (ano da questão) possui 365 dias, a taxa diária será: = 18% 365 =0, Calculemos os juros obtidos: = = , = 720, Letra D EC 28. (AFRF ESAF) Uma conta no valor de R$ 2.000,00 deve ser paga em um banco na segunda-feira, dia 8. O não pagamento no dia do vencimento implica uma multa fixa de 2% sobre o valor da conta mais o pagamento de uma taxa de permanência de 0,2% por dia útil de atraso, calculada como juros simples, sobre o valor da conta. Calcule o valor do

46 46 pagamento devido no dia 22 do mesmo mês, considerando que não há nenhum feriado bancário no período. a) R$ 2.080,00 b) R$ 2.084,00 c) R$ 2.088,00 d) R$ 2.096,00 e) R$ 2.100,00 Tem-se uma multa fixa de 2% sobre o valor da conta. Portanto, o valor a ser pago por essa multa será de: 2% = = Há ainda uma taxa de permanência de 0,2% por dia útil de atraso. Sabemos que sábado e domingo não são dias úteis (seriam inúteis? Heheh). Dessa forma, paga-se 0,2% = 0, = 4 por dia útil de atraso. O problema nos disse que o dia 8 (dia de pagamento da conta) foi uma segunda-feira e que o pagamento foi efetuado no dia 22. Ora, o dia 8 não entra como dia de atraso, pois se o pagamento fosse feito no dia 8 não haveria multa. Portanto, devemos contar os dias úteis do dia 9 (terça-feira) até o dia 22. Segunda Terça Quarta Quinta Sexta Sábado Domingo Assim, são contados 10 dias úteis de atraso. Como devemos pagar R$ 4,00 reais por cada dia de atraso, a multa será de 10 x 4 = 40 reais. O valor a ser pago no dia 22 será de = reais. Letra A 5 Prazo Médio, Taxa Média e Capital Médio Prazo Médio EP 3. Imagine a seguinte situação: João fez 2 empréstimos, a juros simples, de um mesmo credor. O primeiro foi de R$ 4.000,00 a uma taxa de 10% ao mês durante 4 meses. O segundo foi de R$ 2.000,00 a uma taxa de 5% ao mês durante 8 meses. O credor e João decidem substituir os prazos de vencimento

47 47 dos dois empréstimos por um único prazo, de forma que não haja prejuízo para o credor nem para o devedor João. Qual é esse prazo? A condição de não haver prejuízo para o credor nem para o devedor se deve ao fato de os juros pagos nas duas situações serem os mesmos. Vejamos os juros pagos nos dois empréstimos: 1º empréstimo 2º empréstimo = = = = 800 Dessa forma, João pagará R$ 1.600,00 referentes ao primeiro empréstimo e R$ 800,00 referentes ao segundo empréstimo, totalizando R$ 2.400,00 de juros. Nosso objetivo é trocar o prazo de 4 meses do primeiro empréstimo e o prazo de 8 meses do segundo empréstimo de forma que o juro total permaneça o mesmo (R$ 2.400,00). O prazo que substituirá todos os outros sem alterar o juro total é denominado prazo médio = = = = 24 5 Devemos dividir 24 meses por 5. Ora, 24 meses dividido por 5 é igual a 4 meses e resto igual a 4 meses. Como o mês comercial possui 30 dias, os 4 meses de resto equivalem a 4 30 = 120. Devemos dividir 120 dias por 5 que é igual a 24 dias.

48 Assim, o prazo médio é igual a 4 meses e 24 dias. Taxa Média EP 4. Imagine a seguinte situação: João fez 2 empréstimos, a juros simples, de um mesmo credor. O primeiro foi de R$ 4.000,00 a uma taxa de 10% ao mês durante 4 meses. O segundo foi de R$ 2.000,00 a uma taxa de 5% ao mês durante 8 meses. O credor e João decidem substituir as taxas de juros dos dois empréstimos por uma única taxa, de forma que não haja prejuízo para o credor nem para o devedor João. Qual é essa taxa? A condição de não haver prejuízo para o credor nem para o devedor se deve ao fato de os juros pagos nas duas situações serem os mesmos. Vejamos os juros pagos nos dois empréstimos: 1º empréstimo 2º empréstimo = = = = 800 Dessa forma, João pagará R$ 1.600,00 referentes ao primeiro empréstimo e R$ 800,00 referentes ao segundo empréstimo, totalizando R$ 2.400,00 de juros. A taxa que substituirá todas as outras sem alterar o juro total é denominado taxa média = = = = % = 7,5% Assim, a taxa média é de 7,5% ao mês.

49 49 Capital Médio EP 5. Imagine a seguinte situação: João fez 2 empréstimos, a juros simples, de um mesmo credor. O primeiro foi de R$ 4.000,00 a uma taxa de 10% ao mês durante 4 meses. O segundo foi de R$ 2.000,00 a uma taxa de 5% ao mês durante 8 meses. O credor e João decidem substituir os capitais dos dois empréstimos por um único capital, de forma que não haja prejuízo para o credor nem para o devedor João. Qual é esse capital? A condição de não haver prejuízo para o credor nem para o devedor se deve ao fato de os juros pagos nas duas situações serem os mesmos. Vejamos os juros pagos nos dois empréstimos: 1º empréstimo 2º empréstimo = = = = 800 Dessa forma, João pagará R$ 1.600,00 referentes ao primeiro empréstimo e R$ 800,00 referentes ao segundo empréstimo, totalizando R$ 2.400,00 de juros. O capital que substituirá todos os outros sem alterar o juro total é denominado capital médio = ,4 + 0,4 = ,8 = = Assim, o capital médio é de R$ 3.000,00.

50 50 6 Fórmulas do Prazo Médio, Taxa Média e Capital Médio Neste tópico demonstraremos as fórmulas de Prazo Médio, Taxa Média e Capital Médio e em seguida resolveremos diversas questões de concursos. A demonstração será feita para um caso particular de três aplicações, mas pode ser generalizada para um número qualquer de aplicações. Fórmula do Prazo Médio Considere três capitais,,, aplicados às taxas simples,,, pelos prazos,,. O juro total obtidos com essas três aplicações é de: = + + Nosso objetivo é substituir os três prazos por um único prazo denominado prazo médio de forma que o juro total permaneça constante. Dessa forma: = = = + + = = + + A partir desta fórmula, podemos concluir que o prazo médio é a média ponderada dos prazos com fatores de ponderação os capitais e as taxas. Fórmula da Taxa Média Procedendo da mesma maneira que o item anterior (Fórmula do Prazo Médio), conclui-se que a taxa média é a média aritmética das taxas, tendo como fatores de ponderação os capitais e os prazos. + + = + +

51 51 Fórmula do Capital Médio Analogamente aos casos anteriores. O capital médio é a média aritmética dos capitais, tendo como fatores de ponderação os as taxas e os prazos. + + = + + EP 6. João fez 2 empréstimos, a juros simples, de um mesmo credor. O primeiro foi de R$ 4.000,00 a uma taxa de 10% ao mês durante 4 meses. O segundo foi de R$ 2.000,00 a uma taxa de 5% ao mês durante 8 meses. Determine o prazo médio, a taxa média e o capital médio. Vejamos os juros pagos nos dois empréstimos: 1º empréstimo 2º empréstimo Prazo médio = = = = = = , ,05 = = 24 = Taxa Média = + = = % = 7,5% ê

52 52 Capital Médio = + = , ,05 8 =2.400 = ,8 EC 29. (SEFAZ-RJ 2008/FGV) Os valores de R$ ,00 e R$ ,00 foram aplicados à mesma taxa de juros simples durante 12 e 6 meses, respectivamente. O prazo médio da aplicação conjunta desses capitais, em meses é: a) 12 b) 8 c) 10 d) 9,2 e) 7,5 Já que as taxas das quatro aplicações são iguais, podemos dizer que todas as taxas são iguais a. Vamos calcular os juros obtidos em cada uma das aplicações. = = = = Apliquemos a fórmula do prazo médio. Letra B = = + = = 8 EC 30. (AFRF 2003/ESAF) Os capitais de R$ 2.500,00, R$ 3.500,00, R$ 4.000,00 e R$ 3.000,00 são aplicados a juros simples durante o mesmo prazo às taxas mensais de 6%, 4%, 3% e 1,5%, respectivamente. O btenha a taxa média mensal de aplicação destes capitais. a) 2,9%

53 53 b) 3% c) 3,138% d) 3,25% e) 3,5% Já que os prazos das quatro aplicações são iguais, podemos dizer que todos os prazos são iguais a. Vamos calcular os juros obtidos em cada uma das aplicações. = ,06 = 150 = ,04 = 140 = ,03 = 120 = ,015 = 45 Apliquemos a fórmula da taxa média Letra E = = = % = 3,5% ê EC 31. (AFRF /ESAF) Os capitais de R$ 7.000,00, R$ 6.000,00, R$ 3.000,00 e R$ 4.000,00 são aplicados respectivamente às taxas de 6%, 3%, 4% e 2% ao mês, no regime de juros simples durante o mesmo prazo. Calcule a taxa média proporcional anual de aplicação destes capitais. a) 4% b) 8% c) 12% d) 24% e) 48% Digamos que os prazos das aplicações sejam todos iguais a meses. Vamos calcular o juro simples de cada aplicação. = ,06 = 420 = ,03 = 180

54 54 Apliquemos a fórmula da taxa média. = = = ,04 = 120 = ,02 = = = = = % = 4% ê Como um ano é o mesmo que 12 meses, então para calcular a taxa proporcional anual basta multiplicar a taxa mensal por 12. Letra E = 4% 12 = 48% EC 32. (SEFAZ/PA 2002/ESAF) Três capitais nos valores de R$ 1.000,00, R$ 2.000,00 e R$ 4.000,00 são aplicados respectivamente às taxas de 5,5%, 4% e 4,5% ao mês, durante o mesmo número de meses. Obtenha a taxa média mensal de aplicação destes capitais. a) 3,5% b) 4% c) 4,25% d) 4,5% e) 5% Digamos que os prazos das aplicações sejam todos iguais a meses. Vamos calcular o juro simples de cada aplicação. Apliquemos a fórmula da taxa média. = ,055 = 55 = ,04 = 80 = ,045 = = + +

55 55 = = = = = % = 4,5% ê Letra D EC 33. (AFTN 1998/ESAF) Os capitais de R$ ,00, R$ ,00 e R$ ,00 foram aplicados à mesma taxa de juros simples mensal durante 4, 3 e 2 meses respectivamente. Obtenha o prazo médio de aplicação desses capitais. a) Dois meses e vinte e um dias b) Dois meses e meio c) Três meses e dez dias d) Três meses e) Três meses e nove dias Já que as taxas das quatro aplicações são iguais, podemos dizer que todas as taxas são iguais a. Vamos calcular os juros obtidos em cada uma das aplicações. = = = = = = Apliquemos a fórmula do prazo médio. Letra A = + + = = =27 10 = 2,7 = 2 + 0,7 = 2 + 0,7 30 = 2 21

56 56 EC 34. (AFRF 2002/ESAF) Os capitais de R$ 2.000,00, R$ 3.000,00, R$ 1.500,00 e R$ 3.500,00 são aplicados à taxa de 4% ao mês, juros simples, durante dois, três, quatro e seis meses, respectivamente. O btenha o prazo médio de aplicação destes capitais. a) quatro meses b) quatro meses e cinco dias c) três meses e vinte e dois dias d) dois meses e vinte dias e) oito meses Vamos calcular os juros obtidos em cada uma das aplicações. = ,04 2=160 = ,04 3=360 = ,04 4=240 = ,04 6=840 Apliquemos a fórmula do prazo médio. Letra A = = = = 4 EC 35. (Auditor Fiscal da Pref. de Fortaleza 2003/ESAF) Os capitais de 200, 300 e 100 unidades monetárias são aplicados a juros simples durante o mesmo prazo às taxas mensais de 4%, 2,5% e 5,5%, respectivamente. Calcule a taxa mensal média de aplicação destes capitais. a) 2,5% b) 3% c) 3,5% d) 4% e) 4,5% Digamos que os prazos das aplicações sejam todos iguais a meses. Vamos calcular o juro simples de cada aplicação. = 200 0,04 = 8

57 57 Apliquemos a fórmula da taxa média. = 300 0,025 = 7,5 = 100 0,055 = 5,5 + + = + + = 8 + 7,5 + 5, = = = = % = 3,5% ê. 600 Letra C EC 36. (SEFAZ/MS 2001/ESAF) Três capitais são aplicados a juros simples pelo mesmo prazo. O capital de R$ 3.000,00 é aplicado à taxa de 3% ao mês, o capital de R$ 2.000,00 é aplicado a 4% ao mês e o capital de R$ 5.000,00 é aplicado a 2% ao mês. Obtenha a taxa média mensal de aplicação desses capitais. a) 3% b) 2,7% c) 2,5% d) 2,4% e) 2% Digamos que os prazos das aplicações sejam todos iguais a meses. Vamos calcular o juro simples de cada aplicação. Apliquemos a fórmula da taxa média. = = ,03 = 90 = ,04 = 80 = ,02 = =

58 58 = = = = % = 2,7% ê Letra B EC 37. (AFRF 2001/ESAF) Os capitais de R$3.000,00, R$5.000,00 e R$ 8.000,00 foram aplicados todos no mesmo prazo, a taxas de juros simples de 6% ao mês, 4% ao mês e 3,25% ao mês, respectivamente. Calcule a taxa média de aplicação desses capitais. a) 4,83% ao mês b) 4,859% ao mês c) 4,4167% ao mês d) 3,206% ao mês e) 4% ao mês Digamos que os prazos das aplicações sejam todos iguais a meses. Vamos calcular o juro simples de cada aplicação. Apliquemos a fórmula da taxa média. Letra E = = = ,06 = 180 = ,04 = 200 = ,0325 = = = = = % = 4% ê

59 59 7 Disposição gráfica do montante no regime simples Coloquei este tópico na aula apenas para que possamos fazer uma comparação entre o regime simples e o regime composto. É um assunto de pouca relevância e praticamente não há questões de concursos com envolvendo este tópico. Recordo-me de apenas uma questão da CESGRANRIO em um concurso da Caixa Econômica em que aparece um gráfico para que o aluno faça a comparação entre o Regime Simples e o Composto. Resolveremos esta questão na aula de Juros Compostos. É fato que no Regime Simples o montante cresce a uma taxa de variação constante. Lembremos a fórmula do montante simples: = 1 + = + Ora, o capital aplicado é constante e a taxa de juros também. O único elemento que pode variar é o tempo. Temos então uma função polinomial do 1º grau (função afim) do tipo = +. Basta fazer = =. É fato também que o gráfico de uma função afim é uma reta não-perpendicular aos eixos. Portanto, o gráfico do montante em função do tempo, no regime simples, tem o seguinte aspecto. M C n A função é crescente, pois à medida que o tempo vai passando, o montante vai aumentando.

60 60 8 Descontos Simples Imagine que você tem uma dívida de R$ ,00 para ser paga daqui a dois anos. Mas você foi aprovado no seu tão sonhado concurso e decidiu liquidar a sua divida com o primeiro salário. É justo você pagar R$ ,00 mesmo pagando dois anos antes da data combinada? É óbvio que não! Daí surge a pergunta: Quanto eu devo pagar hoje a minha dívida de R$ ,00? Essa é uma situação típica de uma operação de desconto. Desconto é o abatimento que se faz no valor de uma dívida quando ela é negociada antes da data de vencimento. Notas promissórias, duplicatas, letras de câmbio são alguns documentos que atestam dívidas e são chamados títulos de créditos. Esses títulos apresentam os seguintes conceitos de valores: Valor Nominal, Valor de Face, Valor Futuro (N) Valor Atual, Valor Presente, Valor Líquido, Valor Descontado (A) Desconto (D) É o valor que está escrito no título. É o valor que deve ser pago na data do vencimento. O valor líquido é obtido pela diferença entre o valor nominal e o desconto. Desconto é o abatimento que se faz no valor de uma dívida quando ela é negociada antes da data de vencimento. É a diferença entre o valor nominal e o valor atual. Para caracterizar uma operação de desconto, devemos saber qual é o tempo de antecipação do pagamento. Esse tempo de antecipação será denotado pela letra n. E já que estamos transportando uma quantia no tempo, devemos saber qual é a taxa percentual que fará esse transporte. A taxa do desconto será denotada pela letra i.

61 61 O cálculo do desconto pode ser feito por dois critérios. Existe o desconto racional, também chamado de desconto por dentro. O desconto racional é o desconto teoricamente correto. Existe também o desconto comercial ou desconto por fora. É o desconto sem fundamentação teórica, mas muito praticado no mercado financeiro. Pode ainda ser simples ou composto. Isso gera quatro tipos de descontos: Desconto Racional Simples Desconto Racional Composto Desconto Comercial Simples Desconto Comercial Composto Existe uma diferença entre o desconto comercial e o chamado desconto bancário. O desconto bancário leva em conta também despesas administrativas (ou impostos) cobradas pelos bancos para a efetivação da operação de desconto. O u seja, o desconto bancário é uma modalidade de desconto comercial, acrescida de taxas e despesas administrativas. Para se responder qualquer questão sobre descontos, devemos saber qual é a modalidade do desconto (racional ou comercial) e o regime da operação (simples ou composto). Nesta aula, falaremos apenas dos descontos simples. Quando a questão nada falar acerca do regime trabalhado, adotaremos a convenção de usar o regime simples. E quanto à modalidade do desconto? Adiante falaremos que o desconto racional simples equivale a uma operação de juros simples. Então se o enunciado deixar claro que a taxa percentual de desconto é na realidade uma taxa de juros, devemos inferir que se trata de uma operação de desconto racional. Caso contrário, trata-se de uma operação de desconto comercial. Essa convenção também será utilizada quando estudarmos os descontos compostos. Não importa qual o tipo de desconto que estamos trabalhando: o valor atual sempre será igual ao valor nominal menos o desconto. Esse raciocínio é válido para os quatro tipos de desconto. AND = Voltando ao nosso exemplo. Você tinha uma dívida de R$ ,00. E quando você foi ao banco negociar a dívida, seu gerente disse que você ia ter um desconto de R$ 2.000,00. Logicamente, você irá pagar R$ 8.000,00. A= N D = = Alternativamente, podemos dizer que o desconto é a diferença entre os valores nominal e atual.

62 62 D= N A Voltemos ao nosso exemplo. Você tinha uma dívida de R$ ,00. Foi ao banco e eles disseram que a dívida poderia ser quitada hoje por R$ 8.000,00. Podemos, então, concluir que o desconto dado pelo banco foi de R$ 2.000,00. D= N A = = Falarei agora separadamente sobre cada um dos tipos de descontos e em seguida resolverei questões diversas de concursos passados. Comecemos pelo desconto racional simples ou desconto simples por dentro. Então para deixar bem clara a situação: Existe uma dívida para ser paga em alguma data futura. O valor dessa dívida é chamado de VALOR NOMINAL (N). Quero antecipar o pagamento dessa dívida. Obviamente, se eu antecipar o pagamento da dívida, pagarei um valor menor do que o valor nominal. O valor que será acordado para que o pagamento seja antecipado será denominado VALOR ATUAL (A). A diferença entre o valor nominal e o valor atual é denominada DESCONTO (D). 9 Desconto Racional Simples (por dentro) A operação de desconto racional simples, por definição, é equivalente a uma operação de juros simples. Enquanto que na operação de juros simples, o nosso objetivo é projetar um valor presente para o futuro, na operação de desconto racional simples teremos como objetivo projetar o Valor Nominal para a data atual. O desconto simples por dentro ou desconto simples racional é obtido aplicando-se a taxa de desconto ao valor atual do título, ou seja, corresponde ao juro simples sobre o valor atual durante o tempo que falta para o vencimento do título. Já que o desconto racional simples equivale à operação de juros simples, podemos fazer um desenho comparativo.

63 63 O valor atual do desconto racional simples corresponde ao capital inicial da operação de juros simples. O valor nominal do desconto racional simples corresponde ao montante da operação de juros simples. O desconto da operação de desconto racional simples corresponde ao juro da operação de juros simples. Podemos dizer que o valor nominal é o montante do valor atual em uma operação de juros simples em que o juro é igual ao desconto racional simples!! Correspondência entre os elementos das operações Juros Simples Capital Inicial (C) Montante (M) Juro (J) Desconto Racional Simples (por dentro) Valor Atual (A) Valor Nominal (N) Desconto (D)

64 64 Vamos então deduzir as fórmulas da operação de desconto racional simples (por dentro). Juros Simples: J = C i n Desconto Racional Simples: D= A i n M = C (1 + i n) Juros Simples: Desconto Racional Simples: N = A (1 + i n) E não podemos nos esquecer que a taxa e o tempo devem estar sempre na mesma unidade! De acordo com as fórmulas explicitadas acima, só podemos calcular o desconto racional simples se soubermos o valor atual. Vamos então deduzir uma fórmula para calcular o desconto racional simples em função do valor nominal. N = A (1 + i n) O fator (1+i.n) que está multiplicando no segundo membro, passará dividindo para o primeiro membro. N (1 + i n ) = A Devemos agora substituir essa expressão na fórmula D= A i n.

65 65 D N = i n 1+ i n Logo, D N i n = 1 + i n Portanto, há três expressões básicas que precisamos saber em uma operação de desconto racional simples. São elas: D= A i n N = A (1 + i n) N i n D= 1 + i n Vejamos um exemplo: EC 38. (BNB 2004 ACEP) Em uma operação de desconto racional com antecipação de 5 meses, o valor descontado foi de R$ 8.000,00 e a taxa de desconto foi 5% ao mês. Qual o valor de face desse título? a) R$ ,00 b) R$ ,67 c) R$ ,00 d) R$ ,00 e) R$ ,00 Lembre-se sempre que uma operação de desconto racional equivale a uma operação de juros simples, de tal forma que o valor atual equivale ao capital inicial e o valor nominal equivale ao montante. Além disso, a questão usou alguns apelidos do valor atual e do valor nominal. Vamos relembrar:

66 66 Valor Nominal, Valor de Face, Valor Futuro (N) Valor Atual, Valor Presente, Valor Líquido, Valor Descontado (A) Então, já que a questão está pedindo o valor de face, queremos, portanto, o valor nominal. Já os R$ 8.000,00 que a questão chamou de valor descontado nós estamos acostumados a chamá-lo de valor atual. De posse dessas informações, podemos desenhar o diagrama abaixo. Utilizaremos a fórmula N = A (1 + i n) que é idêntica à fórmula do montante em juros simples. A taxa é igual a 5% = 0,05 ao mês. N = A (1 + i n) N = (1+ 0,05 5) N = ,00 Letra A EC 39. (BNB 2003 ACEP) tomou emprestado R$ ,00, pretendendo saldar a dívida após dois anos. A taxa de juros combinada foi de 30% a.a. Qual valor pagaria a dívida 5 meses a ntes do vencimento combinado sem prejuízo para o banco se nesta época a taxa de juros simples anual fosse 24% e fosse utilizado desconto simples racional? a) R$ ,00 b) R$ ,00 c) R$ ,00

67 67 d) R$ 14545,45 e) R$ ,00 Primeiramente vamos resumir os dados do enunciado. O valor do empréstimo é o valor atual da operação. A = ,00 Taxa de juros do empréstimo: 30% a.a. Tempo para pagamento do empréstimo: 2 anos. Prazo de antecipação do pagamento do empréstimo: 5 meses Taxa de desconto racional: 24% a.a. O próximo passo é saber quanto se comprometeu a pagar daqui a 2 anos. Queremos saber o montante em uma operação de juros simples. Esse valor do montante será o valor nominal da dívida (que depois será renegociada). M = C (1 + i n) M = (1+ 0,30 2) M = Ou seja, o valor nominal da dívida é igual a R$ ,00. De posse desse valor, deixe-me recontar o enunciado. tem uma dívida de R$ ,00 para ser paga d aqui a 2 anos. Quanto deve pagar se ele quer antecipar o pagamento 5 meses antes do vencimento a uma taxa de juros simples de 24% a.a.? Ou seja, temos agora uma operação de desconto racional simples, já que existe uma dívida que será antecipada usando uma taxa de juros simples. Comentei anteriormente que o desconto racional simples EQUIVALE, ou seja, é a mesma coisa que uma operação de juros simples. Temos um valor nominal N = ,00 que será antecipado 5 meses a uma taxa de juros simples igual a 24% a.a. = 2% a.m. Observe que para transformar a taxa anual para taxa mensal basta dividir por 12. Queremos saber o valor atual do desconto racional simples. N = A (1 + i n)

68 68 Portanto, N A= 1 + i n A= = = 14545, ,02 5 1,1 Letra D EC 40. (AFT 2010 ESAF) Um título sofre um desconto simples por dentro de R$ ,00 cinco meses antes do seu vencimento a uma taxa de desconto de 4% ao mês. Qual o valor mais próximo do valor nominal do título? a) R$ ,00. b) R$ ,00. c) R$ ,00 d) R$ ,00. e) R$ ,00. Sabemos que no desconto simples por dentro a taxa é incidida sobre o valor atual. Assim, = = 0, = 0,2 = ,2 Dessa forma, o valor nominal será dado por = N = A + D = = ,00 Letra A EC 41. (UnB/CESPE PMCE 2008) Julgue o item seguinte. Caso um título de R$ ,00 seja resgatado 3 meses antes de seu vencimento, sob o regime de juros simples e à taxa de juros de 12% ao ano, então o valor do desconto racional, ou por dentro, será superior a R$ 450,00. A operação de desconto racional simples, por definição, é equivalente a uma operação de juros simples. Temos três fórmulas básicas no desconto racional simples. Uma que relaciona o desconto com o valor atual. =

69 69 A segunda fórmula relaciona o valor de face (N) com o valor atual (A): = +. A terceira fórmula relaciona o desconto (D) com o valor de face (N). = + É justamente dessa formula que precisamos para resolver essa questão. Observe que a taxa é de 12% ao ano e que o tempo de antecipação é de 3 meses. Para que possamos utilizar a fórmula acima, devemos ter uma conformidade entre a taxa e o tempo. Como a taxa é de 12% ao ano, e o ano tem 12 meses, então a taxa mensal será de 1% (12%/12). Temos os seguintes dados da questão: = , = 0,01, = 3. Logo, o desconto racional simples será = , ,01 3 = 450 1,03 436,89 Portanto, o item está errado, pois 436,89 < 450,00. EC 42. (Economista IBRAM UnB/CESPE ) Com relação a desconto, julgue o item abaixo. Considere que um título de valor nominal igual a R$ 5.000,00, com vencimento em um ano, esteja sendo liquidado dois meses antes. Nesse caso, se a taxa nominal de juros simples corrente é de 36% ao ano e se o desconto considerado é o racional (ou por dentro), então a quantia que o devedor está deixando de pagar por liquidar o título antecipadamente é inferior a R$ 290,00. O título será descontado dois meses antes da data de vencimento. E já que a taxa nominal é de 36% ao ano, devemos transformá-la em uma taxa mensal. O ano possui 12 meses, então a taxa mensal é de 3% = 0,03. A quantia que o devedor está deixando de pagar é o que denominamos desconto. Sabemos que é válida a seguinte expressão para o desconto racional. = = , , ,02

70 70 Como 283,02 < 290,00, então o item está certo. EC 43. (Auditor Fiscal do Tesouro Municipal Vitória 2007 Unb/ Cespe) Considere que uma pessoa pretenda quitar, 4 meses antes do vencimento, um título de valor nominal de R$ 7.800,00. Nesse caso, se for usado o desconto racional simples à taxa de 60% ao ano, a pessoa deve pagar menos de R$ 6.300,00. O que a pessoa deve pagar na antecipação de um título é o que chamamos de valor atual ou valor descontado. Temos então um título com o valor nominal (N) de R$ 7.800,00 e queremos descontá-lo a uma taxa de 60% ao ano. Já que o tempo de antecipação é de quatro meses, devemos transformar a taxa anual para taxa mensal. Considerando que o ano tem 12 meses, a taxa de 60% ao ano é equivalente a uma taxa de 5% = 0,05 ao mês (60%/12 = 5%). Sabemos que em um desconto racional simples (por dentro) é válida a seguinte relação: = O item está errado. = 1 +. Logo, 1 +. = ,05 4 =7.800 = 6.500,00 1,2 10 Desconto Comercial Simples (por fora) Vimos que o desconto racional simples equivale a uma operação de juros simples. Na operação de juros simples, a taxa de juros incide sobre o capital inicial. Obviamente, no desconto racional simples (que equivale ao juro simples) a taxa incide sobre o valor atual. Imagine que você fosse aplicar alguma quantia no banco e o gerente te dissesse que a taxa de juros iria incidir sobre o montante (valor final). Estranho ou não? Pois é justamente o que acontece no desconto comercial simples. A taxa não incide sobre o valor atual como em uma operação de juros simples. No caso do desconto comercial a taxa incide sobre o valor nominal (valor

71 71 futuro). É justamente por isso que o desconto comercial simples não é o teoricamente correto, mas é usado em larga escala no mercado financeiro. Os elementos da operação de desconto comercial simples são os mesmos do desconto racional simples. A única coisa que vai mudar é o fato de a taxa incidir sobre o valor nominal. Portanto, o desconto comercial simples será dado por D= N i n Em qualquer tipo de desconto, o valor atual é igual ao valor nominal menos o desconto. A= N D Substituindo a primeira expressão na segunda: A= N N i n Finalmente colocando o N em evidência: A= N (1 i n) EC 44. (TCE Piauí 2002 FCC) Uma duplicata, de valor nominal R$ ,00, será descontada 50 dias antes do vencimento, à taxa de 0,02% ao dia. Se for utilizado o desconto simples bancário, o valor de resgate será: a) R$ ,00 b) R$ ,29 c) R$ ,00 d) R$ ,32 e) R$ ,50

72 72 O desconto simples bancário é, nesse caso, o mesmo que o desconto comercial simples (por fora). Nesse caso, podemos utilizar a fórmula A= N (1 i n) Perceba que a taxa e o tempo estão na mesma unidade de tempo. Portanto, não há alterações a fazer nos dados do enunciado. 0,02 A= A= ,00 Letra C EC 45. (AFC 2005 ESAF) Marcos descontou um título 45 dias antes de seu vencimento e recebeu R$ ,00. A taxa de desconto comercial simples foi de 60% ao ano. Assim, o valor nominal do título e o valor mais próximo da taxa efetiva da operação são, respectivamente, iguais a: a) R$ ,00 e 3,4% ao mês. b) R$ ,00 e 5,4% ao mês. c) R$ ,00 e 64,8% ao ano. d) R$ ,00 e 60% ao ano. e) R$ ,00 e 5,4% ao mês. O primeiro passo é colocar a taxa e o tempo na mesma unidade. Podemos, por exemplo, colocar a taxa e o tempo em meses. 45 dias correspondem a 1 mês e meio. Ou seja, 45 d = 1,5 m. Já em relação à taxa, para transformar a taxa anual em taxa mensal basta dividi-la por 12. Assim, i = 60%/12 = 5% = 0,05 ao mês. O valor descontado (valor atual) é igual a R$ ,00. Da teoria exposta sobre desconto comercial simples, sabemos que: A= N (1 i n) N A = = 1 i n 1 0,05 1, 5

73 73 N = O problema ainda pergunta qual é a taxa efetiva da operação. O que é a taxa efetiva??? A taxa de desconto efetiva nada mais é do que a taxa de juros simples que aplicada ao valor descontado do título, durante um prazo equivalente ao que falta para o vencimento, produz como montante o valor nominal do título.??? Ou seja, a taxa efetiva é igual a taxa de desconto racional simples que produz o mesmo valor atual no mesmo tempo de antecipação. Ou, se preferir, pode aplicar uma capitalização simples sobre o valor atual para gerar o valor nominal. M = C (1 + i n) N = A (1 + i n) = (1+ i e 1, 5) Pode-se dividir ambos os membros por ou cortar 4 zeros. 40= 37 (1+ i e 1, 5) 40= ,5 i e e e 55,5 i e = 3 i e = 3 55,5 Para transformar em taxa percentual multiplicamos por 100% i e = 100% = % 55,5 55,5 i 5, 4% am..

74 74 Letra B ATENÇÃO!!!!!! Agora que aprendemos a calcular a taxa efetiva a partir do seu conceito, colocarei a sua disposição uma fórmula indispensável para ganhar tempo. Lembre que nos últimos 10 minutos da sua prova você vai implorar por um pouco mais de tempo. Então, vamos aprender a ganhar tempo. Guarde bem essa fórmula porque nem todos os livros a descreve. A taxa efetiva para o desconto simples comercial é dada por i e i = 1 i n Onde i é a taxa do desconto! Um detalhe: essa fórmula só poderá ser utilizada se não houver taxas administrativas ou impostos cobrados pelo banco!! Vamos resolver novamente a segunda parte desse quesito. A taxa é de 5% ao mês durante 1,5 meses. i e i 0,05 = = 5, 4% 1 i n 1 0,05 1, 5 EC 46. (Fiscal de Fortaleza 2003 ESAF) Um título no valor nominal de R$ ,00 sofre um desconto comercial simples de R$ 1800,00 três meses antes de seu vencimento. Calcule a taxa mensal de desconto aplicada. a) 6% b) 5% c) 4% d) 3,3% e) 3% Sabemos que a taxa de desconto no desconto comercial simples é incidida sobre o valor nominal. Dessa forma, o desconto é dado por D= N i n

75 75 Como estamos querendo calcular a taxa mensal do desconto. Podemos isolar a taxa na fórmula acima. O N e o n que estão multiplicando vão para o outro membro dividindo. Assim, i = D N n O enunciado nos forneceu o valor nominal (R$ ,00), o desconto (R$ 1.800,00) e o tempo de antecipação (três meses). Já que o tempo de antecipação é dado em meses, obviamente a taxa será mensal. E lembre-se que para transformar a taxa em termos percentuais devemos multiplicá-la por 100% i= 100% i= % i= 3% a.m. Letra E EC 47. (BNDES 2009 CESGRANRIO) Uma promissória sofrerá desconto comercial 2 meses e 20 dias antes do vencimento, à taxa simples de 18% ao ano. O banco que descontará a promissória reterá, a título de saldo médio, 7% do valor de face durante o período que se inicia na data do desconto e que termina na data do vencimento da promissória. Há ainda IOF de 1% sobre o valor nominal. Para que o valor líquido, recebido no momento do desconto, seja R$ 4.620,00, o valor nominal, em reais, desprezando-se os centavos, deverá ser (A) (B) (C) (D) (E) Trata-se de um desconto bancário simples. O desconto bancário leva em conta também despesas administrativas cobradas pelos bancos para a efetivação da operação de desconto. Ou seja, o desconto bancário é uma

76 V = N D D B, onde D F é o desconto por fora e D B são as taxas e as despesas administrativas cobradas pelo banco. Lembrando que o desconto comercial simples (por fora) é dado por D = N.i.n, V = N N i n 0,07 N 0,01 N Além disso, o tempo de antecipação (2 meses e 20 dias) pode ser escrito como 80 dias ( ). Observação: O mês comercial possui 30 dias e o ano comercial possui 30x12 = 360 dias. Assim, a taxa de 18% = 0,18 ao ano para ser escrita sob a forma de taxa diária deverá ser dividida por 360. Ou seja, 0,18 i=. 360 Ufa! Voltemos à nossa expressão. V = N N i n 7% N 1% N O valor líquido recebido foi igual a R$ 4.620,00. 0,18 N N 80 0,07 N 0,01 N = N 0, 04 N 0, 07 N 0, 01 N = Já que 1 0,04 0,07 0,01 = 0,88, temos que 0,88 N = 4.620

77 N = = ,88 Letra C EC 48. (CEF 2004 FCC) Em suas operações de desconto de duplicatas, um banco cobra uma taxa mensal de 2,5% de desconto simples comercial. Se o prazo de vencimento for de 2 meses, a taxa mensal efetiva nessa operação, cobrada pelo banco, será de, aproximadamente, (A) 5,26% (B) 3,76% (C) 3,12% (D) 2,75% (E) 2,63% A questão envolve o cálculo da taxa efetiva em uma operação de desconto simples comercial. Basta aplicar a fórmula descrita anteriormente: i e i 0,025 0,025 2,5% = = = 100% = 2, 63% 1 i n 1 0, ,95 0,95 Mas de qualquer forma, é bom saber resolver das duas maneiras. Nunca se sabe o que pode acontecer na hora da prova (esquecer a fórmula, por exemplo). A taxa efetiva é a taxa de juros que aplicada sobre o valor líquido gera um montante igual ao valor de face. Além disso, sabe-se que a taxa do desconto comercial simples incide sobre o valor nominal. E a fórmula que envolve o valor líquido e o valor de face é dada por A= N (1 i n) 2,5 A= N A= 0,95 N

78 78 Faremos agora uma capitalização simples em que o capital inicial é igual a A e o montante é igual a N. M = C (1 + i n) N = A (1 + i n) N = 0,95 N(1+ i 2) 1= 0,95 (1+ i 2) 1= 0,95+ 1, 9 i 1,9 i= 0, 05 0,05 5% i= 100% = 1, 9 1, 9 i 2,63% Letra E Um pouco mais trabalhoso, não!? 11 Relação entre os descontos simples por fora e por dentro Como o desconto simples comercial (por fora) é calculado sobre o valor nominal, ao passo que o desconto simples racional é calculado sobre o valor atual, é fácil constatar que, quando calculados nas mesmas condições, o desconto simples por fora será sempre maior do que o por dentro. Isso porque o valor nominal é sempre maior do que o valor atual. Acompanhe o raciocínio: Quanto maior o desconto, menor o valor atual do título. Pode-se concluir que o valor atual do desconto simples comercial é sempre menor do que no desconto simples por dentro (por isso é tão utilizado no mercado financeiro: experimente trocar um cheque e veja onde é incidida a taxa no valor nominal).

79 79 Assim, considerando-se uma mesma taxa de desconto, é mais vantajoso para o adquirente do título (o banco, ou uma empresa de factoring, por exemplo) utilizar o desconto bancário (daí o apelido do desconto comercial) do que o desconto racional. Bom... Chega de filosofia! Vamos ao que interessa. Vejamos a seguir qual é a relação entre os descontos simples por fora e por dentro, quando calculados nas mesmas condições, ou seja, à mesma taxa de desconto e pelo mesmo prazo para o vencimento do título. Para diferenciar, chamarei de D F o desconto simples por fora (comercial) e D D o desconto simples por dentro (racional). Vimos anteriormente que D D N i n = e DF = N i n 1+ i n F D D Logo, DF = 1 + i n D ( 1 i n) D = D + EC 49. (Fiscal PA 2002 ESAF) Uma nota promissória sofre um desconto simples comercial de R$ 981,00, três meses antes do seu vencimento, a uma taxa de desconto de 3% ao mês. Caso fosse um desconto racional, calcule o valor do desconto correspondente à mesma taxa. a) R$ 1.000,00 b) R$ 950,00 c) R$ 927,30 d) R$ 920,00 e) R$ 900,00 Para quem conhece a fórmula que mostrei anteriormente, a questão é facílima!! F D ( 1 i n) D = D +

80 80 O enunciado nos forneceu o valor do desconto comercial simples (por fora) que é igual a R$ 981,00, a taxa que é igual a 3% = 0,03 ao mês e o tempo de antecipação que é igual a 3 meses. ( ) 981= 1+ 0,03 3 D D 981= D D 1, D D = = 1, Letra E EC 50. (AFPS 2002 ESAF) Um título no valor nominal de R$ ,00 deve sofrer um desconto comercial simples de R$ 981,00 três meses antes do seu vencimento. Todavia uma negociação levou a troca do desconto comercial por um desconto racional simples. Calcule o novo desconto, considerando a mesma taxa de desconto mensal. a) R$ 890,00 b) R$ 900,00 c) R$ 924,96 d) R$ 981,00 e) R$ 1.090,00 A taxa de desconto será igual nas duas operações. A primeira operação é um desconto comercial simples com valor nominal R$ ,00, desconto igual a R$ 981,00 e tempo de antecipação igual a 3 meses. Como sabemos que o desconto comercial simples é dado por D = N i n, então F 981= i 3 981= i 981 i= = 0,

81 81 Já que a taxa utilizada será a mesma nos dois descontos, e a questão trocou o desconto comercial simples por um desconto racional simples, podemos calcular esse novo desconto com a fórmula F D ( 1 i n) D = D + ( ) 981= 1+ 0,03 3 D D 981= D D 1, D D = = 900 1, 09 Letra B 12 Progressão Aritmética Este tópico será abordado agora visando o estudo posterior do Sistema de Amortização Constante (amortização de empréstimos). Resolverei algumas questões que nada tem a ver com Matemática Financeira, para que possamos nos acostumar com as ferramentas necessárias para um bom entendimento do assunto. Repito: este assunto é FUNDAMENTAL para um bom entendimento do Sistema de Amortização Constante. Estamos vendo este assunto agora para que você tenha tempo hábil de aprender e se familiarizar com os conceitos e fórmulas. Uma progressão aritmética é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual à soma do termo anterior com uma constante r. Exemplo: (2,5,8,11,14,...) Progressão aritmética de razão r = 3. Observe que para calcular a razão em uma progressão aritmética devemos calcular a diferença entre qualquer termo e o termo que o antecede (antecedente). Assim, podemos dizer que a razão (r = 3) foi calculada da seguinte maneira: = 5 2 = 8 5 = 11 8 = = 3

82 82 Desse fato, podemos mostrar que se três números estão em progressão aritmética, o termo do meio sempre será a média aritmética dos outros dois termos. Vejamos um caso geral: considere a progressão aritmética (a, b, c). A razão dessa progressão pode ser calculada como a diferença entre dois termos consecutivos. Assim, = 2 = + = + 2 Essa propriedade é muito importante. Então lembre-se: dados três números em P.A. (progressão aritmética), o termo do meio sempre será a média aritmética dos outros dois. Vejamos com um exemplo numérico: A sequência (4, 9, 14) é uma progressão aritmética de razão 5. O termo central é a média aritmética dos extremos. 9 = Como você aplicaria essa propriedade em uma questão? Vejamos um exemplo: Qual o valor de x, de modo que x 2, (x + 1) 2 e (x + 3) 2 formem, nessa ordem, uma P.A.? Ora, sabemos que se três números estão em P.A., o termo do meio é a média aritmética dos outros dois. Dessa forma, + 1 = = = = = = 7 = 7 2

83 83 O tópico mais importante da teoria de Progressão Aritmética é comumente denominado Fórmula do Termo Geral. Basicamente, essa fórmula serve para descobrir qualquer termo de uma Progressão Aritmética. Voltemos àquela P.A. do início da teoria: (2, 5, 8, 11, 14,...). Se quisermos calcular o próximo termo, basta efetuar = 17. E o próximo? = 20. E assim, ad infinitum. Bom, calcular termos próximos é muito fácil. O problema surge assim: Qual o milésimo termo dessa progressão? Obviamente não iremos adicionar a razão 3 diversas vezes. Deve haver um método eficaz. E existe!! A fórmula do termo geral é a seguinte: = + 1 Em que é o primeiro termo, é a razão da progressão e é o termo de ordem n (n-ésimo termo). Por exemplo, se queremos calcular o milésimo termo, deveremos efetuar:. = = = = O ruim desta fórmula é que ficamos presos a só poder calcular os termos da progressão se soubermos quem é o primeiro termo. Porém, podemos fazer uma modificação nesta fórmula de forma que conhecendo um termo qualquer da progressão e a razão, poderemos calcular qualquer outro termo da progressão. Vejamos um exemplo: Suponha que o décimo termo ( ) de uma progressão aritmética seja igual a 25 e a razão seja igual a 4. Qual o vigésimo sétimo termo dessa progressão? Se você prestar bem atenção à fórmula = + 1 perceberá que não poderemos utilizá-la da forma como está disposta. Pois só podemos utilizá-la se soubermos o valor do primeiro termo. Vamos fazer uma analogia. Imagine que você se encontra no décimo andar de um prédio e precisa subir para o vigésimo sétimo andar. Quantos andares preciso subir? A resposta é 17 andares. É o mesmo que acontece com os termos de uma P.A.: Se estamos no décimo termo e preciso me deslocar até

84 84 o vigésimo sétimo termo, preciso avançar 17 termos (27 10 = 17). E para avançar cada termo, devemos adicionar a razão. Assim, = + 17 = = 93. Vamos fazer o caminho da volta : O vigésimo sétimo termo de uma progressão aritmética é igual a 93. Se a razão é igual a 4, qual o décimo termo? Ainda fazendo a analogia da P.A. com os andares de um prédio, para descer do vigésimo sétimo andar para o décimo andar, deveremos descer 17 andares. Na P.A. deveremos subtrair 17 vezes a razão (pois estamos voltando na P.A.). = 17 = = 25 Por fim, é importante conhecer a fórmula que fornece a soma dos n primeiros termos de uma Progressão Aritmética. = + 2 Por exemplo: Qual a soma dos mil primeiros termos da progressão aritmética (2, 5, 8, 11,...). O primeiro passo é calcular o milésimo termo: isso já fizemos anteriormente e sabemos que. = Assim, a soma dos mil primeiros termos é dado por: = + 2. = = = =

85 85 Importância das Fórmulas de P.A. em Matemática Financeira (Sistema de Amortização Constante - SAC) Fórmula do Termo Geral Se um problema pede a 30ª prestação de um empréstimo no SAC, por exemplo, utilizaremos esta fórmula. Se o problema pede o juro embutido na 80ª prestação no SAC, utilizaremos esta fórmula. Soma dos Termos Se o problema pede o valor total pago em todas as prestações no SAC, utilizaremos esta fórmula. Se o problema pede o total pago a título de juros no SAC, utilizaremos esta fórmula. Portanto, aconselho que você treine bem este assunto para que na aula 06 não nos preocupemos com progressão aritmética. Vamos às questões. EC 51. (IMBEL 2004/CETRO) O 24º termo da P.A. (1/2, 2, 7/2,...) é (A) 38 (B) 28 (C) 45 (D) 35 (E) 73/2 O primeiro passo é calcular a razão da progressão. Para isto,devemos calcular a diferença entre dois termos consecutivos. = =4 1 2 Sabemos que o primeiro termo é igual a 1/2 e a razão é igual a 3/2. Queremos calcular o 24º termo. = 3 2 Do 1º ao 24º termo deveremos avançar 23 termos. Assim, Letra D = 1 2 = = =70 2 = 35

86 86 EC 52. (MPU 2007 FCC) Considere todos os números inteiros e positivos dispostos, sucessivamente, em linhas e colunas, da forma como é mostrado abaixo. Se fosse possível completar essa tabela, então, na terceira coluna e na tricentésima quadragésima sexta linha apareceria o número a) 2326 b) 2418 c) 2422 d) 3452 e) 3626 Os números da terceira coluna forma uma progressão aritmética em que o primeiro termo é igual a 3 e a razão é igual a 7. Assim, o termo de ordem 346 é dado por: Letra B = = = EC 53. (TCE PB 2006 FCC) Considere que a seguinte sequência de figuras foi construída segundo determinado padrão. Mantido tal padrão, o total de pontos da figura de número 25 deverá ser igual a

87 87 a) 97 b) 99 c) 101 d) 103 e) 105 A primeira figura possui 5 pontos, a segunda figura possui 9 pontos, a terceira figura possui 13 pontos, e assim sucessivamente. Temos uma progressão aritmética com primeiro termos igual a 5 e razão igual a 4. O vigésimo quinto termo é dado por: Letra C = + 24 = = 101 EC 54. (TRT SC 2005/FEPESE) Tisiu ficou sem parceiro para jogar bola de gude; então pegou sua coleção de bolas de gude e formou uma sequência de T (a inicial de seu nome), conforme a figura Supondo que o guri conseguiu formar 10 T completos, pode-se, seguindo o mesmo padrão, afirmar que ele possuía: a) exatamente 41 bolas de gude. b) menos de 220 bolas de gude. c) pelo menos 230 bolas de gude. d) mais de 300 bolas de gude. e) exatamente 300 bolas de gude. A primeira figura possui 5 pontos, a segunda figura possui 9 pontos, a terceira figura possui 13 pontos, e assim sucessivamente. Temos uma progressão aritmética com primeiro termos igual a 5 e razão igual a 4.

88 88 Quantas bolinhas Tisiu utilizou ao completar o décimo T? Devemos somar os 10 primeiros termos desta progressão aritmética. = + 9 = = 41 Dessa forma, a soma dos dez primeiros termos da P.A. é dada por: = = = 230 Como o problema não afirmou que ele utilizou TODAS as suas bolinhas de gude, podemos afirmar que Tisiu tem NO MÍNIMO 230 bolas de gude. Letra C EC 55. (FNDE 2007 FGV) Observe a sequência de figuras abaixo. Quando terminarmos a figura 20, o número total de bolinhas utilizadas terá sido de: a) 720 b) 840 c) 780 d) 680 e) 880 A figura 1 possui 4 bolinhas, a figura 2 possui 8 bolinhas, a figura 3 possui 12 bolinhas... Temos uma P.A. com primeiro termo igual a 4 e razão igual a 4. Para calcularmos o total de bolinhas utilizadas ao terminar a figura 20, devemos calcular o vigésimo termo. = + 19

89 89 = = 80 Assim, a soma dos vinte primeiros termos da progressão é igual a Letra B = = = 840 EC 56. (EBDA 2006/CETRO) As formigas, quanto mais próximo o inverno, mais elas trabalham. Em uma colônia, a cada dia que passa, elas trazem 3 folhas a mais que o dia anterior, que servirão de alimento para todas. No primeiro dia as formigas trouxeram 20 folhas, no segundo dia, 23 e assim por diante até o trigésimo dia, então o total de folhas armazenadas por essa colônia, foi de: (A) 920 (B) 905 (C) (D) (E) A quantidade de folhas trazidas pelas formigas ao longo dos dias formam uma progressão aritmética de razão 3. 20, 23, 26, O problema pede o total de folhas armazenadas por essa colônia até o trigésimo dia. Ou seja, queremos saber a soma dos 30 primeiros termos desta progressão aritmética. Para isto, devemos calcular o trigésimo termo. = + 29 = = 107 Assim, a soma dos trinta primeiros termos será Letra C = = = 1.905

90 90 13 Relação das questões comentadas EC 1. (Universidade Federal da Fronteira Sul Economista 2009 FEPESE) Sobre o tema Capitalização Simples e Composta assinale a alternativa incorreta. a. Na capitalização composta os juros produzidos ao final de um dado período n se agregam ao capital, passando ambos a integrar a nova base de cálculo para o período subseqüente n+1 e assim sucessivamente. b. Uma aplicação financeira que rende 12% ao ano irá gerar o maior montante quando aplicado segundo o regime de capitalização simples, em comparação com o regime de capitalização composta. c. Capitalização simples é o regime segundo o qual os juros produzidos no final de cada período têm sempre como base de cálculo o capital inicial empregado. d. Uma aplicação de um capital de $1.000,00 à taxa de juro de 10% a.m., durante três meses, no regime de capitalização simples, gera um montante de $1.300,00. e. Uma aplicação de um capital de $1.000,00 à taxa de juro de 10% a.m., durante três meses, no regime de capitalização composta, gera juros de $331,00. EC 2. (Agente Administrativo SAAE Pref. Porto Feliz SP 2006/CETRO) João aplicou R$ ,00 pelo tempo de um ano e três meses à taxa de 36% ao ano. O valor total recebido por João após o vencimento da aplicação foi de: (A) R$ 5.860,00 (B) R$ ,00 (C) R$ ,00 (D) R$ ,00 (E) R$ ,00 EC 3. (Técnico da Receita Federal 2006 ESAF) Um indivíduo devia R$1.200,00 três meses atrás. Calcule o valor da dívida hoje considerando juros simples a uma taxa de 5% ao mês, desprezando os centavos. a) R$ 1.380,00 b) R$ 1.371,00 c) R$ 1.360,00 d) R$ 1.349,00 e) R$ 1.344,00 EC 4. (Prefeitura de Ituporanga 2009 FEPESE) Quais são os juros simples de R$ ,00, à taxa de 7,5% ao ano, em 4 anos e 9 meses? a. R$ 4.488,75 b. R$ 1.023,75

91 91 c. R$ 3.780,00 d. R$ 1.496,25 e. R$ 5.386,50 EC 5. (UnB/CESPE PMCE 2008) No regime de juros simples, R$ ,00 investidos durante 45 meses à taxa de 15% ao semestre produzirão um montante inferior a R$ ,00. EC 6. (IPESC Economista 2005 FEPESE) A fim de produzir os bens de que necessita no seu dia-a-dia, o Homem combina recursos naturais, trabalho e capital. Pode-se dizer que os organizadores dos sistemas produtivos recebem lucros e os proprietários do capital recebem remuneração, na forma de juros. Os juros simples podem ser calculados, usando-se a relação: juros simples = capital taxa unitária no de períodos Neste contexto, assinale a alternativa correta. Fórmulas: j = Cin M = C(1 + in) a. Se colocarmos o capital de R$ ,00 a juros simples, durante 5 meses, à taxa de 2% ao mês, teremos em cada mês R$ 250,00 de juros. b. O montante de R$ ,00, a 2% ao mês, durante cinco meses, é exatamente igual ao montante de R$ ,00 a 5% ao mês, durante dois meses. c. Se colocarmos o capital de R$ ,00 a juros simples, durante 1 semestre, à taxa de 5% ao mês, vamos duplicar o capital. é meses, 2 durante mês, ao 5% a ,00, R$ de d. O montante exatamente igual a R$ ,00. e. R$ 120,00 representa os juros da capitalização de R$ ,00, no decorrer do primeiro mês, quando a taxa é de 10% ao mês. EC 7. (AFRE-PB 2006/FCC) Um investidor aplica em um determinado banco R$ ,00 a juros simples. Após 6 meses, resgata totalmente o montante de R$ ,00 referente a esta operação e o aplica em outro banco, durante 5 meses, a uma taxa de juros simples igual ao dobro da correspondente à primeira aplicação. O montante no final do segundo período é igual a (A) R$ ,00 (B) R$ ,00 (C) R$ ,00 (D) R$ ,00 (E) R$ ,00 (Agente Administrativo SAAE Pref. Porto Feliz SP 2006/CETRO) Aplicando um determinado valor à taxa simples de 2% a.m., um investidor resgatou a quantia correspondente ao dobro do principal. Indique o prazo desta aplicação:

92 92 (A) 10 meses. (B) 20 meses. (C) 40 meses. (D) 50 meses. (E) 60 meses. EC 9. (UnB/CESPE PMAC 2008) Um indivíduo emprestou R$ ,00 a um amigo à taxa de juros simples de 1,8% ao mês. Ao final do período combinado, o amigo devolveu o montante de R$ ,00. Nessa situação, o período do empréstimo foi inferior a 15 meses. EC 10. (Agente de Defesa Civil - Pref. Mairinque/SP 2009 CETRO) Um capital de R$750,00, aplicado a juros simples de 12% ao ano, gerou um montante de R$1.020,00. Com esses dados, é correto afirmar que o tempo de aplicação foi de (A) 12 meses. (B) 24 meses. (C) 36 meses. (D) 48 meses. (E) 60 meses. EC 11. (AFRE-CE 2006 ESAF) Qual o capital que aplicado a juros simples à taxa de 2,4% ao mês rende R$ 1 608,00 em 100 dias? a) R$ ,00. b) R$ ,00. c) R$ ,00. d) R$ ,00. e) R$ ,00. EC 12. (Técnico da Receita Federal 2006 ESAF) Indique qual o capital que aplicado a juros simples à taxa de 3,6% ao mês rende R$96,00 em 40 dias. a) R$ 2.000,00 b) R$ 2.100,00 c) R$ 2.120,00 d) R$ 2.400,00 e) R$ 2.420,00 EC 13. (UnB CESPE TRT 6º Região 2002) Julgue o item seguinte. Se um capital aplicado a juros simples durante seis meses à taxa mensal de 5% gera, nesse período, um montante de R$ 3.250,00, então o capital aplicado é menor que R$ 2.600,00.

93 93 EC 14. (Administrador - Prefeitura Municipal de Florianópolis 2007 FEPESE) Um banco concedeu a um cliente um empréstimo a juros simples por 18 meses. Se o montante (capital inicial + juro) é igual a 190% do capital emprestado, então a taxa mensal do empréstimo é: a. 2% b. 5% c. 7% d. 10,5% e. 20% EC 15. (APOFP/SEFAZ-SP/FCC/2010) Um capital no valor de R$ ,00 é aplicado a juros simples, durante 12 meses, apresentando um montante igual a R$ ,00. Um outro capital é aplicado, durante 15 meses, a juros simples a uma taxa igual à da aplicação anterior, produzindo juros no total de R$ 5.250,00. O valor do segundo capital supera o valor do primeiro em a) R$ ,00 b) R$ 8.500,00 c) R$ 7.500,00 d) R$ 6.000,00 e) R$ 5.850,00 EC 16. (AFRE-SC 2010/FEPESE) Um Capital de $ 1.000,00 ficou aplicado durante 135 dias, alcançando no final deste período o montante de $ 1.450,00. Calcule a taxa mensal de juros simples que esse capital rendeu e assinale a alternativa que indica a resposta correta. a) 10,00%. b) 12,00%. c) 15,00%. d) 17,00%. e) 21,00%. (UnB / CESPE DOCAS / PA -2004) Mário dispunha de um capital de R$ ,00. Parte desse capital ele aplicou no banco BD, por 1 ano, à taxa de juros simples de 3% ao mês. O restante, Mário aplicou no banco BM, também pelo período de 1 ano, à taxa de juros simples de 5% ao mês. Considerando que, ao final do período, Mário obteve R$ 4.500,00 de juros das duas aplicações, julgue os itens seguintes. EC 17. A quantia aplicada no banco BM foi superior a R$ 4.000,00. EC 18. O s juros obtidos pela aplicação no banco BM superaram em mais de R$ 500,00 os juros obtidos pela aplicação no banco BD. EC 19. Ao final do ano, o montante obtido pela aplicação no banco BD foi superior a R$ 8.000,00.

94 94 EC 20. (UnB / CESPE CHESF 2002) Uma pessoa recebeu R$ 6.000,00 de herança, sob a condição de investir todo o dinheiro em dois tipos particulares de ações, X e Y. As ações do tipo X pagam 7% a.a. e as ações do tipo Y pagam 9% a.a. A maior quantia que a pessoa pode investir nas ações X, de modo a obter R$ 500,00 de juros em um ano, é A) inferior a R$ 1.800,00. B) superior a R$ 1.800,00 e inferior a R$ 1.950,00. C) superior a R$ 1.950,00 e inferior a R$ 2.100,00. D) superior a R$ 2.100,00 e inferior a R$ 2.250,00. E) superior a R$ 2.250,00. EC 21. (UnB / CESPE CHESF 2002) Um capital acrescido dos seus juros simples de 21 meses soma R$ 7.050,00. O mesmo capital, diminuído dos seus juros simples de 13 meses, reduz-se a R$ 5.350,00. O valor desse capital é A) inferior a R$ 5.600,00. B) superior a R$ 5.600,00 e inferior a R$ 5.750,00. C) superior a R$ 5.750,00 e inferior a R$ 5.900,00. D) superior a R$ 5.900,00 e inferior a R$ 6.100,00. E) superior a R$ 6.100,00. EC 22. (Contador de Recife 2003/ESAF) Um capital é aplicado a juros simples a uma taxa de 3% ao mês. Em quanto tempo este capital aumentaria 14% em relação ao seu valor inicial? a) 3 meses e meio b) 4 meses c) 4 meses e 10 dias d) 4 meses e meio e) 4 meses e 20 dias EC 23. (CVM 2003 FCC) Em determinada data, uma pessoa aplica R$ ,00 à taxa de juros simples de 2% ao mês. Decorridos 2 meses, outra pessoa aplica R$ 8.000,00 à taxa de juros simples de 4% ao mês. No momento em que o montante referente ao valor aplicado pela primeira pessoa for igual ao montante referente ao valor aplicado pela segunda pessoa, o total dos juros correspondente à aplicação da primeira pessoa será de a) R$ 4.400,00 b) R$ 4.000,00 c) R$ 3.600,00

95 95 d) R$ 3.200,00 e) R$ 2.800,00 EC 24. (AFRE-PB 2006 FCC) Certas operações podem ocorrer por um período de apenas alguns dias, tornando conveniente utilizar a taxa diária e obtendo os juros segundo a convenção do ano civil ou do ano comercial. Então, se um capital de R$ ,00 foi aplicado por 5 dias à taxa de juros simples de 9,3% ao mês, em um mês de 31 dias, o módulo da diferença entre os valores dos juros comerciais e dos juros exatos é a) R$ 37,50 b) R$ 30,00 c) R$ 22,50 d) R$ 15,00 e) R$ 7,50 EC 25. (Auditor de Tributos Municipais Fortaleza 1998 ESAF) Um capital é aplicado a juros simples do dia 10 de fevereiro ao dia 24 de abril, do corrente ano, a uma taxa de 24% ao ano. Nessas condições calcule o juro simples exato ao fim do período, como porcentagem do capital inicial, desprezando as casas decimais superiores à segunda. a) 4,70% b) 4,75% c) 4,80% d) 4,88% e) 4,93% EC 26. (AFTN 1998/ESAF) Um capital é aplicado do dia 5 de maio ao dia 25 de novembro do mesmo ano, a uma taxa de juros simples ordinário de 36% ao ano, produzindo um montante de $ 4.800,00. Nessas condições, calcule o capital aplicado, desprezando os centavos. a) R$ 4.067,00 b) R$ 3.986,00 c) R$ 3.996,00 d) R$ 3.941,00 e) R$ 4.000,00 EC 27. (AFTN 1998/ESAF) A quantia de R$ ,00 foi aplicada a juros simples exatos do dia 12 de abril ao dia 5 de setembro do corrente ano. Calcule os juros obtidos, à taxa de 18% ao ano, desprezando os centavos. a) R$ 705,00 b) R$ 725,00 c) R$ 715,00 d) R$ 720,00 e) R$ 735,00

96 96 EC 28. (AFRF ESAF) Uma conta no valor de R$ 2.000,00 deve ser paga em um banco na segunda-feira, dia 8. O não pagamento no dia do vencimento implica uma multa fixa de 2% sobre o valor da conta mais o pagamento de uma taxa de permanência de 0,2% por dia útil de atraso, calculada como juros simples, sobre o valor da conta. Calcule o valor do pagamento devido no dia 22 do mesmo mês, considerando que não há nenhum feriado bancário no período. a) R$ 2.080,00 b) R$ 2.084,00 c) R$ 2.088,00 d) R$ 2.096,00 e) R$ 2.100,00 a) 12 b) 8 c) 10 d) 9,2 e) 7,5 EC 29. (SEFAZ-RJ 2008/FGV) Os valores de R$ ,00 e R$ ,00 foram aplicados à mesma taxa de juros simples durante 12 e 6 meses, respectivamente. O prazo médio da aplicação conjunta desses capitais, em meses é: EC 30. (AFRF 2003/ESAF) Os capitais de R$ 2.500,00, R$ 3.500,00, R $ 4.000,00 e R$ 3.000,00 são aplicados a juros simples durante o mesmo prazo às taxas mensais de 6%, 4%, 3% e 1,5%, respectivamente. Obtenha a taxa média mensal de aplicação destes capitais. a) 2,9% b) 3% c) 3,138% d) 3,25% e) 3,5% EC 31. (AFRF /ESAF) O s capitais de R$ 7.000,00, R$ 6.000,00, R$ 3.000,00 e R$ 4.000,00 são aplicados respectivamente às taxas de 6%, 3%, 4% e 2% ao mês, no regime de juros simples durante o mesmo prazo. Calcule a taxa média proporcional anual de aplicação destes capitais. a) 4% b) 8% c) 12% d) 24%

97 97 EC 32. (SEFAZ/PA 2002/ESAF) Três capitais nos valores de R$ 1.000,00, R$ 2.000,00 e R$ 4.000,00 são aplicados respectivamente às taxas de 5,5%, 4% e 4,5% ao mês, durante o mesmo número de meses. Obtenha a taxa média mensal de aplicação destes capitais. a) 3,5% b) 4% c) 4,25% d) 4,5% e) 5% EC 33. (AFTN 1998/ESAF) Os capitais de R$ ,00, R$ ,00 e R$ ,00 foram aplicados à mesma taxa de juros simples mensal durante 4, 3 e 2 meses respectivamente. O btenha o prazo médio de aplicação desses capitais. a) Dois meses e vinte e um dias b) Dois meses e meio c) Três meses e dez dias d) Três meses e) Três meses e nove dias EC 34. (AFRF 2002/ESAF) Os capitais de R$ 2.000,00, R$ 3.000,00, R $ 1.500,00 e R$ 3.500,00 são aplicados à taxa de 4% ao mês, juros simples, durante dois, três, quatro e seis meses, respectivamente. Obtenha o prazo médio de aplicação destes capitais. a) quatro meses b) quatro meses e cinco dias c) três meses e vinte e dois dias d) dois meses e vinte dias e) oito meses EC 35. (Auditor Fiscal da Pref. de Fortaleza 2003/ESAF) Os capitais de 200, 300 e 100 unidades monetárias são aplicados a juros simples durante o mesmo prazo às taxas mensais de 4%, 2,5% e 5,5%, respectivamente. Calcule a taxa mensal média de aplicação destes capitais. a) 2,5% b) 3% c) 3,5% d) 4% e) 4,5% EC 36. (SEFAZ/MS 2001/ESAF) Três capitais são aplicados a juros simples pelo mesmo prazo. O capital de R$ 3.000,00 é aplicado à taxa de 3% ao mês, o capital de R$ 2.000,00 é aplicado a 4% ao mês e o capital de R$ 5.000,00 é aplicado a 2% ao mês. Obtenha a taxa média mensal de aplicação desses capitais. a) 3% b) 2,7%

98 98 d) 2,4% e) 2% EC 37. (AFRF 2001/ESAF) Os capitais de R$3.000,00, R$5.000,00 e R$ 8.000,00 foram aplicados todos no mesmo prazo, a taxas de juros simples de 6% ao mês, 4% ao mês e 3,25% ao mês, respectivamente. Calcule a taxa média de aplicação desses capitais. a) 4,83% ao mês b) 4,859% ao mês c) 4,4167% ao mês d) 3,206% ao mês e) 4% ao mês EC 38. (BNB 2004 ACEP) Em uma operação de desconto racional com antecipação de 5 meses, o valor descontado foi de R$ 8.000,00 e a taxa de desconto foi 5% ao mês. Qual o valor de face desse título? a) R$ ,00 b) R$ ,67 c) R$ ,00 d) R$ ,00 e) R$ ,00 EC 39. (BNB 2003 ACEP) tomou emprestado R$ ,00, pretendendo saldar a dívida após dois anos. A taxa de juros combinada foi de 30% a.a. Qual valor pagaria a dívida 5 meses antes do vencimento combinado sem prejuízo para o banco se nesta época a taxa de juros simples anual fosse 24% e fosse utilizado desconto simples racional? a) R$ ,00 b) R$ ,00 c) R$ ,00 d) R$ 14545,45 e) R$ ,00 EC 40. (AFT 2010 ESAF) Um título sofre um desconto simples por dentro de R$ ,00 cinco meses antes do seu vencimento a uma taxa de desconto de 4% ao mês. Qual o valor mais próximo do valor nominal do título? a) R$ ,00. b) R$ ,00. c) R$ ,00 d) R$ ,00. e) R$ ,00. EC 41. (UnB/CESPE PMCE 2008) Julgue o item seguinte. Caso um título de R$ ,00 seja resgatado 3 meses antes de seu vencimento,

99 99 sob o regime de juros simples e à taxa de juros de 12% ao ano, então o valor do desconto racional, ou por dentro, será superior a R$ 450,00. EC 42. (Economista IBRAM UnB/CESPE ) Com relação a desconto, julgue o item abaixo. Considere que um título de valor nominal igual a R$ 5.000,00, com vencimento em um ano, esteja sendo liquidado dois meses antes. Nesse caso, se a taxa nominal de juros simples corrente é de 36% ao ano e se o desconto considerado é o racional (ou por dentro), então a quantia que o devedor está deixando de pagar por liquidar o título antecipadamente é inferior a R$ 290,00. EC 43. (Auditor Fiscal do Tesouro Municipal Vitória 2007 Unb/ Cespe) Considere que uma pessoa pretenda quitar, 4 meses antes do vencimento, um título de valor nominal de R$ 7.800,00. Nesse caso, se for usado o desconto racional simples à taxa de 60% ao ano, a pessoa deve pagar menos de R$ 6.300,00. EC 44. (TCE Piauí 2002 FCC) Uma duplicata, de valor nominal R$ ,00, será descontada 50 dias antes do vencimento, à taxa de 0,02% ao dia. Se for utilizado o desconto simples bancário, o valor de resgate será: a) R$ ,00 b) R$ ,29 c) R$ ,00 d) R$ ,32 e) R$ ,50 EC 45. (AFC 2005 ESAF) Marcos descontou um título 45 dias antes de seu vencimento e recebeu R$ ,00. A taxa de desconto comercial simples foi de 60% ao ano. Assim, o valor nominal do título e o valor mais próximo da taxa efetiva da operação são, respectivamente, iguais a: a) R$ ,00 e 3,4% ao mês. b) R$ ,00 e 5,4% ao mês. c) R$ ,00 e 64,8% ao ano. d) R$ ,00 e 60% ao ano. e) R$ ,00 e 5,4% ao mês. EC 46. (Fiscal de Fortaleza 2003 ESAF) Um título no valor nominal de R$ ,00 sofre um desconto comercial simples de R$ 1800,00 três meses antes de seu vencimento. Calcule a taxa mensal de desconto aplicada.

100 100 a) 6% b) 5% c) 4% d) 3,3% e) 3% EC 47. (BNDES 2009 CESGRANRIO) Uma promissória sofrerá desconto comercial 2 meses e 20 dias antes do vencimento, à taxa simples de 18% ao ano. O banco que descontará a promissória reterá, a título de saldo médio, 7% do valor de face durante o período que se inicia na data do desconto e que termina na data do vencimento da promissória. Há ainda IOF de 1% sobre o valor nominal. Para que o valor líquido, recebido no momento do desconto, seja R$ 4.620,00, o valor nominal, em reais, desprezando-se os centavos, deverá ser (A) (B) (C) (D) (E) EC 48. (CEF 2004 FCC) Em suas operações de desconto de duplicatas, um banco cobra uma taxa mensal de 2,5% de desconto simples comercial. Se o prazo de vencimento for de 2 meses, a taxa mensal efetiva nessa operação, cobrada pelo banco, será de, aproximadamente, (A) 5,26% (B) 3,76% (C) 3,12% (D) 2,75% (E) 2,63% EC 49. (Fiscal PA 2002 ESAF) Uma nota promissória sofre um desconto simples comercial de R$ 981,00, três meses antes do seu vencimento, a uma taxa de desconto de 3% ao mês. Caso fosse um desconto racional, calcule o valor do desconto correspondente à mesma taxa. a) R$ 1.000,00 b) R$ 950,00 c) R$ 927,30 d) R$ 920,00 e) R$ 900,00

101 101 EC 50. (AFPS 2002 ESAF) Um título no valor nominal de R$ ,00 deve sofrer um desconto comercial simples de R$ 981,00 três meses antes do seu vencimento. Todavia uma negociação levou a troca do desconto comercial por um desconto racional simples. Calcule o novo desconto, considerando a mesma taxa de desconto mensal. a) R$ 890,00 b) R$ 900,00 c) R$ 924,96 d) R$ 981,00 e) R$ 1.090,00 EC 51. (IMBEL 2004/CETRO) O 24º termo da P.A. (1/2, 2, 7/2,...) é (A) 38 (B) 28 (C) 45 (D) 35 (E) 73/2 EC 52. (MPU 2007 FCC) Considere todos os números inteiros e positivos dispostos, sucessivamente, em linhas e colunas, da forma como é mostrado abaixo. Se fosse possível completar essa tabela, então, na terceira coluna e na tricentésima quadragésima sexta linha apareceria o número a) 2326 b) 2418 c) 2422 d) 3452 e) 3626 EC 53. (TCE PB 2006 FCC) Considere que a seguinte sequência de figuras foi construída segundo determinado padrão.

102 102 Mantido tal padrão, o total de pontos da figura de número 25 deverá ser igual a a) 97 b) 99 c) 101 d) 103 e) 105 EC 54. (TRT SC 2005/FEPESE) Tisiu ficou sem parceiro para jogar bola de gude; então pegou sua coleção de bolas de gude e formou uma sequência de T (a inicial de seu nome), conforme a figura Supondo que o guri conseguiu formar 10 T completos, pode-se, seguindo o mesmo padrão, afirmar que ele possuía: a) exatamente 41 bolas de gude. b) menos de 220 bolas de gude. c) pelo menos 230 bolas de gude. d) mais de 300 bolas de gude. e) exatamente 300 bolas de gude. EC 55. (FNDE 2007 FGV) Observe a sequência de figuras abaixo. Quando terminarmos a figura 20, o número total de bolinhas utilizadas terá sido de:

103 103 a) 720 b) 840 c) 780 d) 680 e) 880 EC 56. (EBDA 2006/CETRO) As formigas, quanto mais próximo o inverno, mais elas trabalham. Em uma colônia, a cada dia que passa, elas trazem 3 folhas a mais que o dia anterior, que servirão de alimento para todas. No primeiro dia as formigas trouxeram 20 folhas, no segundo dia, 23 e assim por diante até o trigésimo dia, então o total de folhas armazenadas por essa colônia, foi de: (A) 920 (B) 905 (C) (D) (E) 1.915

104 Gabaritos 01. B 02. B 03. A 04. A 05. Errado 06. B 07. A 08. D 09. Errado 10. C 11. B 12. A 13. Certo 14. B 15. B 16. A 17. Errado 18. Errado 19. Certo 20. C 21. D 22. E 23. A 24. E 25. C 26. E 27. D 28. A 29. B 30. E 31. E 32. D 33. A 34. A 35. C 36. B 37. E 38. A 39. D 40. A 41. Errado 42. Certo

105 43. Errado 44. C 45. B 46. E 47. C 48. E 49. E 50. B 51. D 52. B 53. C 54. C 55. B 56. C 105