Raciocínio Lógico, Estatística, Matemática e Matemática Financeira p/ AFRFB e AFT AULA 7: Juros Simples e Compostos

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1 AULA 7: Juros Simples e Compostos 1. PORCENTAGEM JUROS SIMPLES Fórmula de juros simples Cuidados na aplicação da fórmula de juros simples Questões em que não é necessária a conversão Conversões de prazo Juros exatos, bancários e comerciais Taxas equivalentes em juros simples Capital, taxa e prazo médio DESCONTO SIMPLES Desconto racional simples Desconto comercial simples Relação entre desconto comercial e racional TAXA EFETIVA EM EMPRÉSTIMOS COM VALORES RETIDOS ANTECIPADAMENTE JUROS COMPOSTOS Fórmula de juros compostos Taxa nominal e efetiva Taxas equivalentes em juros compostos Convenção linear e convenção exponencial DESCONTO COMPOSTO Desconto racional composto Desconto composto comercial INFLAÇÃO Perda do poder de compra Juros reais e juros aparentes CAPITALIZAÇÃO CONTÍNUA QUESTÕES APRESENTADAS EM AULA GABARITO RESUMÃO TABELAS EXTRAÍDAS DA PROVA DA ESAF Prof. Vítor Menezes 1

2 Caríssimos, Mil perdões, mas ainda não consegui concluir a segunda lista de revisão, com questões referentes às aulas 3, 4, 5 e 6. Ela está com 78 exercícios, todos de Esaf. Já devo ter resolvido algo em torno de 50. Peço então ainda mais alguns dias para terminar, ok? Hoje iniciamos o terceiro bloco da matéria: matemática financeira. Para alguns tipos de exercício que julgo interessantes não encontrei questões da Esaf. Por isso, aumentei um pouco a proporção de questões de outras bancas. As demais questões de Esaf, que eu não utilizei, deixo para a 3ª lista de revisão. 1. PORCENTAGEM Nós já estudamos porcentagem na aula 3. Vimos que o símbolo % significa que o número está dividido por 100. Exemplo: 5% = 5 = 5 0,01 = 0, Vimos também como a porcentagem serve para dar a noção de parte e de todo. Até tivemos o seguinte resumo: TOME NOTA!!! Para achar um percentual, basta dividir a parte pelo todo: [parte] [todo] =[percentual] Dado o percentual, para achar a quantidade referente à parte, basta multiplicar o percentual pelo todo. [parte]=[todo] [percentual] Estudamos também os aumentos e as reduções percentuais. Vimos que aumentar algo em 1% é o mesmo que multiplicar por 1,01. Ou que aumentar algo em 20% é o mesmo que multiplicar por 1,20. Analogamente, diminuir algo em 15% é o mesmo que multiplicar por (1 0,15). Como nessa aula vamos voltar a usar bastante a porcentagem, trago mais alguns exercícios, para aquecermos os motores. Desde que já usamos todas as questões de Esaf que eu tinha separado, vamos agora usar questões de algumas de outras bancas. Questão 1 SEFAZ SP 2009 [FCC] Em toda a sua carreira, um tenista já disputou N partidas, tendo vencido 70% delas. Considere que esse tenista ainda vá disputar, antes de se aposentar, mais X partidas, e que vença todas elas. Para que o seu percentual de vitórias ao terminar sua carreira suba para 90%, X deverá ser igual a Prof. Vítor Menezes 2

3 (A) N. (B) 1,2 N. (C) 1,3 N. (D) 1,5 N. (E) 2 N. Resolução: O tenista venceu 70% das partidas que disputou. Ou seja, dividindo o número de vitórias por N, obtemos 70%. O tenista já venceu 0,7N partidas. vitorias = 70% = 0,7 vitorias=0,7 Se o percentual de vitórias é 70%, então sabemos que ele perdeu 30% das partidas que disputou. Com isso, concluímos que ele já perdeu 0,3N partidas. Resumindo, na situação inicial ele tem 0,7N vitórias e 0,3N derrotas. Em seguida, o tenista disputa mais X partidas, e vence todas elas. Após as partidas adicionais, ele terá vencido 0,7 + partidas e perdido 0,3N. Com isso, o total de partidas será: + Dividindo a quantidade de vitórias pelo total de partidas, temos o percentual de vitórias. Multiplicando cruzado: Gabarito: E 0,7 + + = 90% 0,7 + + = 0,9 + 0,9 = 0,7 + 0,9 + 0,9 = 0,7 + 0,9 0,7 = 9 0,2 = 0,1 = 2 Prof. Vítor Menezes 3

4 Questão 2 MPU 2010 [CESPE] Em determinado órgão do Poder Executivo, foram alocados R$ ,00 no orçamento para a aquisição de cadeiras de escritório. Com a previsão de realização de um concurso para provimento de novas vagas, constatou-se a necessidade de compra de mais 300 cadeiras, além das já previstas. Com base nas informações da situação hipotética apresentada, julgue os itens a seguir Para a aquisição das 300 unidades adicionais, a verba suplementar deverá ser de 35% do valor inicialmente alocado, desde que não haja mudança no preço das cadeiras Se houver aumento de 20% no preço para as 300 cadeiras adicionais, a verba suplementar para aquisição dessas cadeiras será igual a 36% do valor originalmente alocado para a aquisição das cadeiras iniciais. Resolução: Item 124. Inicialmente são cadeiras pelo valor R$ ,00. Com isso, concluímos que cada cadeira custa: Cada cadeira custa R$ 110, = 110,00 Se este preço for mantido, o preço para adquirir as 300 unidades adicionais será: = ,00 Pergunta-se: quantos por cento esta verba adicional representa em relação à verba inicial? Para encontrar o percentual, basta dividir os dois valores: = 30% A verba suplementar será 30% da verba inicial. O item está errado. Para resolver a questão não era necessário fazer todas as contas acima. Dava para responder a questão de forma bem mais rápida. Como o preço unitário é mantido, só o que influencia no preço total das cadeiras é a quantidade comprada. Assim, para compararmos a verba suplementar com a verba inicial, poderíamos ter tomado apenas as quantidades de cadeiras. A quantidade suplementar é 300. A quantidade inicial é = 30% Isso já é suficiente para concluirmos que a verba suplementar é 30% da verba inicial. Item errado. Prof. Vítor Menezes 4

5 Item 125. O preço unitário de cada cadeira, inicialmente, é de R$ 110,00. Para as 300 cadeiras adicionais, o preço unitário será aumentado em 20%. Já vimos que aumentar algo em 20% é o mesmo que multiplicar por 1,2. O novo preço unitário será: A cadeira agora custa 132, ,2 = 132 Embora tenhamos feito a conta, nossa solução será facilitada se, em vez de escrevermos 132, deixarmos indicado o produto de 110 por 1,2. Isto porque, lá na frente, teremos 110 no numerador e no denominador. Assim poderemos simplificar a fração. Novo preço unitário: As 300 cadeiras adicionais custarão: 110 1, ,2 Para saber a quantos por cento da quantia inicial corresponde a verba suplementar, basta dividir: Item certo. Gabarito: errado, certo verba suplementar verba inicial = , = 300 1, = 36% Questão 3 TCE RN 2009 [CESPE] Se o preço original de um produto sofrer reajustes sucessivos de 15% e de 20%, então o percentual de aumento no preço desse produto em relação ao preço original será de 38%. Resolução Considere que o preço inicial do produto é R$ 100,00. O preço original sofre um aumento de 15%. Ou seja, ele é multiplicado por 1,15. O novo preço unitário será: 100 1,15 = 115 O produto agora custa 115,00. Em seguida, ele sofre um aumento de 20%. Ou seja, ele é multiplicado por 1,2. Assim, o novo preço unitário será: Prof. Vítor Menezes 5

6 O preço unitário passa a ser 138, ,2 = 138 Ou seja, em relação ao preço inicial, o aumento foi de R$ 38,00 em um universo de R$ 100,00. O aumento total foi de 38%. Outra forma de resolver é considerar os dois aumentos de uma só vez. São dois aumentos: 15% e 20%. Então basta multiplicar por 1,15 e depois por 1, ,15 1,2 = 100 1,38 Note que o preço inicial (R$ 100,0) está sendo multiplicado por 1,38. Já sabemos que aumentar algo em 38% é o mesmo que multiplicar por 1,38. Concluímos que o preço inicial está sendo aumentado em 38%. Gabarito: certo 2. JUROS SIMPLES A situação é a seguinte: alguém possui dinheiro hoje, mas não precisa ou não quer usá-lo. Outra pessoa não possui dinheiro agora, mas quer ou precisa usar uma graninha no momento atual. Quem tem o dinheiro hoje pode cedê-lo para a pessoa que precisa. Para tanto, ela cobra um aluguel. Este aluguel são os juros. Esta é uma maneira simplificada de entender porque pagamos juros quando pegamos dinheiro emprestado. Estamos pagando uma remuneração para que quem nos emprestou deixe de usar o dinheiro hoje, para poder usá-lo só depois. Na realidade, os juros são calculados com base em vários fatores. Veja alguns deles: Risco: quem empresta o dinheiro está correndo um risco de não receber o dinheiro de volta. Despesas para emprestar: em alguns casos existem despesas para o empréstimo. Imagine um banco emprestando. Ele tem algumas despesas nesta operação, que certamente são cobradas de quem pegou o dinheiro emprestado. Perda de valor do dinheiro: sabemos que a inflação corrói o poder de compra do dinheiro. Obviamente, quem emprestou vai querer ter o seu poder de compra preservado. Ele vai repassar este ônus ao emprestador. Custo de Oportunidade: imagine que existam outras opções de investimento. Pense, por exemplo, que, em vez de emprestar o dinheiro, eu possa colocar na poupança. A poupança é um investimento muito seguro. Só vou deixar de investir meu dinheiro nela (deixando de auferir seus rendimentos), se o investimento pelo qual eu optar me propiciar um retorno maior. Esse retorno maior tem que compensar o custo de oportunidade que estou tendo (ou seja, o rendimento que estou deixando de ganhar, ao não aplicar na poupança). Prof. Vítor Menezes 6

7 2.1. Fórmula de juros simples Exemplo 1 João empresta R$ 200,00 para Pedro, cobrando uma taxa de 1% ao mês (juros simples). Qual o valor da dívida, depois de dez meses? Resolução: Pronto. Entramos em um dos problemas mais comuns de matemática financeira. A cobrança de juros. Este tipo de problema vai nos acompanhar durante todas as aulas de matemática financeira. A ideia é sempre a mesma. O que vai dificultando, aos poucos, são os cálculos envolvidos. A ideia dos juros é remunerar o capital. Pedro precisa do dinheiro hoje, mas não tem este dinheiro. João tem o dinheiro, mas não precisa dele agora. Assim, João empresta o dinheiro para Pedro, mas cobra uma remuneração por isto. Esta remuneração são os juros. Os juros representam uma receita (ou rendimento) para quem empresta o dinheiro e uma despesa para quem toma emprestado. O valor dos juros depende da taxa. Dizer que é cobrada uma taxa de 1% significa que os juros cobrados são de: Portanto, os juros são iguais a R$ 2,00. = 1% 200 = 0, = 2 Pois bem, passado o primeiro mês, Pedro já deve a João R$ 202,00. Deste valor, temos R$ 200,00 correspondentes ao inicialmente emprestado, mais R$ 2,00 de juros. Passa o segundo mês. Pedro continua usando o dinheiro de João. Portanto, terá que pagar novos juros. A taxa permanece em 1%. Como calcular os juros do segundo mês? A partir do segundo mês, temos que saber se a taxa é de juros simples ou de juros compostos. Quando temos juros simples, a taxa sempre incide sobre o valor inicial. Assim, os juros do segundo mês serão, novamente, iguais a R$ 2,00. Fica assim: = 1% 200 = 2 Passa o terceiro mês. E o Pedro continua com o dinheiro do João. Portanto, vai ter que pagar mais uma remuneração. Novamente teremos uma taxa de 1%. E, como são juros simples, novamente esta taxa incidirá sobre o valor inicialmente emprestado (R$ 200,00). Portanto, os juros do terceiro mês serão novamente de R$ 2,00. E assim por diante, até o décimo mês. Ao final do décimo mês, Pedro terá que devolver os R$ 200,00 iniciais mais R$ 2,00 reais para cada mês que passou. Prof. Vítor Menezes 7

8 Assim, Pedro terá que devolver: = 220 Resposta: depois de dez meses o valor da dívida é de R$ 220,00. Alguns nomes importantes. A quantia inicial (=200,00) geralmente recebe um nome importante: capital inicial (C). A quantia final (=220,00) também recebe um nome importante: montante (M). Podemos dizer que o montante (M) é igual ao capital (C) mais os juros (J). = + Foi exatamente isto que aconteceu no nosso exemplo. O capital foi de 200. Os juros foram de 20. E o montante foi 220. Esta equação sempre vale, sejam juros simples, sejam compostos. O que vai mudar, conforme as taxas sejam simples ou compostas, é a forma de calcular os juros. No caso de regime simples, os juros ficam: Nesta fórmula temos: J são os juros = n é o número de períodos que passaram i é a taxa de juros C é o capital E foi exatamente esta fórmula que usamos no problema acima. Pedro teve que pagar, de juros, vinte reais. Ou seja, Pedro teve que pagar juros de: Então esta é a fórmula que temos que saber para juros simples: = Considerando que = +, podemos obter: = + = + Prof. Vítor Menezes 8

9 Colocando C em evidência: = (1 + ) Fórmulas para juros simples: TOME NOTA!!! = + (vale sempre, mesmo que sejam juros compostos) = (vale só para juros simples) = (1 + ) (decorrência das duas anteriores, então é só para juros simples) Mais alguns comentários sobre todas as parcelas vistas. O capital é a quantidade de moeda que uma pessoa tem disponível para ceder a outra pessoa. Os problemas podem utilizar outros nomes, de mesmo significado. São eles: principal, valor aplicado, investimento inicial. A pessoa que cede o dinheiro é o investidor. Quem recebe o dinheiro é o tomador. A remuneração paga pelo empréstimo (ou ainda, pela cessão do dinheiro) são os juros. Como já dissemos, para o tomador os juros são uma despesa e para o investidor os juros são uma receita. O montante é o valor total da transação financeira, sendo equivalente à soma dos juros com o capital. A taxa de juros representa a relação entre o juro e o capital investido. No nosso exemplo, o capital investido foi de R$ 200,00 e os juros mensais eram de R$ 2,00. Vamos fazer a relação entre esses dois valores: 2 = 0,01 = 1% 200 Este valor acima é justamente a taxa de juros. Dizemos que a taxa de juros é de 1% ao mês. Isto porque, a cada mês, serão pagos juros correspondentes a 1% do capital Cuidados na aplicação da fórmula de juros simples De uma forma geral, o conhecimento das fórmulas acima é suficiente para resolver todas as questões de juros simples. O cuidado que se deve ter é com as unidades. As unidades de tempo e da taxa têm que ser coerentes. Assim, se a taxa está ao mês e o prazo está em anos, não podemos sair aplicando a fórmula. Antes, temos que garantir que as unidades estejam condizentes. Temos sempre duas opções: podemos converter o prazo (passando-o de anos para meses, ou para dias etc.); Prof. Vítor Menezes 9

10 podemos converter a taxa (passando uma taxa que está ao dia para outra ao mês, ao ano, ao semestre, ao bimestre etc.) A conversão de prazo é sempre feita por regra de três. Já a conversão da taxa depende do regime de juros. No caso do regime de juros simples, também basta a aplicação da regra de três. Veremos este assunto com mais detalhes nos itens seguintes. TOME NOTA!!! Conversão de prazo: sempre aplicar regra de três Conversão de taxa: no caso do regime simples, aplicar regra de três. Inicialmente veremos questões que dispensam as conversões, pois já são dadas informações na mesma unidade (coerência entre a unidade da taxa e do prazo). Depois veremos questões em que as unidades são diferentes entre si e a conversão é necessária Questões em que não é necessária a conversão Questão 4 SEFAZ RJ 2009 [FGV] O valor a ser pago por um empréstimo de R$ 4.500,00, a uma taxa de juros simples de 0,5% ao dia, ao final de 78 dias, é de: a) R$ 6.255,00 b) R$ 5.500,00 c) R$ 6.500,00 d) R$ 4.855,00 e) R$ 4.675,50 Resolução: O capital é de R$ 4.500,00, a taxa de juros simples é de 0,5% ao dia e o prazo é de 78 dias. Pergunta-se o montante obtido. Note que a taxa está ao dia e o prazo também está em dias. Já podemos aplicar a fórmula. Gabarito: A = 1 + = ,5 100 = ,39 = Prof. Vítor Menezes 10

11 Questão 5 SEFAZ PB 2006 [FCC] Um investidor aplica em um determinado banco R$ ,00 a juros simples. Após 6 meses, resgata totalmente o montante de R$ ,00 referente a esta operação e o aplica em outro banco, durante 5 meses, a uma taxa de juros simples igual ao dobro da correspondente à primeira aplicação. O montante no final do segundo período é igual a (A) R$ ,00 (B) R$ ,00 (C) R$ ,00 (D) R$ ,00 (E) R$ ,00 Resolução: Primeiro investimento: o capital é de R$ ,00, o prazo é de seis meses e o montante é R$ Precisamos calcular a taxa de juros. Logo: = = = 900 = = 900 = = = 1,5% Como o prazo utilizado na fórmula está em meses, esta taxa também é ao mês. A taxa é de 1,5% ao mês. Segundo investimento: o capital é de R$ ,00, o prazo é de cinco meses, a taxa é de 3% ao mês (o dobro da primeira aplicação). Pergunta-se o montante. Gabarito: A = = ,03 5 = = + = = Questão 6 IRB 2006 [ESAF] Um capital de 1000 unidades monetárias foi aplicado durante um mês a 3% ao mês, tendo o montante ao fim do mês sido reaplicado no segundo mês a 4% ao mês e o montante ao fim do segundo mês sido reaplicado no terceiro mês a 5% ao mês. Indique o montante ao fim do terceiro mês. a) b) 1 124,76 Prof. Vítor Menezes 11

12 c) d) 1 116,65 e) Resolução: São três investimentos separados. No primeiro, o capital inicial é de 1.000, a taxa é de 3% (ao mês) e o prazo é de 1 mês. Repare que a taxa está ao mês e o prazo também está em meses. Já podemos aplicar a fórmula para achar o montante: = 1 + = ,03 = ,03 = O montante obtido foi de R$ 1.030,00. Encerrado o primeiro investimento, pegamos todo este valor (1.030) e reaplicamos em um segundo investimento. Portanto, para o segundo investimento, o capital inicial será de R$ 1.030,00. A taxa é de 4% (ao mês) e o prazo é de 1 mês. O montante obtido com o segundo investimento é: = 1 + = ,04 = ,04 = 1.071,20 O montante obtido, ao final do segundo investimento, foi de R$ 1.071,20. Encerrado o segundo investimento, pegamos todo este valor (1.071,20) e reaplicamos em um terceiro investimento. Portanto, para o terceiro investimento, o capital inicial é de R$ 1.071,20. A taxa é de 5% (ao mês). E o período é de 1 mês. O montante ao final do terceiro mês fica: Gabarito: B = 1 + = 1.071, ,05 = 1.124,76 Questão 7 AFRF 2002 [ESAF] Uma conta no valor de R$ 2.000,00 deve ser paga em um banco na segunda-feira, dia 8. O não pagamento no dia do vencimento implica uma multa fixa de 2% sobre o valor da conta mais o pagamento de uma taxa de permanência de 0,2% por dia útil de atraso, calculada como juros simples, sobre o valor da conta. Calcule o valor do pagamento devido no dia 22 do mesmo mês, considerando que não há nenhum feriado bancário no período. a) R$ 2.080,00 b) R$ 2.084,00 Prof. Vítor Menezes 12

13 c) R$ 2.088,00 d) R$ 2.096,00 e) R$ 2.100,00 Resolução: Por enquanto, vamos esquecer a multa. A taxa de juros é de 0,2% (por dia útil). O capital inicial é de R$ 2.000,00. Queremos saber o montante. Note que aqui não temos nem empréstimo, nem um investimento. É o pagamento de uma conta em atraso. O pagamento deveria ser feito no dia 8. Só que atrasamos o pagamento. Ou seja, estamos retendo o dinheiro de outra pessoa por um período indevido. Por conta disto, esta pessoa cobra juros (de mora). Para aplicar a fórmula, precisamos do prazo. A taxa está ao dia útil. Temos que saber quantos dias úteis se passaram. Vamos montar um minicalendário : Seg Ter Qua Qui Sex Sab Dom Em vermelho temos os dias de atraso. São 10 dias úteis. O montante fica: = 1 + = ,2% = Portanto, o montante pago no dia 22 seria de R$ 2.040,00 Seria se não fosse por um detalhe. Além dos juros cobrados ao dia há uma multa. Esta multa é de 2% sobre o valor da conta. A multa é de: Assim, no dia 22, pagaremos: Gabarito: A 2% de R$ 2.000,00 = 2% = = Conversões de prazo Como vimos, a aplicação da fórmula de juros simples depende de uma coerência entre as unidades de tempo e da taxa. Se o prazo estiver em meses e a taxa estiver ao ano, não podemos aplicar a fórmula. Antes, precisamos converter pelo menos uma das grandezas. Prof. Vítor Menezes 13

14 Por hora, vamos nos concentrar no prazo. Já vimos que para a conversão de prazo basta aplicar a regra de três. Exemplo 2 João empresta a Pedro R$ 1.000,00 durante um período de 12 meses a uma taxa de 30% ao ano (juros simples). Qual o rendimento obtido por João? Resolução: O período é de doze meses (n=12). A taxa é de 30% (i=30%). E o capital é de R$ 1.000,00 (C=1000) Aplicando a fórmula: Certo??? = = 12 0, = Errado!!! Repare que a taxa está ao ano e o prazo está em meses. Para podermos aplicar a fórmula, tanto a taxa quanto o prazo têm que estar na mesma unidade. Como a taxa está ao ano, vamos passar o prazo para anos. Doze meses é o mesmo que um ano. Ficamos então com um capital de R$ 1.000,00, aplicado por 1 ano, a uma taxa de 30% ao ano. Pronto, agora a taxa está ao ano e o prazo também está em anos. = = 1 0, = 300 Resposta: O rendimento (=juros) conseguido por João é de R$ 300,00. Questão 8 ANCINE 2006 [CESPE] O cálculo financeiro é relevante, tendo em vista as tarefas de escolha de melhores opções de uso do dinheiro. Acerca de matemática financeira, julgue os itens seguintes É 110% ao ano a taxa que, em 3 anos e 4 meses, fará quintuplicar de valor um capital aplicado a juros simples. Resolução. Prof. Vítor Menezes 14

15 Observem que a taxa está ao ano e o prazo é de 3 anos e 4 meses. Para podermos aplicar as fórmulas, as unidades devem coincidir. Vamos passar o prazo para anos. Prazo: 3 anos + 4 meses. Precisamos saber a quantos anos correspondem 4 meses. Basta fazer regra de três. Multiplicando cruzado: 4 meses correspondem a 1/3 de ano. Assim, o prazo é de dez terços de ano. Agora sim, podemos aplicar a fórmula: 1 ano meses x anos meses. 4 1 = 12 = 4 12 = anos + 1/3 anos = 10/3 anos = (1 + ) O montante é cinco vezes o capital (informação dada na questão): 5 = = = 10 3 = 3 4 = 1,2 = 120% 10 Gabarito: errado. Questão 9 SEFAZ SP 2009 [FCC] Uma pessoa aplicou um capital em um Banco que remunera os depósitos de seus clientes a uma taxa de juros simples de 12% ao ano. Completando 6 meses, ela retirou o montante correspondente a esta aplicação e utilizou R$ ,00 para liquidar uma dívida nesse valor. O restante do dinheiro, aplicou em um outro Banco, durante um ano, a uma taxa de juros simples de 1,5% ao mês. No final do período, o montante da segunda aplicação apresentou um valor igual a R$ ,60. A soma dos juros das duas aplicações é igual a Prof. Vítor Menezes 15

16 (A) R$ ,00 (B) R$ 8.506,80 (C) R$ 7.204,40 (D) R$ 6.933,60 (E) R$ 6.432,00 Pancada!!! Resolução: Não é uma questão impossível, mas é bem chatinha de fazer lá no dia da prova, com o relógio jogando contra, mais a pressão do momento. Como são dois investimentos diferentes, vou diferenciar os símbolos de capital, montante e taxa. M 1, C 1, n 1 e i 1 são o montante, o capital, o prazo e a taxa para o primeiro investimento. M 2, C 2, n 2 e i 2 são o montante, o capital, o prazo e a taxa para o segundo investimento. Primeiro investimento: o capital é desconhecido, a taxa é de 12% ao ano e o prazo é de seis meses. Note que a taxa está ao ano e o prazo está em meses. Não podemos aplicar a fórmula ainda. Antes, precisamos tornar as unidades do prazo e da taxa coerentes entre si. Vamos passar o prazo, que está em meses, para anos. Um ano corresponde a doze meses. Quantos anos correspondem a seis meses? Basta fazer regra de três: Multiplicando cruzado: O prazo é de 0,5 anos. Agora sim já podemos aplicar a fórmula. 1 ano meses x anos meses 1 6 = 12 = 6 12 = 0,5 = 1 + = 1 + 0,5 0,12 = 1,06 Prof. Vítor Menezes 16

17 Passados os seis meses, a pessoa retira R$ ,00 para pagar uma dívida. A quantia restante é: 1, Esta quantia é aplicada durante um ano (=12 meses), a uma taxa de 1,5% ao mês. O montante assim obtido foi de R$ ,60. = ,60 = (1, ) 1 + 0, ,60 = (1, ) 1,18 1, = ,60 1,18 1,06 = = ,06 = Ou seja, a pessoa partiu de R$ ,00 e obteve: - R$ ,00 usados para pagar a dívida - R$ ,60 que sobraram no final da aplicação. Total: ,60. = A diferença entre o valor total obtido e o capital inicial corresponde ao juro obtido com as duas aplicações. Gabarito: D = , = 6.933, Juros exatos, bancários e comerciais Quando a conversão de prazo envolver a contagem de dias, aí nós temos uma série de detalhes a que temos que nos atentar. Considere a seguinte transformação: queremos converter um prazo de 1 ano em meses. Como fazer? Bem, sabemos que 1 ano tem 12 meses. É imediato. Sem dificuldades, certo? Ok, isso aconteceu porque a conversão não envolveu o número de dias. Considere agora outra situação. Queremos converter o prazo de 1 mês em dias. De outro modo: quantos dias há em um mês? Bom, agora as coisas mudam. Temos várias opções. Um mês pode ter 30 dias. Pode também ter 31. Ou até mesmo 28. Assim como 1 ano pode ter 365 dias ou 366 (se for bissexto). Quando a conversão de prazo envolver o número de dias, podemos ter diversas convenções. São elas: juro exato: considera o ano civil (365 dias ou 366, se for bissexto) Prof. Vítor Menezes 17

18 juro comercial ou ordinário: considera o ano comercial (360 dias); se o exercício for omisso, consideramos juro comercial. juro bancário: mistura dos dois anteriores. No juro exato, nós contamos os dias como se estivéssemos olhando um calendário. O ano terá 365 dias (ou 366, se for bissexto). Os meses de janeiro, março, maio, julho, agosto, outubro e dezembro terão 31 dias. Fevereiro terá 28 dias (ou 29, se o ano for bissexto). Os demais meses terão 30 dias. No juro comercial, consideramos que qualquer mês terá 30 dias (mesmo que seja fevereiro). E consideramos que qualquer ano terá 360 dias. Vejamos como fica por meio de um exemplo. Exemplo 3 Um capital de R$ ,00 é investido a uma taxa de juros simples de 10% ao ano, do dia 21/3/5 ao dia 9/6/5. Qual o montante obtido, considerando: a) juros exatos b) juros comerciais c) juros bancários Resolução: a) Nos juros exatos, contamos os dias como se estivéssemos consultando um calendário. Assim, temos: Agora podemos fazer a regra de três. Multiplicando cruzado: a dias a dias a dias a dias Total 80 dias Dias Ano x = = 80 = Esse é o nosso prazo, em anos. Agora podemos aplicar a fórmula: = 1 + Prof. Vítor Menezes 18

19 = ,10 = b) Nos juros comerciais, consideramos que todos os meses têm 30 dias e o ano tem 360 dias. Esta é a contagem usual. Se o exercício não disser nada, pode supor que se trata de juros comerciais. Agora podemos fazer a regra de três a dias a dias a dias a dias Total 78 dias Dias Ano x = = 78 = Esse é o nosso prazo, em anos. Agora podemos aplicar a fórmula: = 1 + = ,1 = , c) Nos juros bancários, nós fazemos o seguinte. Nós contamos os dias como se estivéssemos olhando num calendário. É exatamente a mesma contagem que vimos lá nos juros exatos. Fica assim: a dias a dias a dias a dias Total 80 dias Ok, até aqui, sem novidades. O detalhe é que, na hora de fazer a regra de três, consideramos que o ano tem 360 dias. Estranho não? Pois é. Ficou uma mistura dos dois métodos anteriores. Fazendo a regra de três: Prof. Vítor Menezes 19

20 Dias Ano x = = 80 = Esse é o nosso prazo, em anos. Agora podemos aplicar a fórmula: = 1 + = ,1 = Observem que os juros bancários forneceram o maior montante. Isto ocorre porque esse método dá um jeito de esticar o prazo. Ele coloca no denominador o menor número possível (360). E no numerador coloca o maior número possível (aquele resultante da contagem no calendário). Com isso, o prazo em anos será maior que o obtido pelos demais métodos (salvo uma raríssima exceção em que a contagem de prazo passe pelo final de fevereiro, de modo que a contagem dos dias no calendário será menor que a contagem do ano comercial). Questão 10 SEFAZ-RJ 2008 [FGV] Um capital é aplicado durante 120 dias a uma taxa de juros simples ordinário de 15% ao ano, produzindo um montante de R$ 8.400,00. Nestas condições, o capital aplicado, desprezando os centavos, é: a) R$ 6.500,00 b) R$ 7.850,00 c) R$ 8.017,00 d) R$ 8.820,00 e) R$ 8.000,00 Resolução: O exercício nos dá o prazo em dias e a taxa em anos. Dessa forma, não podemos aplicar de cara a fórmula para juros simples. Temos que colocar o prazo e a taxa nas mesmas unidades. Vemos também que o exercício nos diz que se trata de juros simples ordinário. Isto significa que devemos considerar que todos os 12 meses possuem 30 dias cada um e que o ano possui 360 dias. Vamos transformar o prazo de dias para anos. Prof. Vítor Menezes 20

21 Dias Ano x = 1 = = 1 3 Então nosso prazo de é 1/3 de ano e a taxa é de 15% ao ano. Agora podemos aplicar a fórmula dos juros simples. Vejam que nos foi dado o valor do Montante (o valor final) e nos foi pedido o valor do Capital aplicado (o capital inicial). Portanto, o capital inicial foi de R$ 8.000,00. Gabarito: E. = = , = 1,05 = ,05 = Questão 11 SEFAZ/CE 2006 [ESAF] Qual o capital que aplicado a juros simples à taxa de 2,4% ao mês rende R$ 1.608,00 em 100 dias? a) R$ ,00. b) R$ ,00. c) R$ ,00. d) R$ ,00. e) R$ ,00. Resolução: Diante da omissão da questão, vamos usar os juros comerciais. Sabemos que a taxa é de 2,4% ao mês, o juro é de R$ 1.608,00 e o prazo é de 100 dias. Repare que o prazo está em dias e a taxa está ao mês. Ainda não podemos aplicar a fórmula. Vamos passar o prazo para meses. Fazendo a regra de três: Prof. Vítor Menezes 21

22 Dias Meses x = 1 30 = = 10 3 Pronto, agora o nosso prazo, em meses, é de 10/3. Aplicando a fórmula, temos: = 1608 = ,4% = ,4% = Gabarito: B. Questão 12 SEFAZ PB 2006 [FCC] Certas operações podem ocorrer por um período de apenas alguns dias, tornando conveniente utilizar a taxa diária e obtendo os juros segundo a convenção do ano civil ou do ano comercial. Então, se um capital de R$ ,00 foi aplicado por 5 dias à taxa de juros simples de 9,3% ao mês, em um mês de 31 dias, o módulo da diferença entre os valores dos juros comerciais e dos juros exatos é: a) R$ 7,50 b) R$ 15,00 c) R$ 22,50 d) R$ 30,00 e) R$ 37,50 Resolução: Contagem pelos juros exatos: Multiplicando cruzado: 1 mês dias x meses dias 31 = 5 = 5 31 Prof. Vítor Menezes 22

23 Contagem pelos juros comerciais: A diferença entre os prazos é: 1 mês dias y meses dias 30 = 5 = = = = = A diferença entre os juros corresponde à incidência da taxa de 9,3% ao mês, durante o prazo de 1/186 meses. Gabarito: A 9,3% = = 7, Taxas equivalentes em juros simples Duas taxas são equivalentes quando, aplicadas sobre um mesmo capital, durante um mesmo período, produzem os mesmos juros (ou os mesmos montantes). É a equivalência de taxas que nos permite passar uma taxa que está ao ano para outra, ao semestre (ou ao mês, ao bimestre, etc). Quando mudamos a unidade da taxa, temos que garantir que a nova taxa obtida seja equivalente à que lhe deu origem, de forma a não alterar o montante final. No caso do regime simples, para achar tachas equivalentes, basta a aplicação da regra de três. Exemplo 4 Uma taxa de juros simples de 4% ao bimestre equivale a qual taxa trimestral? Resolução: Duas taxas são equivalentes quando, aplicadas sobre um mesmo capital, durante o mesmo tempo, produzem juros iguais. Vimos que, no caso de juros simples, vale a regra de três. Em 2 meses (=1 bimestre), a taxa é de 4%. Em três meses (=1 trimestre), a taxa é de x Prof. Vítor Menezes 23

24 Taxa Meses 4% 2 x 3 4% = = 3 4% = 6% Concluímos que a taxa de 4% ao bimestre equivale à taxa de 6% ao trimestre. Vamos fazer um teste? Vamos aplicar R$ 1.000,00, durante um ano, num investimento que rende 4% ao bimestre (juros simples). Qual o rendimento conseguido? O prazo está em anos e a taxa está ao bimestre. Ainda não podemos aplicar a fórmula. Podemos considerar que 1 ano é o mesmo que 6 bimestres. Ficamos com: = = 6 0, = 240 Ok, agora vamos fazer outro investimento. Aplicamos R$ 1.000,00, durante 1 ano, em um investimento que rende 6% ao trimestre (juros simples). Qual o rendimento conseguido? O prazo está em anos e a taxa é ao trimestre. Ainda não podemos aplicar a fórmula. Podemos considerar que 1 ano é igual a 4 trimestres. = = 4 0, = 240 Os dois investimentos, a partir de um capital de R$ 1.000,00, aplicado durante 1 ano, produzem o mesmo rendimento. Exatamente por este motivo a taxa de 4% ao bimestre é equivalente à taxa de 6% ao trimestre. Antes de entrarmos nos exercícios, é importante dizer que é muito comum as questões escreverem os períodos das taxas assim: 1% a.m. = 1% ao mês; 2% a.a. = 2% ao ano; 3% a.b = 3% ao bimestre; 4% a.t. = 4% ao trimestre; 5% a.s. =5% ao semestre. Prof. Vítor Menezes 24

25 Questão 13 BANCOP 2007 [CESPE] Suponha que um capital C aplicado por 12 meses à taxa de juros simples de i% ao mês se transforme em um montante de R$ ,00. Esse mesmo capital aplicado à mesma taxa, no mesmo regime de juros, mas por 6 meses se transforma em um montante de R$ ,00. Nessa situação, a taxa anual equivalente à taxa de i% é A inferior a 37%. B superior ou igual a 37% e inferior a 40%. C superior ou igual a 40% e inferior a 43%. D superior ou igual a 43% e inferior a 46%. E superior ou igual a 46%. Resolução. O montante conseguido ao final de 6 meses é de ,00. O montante conseguido ao final de 12 meses é de ,00. M 12 = M = A diferença entre ambos é justamente o juro que se consegue no período de 6 meses. Logo, num período de 6 meses o juro obtido é de: J 6 = = O enunciado informa que este capital, aplicado a uma taxa i ao mês, durante 6 meses, se transforma em um montante de R$ ,00. C =? ; n = 6; i =? ; M = Já vimos que, neste período de 6 meses, o juro é de Com isso, podemos achar o capital: Agora, aplicamos a fórmula dos juros: M = C = C C = J = Cin J = i 6 i = 1 = 25 A taxa é de 4%. Como o prazo trabalhado foi de 6 meses, então a taxa é ao mês. Dizemos que a taxa de juros é de 4% ao mês. Outra forma de representar isso é escrevendo 4% a.m. 4% Só que o exercício pergunta sobre a taxa anual equivalente. Prof. Vítor Menezes 25

26 Duas taxas são equivalentes quando, aplicadas sobre um mesmo capital, durante o mesmo período de tempo, produzem o mesmo montante. Em juros simples, para achar taxas equivalentes, basta aplicar regra de três. Isto ocorre porque, em juros simples, a taxa é proporcional ao número de períodos. Temos: Fazendo a regra de três: 4% correspondem a 1 mês Qual a taxa que corresponde a 12 meses (=1 ano)? taxa número de meses 4% 1 x 12 As grandezas são diretamente proporcionais. Logo: 4% 1 = x = 48% (ao ano) x 12 Dizemos que a taxa de 4% ao mês é equivalente à taxa de 48% ao ano. Vamos checar se elas são mesmo equivalentes. Para tanto, considere um capital de R$ 1,00, aplicado a uma taxa de 4% ao mês, durante 12 meses. O montante obtido será: M = C ( 1 + ni) M = 1 (1 + 0,04 12) = 1,48 Agora, considere o mesmo capital de R$ 1,00, aplicado a uma taxa de 48% ao ano, durante 1 ano. O montante obtido será: O montante foi o mesmo, nos dois casos. M = C ( 1 + ni) M = 1 (1 + 0,48 1) = 1,48 Por isso dizemos que as taxas em questão são equivalentes. Aplicamos o mesmo capital de R$ 1,00, durante o mesmo período de um ano (=12 meses) e obtivemos o mesmo montante. Gabarito: E Questão 14 GDF SEPLAG 2009 [UNIVERSA] Uma empresa aplicou, em uma instituição financeira, R$ ,00, resgatando R$ ,00 quatro meses depois. Assinale a alternativa que determina a taxa de juros simples equivalente, auferida nesta aplicação. (A) 6% ao trimestre. (B) 4% ao quadrimestre. (C) 22 % ao ano. Prof. Vítor Menezes 26

27 (D) 10% ao semestre. (E) 1,5% ao mês. Resolução. Dados da questão: Ficamos com: = ,00; = ,00; = 4 (meses) = = ,08 = ,08 = 4 = 0,02 Como o prazo utilizado está em meses, a taxa obtida é mensal. Resposta: a taxa é de 2% ao mês. Olhando as alternativas, vemos que não há qualquer uma com 2% ao mês. Cada alternativa apresenta um período diferente. Vamos ter que testar uma a uma. A letra e diz que a taxa é de 1,5% ao mês. Isto está errado. Já vimos que a taxa ao mês é de 2%. Vamos agora calcular a taxa ao trimestre. Basta fazer uma regra de três. (A) 6% ao trimestre. (B) 4% ao quadrimestre. (C) 22 % ao ano. (D) 10% ao semestre. (E) 1,5% ao mês. Para agilizar as contas, vamos pensar assim. Quando passamos de um mês para um trimestre, o intervalo de tempo é triplicado. Assim, a taxa aumentará na mesma proporção (grandezas diretamente proporcionais). A taxa também será triplicada. Logo, a taxa ao trimestre será de: 2% 3 = 6%(ao trimestre) A taxa é de 6% ao trimestre, valor expresso na letra A. Gabarito: A Prof. Vítor Menezes 27

28 Apesar de já sabermos a resposta correta, vamos testar as demais alternativas. Para achar a taxa ao quadrimestre, basta multiplicarmos a taxa mensal por 4. A taxa ao quadrimestre é de: 4 2% = 8% A letra B está errada pois afirma que a taxa ao quadrimestre é de 4%. Para achar a taxa ao semestre, basta multiplicarmos a taxa mensal por 6. A taxa ao semestre é de: 6 2% = 12% Finalmente, para achar a taxa ao ano, basta multiplicar por 12: 2% 12 = 24% Questão 15 AFRFB 98 [ESAF] Indique, nas opções abaixo, qual a taxa unitária anual equivalente à taxa de juros simples de 5% ao mês. a) 60,0 b) 1,0 c) 12,0 d) 0,6 e) 5,0 Resolução: Temos uma taxa de juros simples de 5% ao mês. Queremos converter esta taxa para anual. Como são juros simples, basta fazer a regra de três. Em 1 mês, a taxa é de 5% Em 12 meses, a taxa é de X % X Multiplicando cruzado: 1 = 5% 12 = 60% Ou seja, a taxa é de 60%. Aí vamos nós e marcamos letra A. Certo??? Errado!!! Prof. Vítor Menezes 28

29 60% não é a mesma coisa que 60. Lembrem-se que o símbolo % indica que o número está sendo dividido por 100. Portanto: Gabarito: D. 60% = = 0,6 Tanto faz, escrever 60% ou 0,6. Quando escrevemos 60%, dizemos que a taxa está escrita na forma percentual. Quando escrevemos 0,6 (sem o símbolo de porcentagem), dizemos que a taxa está na forma unitária. Questão 16 SEFAZ SP 2009 [ESAF] Um capital unitário aplicado a juros gerou um montante de 1,1 ao fim de 2 meses e 15 dias. Qual a taxa de juros simples anual de aplicação deste capital? a) 4% b) 10% c) 60% d) 54% e) 48% Resolução: O prazo é de 2,5 meses (=2 meses e meio), o capital é unitário, o montante é igual a 1,1. Ficamos com: = 1 + 1,1 = ,5 2,5 = 1,1 1 = 0,1 2,5 Multiplicando numerador e denominador por 4: A taxa mensal é de 4%. A taxa anual, portanto, é de 4% 12 = 48% Gabarito: E = 0,4 10 = 4% 2.7. Capital, taxa e prazo médio Prof. Vítor Menezes 29

30 Considere que tenhamos vários investimentos. Cada um deles é feito a uma dada taxa de juros, durante um dado prazo, a partir de capitais diferentes. Existem situações em que estamos interessados em descobrir qual a taxa média de juros que estamos conseguindo em nossos investimentos. O que seria essa tal taxa média? É uma taxa que poderia substituir todas as taxas iniciais, de forma que o total dos juros não se altere. Assim, se aplicarmos todos os nossos investimentos a uma taxa igual à taxa média, o juro total não se altera. Com raciocínios semelhantes, além da taxa média, podemos pensar também em capital médio e prazo médio. Assim, poderíamos substituir todos os capitais acima referidos por um capital único, que vá produzir o mesmo juro da situação inicial. Este é o capital médio. Por fim, podemos substituir todos os prazos por um prazo único, de tal forma que o juro não se altera. Este seria o prazo médio. Vamos ver como fica, por meio de um exemplo. Antes de entrarmos no exemplo, vamos relembrar o que é uma média ponderada. Média ponderada A média ponderada é uma variação da média aritmética. Vamos ver do que se trata por meio de um exemplo. Num curso, o aluno faz quatro provas. A sua nota final é a média dessas quatro provas. Suponha que suas notas foram: 10, 9, 7, 6. A nota final fica: NF = = 8 4 Ok, até aqui nenhuma novidade. Fizemos a média aritmética normal. Esse mesmo aluno faz outro curso, em que são aplicadas apenas duas provas. Suas notas são: 9,5 e 7,5. A média aritmética dessas notas fica: 9,5 + 7,5 = 8,5 2 Só que, nesse segundo curso, a nota final não é calculada simplesmente por meio da média aritmética. Isso porque a primeira prova é de múltipla escolha. A segunda é discursiva. Como a segunda prova é mais complicada, mais difícil, ela vale mais. Ela tem peso três. A primeira prova, mais simples, tem peso 1. O que significa isso? Significa que, na hora de calcular a nota final, a segunda prova vale três vezes mais. A nota final, nesse segundo curso, é igual a: 1 9, ,5 NF ' = = 8 4 Prof. Vítor Menezes 30

31 É como se a segunda prova fosse triplicada. É como se estivéssemos, na verdade, fazendo uma média aritmética entre os valores 9,5; 7,5; 7,5; 7,5. Triplicamos a segunda nota porque ela tem peso 3. peso da primeira nota peso da segunda nota NF 1 ' = 4 ( 1 9, ,5 ) soma dos pesos (=1+3) primeira nota segunda nota A nota final, neste segundo curso, é uma média ponderada das notas das duas provas. Ok, visto isso, vamos ao exemplo de taxa média, capital médio e prazo médio. Exemplo 5 Considere os dois investimentos abaixo (todos aplicados num regime de juros simples): R$ 100,00 aplicados durante 2 meses, a uma taxa de 2% ao mês; R$ 200,00 aplicados durante 3 meses, a uma taxa de 1% ao mês; Calcule: a) a taxa média b) o capital médio c) o prazo médio Resolução: O primeiro passo é calcular qual o juro obtido com os dois investimentos. No primeiro investimento, temos: No segundo investimento, temos: Assim, o juro total obtido é de R$ 10,00. = 100 0,02 2 = 4 = 200 0,01 3 = 6 Prof. Vítor Menezes 31

32 a) Vamos substituir todas as taxas por uma taxa i. Esta taxa i será a taxa média. Ela produzirá, a partir dos capitais iniciais, durante os prazos estabelecidos, o mesmo juro de R$ 10,00. No primeiro investimento, agora temos um capital de 100,00, aplicado durante 2 meses, a uma taxa i. O novo juro fica: = No segundo investimento, agora temos um capital de 200,00, aplicado durante 3 meses, a uma taxa i. = Para que a i seja a taxa média, o juro total produzido deve permanecer igual a 10,00. Ou seja: = = 10 = 1,25% Resposta: a taxa média é de 1,25%. É uma taxa que substitui todas as outras, produzindo o mesmo juro total. Se, em vez de substituirmos os valores, tivéssemos mantido as expressões originais até o final, teríamos obtido a seguinte expressão para a taxa média: = % % (200 3) Ou seja, a taxa média é simplesmente uma média ponderada das taxas individuais. E os pesos de ponderação são os produtos. b) Vamos substituir todos os capitais por um capital único, igual a C, de tal forma que o juro total não se altere. Este capital C será o capital médio. No primeiro investimento, ficamos com um capital C, investido durante 2 meses, a uma taxa de 2% ao mês. = (0,02 2) No segundo investimento, ficamos com um capital C, aplicado durante 3 meses, a uma taxa de 1% ao mês. = (0,01 3) Para que C seja o capital médio, o juro total deve se manter. O capital médio é de R$ 142,88. 0,04 + 0,03 = 10 = 10 0,07 142,88 Se tivéssemos mantido as expressões originais até o final, teríamos obtido o seguinte valor para o capital médio: Prof. Vítor Menezes 32

33 = 0, , , (0,01 3) O capital médio é uma média ponderada dos capitais individuais. Os pesos de ponderação são os produtos. c) Vamos agora ao prazo médio. Vamos substituir todos os prazos por um prazo n, de tal forma que o juro total não se altere. Esse será o prazo médio. Os juros ficam: = 100 0,02 = 2 = 200 0,01 = 2 Para que o juro total não se altere, devemos ter: O prazo médio é de 2,5 meses = 10 = 10 4 = 2,5 Se tivéssemos mantido as expressões originais, teríamos chegado a: = 0, , , (0,01 200) O prazo médio é uma média ponderada dos prazos individuais, onde os pesos de ponderação são os produtos. Questão 17 AFRF 2003 [ESAF] Os capitais de R$ 2.500,00, R$ 3.500,00, R$ 4.000,00 e R$ 3.000,00 são aplicados a juros simples durante o mesmo prazo às taxas mensais de 6%, 4%, 3% e 1,5%, respectivamente. Obtenha a taxa média mensal de aplicação destes capitais. a) 2,9% b) 3% c) 3,138% d) 3,25% e) 3,5% Resolução. A taxa média é uma média ponderada das taxas originais. Os pesos de ponderação são os produtos. = 6% % % ,5% (3.000 ) Podemos dividir o denominador e o numerador por n: Prof. Vítor Menezes 33

34 = A taxa média é de 3,5%. Gabarito: E 6% % % ,5% (3.000) = = = 3,5% Questão 18 SEFAZ PA 2002 [ESAF] Três capitais nos valores de R$ 1.000,00, R$ 2.000,00 e R$ 4.000,00 são aplicados respectivamente às taxas de 5,5%, 4% e 4,5% ao mês, durante o mesmo número de meses. Obtenha a taxa média mensal de aplicação destes capitais. a) 3,5% b) 4% c) 4,25% d) 4,5% e) 5% Resolução: A taxa média é uma média das taxas individuais. Os pesos de ponderação são os produtos. = 5,5% % ,5% Dividindo numerador e denominador por n : Gabarito: D 5,5% % ,5% = = = = 4,5% Questão 19 AFRF [ESAF] Os capitais de R$ 2.000,00, R$ 3.000,00, R$ 1.500,00 e R$ 3.500,00 são aplicados à taxa de 4% ao mês, juros simples, durante dois, três, quatro e seis meses, respectivamente. Obtenha o prazo médio de aplicação destes capitais. a) quatro meses b) quatro meses e cinco dias c) três meses e vinte e dois dias Prof. Vítor Menezes 34

35 d) dois meses e vinte dias e) oito meses Resolução: O prazo médio é uma média ponderada dos prazos individuais. Os pesos de ponderação são os produtos Como as taxas são todas de 4%, no final das contas, os pesos de ponderação serão apenas os capitais. = O prazo médio é de 4 meses. Gabarito: A = 4 3. DESCONTO SIMPLES Quando estudamos porcentagem, vimos como calcular uma redução percentual. Exemplo: se um produto custa 100,00 e conseguimos uma redução de 10%, o produto passa a custar 90,00. Este procedimento está intimamente relacionado ao cálculo do desconto: trata-se da redução de um determinado valor. No caso, este tipo de cálculo acima descrito corresponde ao desconto comercial simples. Aqui veremos dois tipos de desconto: o desconto comercial simples e o desconto racional simples. Embora no nosso dia a dia o desconto comercial seja o mais comum, veremos que é o desconto racional que merece maior atenção. Ele é mais importante, digamos assim, pois sua fórmula guarda correspondência com a fórmula dos juros simples Desconto racional simples Geralmente nós associamos o desconto à redução do preço de uma mercadoria em virtude de um pedido do cliente ( barganha, choro, pechincha ). Este, sem dúvidas, é um possível entendimento. Aqui, contudo, o sentido em que estamos interessados é outro. Para gente, o desconto ainda vai significar a redução de um valor (de uma dívida, por exemplo). Mas a redução está associada ao pagamento antecipado da dívida. Podemos pensar que o desconto corresponde ao juro que se deixa de pagar, devido à antecipação de pagamento. A este tipo de desconto, que corresponde aos juros que se deixam de pagar, chamamos de desconto racional. Se o regime for simples, teremos juros simples correspondendo ao Prof. Vítor Menezes 35

36 desconto racional simples. Se o regime for composto, teremos juros compostos correspondendo ao desconto racional composto. Além destes, há o desconto comercial (que pode ser simples ou composto). O desconto comercial, por sua vez, não guarda correspondência com os juros, como veremos mais adiante. Exemplo 6 Pedro pegou um dinheiro emprestado com João. Os dois combinaram que a dívida seria quitada em 15/12. O valor da dívida, nesta data, seria de R$ 1.300,00, incluindo principal mais juros. Contudo, em 15/10, Pedro consegue um dinheirinho a mais, suficiente para quitar a dívida com João. Os dois acertam uma taxa de desconto racional simples de 2% ao mês. Nestas condições, qual o valor que quita a dívida, em 15/10? Resolução. Este é um problema típico de desconto. Aqui temos uma situação contrária à vista com os juros. No problema de juros visto lá no começo da aula (Exemplo 1 fl. 7), Pedro usou o dinheiro de João por um certo tempo. Por conta disto, pagou juros. O juro é uma remuneração pelo dinheiro emprestado. Aqui, novamente, Pedro está com o dinheiro de João. Portanto, está pagando juros. O total da dívida, em 15/12, será de R$ 1.300,00. Contudo, Pedro consegue dinheiro para quitar a dívida já em outubro, com dois meses de antecedência. Ora, se Pedro está pagando antes, então ele vai ficar menos tempo com o dinheiro de João. Portanto, terá o direito de pagar menos juros. Daí vem o desconto. Desconto é o juro que se deixa de pagar. Na verdade, no regime simples esta afirmação não é realmente verdadeira. Ela é quase verdadeira No regime composto (juros e descontos compostos) ela já se torna 100% correta. Quando estudarmos o desconto composto, falaremos mais a respeito. Então é isso. Pedro vai pagar com dois meses de antecedência. Portanto, vai pagar menos, pois está ficando menos tempo com o dinheiro de João. Alguns nomes especiais. O valor final da dívida (se ela fosse paga na data inicialmente combinada, ou seja, 15/12) costuma receber o nome de Valor Nominal ( N ). A quantia paga em 15/10 recebe o nome de Valor Atual ( A ). A diferença entre o Valor Nominal e o Valor Atual é o Desconto ( D ) A fórmula envolvida é: = 1 + Onde: Prof. Vítor Menezes 36

37 A é o valor atual (valor da dívida em 15/10; neste exemplo, é o valor que queremos calcular) N é o valor nominal (valor da dívida em 15/12; neste caso, é igual a R$ 1.300,00). n é o número de períodos de antecipação (o pagamento é antecipado em dois meses; portanto n = 2) i é a taxa de desconto (neste exemplo, é igual a 2%, ou 0,02) Substituindo os valores ficamos com: = = 1 + 0,02 2 = ,04 = Portanto, o valor que quita a dívida em 15/10 é de R$ 1.250,00. Vamos calcular o desconto conseguido por Pedro. = = = 50 Pedro consegue um desconto de R$ 50,00, por ter feito o pagamento antecipado. Acima vimos a fórmula do valor atual. Ela é mais conhecida, pois, em geral, a grandeza que seja deseja calcular é justamente o valor atual. Mas nada impede de isolarmos o valor nominal: = 1 + = (1 + ) A partir da fórmula do valor nominal podemos chegar em outra fórmula para o desconto: = = 1 + = + = O desconto racional também pode ser chamado de desconto por dentro. Mais alguns comentários sobre os termos que acabamos de estudar. O valor nominal é a quantia devida ao final do prazo pactuado, na data de vencimento da operação. Quando a operação envolve o resgate de um título, o valor nominal também pode ser chamado de valor de face. O valor atual é a quantia devida em instante anterior à data de vencimento da operação. Também pode ser chamado de valor presente. Prof. Vítor Menezes 37

38 O desconto é a quantia que deve ser deduzida do valor nominal para a obtenção do valor atual. Ele ocorre justamente em função do pagamento antecipado da dívida (ou do resgate antecipado de um título). TOME NOTA!!! Fórmulas para o desconto racional simples (ou desconto por dentro) = 1 + (vale só para desconto racional simples) = (vale para qualquer tipo de desconto) = (decorrente das duas anteriores, vale só para desconto racional simples Exemplo 7 Vamos dar continuidade ao problema anterior. Suponha que Pedro pagou os R$ 1.250,00 ao João, no dia 15/10, às 10 horas da manhã, quitando assim sua dívida. Pois bem, nesse mesmo dia, à tarde, Mário, o irmão de Pedro, foi preso. Pedro teve que ir pagar a fiança. Por coincidência, a fiança era exatamente de R$ 1.250,00. Às 16 horas Pedro liga para João e pede emprestado os R$ 1.250,00 que acabara de lhe entregar. João empresta o dinheiro. Os dois combinam uma taxa de juros simples de 2% ao mês. Em 15/12, Pedro quita sua nova dívida com João. Pergunta: qual o valor que, em 15/12, quita a dívida? Resolução: Agora o problema não é mais de desconto. É de juros. Pedro ficou com o dinheiro de João por dois meses e, por conta disto, tem que pagar juros. Os juros pagos são de: = = 2 0, = 50 Portanto, o montante ao final dos dois meses será igual ao capital inicial (=1.250,00) mais os juros de 50,00. = + = = A dívida ficou, em 15/12, novamente igual a R$ 1.300,00 Prof. Vítor Menezes 38

39 V.atual Desconto V. nominal = Observe a correspondência entre juros simples (visto neste exercício) e o desconto racional simples (visto no exercício anterior). Um valor nominal de 1.300, sofrendo um desconto racional simples de 2% ao mês, durante dois meses, resulta num valor atual de E um capital de 1.250, rendendo juros simples de 2% ao mês, durante dois meses, resulta em um montante de Por isso dizemos que as fórmulas de juros simples e desconto racional simples são correspondentes. Para deixar mais claro, observem o procedimento a seguir. Vamos partir da fórmula do montante de uma aplicação sob juros simples: Agora vamos trocar os nomes. = 1 + No lugar do montante, colocamos o valor nominal. Ambos se referem à quantia de dinheiro lá em 15/12. No lugar do capital, colocamos o valor atual. Ambos se referem à quantia de dinheiro em 15/10. Ficamos com: Isolando o valor atual: Capital Juros Montante = 1 + = 1 + Que é a mesma fórmula vista no exercício anterior. Devido a esta correspondência entre juros e desconto racional, a taxa de juros praticada no desconto racional é também chamada de taxa efetiva. Em outras palavras, a taxa efetiva é a taxa de juros que faz com que um capital de valor A se transforme em um montante de valor N. TOME NOTA!!! A taxa praticada no desconto racional é também chamada de taxa efetiva. Ou ainda: a taxa efetiva é aquela que incide sobre o valor atual e o transforma no valor nominal. Prof. Vítor Menezes 39

40 3.2. Desconto comercial simples Este é outro tipo de desconto, também é chamado de desconto por fora. Ao contrário do desconto racional, a fórmula do desconto comercial não guarda correspondência com a fórmula de juros simples. A fórmula do valor atual (no caso de desconto simples comercial) fica: = (1 ) A partir disso, podemos obter a fórmula do desconto. = = 1 = + = Como já dissemos, os problemas de descontos (sejam comerciais, sejam racionais) estarão relacionados com a antecipação de valores. Pode ser o pagamento de uma dívida de forma antecipada, o resgate antecipado de um título, não importa. Sempre haverá o fator tempo. Sempre haverá uma antecipação! Além desse tipo de desconto, temos aquele do dia a dia do comércio. Aquele fruto da barganha, da pechincha. Esse desconto nós não estudamos aqui em matemática financeira. Melhor dizendo: até pode haver questões abordando este assunto, mas isso não é o foco da matemática financeira: aqui só nos interessamos pelo estudo do dinheiro no tempo (antecipação de dívidas, financiamentos, refinanciamentos, séries de pagamentos etc) Apesar disso, devemos destacar que o cálculo do desconto comercial é idêntico ao cálculo desse desconto do dia a dia. Falamos mais sobre isso no exemplo a seguir. TOME NOTA!!! Fórmulas para o desconto comercial simples (ou desconto por fora) = (1 ) (vale só para desconto comercial simples) = (vale para qualquer tipo de desconto) = (decorrente das duas anteriores, vale só para desconto comercial simples Prof. Vítor Menezes 40

41 Exemplo 8 Pedro pegou um dinheiro emprestado com João. Os dois combinaram que a dívida seria quitada em 15/12. O valor da dívida, nesta data, seria de R$ 1.300,00, incluindo principal mais juros. Contudo, em 15/10, Pedro consegue um dinheirinho a mais, suficiente para quitar a dívida com João. Os dois acertam uma taxa de desconto comercial simples de 2% ao mês. Nestas condições, qual o valor que quita a dívida, em 15/10? Resolução: Questão muito semelhante ao Exemplo 6. A única coisa que mudou foi a forma de se calcular o desconto: de racional para comercial. Aplicando a fórmula do valor atual: E o desconto fica: A = N ( 1 n i) A = 1300 (1 2 0,02) A = 1248 D = = 52 Assim, o valor que quita a dívida em 15/10 é de R$ 1.248,00. E o desconto obtido foi de R$ 52,00. Exemplo 9 Um título de valor de face de R$ 110,00 vence dentro de 1 mês. Considerando uma taxa de desconto de 10% ao mês, calcule o valor atual deste titulo nas seguintes situações: a) considerando desconto comercial b) considerando desconto racional Resolução: a) Aplicando a fórmula: A = N ( 1 n i) A = 110 (1 0,1) = 99 Podemos pensar que foi dado um desconto de 10%, percentual este que incide sobre o valor nominal. Assim, desde que 10 % de 110 é igual a 11, então o desconto dado foi de 11 reais. Este talvez seja a forma de cálculo de desconto mais usual no nosso dia a dia. É a forma a que estamos acostumados. Se chegarmos numa loja em que o produto custa 110,00 e Prof. Vítor Menezes 41

42 pedirmos um desconto de 10%, naturalmente, consideramos que este percentual vai incidir sobre os R$ 110,00. Assim, dizemos que, no desconto comercial, o percentual de desconto incide sobre o valor nominal. b) Aplicando a fórmula: N A = ( 1+ n i) A = 110 = 100 (1,1) Agora a situação mudou. Foi dado um desconto de 10%, percentual este que incide sobre o valor atual. Logo, se o valor atual é igual a 100, então o desconto conseguido é de 10,00 (que corresponde a 10% de 100). Esse tipo de desconto talvez não seja assim tão usual para gente. Mas, em matemática financeira, é o mais importante, pois é o desconto que guarda correspondência com os juros. Agora, algumas dicas para lembrarmos dos nomes. Lá nos problemas de juros, geralmente estávamos interessados em calcular o montante (obtido ao final de uma aplicação, por exemplo). Por isso foram dadas fórmulas para o cálculo do montante. É evidente que um problema poderia fornecer o montante e pedir o valor do capital. Isso é perfeitamente possível. Mas, de forma geral, dizemos que o grande interesse é o cálculo do montante. Aqui, em descontos, a coisa muda. De forma geral o interesse é no cálculo do valor atual. Temos um título que vence em data futura e queremos saber qual o valor dele na data de hoje. Queremos, portanto, seu valor atual. Por isso as fórmulas fornecidas são para cálculo do A. Pois bem, analisemos estas fórmulas. No desconto racional, a fórmula do valor atual é: N A = ( 1+ n i) O valor atual é obtido a partir de uma divisão, que em matemática é sinônimo de razão. Daí podemos lembrar do nome: desconto racional. Já no desconto comercial, a fórmula é: A = N ( 1 n i) Aqui não tem razão alguma. Não há qualquer divisão. Não é um desconto racional. Pelo contrário: esse é o desconto que é mais usual no dia a dia, no comércio. Acaba correspondendo ao cálculo do desconto conseguido quando a gente barganha com o vendedor. Daí: desconto comercial. Prof. Vítor Menezes 42

43 Vamos comparar os dois descontos. Na primeira situação, o valor nominal é de 110,00. Ele pode ser separado em duas partes: uma de 99, referente ao valor atual; outra de 11, referente ao desconto. A figura acima representa os R$ 110,00 e suas duas partes, de tal modo que: N = A + D 110 = Note que o desconto é de 10%, percentual que incide sobre o valor nominal, ou seja, o valor maior, o valor de fora. Daí: desconto por fora. Na letra b, o valor nominal de R$ 110,00 é decomposto assim: Agora, temos: N = A + D 110 = Prof. Vítor Menezes 43

44 Note que o desconto é de 10%, percentual que incide sobre o valor atual, ou seja, o valor menor, o valor de dentro. Daí: desconto por dentro. Questão 20 MTE 2010 [ESAF] Um título sofre um desconto simples por dentro de R$ ,00 cinco meses antes do seu vencimento a uma taxa de desconto de 4% ao mês. Qual o valor mais próximo do valor nominal do título? a) R$ ,00. b) R$ ,00. c) R$ ,00. d) R$ ,00. e) R$ ,00. Resolução: No desconto simples racional (ou por dentro) a taxa de desconto incide sobre o valor atual: = = 5 0,04 = ,2 = Tendo o valor atual e o desconto, podemos calcular o valor nominal. Gabarito: A = = = Questão 21 SEFAZ PB 2006 [FCC] Ao descontar em um banco, 2 meses antes de seu vencimento, um título de valor nominal igual a R$ ,00, uma empresa recebe na data da operação de desconto comercial simples o valor de R$ ,00. Utilizando a mesma taxa de desconto anterior e ainda a operação de desconto comercial simples, descontando um título de valor nominal de R$ ,00, 3 meses antes de seu vencimento, receberá (A) R$ ,00 (B)) R$ ,00 (C) R$ ,00 (D) R$ ,00 (E) R$ ,00 Prof. Vítor Menezes 44

45 Resolução: Na primeira situação, o desconto foi de: = = = No desconto comercial simples, a taxa incide sobre o valor nominal. = = = = 2,5% Na segunda situação, o valor nominal é de R$ e o prazo de antecipação é de 3 meses. Gabarito: B = 1 = ,5% = Questão 22 INFRAERO 2009 [FCC] Um título de valor nominal igual a R$ ,00 é descontado 3 meses antes de seu vencimento apresentando um valor atual de R$ ,00, segundo uma operação de desconto comercial simples. Um outro título de valor nominal igual a R$ ,00, descontado 2 meses antes de seu vencimento, com a mesma taxa mensal e operação de desconto do primeiro título, apresenta um desconto de valor igual a (A) R$ 1.500,00 (B) R$ 1.200,00 (C) R$ 1.000,00 (D) R$ 900,00 (E) R$ 750,00 Resolução: Primeira operação: = = = Portanto: = Segunda operação: = = = 2% = Prof. Vítor Menezes 45

46 Gabarito: C = ,02 2 = Questão 23 CVM 2001 [ESAF] Um título de valor de face de R$ ,00 vence no dia 31 de julho. Calcule o desconto comercial simples no dia 11 do mesmo mês, a uma taxa de desconto de 6% ao mês. a) R$ 4.000,00 b) R$ 3.000,00 c) R$ 2.000,00 d) R$ 1.500,00 e) R$ 1.000,00 Resolução: Valor de face é o mesmo que valor nominal. O título vence em 31 de julho. Entretanto, o pagamento é feito antes do dia 31. O pagamento é antecipado em 20 dias. Graças a esta antecipação de pagamento a pessoa que paga o título terá um desconto. A taxa de desconto é de 6% ao mês. Vamos aplicar a fórmula do valor atual: = 1 = ,06 = Certo??? Errado!!! Observe que o prazo está em dias e a taxa está ao mês. Não podemos aplicar a fórmula quando isto acontece. Vamos passar o prazo para meses por meio de regra de três. Multiplicando cruzado: 1 mês corresponde a trinta dias. X meses correspondem a 20 dias X Prof. Vítor Menezes 46

47 20 1 = 30 = 2 3 Assim, o pagamento foi feito com antecipação de dois terços de mês. Agora, a taxa está ao mês e o prazo está em meses. Já podemos aplicar a fórmula: = 1 = ,06 Gabarito: A = ,02 = ,96 = = = = Questão 24 STN 2005 [ESAF] Marcos descontou um título 45 dias antes de seu vencimento e recebeu R$ ,00. A taxa de desconto comercial simples foi de 60% ao ano. Assim, o valor nominal do título e o valor mais próximo da taxa efetiva da operação são, respectivamente, iguais a: a) R$ ,00 e 3,4% ao mês b) R$ ,00 e 5,4 % ao mês c) R$ ,00 e 64,8 % ao ano d) R$ ,00 e 60 % ao ano e) R$ ,00 e 5,4 % ao mês Resolução: Primeiro vamos calcular o valor nominal do título. Para aplicar a fórmula, precisamos que a taxa e o prazo estejam na mesma unidade. Para tanto, fazemos a regra de três. Como o exercício nada disse sobre a forma de contagem do prazo, consideramos que cada mês tem trinta dias e o ano tem 360 dias. Multiplicando cruzado: 1 ano corresponde a 360 dias. X anos correspondem a 45 dias X = 1 45 Prof. Vítor Menezes 47

48 O prazo foi, então de um oitavo de ano. Aplicando a fórmula do valor atual: = = 1 8 = (1 ) = , = 8 0, = 7,4 8 = ,4 = Já achamos o valor nominal. Ficamos entre as alternativas b e d. Agora precisamos calcular a taxa efetiva. A taxa efetiva é a taxa que é praticada no desconto racional. Vejamos qual seria esta taxa, aplicando a fórmula do valor atual quando o desconto é racional. O valor nominal é O valor atual é de O prazo é de 1/8 de ano. A taxa efetiva faz com que o valor atual ( ) se transforme no nominal ( ) = = = = 1,081 8 = 0,081 = 0,649 A taxa é de 64,9%. Como o prazo utilizado está em anos, esta taxa também é ao ano. Portanto, a letra d está errada, pois afirma que a taxa efetiva é de 60% ao ano. A taxa de desconto racional (=taxa efetiva) procurada é de 64,9%. A letra b traz uma taxa mensal. Vamos converter esta taxa anual (=64,9%) para taxa mensal. Como o regime é simples, podemos aplicar regra de três. Em um ano (=12 meses) a taxa efetiva é de 64,9%. Em um mês a taxa efetiva é de X. Multiplicando cruzado: 12 meses ,9% 1 mês X Prof. Vítor Menezes 48

49 Gabarito: B 12 = 64,9 = 5,4% Questão 25 PREFEITURA DO RIO DE JANEIRO 2010 [ESAF] Um título sofre um desconto simples por fora de R$ 2.500,00 quatro meses antes do seu vencimento a uma taxa de desconto de 2,5% ao mês. Qual é o valor mais próximo do valor nominal do título? a) R$ ,00 b) R$ ,00 c) R$ ,00 d) R$ ,00 e) R$ ,00 Resolução: Temos aplicação direta da fórmula: Gabarito: B = = 0, = 0,1 = ,1 = Questão 26 MP RS 2008 [FCC] Duas duplicatas com a soma dos respectivos valores nominais igual a R$ ,00 são descontadas em um banco segundo uma operação de desconto bancário simples, a uma taxa de 36% ao ano. A primeira é descontada 2 meses antes de seu vencimento e a segunda 3 meses antes. Se a soma dos valores dos descontos das duas duplicatas foi igual a R$ 1.680,00, então o maior valor nominal das duplicatas, em R$, é igual a (A) ,00 (B) ,00 (C) ,00 (D) ,00 (E) ,00 Pancada!!! Prof. Vítor Menezes 49

50 Resolução: Outra questão bem difícil. O desconto bancário é um tipo de desconto comercial em que, além da taxa de juros usual, é embutida uma taxa de despesas administrativas. Neste exercício, a taxa é de 36% ao ano. Portanto, a taxa mensal é: 36% 12 = 3% Sejam e os valores nominais das duplicatas e, os descontos obtidos. Temos: Para a segunda duplicada, tem-se: = 2 0,03 = 0,06 (equação I) = 3 0,03 = 0,09 (equação II) O exercício disse que a soma dos dois descontos é 1.680,00. Vamos somar as equações I e II: Colocando 0,06 em evidência: A soma dos valores nominais é = 0,06 + 0, = 0,06 + 0, = 0,06 + 0,06 + 0, = 0, , = 0, , = ,03 0,03 = = 360 = 360 0,03 = Como a soma dos valores nominais é R$ ,00 e uma das duplicatas vale R$ ,00, concluímos que a duplicata restante é de R$ ,00. Ou seja, as duplicatas são de R$ ,00 e R$ ,00. Gabarito: C 3.3. Relação entre desconto comercial e racional Fixado o valor nominal, e fixada a taxa de desconto i, então os descontos comercial (Dc) e racional (Dr) se relacionam do seguinte modo: Prof. Vítor Menezes 50

51 Isso pode ser percebido do seguinte modo. No desconto comercial, temos: No desconto racional, temos: Substituindo o valor de A : Dividindo os dois descontos: Que é o resultado apresentado. = 1 + = = = Alguns exercícios cobram justamente isso. 1 + = 1 + = = 1 + Questão 27 AFRF [ESAF] Um título sofre um desconto comercial de R$ 9.810,00 três meses antes do seu vencimento a uma taxa de desconto simples de 3% ao mês. Indique qual seria o desconto à mesma taxa se o desconto fosse simples e racional. a) R$ 9.810,00 b) R$ 9.521,34 c) R$ 9.500,00 d) R$ 9.200,00 e) R$ 9.000,00 Resolução: Basta aplicar a fórmula que relaciona os dois descontos: Dc = Dr ( 1+ n i) = Dr ( ,03) = Dr (1,09) Dr = = ,09 Prof. Vítor Menezes 51

52 O desconto racional simples seria de R$ 9.000,00. Gabarito: E Questão 28 SEFAZ/PA 2002 [ESAF] Uma nota promissória sofre um desconto simples comercial de R$ 981,00, três meses antes do seu vencimento, a uma taxa de desconto de 3% ao mês. Caso fosse um desconto simples racional, calcule o valor do desconto correspondente à mesma taxa. a) R$ 1.000,00 b) R$ 950,00 c) R$ 927,30 d) R$ 920,00 e) R$ 900,00 Resolução: Basta aplicar a fórmula que relaciona os dois descontos: Dc = Dr ( 1+ n i) 9.81 = Dr ( ,03) 9.81 = Dr (1,09) 9.81 Dr = = 1,09 O desconto racional simples seria de R$ 900,00. Gabarito: E 900 Questão 29 BACEN 2001 [ESAF] Um título deve sofrer um desconto comercial simples de R$ 560,00 três meses antes do seu vencimento. Todavia uma negociação levou à troca do desconto comercial por um desconto racional simples. Calcule o novo desconto, considerando a taxa de 4% ao mês. a) R$ 500,00 b) R$ 540,00 c) R$ 560,00 d) R$ 600,00 e) R$ 620,00 Resolução: Aplicando a fórmula que relaciona os dois descontos: Prof. Vítor Menezes 52

53 Dc = Dr ( 1+ n i) 560 = Dr ( ,04) 560 = Dr (1,12) 560 Dr = = 500 1,12 Se o desconto for racional simples, será de R$ 500,00. Gabarito: A Questão 30 SUSEP 2002 [ESAF] Um título sofre um desconto simples comercial de R$ 1.856,00, quatro meses antes do seu vencimento a uma taxa de desconto de 4% ao mês. Calcule o valor do desconto correspondente à mesma taxa, caso fosse um desconto simples racional. a) R$ 1.600,00 b) R$ 1.650,00 c) R$ 1.723,75 d) R$ 1.800,00 e) R$ 1.856,00 Resolução: Novamente, aplicação direta da fórmula que relaciona desconto comercial e racional. Gabarito: A. Dc = Dr ( 1+ n i) = Dr ( ,04) = Dr (1,16) Dr = = ,16 4. TAXA EFETIVA EM EMPRÉSTIMOS COM VALORES RETIDOS ANTECIPADAMENTE Para facilitar a visualização do problema em questão, vou criar uma situação bem exagerada, totalmente fora da realidade, ok? Considere a seguinte situação. Prof. Vítor Menezes 53

54 Um banco oferece empréstimo de R$ ,00 (um milhão de reais), sendo que, após um mês, o devedor deve pagar ao banco juros de R$ 500,00 (quinhentos reais), além do principal da dívida. Olha que coisa incrível!!! Marcos, que estudou um pouco de matemática financeira (só um pouco, ele não era aluno do Estratégia Concursos...), concluiu que poderia fazer um super negócio. Marcos teve a seguinte ideia: Eu posso pegar este dinheiro emprestado e, ao final de 1 mês, só vou ter que pagar juros de R$ 500,00. Como eu estudei matemática financeira, sei que a taxa cobrada pelo banco é de: É uma taxa bem pequena. = = 0,05% Eu sei que a poupança paga uma taxa maior, de cerca de 0,6%. Assim que eu pegar a quantia emprestada, eu aplico na poupança, que vai render algo próximo de 0,6% ao mês. O meu rendimento será igual a: 0, = Ou seja, terei uma despesa de R$ 500,00 e uma receita de R$ 6.000,00. Resultado: lucro fácil de R$ 5.500,00 E aí, o que vocês acham da ideia do Marcos? Interessante, não? Pois bem, quando Marcos vai ao banco contratar o empréstimo, tem uma desagradável surpresa: o banco exige que R$ ,00 fiquem depositados no próprio banco, como garantia de pagamento. Marcos ficou sem saber o que fazer. E agora, será que o empréstimo ainda é vantajoso? Como ,00 ficam retidos no banco, agora Marcos poderia aplicar na poupança apenas a quantia de R$ 1.000,00. Ao final de um mês, teria um rendimento de apenas: 0,6% = 6 Prof. Vítor Menezes 54

55 O rendimento seria de apenas R$ 6,00, que não dá para pagar praticamente nada do juro de R$ 500,00 exigido pelo banco. Marcos ficou em dúvida. Porque será que, mesmo com uma taxa de juros tão boa (de apenas 0,05% ao mês), o empréstimo não é mais vantajoso? Nós, que estamos fazendo o curso de matemática financeira do Estratégia Concursos, temos totais condições de explicar ao Marcos qual o problema do seu raciocínio. Em termos práticos, o que ele conseguiu tomar emprestado foi a quantia de R$ 1.000,00. Os outros R$ ,00 devem ser desprezados por Marcos, pois nunca estarão disponíveis para ele. Lembrem-se de que, no início da aula, vimos que a cobrança de juros se dá quando uma pessoa deixa de usar o dinheiro, repassando-o a outra pessoa, que irá alugar o dinheiro. Vimos o exemplo do João, que não precisava do dinheiro e emprestou a Pedro. Por conta da cessão do dinheiro, João cobrou juros. Qual o dinheiro cedido a Marcos pelo banco? Qual é a quantia que o banco está deixando de usar para emprestar a Marcos? Esta quantia é de apenas R$ 1.000,00. O restante (R$ ,00) em momento algum foi cedido a Marcos. Logo, a taxa de juros deve ser calculada tendo como base o valor efetivamente emprestado (=R$ 1.000,00). Temos um juro de R$ 500,00 e um capital de R$ 1.000,00. Logo, a taxa de juros efetiva desta operação é: A taxa efetiva é de 50%. = = 50% A taxa de 0,05% calculada por Marcos é irreal. No máximo, poderia ser usada para fazer propaganda enganosa. É claro que este exemplo ficou bastante exagerado, para facilitar a visualização desta propaganda enganosa. Nos exercícios de concurso, geralmente a diferença entre a taxa efetiva e a taxa enganosa é pequena. Prof. Vítor Menezes 55

56 Fora os valores envolvidos, no mais, a situação das questões de concurso é semelhante a esta que nós apresentamos. O banco retém parte do valor que seria emprestado. Com isso, na prática, o valor emprestado diminui, o que faz com que a taxa efetiva seja superior àquela divulgada pelo banco. Vamos ver algumas questões: Questão 31 TRE PI 2009 [FCC] Um analista tomou emprestados R$ 3.000,00 por 3 meses, a juros simples, à taxa de 4% ao mês. Na data do empréstimo, ele teve que desembolsar antecipadamente os juros devidos. No final do prazo, devolveu R$ 3.000,00, liquidando a dívida. Para ele, a taxa mensal efetiva desse empréstimo tem valor compreendido entre (A) 4,5% e 4,6% (B) 4,4% e 4,5% (C) 4,3% e 4,4% (D) 4,2% e 4,3% (E) 4,1% e 4,2% Resolução: Primeiro, vamos supor que a pessoa não tem que desembolsar qualquer quantia antecipadamente. Com isso, ela toma R$ 3.000,00 emprestados, durante 3 meses, a uma taxa de 4% ao mês. O montante devido depois de três meses é: A dívida aumentou em R$ 360,00. = 1 + = ,04 = ,12 = 3.360,00 No entanto, quando do empréstimo, a pessoa não consegue retirar R$ 3.000,00. O banco obriga que ela deixe pago o valor de R$ 360,00, correspondente aos juros acima obtidos. Deste modo, em termos práticos, a pessoa recebe R$ 2.640,00 (= 3.000,00 360,00,00) e devolve, três meses depois, a quantia de R$ 3.000,00. Deste modo, a taxa efetiva, ou seja, a taxa para valer, não é de apenas 4%. Vimos no início da aula que a taxa representa a relação entre o juro e o capital. Se considerarmos o capital de R$ 3.000,00 aumentando 4% ao mês, durante 3 meses, o juro será de R$ 360,00. Prof. Vítor Menezes 56

57 Certo até aqui? Mas, de fato, não é este capital de R$ 3.000,00 que gerou o aumento de R$ 360,00. O capital realmente emprestado foi de R$ 2.640,00. Logo: Gabarito: A = 360 = = = 4,54% Questão 32 BACEN 2001 [ESAF] Uma pessoa recebeu um empréstimo de um banco comercial de R$10.000,00 para pagar R$12.000,00 ao final de cinco meses, mas foi obrigada a manter R$2.000,00 de saldo em sua conta durante a vigência do empréstimo. Considerando que a pessoa retirou os R$2.000,00 do empréstimo recebido e os utilizou para pagamento do montante no final, indique a taxa real de juros paga. a) 20% ao semestre b) 4% ao mês, considerando juros simples c) 10% ao mês, considerando juros simples d) 20% no período e) 5% ao mês, juros simples Resolução: Neste caso, é como se a pessoa, na verdade, tivesse pegado emprestado apenas R$ 8.000,00. Isto porque, dos dez mil reais, dois mil ficaram o tempo todo no banco. Assim, o capital inicial é de R$ 8.000,00. Os juros foram de R$ 2.000,00. O prazo foi de 5 meses. Qual a taxa de juros? Aplicando a fórmula: i = J = n i C 2000 = 5 i = i = 1 20 = 0,05 = 5% Prof. Vítor Menezes 57

58 Como o prazo que usamos na fórmula foi em meses, esta taxa já é ao mês. E como usamos a fórmula dos juros simples, esta taxa é do regime simples. Gabarito: E 5. JUROS COMPOSTOS 5.1. Fórmula de juros compostos Exemplo 10 João empresta R$ 200,00 para Pedro, cobrando uma taxa de 1% ao mês (juros compostos). Qual o valor da dívida, depois de dez meses? Resolução. Exercício muito semelhante ao Exemplo 1. A diferença é que, agora, os juros são compostos. A ideia dos juros continua sendo remunerar o capital. Pedro precisa do dinheiro hoje, mas não tem este dinheiro. João tem o dinheiro, mas não precisa dele agora. Assim, João empresta o dinheiro para Pedro, mas cobra uma remuneração por isto. Esta remuneração são os juros. Os juros representam uma receita (ou rendimento) para quem empresta o dinheiro e uma despesa para quem toma emprestado. O valor dos juros depende da taxa. Dizer que é cobrada uma taxa de 1% significa que os juros cobrados são de: Portanto, os juros são iguais a R$ 2,00. J = 1 % 200 = 0, = 2 Pois bem, passado o primeiro mês, Pedro já deve a João R$ 202,00. Deste valor, temos R$ 200,00 correspondentes ao inicialmente emprestado, mais R$ 2,00 de juros. Até aqui não há qualquer diferença entre juros simples e compostos. A partir do segundo mês é que a diferença começa a aparecer. Passa o segundo mês. Pedro continua usando o dinheiro de João. Portanto, terá que pagar novos juros. A taxa permanece em 1%. Como calcular os juros do segundo mês? A partir do segundo mês, temos que saber se a taxa é de juros simples ou de juros compostos. Quando tínhamos juros simples, a taxa sempre incidia sobre o valor inicial. Assim, os juros do segundo mês, quando tínhamos juros simples, eram iguais a R$ 2,00. Porém, quando os juros são compostos, a taxa de 2% não incide sobre o valor inicial. Incide sobre o total da dívida, incluindo valor inicial mais juros. Prof. Vítor Menezes 58

59 O total da dívida, ao final do primeiro mês, é de R$ 202,00 (incluindo 200,00 inicialmente emprestados e 2,00 de juros). Pois bem, os juros do segundo mês vão incidir sobre R$ 202,00. Por isso os juros são compostos, porque incidem sobre os juros dos períodos anteriores. Dizemos que os juros estão capitalizados. Passou um mês e os R$ 2,00 de juros se incorporam ao capital inicial. Deste modo, no segundo mês a taxa de juros vai incidir também sobre os juros do primeiro mês. Os juros do segundo mês ficam: J = 1 % 202 = 2,02 Assim, ao final do segundo mês, Pedro já deve a João R$ 204,02. Deste valor, temos R$ 200,00 da dívida inicial, R$ 2,00 de juros do primeiro mês e R$ 2,02 de juros do segundo mês. No terceiro mês os juros vão ficar: J = 1 % 204,02 = 2,0402 Portanto, ao final do terceiro mês a dívida será de R$ 206,0602. Deste valor, temos R$ 200,00 da dívida original, R$ 2,00 de juros do primeiro mês, R$ 2,02 de juros do segundo mês, e R$ 2,0402 de juros do terceiro mês. E assim por diante. Vamos agora focar nos valores dos montantes. O montante ao final do primeiro mês é: M 1 = 202 Podemos reescrever este valor da seguinte forma: Colocando 200 em evidência: M 1 = % 200 M 1 = ( 1 1% ) Ou seja, ao final do primeiro mês, a dívida ficou aumentada em 1%. Era de R$ 200,00 e foi para R$ 202,00. Aumentar alguma coisa em 1% é o mesmo que multiplicar por (1+1%) O montante ao final do segundo mês foi de: M 2 = 204,02 Podemos reescrever este valor. Basta pensar que o montante ao final do segundo mês será o montante do primeiro mês aumentado em 1% (ou seja, multiplicado por 1+1%). M M 2 = M1 (1 + 1%) ( 1+ 1% ) = 200 ( 1 1 ) 2 2 = 200 (1 + 1%) + % O montante ao final do terceiro mês foi de R$ 206,0602. Este valor é igual ao montante do segundo mês acrescido em 1%, ou seja, multiplicado por (1+1%). Prof. Vítor Menezes 59

60 Podemos reescrever este valor: M 3 = M 2 (1 + 1%) M ( 1+ 1% ) = 200 ( 1 1 ) = 200 (1 + 1%) + % E já deu para perceber que, ao final do décimo mês, o montante vai ficar: M = 200 (1 + 1%) M = 220,92 10 A dívida, ao final do décimo mês, é de R$ 220,92. Os nomes envolvidos são os mesmos dados para o caso de juros simples. A quantia inicial (=200,00) continua sendo chamada de capital. A quantia final (=220,92) continua sendo chamada de montante. O rendimento obtido por João (ou a despesa incorrida por Pedro) corresponde aos juros (=20,92) Vale comparar este exercício com o Exemplo 1. Quando tínhamos juros simples, o total da dívida, ao final dos dez meses, foi de R$ 220,00. Quando temos juros compostos, a dívida cresce mais rapidamente, justamente porque os juros incidem sobre juros. A partir deste exemplo, dá para deduzirmos a fórmula de juros compostos: Nesta fórmula temos: M é o montante C é o capital i é a taxa de juros ( i) n M = C 1 + n é o número de períodos que passaram A fórmula é bem semelhante àquela para juros simples. A única diferença é que o n, que antes multiplicava, agora está no expoente. Fórmulas para juros compostos: TOME NOTA!!! M = J + C (sempre vale, tanto para juros simples quanto compostos) ( i) n M = C 1 + (vale só para juros compostos) Prof. Vítor Menezes 60

61 Esta incidência de juros sobre juros acontece porque ao final de cada período temos a chamada capitalização. No exemplo acima, a capitalização era mensal. Isto significa que, ao final de cada mês, os juros do período se incorporam ao capital (daí o nome: capitalização). Ou seja, há uma junção entre juros e capital, de modo que esta soma é que servirá de base de cálculo para os juros do próximo período. Por isso é que, no final das contas, falamos em juros incidindo sobre juros. Os juros do próximo período incidem sobre os juros anteriores, que já foram capitalizados. No caso da Esaf, para resolver as questões de prova, pode ser necessário consultar a tabela I colocada ao final da aula. É uma tabela que contém valores de 1 +. Questão 33 SEFZ MG 2005 [ESAF] A que taxa mensal de juros compostos um capital aplicado aumenta 80% ao fim de quinze meses. a) 4%. b) 5%. c) 5,33%. d) 6,5%. e) 7%. Resolução: Vamos jogar valores. Aplicamos um capital de R$ 100,00 durante 15 meses. Ao final dos 15 meses, este capital aumentou em 80%. Aumentar em 80% é o mesmo que multiplicar por (1+80%). Assim, ao final dos 15 meses, o montante é de: M = C ( 1+ 80%) = C 1,8 = 100 1,8 = 180 O montante ao final dos quinze meses é de R$ 180,00. Vamos agora usar a fórmula do montante para juros compostos. Substituindo os valores: ( i) n M = C 1 + ( 1+ ) = 100 i (1 + i ) 15 = Queremos um valor de i tal que (1+i) elevado a 15 seja igual a 1,8. Consultando a tabela I ao final da aula, vemos que o valor de i procurado é de 4%. Gabarito: A 1,8 Prof. Vítor Menezes 61

62 Questão 34 IRB 2004 [ESAF] Um capital é aplicado com capitalização dos juros durante três períodos a uma taxa de juros de 10% ao período. Calcule os juros devidos como porcentagem do capital aplicado. a) 30% b) 31,3% c) 32,2% d) 33,1% e) 34% Resolução: O que significa capitalização dos juros? Significa que, a cada período, os juros se incorporam ao capital inicial. Assim, os juros do próximo mês vão incidir tanto sobre o capital inicial quanto sobre os juros dos meses anteriores, já incorporados ao capital. Ou seja, os juros incidem sobre juros. Resumindo: estamos diante de um caso de juros compostos. Vamos jogar valores. Suponha que o capital seja de R$ 100,00. ( i) n M = C 1 + M = ( 1 0,10 ) 3 E aqui temos uma conta envolvendo expoente. Vamos usar a tabela I ao final da aula. Consultando a tabela temos que: Portanto o montante fica: Sabemos que: Logo, os juros ficam: (1 + 0,1) 3 = 1,331 M = 100 1,331 = 133,10 J M = C + = M C J = 33,10 Tínhamos um capital de 100,00, que rendeu um juro de 33,10, transformando-se em um montante de 133,10. O exercício pediu o valor dos juros como percentual do capital. A pergunta é: 33,10 representa quantos por cento de 100,00? Basta fazer a divisão: Gabarito: D 33,10 = ,10% Prof. Vítor Menezes 62

63 Questão 35 IRB 2006 [ESAF] Em um financiamento, 80% do capital foram obtidos a juros compostos à taxa de 3% ao mês enquanto os 20% restantes do capital foram obtidos à taxa de 3,5% ao mês, juros simples. Calcule o valor mais próximo do capital financiado, dado que decorrido um ano após o financiamento nenhuma amortização havia sido feita e os juros totais devidos ao fim do ano eram de R$ ,40. a) R$ ,00 b) R$ ,00 c) R$ ,00 d) R$ ,00 e) R$ ,00 Resolução: Vamos separar os capitais. O capital financiado a juros compostos é C 1. E o capital financiado a juros simples é C 2. O montante obtido a partir do capital C 1 é M 1. E o montante obtido a partir do capital C 2 é M 2. O primeiro capital foi obtido por meio de um empréstimo em que a taxa de juros é de 3% ao mês. Portanto, ao final de 12 meses, o montante fica: M ( i) n M = C ( 1+ 0, ) 12 1 = C1 03 Usando a tabela I fornecida ao final da aula, temos: Portanto: (1 + 0,03) 12 M = 1, ,43 1 = C1 O segundo capital foi financiado a juros simples (taxa de 3,5% ao mês). O montante obtido ao final de 12 meses é: 1,43 M 2 = C2 (1 + i n) M 2 = C2 ( 1+ 0,035 12) = C2 1,42 Seja C o capital total financiado. C = C 1 + C 2 Sabemos que C 1 corresponde a 80% do capital financiado. Logo: C = 0, 8 C Sabemos que C 2 corresponde a 20% do capital financiado. Portanto: 1 Prof. Vítor Menezes 63

64 C = 0, 2 C 2 O montante total obtido ao final de doze meses é de: Substituindo os valores dos montantes: Substituindo os valores dos capitais: M = M 1 + M 2 M = C1 1, 43 + C 2 1, 42 M = 0,8 C 1, ,2 C 1, 42 M = 1,144 C + 0,284 C M = 1,428 C Mas o exercício informou os juros (= ,40). Substituindo os valores: M = C + 1,428 C = C ,40 0,428 C = J ,40 C A questão pediu para que marcássemos o valor mais próximo do capital financiado. O valor mais próximo é o da letra E. Gabarito: E Questão 36 AFRFB 2005 [ESAF] Paulo aplicou pelo prazo de um ano a quantia total de R$ ,00 em dois bancos diferentes. Uma parte dessa quantia foi aplicada no Banco A, à taxa de 3% ao mês. O restante dessa quantia foi aplicado no Banco B a taxa de 4% ao mês. Após um ano, Paulo verificou que os valores finais de cada uma das aplicações eram iguais. Deste modo, o valor aplicado no Banco A e no Banco B, sem considerar os centavos, foram, respectivamente iguais a: a) R$ ,00 e R$ ,00 b) R$ ,00 e R$ ,00 c) R$ ,00 e R$ ,00 d) R$ ,00 e R$ ,00 e) R$ ,00 e R$ ,00 Resolução: Prof. Vítor Menezes 64

65 Antes de começarmos a resolver, destaco que a questão foi anulada. Observe que o exercício não disse se os juros são simples ou compostos. Sempre que a questão silenciar a respeito, pode considerar que se tratam de juros compostos, pois é o padrão dos bancos. Já viram banco cobrando juros simples? Não dá, né? Se não eles não poderiam ter lucros estratosféricos. Vamos chamar o primeiro capital (aplicado no banco A) de C a. E o montante obtido a partir dele de M a. Vamos chamar o capital aplicado no banco B de C b. Vamos chamar o montante obtido a partir dele de M b. a a ( i) n M = C 1 + Substituindo os valores de i e n : M b b ( i) n M = C 1 + a = C a ( 1+ 0,03) 12 M b = C b ( 1+ 0,04) 12 Estes dois montantes são iguais (informação dada no enunciado). C ( 1+ 0,03) 12 = C ( 1+ 0,04) 12 C b a = C a ( 1+ 0,03) ( 1+ 0,04) 12 b 12 (equação I) Além disso, o enunciado informou que o capital total investido foi de R$ ,00. C C = (equação II). a + b Substituindo a equação I na equação II: C C + a a ( 1+ 0,03) 12 ( 1+ 0,04) Consultando a tabela I fornecida ao final da aula: C C + a a Multiplicando todas as parcelas por 1,6: 12 = ,426 = ,6 1,6 C + C 1,426 = ,6 a a 3,026 C = C a a = = 3, Nossos cálculos foram aproximados. A alternativa mais próxima é a letra E, que era realmente o gabarito preliminar da questão. Prof. Vítor Menezes 65

66 Contudo, o enunciado não pediu para marcarmos a alternativa com o valor mais próximo dos capitais. O exercício pediu que marcássemos a alternativa que continha o valor exato dos capitais (apenas desprezando-se os centavos). Caso fizéssemos a conta na calculadora, sem aproximar, a resposta seria (desprezando-se os centavos). Não há alternativa que corresponda a este valor. Ao que tudo indica, houve um erro de digitação na letra E. Em vez de ser digitado , foi digitado Talvez por isso a questão tenha sido anulada. De todo modo, aqui para nós a questão foi válida para treinarmos a fórmula de juros compostos. Gabarito: Anulado 5.2. Taxa nominal e efetiva Um tópico importante dentro de juros compostos é a diferenciação entre taxa efetiva e taxa nominal. A taxa nominal é aquela que aparece por escrito em algum documento. É aquela que consta de contratos, de títulos, etc. A taxa efetiva é a taxa para valer, a taxa que pode ser usada nas fórmulas para achar o montante. No regime simples seria difícil explicar a diferença entre taxa efetiva e nominal, pois elas são sempre iguais. Já no regime composto, elas podem ser diferentes. Vejamos alguns exemplos para entendermos a diferença. Exemplo I: No contrato está escrito que a taxa de juros de um financiamento é de 1% ao mês, com capitalização mensal. O que isto significa capitalização mensal? Significa que a cada mês os juros se incorporam ao capital, servindo de base de cálculo para os próximos juros. Agora vamos ver as taxas. A taxa que aparece por escrito no contrato é a taxa de 1% ao mês. Logo, ela é a taxa nominal. Taxa nominal = 1% ao mês. Esta taxa pode ser usada na fórmula do montante? Sim, claro que sim. Prof. Vítor Menezes 66

67 O prazo da taxa está em meses e a capitalização é mensal. Sempre que o prazo da taxa coincidir com o período de capitalização, esta taxa está pronta para ser usada na fórmula do montante. Dizemos que esta é a taxa para valer, a taxa efetiva. Taxa efetiva = 1% ao mês. Exemplo II: no contrato está escrito que a taxa de juros de um financiamento é de 12% ao ano, com capitalização mensal. A taxa que aparece por escrito no contrato é a taxa de 12% ao ano. Logo, ela é a taxa nominal. Taxa nominal = 12% ao ano. Esta taxa pode ser usada na fórmula do montante? Não, não pode. O prazo da taxa está em anos e a capitalização é mensal. Sempre que o prazo da taxa for diferente do período de capitalização, esta taxa não pode ser usada na fórmula do montante. Para obter a taxa efetiva a partir da taxa nominal, sempre fazemos regra de três. A taxa mensal é de 1%. Taxa Meses 12% 12 i 1 12% = i = 12% i = 1% Agora sim. Obtivemos uma taxa ao mês, período que coincide com o da capitalização mensal. Esta taxa de 1% pode ser usada na fórmula do montante. Dizemos que é uma taxa efetiva, uma taxa para valer. TOME NOTA!!! Taxa nominal: constante em documentos (exemplo: contratos de financiamento) Taxa efetiva: é a taxa para valer, usada nas fórmulas. No regime simples: sempre coincidem. No regime composto: usar regra de três para converter taxa nominal em taxa efetiva. Prof. Vítor Menezes 67

68 Outro exemplo: Cláudia faz um empréstimo de R$ 1.000,00 no Banco Alfa. É cobrada uma taxa de 12% ao ano, com capitalização mensal. Vamos calcular a taxa anual efetiva contratada por Cláudia. A taxa de 12% está ao ano. É a taxa nominal. Contudo, o período de capitalização é mensal. Ou seja, a cada mês, uma certa taxa de juros vai incidir sobre o total da dívida do mês anterior (inclusive sobre os juros). Esta certa taxa de juros é a taxa efetiva. É a taxa de verdade. A taxa para valer. Então para quê serve a taxa nominal? Serve para fazer propaganda enganosa. Para achar a taxa efetiva ao mês, fazemos regra de três. A taxa nominal só seve para isso. Para fazermos a regra de três e acharmos a taxa efetiva. Temos uma taxa nominal de 12% ao ano com capitalização mensal. Fazendo a regra de três: Multiplicando cruzado temos: 12% corresponde a 12 meses i corresponde a 1 mês. 12% meses i mês i = 1% Logo, a taxa efetiva é de 1% ao mês. Esta é a taxa que será usada para calcular a dívida de Cláudia, mês a mês. Assim, passado o primeiro mês, Cláudia já deve ao banco o seguinte montante: M = C ( 1 i) 1 M 1 = (1 + 0,01) = 1.010,00 Ao final do mês a divida é de R$ 1.010,00. São R$ 1.000,00 de dívida original e R$ 10,00 reais de juros. Passado o segundo mês, Cláudia deve: M = C ( 1 i) E assim por diante. 2 M 2 = (1 + 0,01) = 1.020,10 Ao final de um ano, a dívida será de: M = C ( 1 i) 12 M 12 = (1 + 0,01) 1.126,83 Prof. Vítor Menezes 68

69 Vamos agora calcular qual a taxa anual equivalente à taxa de juros compostos efetiva de 1% ao mês. Ainda nesta aula aprenderemos como encontrar taxas equivalentes em juros compostos. Mas fica a informação de que, para este caso, a taxa anual equivalente é de 12,683%. Esta taxa de 12,683% ao ano também é efetiva. Ela é equivalente à taxa de 1% ao mês. Por que as duas são efetivas? A dívida de Cláudia pode ser calculada, a cada mês, acrescentando-se à dívida do mês anterior juros de 1%. Ou então, em períodos de 1 ano, a dívida pode ser calculada, a cada ano, acrescentando-se à dívida do ano anterior juros de 12,683%. Por isso as duas taxas são efetivas. As duas podem ser utilizadas para cálculo da dívida de Cláudia. São duas taxas equivalentes e efetivas. E a taxa de 12% ao ano, fornecida no enunciado (taxa nominal)? Serve para quê? Para fazer propaganda enganosa. O banco informa que sua taxa é de 12% ao ano. E coloca uma observação em letras minúsculas, lá no rodapé: taxa de 12% nominal, com capitalização mensal. Isto é uma forma de dizer que a taxa é de 12% ao ano quando a taxa de verdade (taxa efetiva) é maior, é de 12,683%. Questão 37 Prefeitura de Fortaleza 2003 [ESAF] O capital de R$ ,00 é aplicado à taxa nominal de 24% ao ano com capitalização trimestral. Obtenha o montante ao fim de dezoito meses de aplicação. a) R$ ,00 b) R$ ,11 c) R$ ,56 d) R$ ,38 e) R$ ,92 Resolução: A taxa fornecida é de 24%. Esta é a taxa nominal. Ela está ao ano. O período de capitalização é trimestral. Ele não coincide com o período da taxa informada. Deste modo, a taxa nominal não é igual à taxa efetiva. Nestes casos, a taxa nominal só serve para aplicarmos a regra de três e encontramos a taxa efetiva. Aplicando a regra de três. Prof. Vítor Menezes 69

70 Multiplicando cruzado: A taxa efetiva é de 6% ao trimestre. 24% corresponde a 4 trimestres (=1 ano) i corresponde a 1 trimestre. 24% i % = i 4 i = 6% Vamos calcular o montante. O capital é de R$ ,00. A taxa é de 6% ao trimestre. E o período é de seis trimestres (=18 meses). M = C ( 1+ i) n Usando a tabela I: Gabarito: D. M M = (1 + 0,06) M = , = ,19 = , Taxas equivalentes em juros compostos Quando estudamos o regime simples, vimos que duas taxas são equivalentes quando, aplicadas sobre um mesmo capital, durante o mesmo período de tempo, produzem juros iguais (o que resulta em montantes iguais). No regime composto, isso continua valendo. Só o que muda é a forma de calcularmos taxas equivalentes. No regime simples, vimos que, para achar taxas equivalentes, basta aplicar a regra de três. No regime composto, isso não mais ocorre. Não podemos aplicar regra de três para encontramos taxas equivalentes. No tópico anterior, estudamos que, no regime composto, há uma única situação em que se deve aplicar regra de três na conversão de taxas. Trata-se da conversão de uma taxa efetiva em nominal (e vice versa). No regime composto, quando aplicamos a regra de três sobre uma taxa efetiva, jamais obteremos outra taxa efetiva. Professor, se não posso aplicar regra de três, como encontro taxas equivalentes no regime composto? Vejamos um exemplo: Prof. Vítor Menezes 70

71 Exemplo 11 Uma taxa de juros compostos de 4% ao bimestre equivale a qual taxa trimestral (também de juros compostos)? Resolução. Exercício muito parecido com o Exemplo 4. A única diferença é que agora temos juros compostos. Lá no Exemplo 4, vimos que bastava aplicar a regra de três. Isto porque tínhamos juros simples. Mas agora a situação é diferente. Os juros são compostos, não vale mais a regra de três. Vamos jogar valores, para ficar mais fácil. Aplicamos um capital de R$ ,00, durante 1 ano, num investimento que rende 4% ao bimestre (juros compostos). Qual o montante conseguido? ( i) n M = C 1+ A taxa é de 4% ao bimestre. Portanto, o prazo tem que estar em bimestres. Um ano corresponde a 6 bimestres. Com auxílio de uma calculadora, temos: Ao final de um ano temos R$ 1.265,32. M = ( 1 0,04) 6 M = ,26532 = 1.265,32 Agora vamos fazer outro investimento. Aplicamos R$ 1.000,00, a uma taxa trimestral k, durante um ano, obtendo o montante de R$ 1.265,32. Observe que este segundo investimento é equivalente ao primeiro. O capital é o mesmo (=R$ 1.000,00). O prazo é o mesmo (=1 ano). Portanto, a taxa trimestral k é equivalente à taxa de 4% ao bimestre. Vamos agora achar o valor de k. ( i) n M = C 1+ O capital é de R$ 1.000,00. A taxa está ao trimestre. Portanto, o prazo também tem que estar em trimestres. Um ano corresponde a quatro trimestres. Com o auxílio de uma calculadora, temos: ( 1+ ) ,32 = k ( 1+ ) 4 1,26532 = k k 6,06% Dizemos que a taxa de 6,06% ao trimestre é equivalente à taxa bimestral de 4%, considerando juros compostos. Prof. Vítor Menezes 71

72 Para calcularmos taxas equivalentes em juros compostos, devemos criar dois investimentos equivalentes, ou seja, que a partir de um mesmo capital, aplicado durante um mesmo intervalo de tempo, resulte em um mesmo montante. TOME NOTA!!! Taxas equivalentes em Juros Compostos: Não vale regra de três. Crie dois investimentos equivalentes, isto é, que produzem o mesmo montante, a partir de um mesmo capital, aplicado durante o mesmo intervalo de tempo. Questão 38 TRE AM 2010 [FCC] A taxa nominal de 10% ao ano com capitalização semestral corresponde à taxa efetiva, ao ano, de (A) 9,76% (B) 10,00% (C) 10,20% (D) 10,25% (E) 10,50% Resolução: A taxa de 10% é ao ano, e a capitalização é mensal. O período da taxa (ano) não corresponde ao período de capitalização (semestre). Quando isso ocorre, a taxa é apenas nominal, mas não é efetiva. Neste caso, usamos regra de três para converter a taxa nominal em efetiva. Multiplicando cruzado: A taxa efetiva é de 5% ao semestre. 10% semestres i semestre 2 = 10% = 5% O exercício pediu a taxa efetiva anual. Ou seja, precisamos achar outra taxa, equivalente à taxa de 5% ao semestre, que também seja efetiva. Prof. Vítor Menezes 72

73 Para tanto, criamos dois investimentos equivalentes. Primeiro investimento: aplicamos R$ 1,00 a uma taxa de 5% ao semestre, durante 2 semestres. O montante obtido será: = 1 1,05 = 1,1025 Segundo investimento: aplicamos R$ 1,00 a uma taxa k ao ano, durante 1 ano. Para que os dois investimentos sejam equivalentes, o montante deve ser igual a 1,1025. A taxa efetiva anual é de 10,25%. Gabarito: D = ,1025 = 1 + = 0,1025 = 10,25% Questão 39 SEFAZ PB 2006 [FCC] A taxa de juros nominal de 36% ao ano, com capitalização mensal, corresponde a uma taxa efetiva de a)[1,36 1] ao mês. b) 9% ao trimestre c) 1,03 1 ao bimestre d) 12 (1,36 1 ) ao ano e) ( 1,36 1) ao semestre Resolução: Primeiro convertemos a taxa nominal em efetiva, usando regra de três. 36% meses i mês 12 = 36% = 3% A taxa efetiva é de 3% ao mês. Com isso, já descartamos a alternativa a, que traz uma taxa mensal completamente diferente de 3%. As demais alternativas trazem taxas em outras unidades de tempo. Vamos testar a alternativa B. Para achar a taxa trimestral, criamos dois investimentos equivalentes. Prof. Vítor Menezes 73

74 1º investimento: capital de R$ 1,00, aplicado durante 3 meses, a uma taxa de 3% ao mês: = 1,03 A taxa trimestral é igual a 1,03 1. Descartamos a alternativa B. 2º investimento: mesmo capital, mesmo montante, mesmo prazo, a uma taxa trimestral k: 1,03 = = 1,03 1 Vamos testar a alternativa C. Para achar a taxa bimestral, criamos dois investimentos equivalentes. 1º investimento: capital de R$ 1,00, aplicado durante 2 meses, a uma taxa de 3% ao mês: = 1,03 A taxa bimestral é igual a: Alternativa correta. Gabarito: C = 1,03 1 2º investimento: mesmo capital, mesmo montante, mesmo prazo, a uma taxa bimestral k: 1,03 = = 1,03 1 Se fôssemos testar as demais alternativas, obteríamos: - taxa anual: 1, taxa semestral: 1,03 1 Questão 40 MP RS 2008 [FCC] A taxa nominal i ao ano, com capitalização mensal, corresponde a uma taxa efetiva anual de 12 a) 12 (1 + i ) 1 i 12 b) 12 (1 + ) i c) (1 + i) d) i e) Prof. Vítor Menezes 74

75 Resolução: Primeiro achamos a taxa efetiva mensal, a partir da taxa nominal. Basta aplicar regra de três. A taxa mensal é igual a. i meses x mês. 12 = = 12 Em seguida, criamos dois investimentos equivalentes: 1º investimento: capital de R$ 1,00, aplicado durante 12 meses, a uma taxa de i/12 ao mês: = º investimento: mesmo capital, mesmo montante, mesmo prazo, a uma taxa anual k: = = Gabarito: C Questão 41 IRB 2004 [ESAF] Indique qual a taxa anual de juros compostos que equivale a uma taxa de juros compostos de 2% ao mês. a) 24% b) 24,24% c) 24,48% d) 24,96% e) 26,8242% Resolução: Vamos criar dois investimentos equivalentes. Primeiro investimento: aplicamos R$ 100,00, durante um ano, a uma taxa de 2% ao mês. Qual o montante obtido? ( i) n M = C 1 + Prof. Vítor Menezes 75

76 O capital é de 100,00, a taxa é de 2% ao mês. O prazo também tem que estar em meses. Um ano equivale a doze meses. Consultando a tabela I: M = M ( 1 0,02) 12 = 100 1,2682 M = 126,82 Segundo investimento: aplicamos R$ 100,00, durante um ano, a uma taxa k ao ano. O montante obtido foi de R$ 126,82. Assim, este segundo investimento é equivalente ao primeiro, pois, a partir de um mesmo capital, aplicado durante o mesmo período de tempo, obtivemos o mesmo montante. Vamos achar o valor de k. ( i) n M = C 1 + O capital é de 100,00, a taxa é de k ao ano. O prazo é de um ano. ( 1+ ) 1 126,82 = 100 k 1,2682 = ( 1+ k) k = 0,2682 = 26,82% Dizemos que a taxa de 26,82% ao ano é equivalente à taxa de 2% ao mês (considerando juros compostos). Gabarito: E. Questão 42 IRB 2006 [ESAF] Indique o valor mais próximo da taxa de juros equivalente à taxa de juros compostos de 4% ao mês. a) 60% ao ano b) 30% ao semestre c) 24% ao semestre d) 10% ao trimestre e) 6% ao bimestre Resolução: Antes de começarmos a fazer contas, observemos alguns pontos. Caso estivéssemos diante de um problema de juros simples, bastaria aplicar a regra de três. Aplicando a regra de três, a taxa equivalente semestral seria de 24%. Observem a letra C. Ela corresponde exatamente à taxa que seria obtida por meio de uma regra de três. Mas regra de três só vale quando os juros forem simples (não é o caso desta questão). Portanto, a letra C está errada. Prof. Vítor Menezes 76

77 Aplicando a regra de três, a taxa equivalente trimestral seria de 12%. Ou seja, a taxa de 4% (juros simples) ao mês, aplicada sobre um dado capital, durante três meses, aumentaria o capital em 12%. Contudo, como temos na verdade juros compostos, a taxa de 4% ao mês, ao final de três meses, vai aumentar o capital em mais de 12%. Juros compostos sempre promovem um aumento mais rápido do capital, porque há incidência de juros sobre juros. Portanto, a taxa equivalente trimestral deveria ser maior que 12%. Logo, a letra D está errada. Vamos continuar supondo um caso de juros simples. Aplicando a regra de três, a taxa equivalente bimestral seria de 8%. Ou seja, a taxa de 4% (juros simples) ao mês, aplicada sobre um dado capital, durante dois meses, aumentaria o capital em 8%. Contudo, como temos na verdade juros compostos, a taxa de 4% ao mês, ao final de dois meses, vai aumentar o capital em mais de 8%. Isto porque juros compostos sempre promovem um aumento mais rápido do capital. Logo, a letra E também está errada. Ficamos entre as letras A e B. Vamos achar a taxa equivalente ao ano. Para tanto, vamos criar dois investimentos equivalentes. Primeiro investimento: Aplicamos R$ 100,00 durante um ano a uma taxa de 4% ao mês. Qual o montante obtido? ( i) n M = C 1 + A taxa está ao mês. Um ano equivale a doze meses. Consultando a tabela I: Segundo investimento: M = ( 1 0,04) 12 M = 100 1,6010 = 160,10 Aplicamos R$ 100,00 durante um ano a uma taxa de k ao ano obtendo um montante de R$ 160,10. Este segundo investimento é equivalente ao primeiro. A partir de um mesmo capital, aplicado durante o mesmo tempo, obtemos o mesmo montante. Portanto, a taxa k, ao ano, é equivalente à taxa de 4% ao mês. ( i) n M = C 1 + A taxa é de k ao ano. O período é de um ano. ( 1+ ) 1 160,10 = 100 k ( 1+ ) 1 1,6010 = k k = 0,6010 = 60,10% Dizemos que a taxa de 60,10% ao ano é equivalente à taxa de 4% ao mês. Ficou bem próximo do valor da alternativa A. Prof. Vítor Menezes 77

78 Vamos agora achar a taxa equivalente ao semestre. Vamos novamente criar dois investimentos equivalentes. Primeiro investimento: Aplicamos R$ 100,00 durante um semestre a uma taxa de 4% ao mês. Qual o montante obtido? ( i) n M = C 1 + M = ( 1 0,04) 6 Consultando a tabela I: M = 100 1,2653 M = 126,53 Segundo investimento: aplicamos R$ 100,00 durante um semestre a uma taxa de k ao semestre, obtendo um montante de R$ 126,53. Qual a taxa k? Ficou longe do valor da alternativa b. ( i) n M = C 1 + ( 1+ ) 1 126,53 = 100 k 1,2653 = ( 1+ k) k = 0,2653 = 26,53% Descartamos a letra b e ficamos com a a. Gabarito: A Questão 43 STN 2005 [ESAF] Em uma campanha promocional, o Banco A anuncia uma taxa de juros de 60 % ao ano com capitalização semestral. O Banco B, por sua vez, anuncia uma taxa de juros de 30% ao semestre com capitalização mensal. Assim, os valores mais próximos das taxas de juros efetivas anuais dos Bancos A e B são, respectivamente, iguais a: a) 69 % e 60 % b) 60 % e 60 % c) 69 % e 79 % d) 60 % e 69 % e) 120 % e 60 % Prof. Vítor Menezes 78

79 Resolução: Comecemos pelo banco A. A taxa é de 60% ao ano. A capitalização é semestral. O período de capitalização não coincide com o período da taxa. Portanto, a taxa nominal de 60% ao ano não é efetiva. Neste caso, a taxa nominal só serve para aplicarmos a regra de três e encontramos a taxa efetiva. Aplicando a regra de três: Multiplicando cruzado: 60% corresponde a 2 semestres (=1 ano) i corresponde a 1 semestre 60% i % 1 = i 2 i = 30% A taxa efetiva é de 60% ao semestre. Só que o exercício pediu a taxa efetiva anual. Precisamos encontrar a taxa anual que equivale à taxa de 30% ao semestre. Para tanto, vamos criar dois investimentos equivalentes. Primeiro investimento: aplicamos R$ 100,00, a uma taxa de 30% ao semestre, durante 2 semestres (=1 ano). Qual o montante obtido? M = C ( 1+ i) M = 100 (1 + 0,3) Segundo investimento: aplicamos R$ 100,00, a uma taxa k ao ano, durante 1 ano, obtendo um montante de R$ 169,00. Esta taxa anual k é equivalente à taxa de 30% ao semestre. Ficamos entre as letras A e C. M = C ( 1+ i) n 2 = n = 100 (1 + k ) k = 69% Vamos agora para o banco B. A taxa é de 30% ao semestre. A capitalização é mensal. O período de capitalização não coincide com o período da taxa. Portanto, a taxa nominal de 30% ao semestre é apenas nominal, mas não é efetiva. A taxa nominal serve só para aplicarmos a regra de três e encontramos a taxa efetiva. Aplicando a regra de três. 30% corresponde a 6 meses (=1 semestre). i corresponde a 1 mês. 30% i Prof. Vítor Menezes 79

80 Multiplicando cruzado: 30 % 1 = 6 i i = 5% A taxa efetiva é de 5% ao mês. Só que o exercício pediu a taxa efetiva ao ano. Vamos achar a taxa anual que é equivalente à taxa de 5% ao mês. Temos duas opções. Ou a taxa efetiva anual é de 60% ao ano, ou é de 79%. Caso estivéssemos num caso de juros simples, bastaria fazer a regra de três. E acharíamos exatamente 60% ao ano. Ou seja, a letra A só seria obtida caso o banco B trabalhasse com juros simples. Não é o caso. Descartamos a letra A e ficamos com a letra C. De todo modo, vamos fazer as contas. Vamos criar os dois investimentos equivalentes: Primeiro investimento: aplicamos 100,00 a uma taxa de 5% ao mês, durante 12 meses (=1 ano). Qual o montante obtido? Consultando a tabela I: M = C ( 1+ i) M = 100 (1 + 0,05) M = 100 1,7959 M = 179,59 Segundo investimento: aplicamos 100,00 a uma taxa anual k, durante 1 ano, obtendo um montante de 179,59. Este segundo investimento produz o mesmo montante do primeiro, a partir do mesmo capital, aplicado durante o mesmo prazo. Portanto, a taxa k é equivalente à taxa de 5% ao mês. M = C ( 1+ i) 1 179,59 = 100 (1 + k ) k = 79,59% Portanto, os valores mais próximos das taxas efetivas anuais são 69% e 79%. Gabarito: C n n Convenção linear e convenção exponencial Existem situações em que o número de períodos não é inteiro. Exemplo: aplicamos nosso capital em um banco que paga 10% ao ano (taxa efetiva), durante 2,5 anos. Notem que o período de aplicação é fracionário (dois anos e meio). Quando isso ocorre, ou seja, quando o número de períodos não for inteiro, há duas formas de proceder, chamadas de convenção linear e convenção exponencial. Vejamos com um exercício a diferença entre as citadas convenções. Prof. Vítor Menezes 80

81 Questão 44 AFRFB 2003 [ESAF] Um capital é aplicado a juros compostos à taxa de 40% ao ano durante um ano e meio. Calcule o valor mais próximo da perda percentual do montante considerando o seu cálculo pela convenção exponencial em relação ao seu cálculo pela convenção linear, dado que 1,40 1,5 =1, a) 0,5% b) 1% c) 1,4% d) 1,7% e) 2,0% Resolução. A taxa é de 40% ao ano. Como o exercício nada falou sobre o período de capitalização, podemos supor que é anual, de modo que a taxa nominal de 40% seja também efetiva. Quando o número de períodos é um número fracionário, é complicado calcular o montante. Neste caso, o capital é aplicado a uma taxa de 40% ao ano, durante 1,5 anos (observem que temos a parte fracionária de meio ano). O que fazer com esta parte fracionária? Lembrando da fórmula do montante: M = C ( 1+ i) A parte fracionária está no expoente e isso dificulta as coisas. Como fazer para, sem calculadora, lidarmos com expoentes quebrados como 2,5 ou 1,7 ou 3,45? Nestas situações, há duas maneiras de procedermos. No primeiro caso, utilizamos a convenção exponencial. Simplesmente aplicamos a fórmula normalmente, com expoente fracionário mesmo. Para tanto, o exercício tem que fornecer informações que permitam o cálculo. Ficamos com: M = C ( 1+ 0,4) O exercício tem que fornecer o valor de 1,4 1,5. E de fato isto foi feito. O exercício informou este valor. Podemos fazer a conta com o expoente 1,5 mesmo. M = C ( 1+ 0,4) M n 1,5 1,5 = C 1, A outra opção é a convenção linear. Fazemos uma forma mista. No período de 1 ano, que é a parte inteira do prazo, nós utilizamos juros compostos. No período de 0,5 anos, que é a parte fracionária, nós usamos juros simples. Assim: Prof. Vítor Menezes 81

82 Nesta fórmula temos: M é o montante C é o capital i é a taxa z M = C ( 1+ i) (1 + q i) z é a parte inteira do prazo (neste exercício o prazo é 1,5; portanto z é igual a 1) q é a parte fracionária do prazo (neste exercício o prazo é 1,5; q é igual a 0,5) Esta fórmula é uma mistura de juros simples com juros compostos. parte com juros simples M z = C ( 1+ i) (1 + q i) Pronto, agora as contas ficam bem mais fáceis. z M = C ( 1+ i) (1 + q i) z é a parte inteira do período. Como o período é de 1,5 anos, a parte inteira é de 1 ano. q é a parte fracionária do período. No caso, é igual a 0,5 anos. z M = C ( 1+ i) (1 + q i) 1 M = C (1 + 0,4) (1 + 0,5 0,4) M = C ( 1+ 0,4) (1 + 0,2) = C 1,68 Observe que o montante calculado pela convenção exponencial é menor que o montante calculado pela convenção linear. Isto sempre acontece! Estranho, não? parte com juros compostos Na convenção exponencial, aplicamos apenas a fórmula de juros compostos. Na convenção linear, usamos juros simples para o período fracionário. E, mesmo assim, a convenção linear fornece um montante maior. É uma idéia corrente a de que juros compostos sempre produzem montantes superiores aos que seriam obtidos com juros simples. Acontece que isso só é verdade quando o número de períodos é maior que 1 ( n > 1). Quando o número de períodos é menor que 1, aí a situação se inverte. É o regime simples quem fornece montantes maiores. Neste exercício, a diferença entre ambos é de: 1,656502C 1,68C = 0, C Prof. Vítor Menezes 82

83 Esta diferença é a perda que se tem quando se considera a convenção exponencial em vez de se considerar a convenção linear. Só que foi perguntado o seguinte: esta perda corresponde a quantos por cento do montante calculado pela convenção linear (=1,68C)? Para calcular o percentual basta dividir os dois valores: 0,023498C 1,68C 1,4% As alternativas não trouxeram o sinal negativo. É que, quando falamos em perda, fica meio que implícito o sinal negativo. Gabarito: C Questão 45 COFECON 2009 [UNIVERSA] Mediante o raciocínio utilizado na matemática financeira por meio de um gráfico comparativo entre o valor dos juros simples e o dos juros compostos, assinale a alternativa incorreta. (A) Os juros crescem linearmente ao longo do tempo no regime de capitalização simples, sendo seu valor constante durante os períodos. (B) Os juros crescem exponencialmente ao longo do tempo no regime de capitalização composta, e o montante calculado até o período anterior serve como base de cálculo para os juros do próximo período. (C) O valor dos juros simples e dos juros compostos é igual no primeiro período de capitalização. (D) É correto afirmar que, antes do primeiro período de capitalização, o valor dos juros simples é inferior ao dos juros compostos, sendo ambos calculados com base na mesma taxa de juros (i) aplicada sobre o mesmo capital (C). (E) Após o primeiro período de capitalização, o valor dos juros compostos é superior ao valor dos juros simples. Resolução. A questão não é propriamente de convenção linear e exponencial, mas explora o comportamento dos juros em períodos fracionários. Letra A: A redação não ficou muito boa. A questão quis dizer que: - os juros crescem linearmente ao longo do tempo (no regime simples); - além disso, o incrementos são constantes (ou seja, o juro referente a cada unidade de tempo é constante). Isto é correto. Prof. Vítor Menezes 83

84 Para melhor visualização, considere o juro obtido pela aplicação de R$ 100,00, a uma taxa de 20% ao mês (regime simples). O juro do primeiro mês é de R$ 20,00. Ao final do segundo mês, o juro é de R$ 40,00. Ao final do terceiro mês, o juro é de R$ 60,00. Ao final do quarto mês, o juro é de R$ 80,00. Observem como o juro vai aumentando linearmente com o tempo. A cada acréscimo de 1 mês no intervalo de tempo, há acréscimo de R$ 20,00 no juro acumulado. Além disso, os incrementos são sempre de R$ 20,00. Ou seja, os juros de cada mês são sempre de R$ 20,00. Alternativa correta. Letra B. No regime composto, o montante é dado por: Logo, o juro fica: = 1 + = = [ 1 + 1] Observem que o número de períodos está no expoente. Por isso a alternativa afirma que os juros crescem exponencialmente com o tempo. Além disso, todo o montante obtido ao final de dado período servirá de base de cálculo para os próximos juros, conforme explicamos na resolução do Exemplo 10. Alternativa correta. Letra C. Realmente, os juros coincidem para os dois regimes quando o número de períodos é igual a 1 (vide comentários feitos na resolução do Exemplo 10). Letra D: Antes do primeiro período de capitalização é o juro simples quem fornecerá maior montante. Estudamos isso no tópico sobre convenção linear e convenção exponencial. Vimos que a convenção linear fornece maior montante do que a convenção exponencial. Isto ocorre porque, para períodos fracionários, a fórmula de juros simples fornece um montante maior que a fórmula de juros compostos. Alternativa errada. Gabarito: D Prof. Vítor Menezes 84

85 Apesar de já termos identificado a alternativa incorreta, vamos analisar a letra E. Letra E: Quando n > 1, realmente a fórmula de juros compostos fornece um montante superior ao obtido pela fórmula de juros simples. Comentamos isso na fl. 82. Questão 46 SEFAZ PB 2006 [FCC] Um capital no valor de R$ ,00 foi investido a uma taxa de juros compostos de 10% ao ano, durante 2 anos e 3 meses. O montante no final do período, adotando a convenção linear, foi igual a (A) R$ ,00 (B) R$ ,05 (C)) R$ ,00 (D) R$ ,00 (E) R$ ,00 Resolução: 3 meses correspondem a 1/4 do ano. Logo, o capital foi investido durante 2,25 anos. Aplicando a fórmula do montante para juros compostos: = 1 + = ,1, O expoente é fracionário. Quando isso acontece, podemos usar as convenções linear e exponencial. O exercício pediu para utilizarmos a convenção linear. Ou seja, consideramos juros compostos referentes à parte inteira do prazo e juros simples referentes à parte fracionária. O montante fica: Gabarito: C = , ,1 0,25 = ,21 1,025 = DESCONTO COMPOSTO Não sei se vocês repararam, mas a fórmula do montante para juros compostos é muito semelhante à fórmula do montante para juros simples. A única diferença é que o n, que no regime simples aparecia multiplicando, foi colocado no expoente. Prof. Vítor Menezes 85

86 Regime simples (n multiplicando): = (1 + ) Regime composto (n no expoente): = 1 + Com esta mesma mudança, podemos partir das fórmulas de desconto simples para chegar às fórmulas de desconto composto Desconto racional composto Exemplo 12 Pedro pegou um dinheiro emprestado com João. Os dois combinaram que a dívida seria quitada em 15/12. O valor da dívida, nesta data, seria de R$ 1.300,00, incluindo principal mais juros. Contudo, em 15/10, Pedro consegue um dinheirinho a mais, suficiente para quitar a dívida com João. Os dois acertam uma taxa de desconto racional composto de 2% ao mês. Nestas condições, qual o valor que quita a dívida, em 15/10? Resolução. Exercício muito semelhante ao Exemplo 6. A única diferença é que naquela questão o desconto era racional simples. E agora é racional composto. Mas a ideia é quase a mesma. Pedro pegou o dinheiro de João emprestado. Por conta disso, paga juros. Contudo, Pedro consegue dinheiro para pagar a dívida antes do prazo combinado. Portanto, tem direito a pagar menos juros. Este juro que se deixa de pagar é o desconto. Lembram da fórmula do valor atual vista lá em desconto simples racional? Era a seguinte: Olhe só o n multiplicando. N A = ( 1+ i n) Se quisermos que o desconto seja composto racional, basta pegar o n e colocar no expoente. A fórmula do valor atual quando o desconto é racional composto fica: Onde: A = N ( 1 + i A é o valor atual (valor da dívida em 15/10; neste exemplo, é o valor que queremos calcular) N é o valor nominal (valor da dívida em 15/12; neste caso, é igual a R$ 1.300,00). ) n Prof. Vítor Menezes 86

87 n é o número de períodos de antecipação (o pagamento é antecipado em dois meses; portanto n = 2) i é a taxa de desconto (neste exemplo, é igual a 2%, ou 0,02) Substituindo os valores ficamos com: A = A = A = N ( 1+ i ) n (1 + 0,02) ,0404 A =1.249,52 Portanto, o valor que quita a dívida em 15/10 é de R$ 1.249,52. 2 Vamos calcular o desconto conseguido por Pedro: D = N A D = ,52 D = 50,48 TOME NOTA!!! N A = n ( 1+ i) (vale só para desconto racional composto) D = N A (vale para qualquer tipo de desconto) n [( 1+ i) 1] D = A (decorrente das duas anteriores; só vale para desconto racional composto). Esta terceira fórmula pode ser obtida a partir das duas anteriores. Podemos isolar o valor nominal: E o desconto fica: N A = N = A (1 + i) n (1 + i) D = N A D = A ( 1+ i) D = A n A n [( 1+ i) 1] n Prof. Vítor Menezes 87

88 Exemplo 13 Vamos dar continuidade ao problema anterior. Suponha que Pedro pagou os R$ 1.249,52 ao João, no dia 15/10, às 10 horas da manhã, quitando assim sua dívida. Pois bem, nesse mesmo dia, à tarde, Mário, o irmão de Pedro, foi preso. Pedro teve que ir pagar a fiança. Por coincidência, a fiança era exatamente de R$ 1.249,52. Às 16 horas Pedro liga para João e pede emprestado os R$ 1.249,52 que acabara de lhe entregar. João empresta o dinheiro. Os dois combinam uma taxa de juros compostos de 2% ao mês. Em 15/12, Pedro quita sua nova dívida com João. Pergunta: qual o valor que, em 15/12, quita a dívida. Resolução. Exercício muito semelhante ao Exemplo 7Exemplo 6Exemplo 7. Agora não temos mais um problema de desconto. Temos um problema de juros compostos. A fórmula do montante para juros compostos é: ( i) n M = C 1 + M = 1.249,52 A dívida, em 15/12, novamente ficou em R$ 1.300,00. ( 1+ 0,02) 2 = A exemplo do que já vimos em juros simples, novamente observamos a correspondência entre juros e desconto. O desconto racional composto corresponde perfeitamente ao juro composto. Um valor nominal de R$ 1.300,00, sofrendo um desconto racional composto de 2% ao mês, devido a uma antecipação de pagamento de 2 meses, resulta num valor atual de R$ 1.249,52. E um capital de R$ 1.249,52, rendendo juros compostos de 2% ao mês, durante 2 meses, resulta num montante de R$ 1.300,00. As fórmulas de juros compostos e desconto racional composto são equivalentes. Vamos partir da fórmula de juros compostos: Agora vamos trocar os nomes. V.atual Desconto V. nominal 1.249, ,48 = Capital Juros Montante ( i) n M = C 1 + Prof. Vítor Menezes 88

89 No lugar do montante, colocamos o valor nominal. Ambos se referem à quantia de dinheiro lá em 15/12. No lugar do capital, colocamos o valor atual. Ambos se referem à quantia de dinheiro em 15/10. Ficamos com: Isolando o valor atual: ( i) n N = A 1 + N A = 1+ ( i) n Que é exatamente a fórmula vista para o valor atual, no caso de desconto racional composto. Devido a esta correspondência entre juros compostos e desconto racional composto, a taxa de juros praticada no desconto racional é também chamada de taxa efetiva. Então temos: juros simples e desconto racional simples se correspondem juros compostos e desconto racional composto se correspondem Por isso podemos pensar que o desconto racional corresponde aos juros que se deixam de pagar. Quando estudamos o regime simples, vimos que, em juros e descontos simples, esta afirmativa é quase verdadeira. E dissemos que no caso de juros e descontos compostos a afirmativa é efetivamente correta. Vejamos o porquê disso. Para tanto, vamos retomar o Exemplo 7. Lá vimos a perfeita correspondência entre desconto racional simples e juros simples. O valor nominal é igual ao montante. O valor atual é igual ao capital. O juro corresponde ao desconto. Mas, no caso de juros simples e desconto simples, a correspondência só vale para algumas datas bem específicas. Já no caso de juros e descontos compostos, a correspondência vale para quaisquer datas. Vamos mudar um pouco as datas e valores. Exemplo 14 Pedro pegou emprestado com João o valor de R$ 1.250,00, no dia 15/10. A divida deveria ser paga em 15/12, no valor de R$ 1.300,00. Contudo, em 15/11, Pedro consegue um dinheirinho a mais e já pode pagar João. Calcule o valor que quita a dívida considerando: a) que os dois combinam uma taxa de juros simples de 2% ao mês b) que os dois combinam uma taxa de desconto racional simples de 2% ao mês. Prof. Vítor Menezes 89

90 Resolução: Letra A: Se os dois combinam uma taxa de juros simples de 2% ao mês, temos o seguinte. Ao final do primeiro mês, Pedro já deve a João os R$ 1.250,00 iniciais mais um juro de 2%. Ou seja, ao final do primeiro mês os juros devidos são de: J = 0, = 25 Portanto, o valor que quita a dívida em 15/11 é de R$ 1.275,00 (1,250 de valor inicial mais 25 de juros) E, caso Pedro ficasse mais um mês com o dinheiro de João, teria que pagar mais R$ 25,00 de juros, completando o valor de R$ 1.300,00. Portanto, antecipando o pagamento em um mês, Pedro deixa de pagar um juro de R$ 25,00. Estes R$ 25,00 não são pagos justamente porque Pedro ficou menos tempo com o dinheiro de João. Letra B: Devido à antecipação de pagamento, Pedro terá direito de pagar um valor menor a João. Aplicando a fórmula de valor atual para o caso de desconto racional simples temos: A = N A = ( 1+ i n) = 1.274,51 (1 + 0,02 1) E o valor que quita a dívida em 15/11, considerando a condição de desconto considerada, é de R$ 1.274,51. Observe que os valores da letra A e da letra B não são iguais. Ora, mas a ideia do desconto não é justamente que Pedro pague menos, por ter ficado menos tempo com o dinheiro de João? A ideia não é que o desconto corresponda ao juro que se deixa de pagar? Sim, a ideia é esta. Exatamente na data em que se constitui a dívida (no caso, 15/10), há a correspondência. Se nesse mesmo dia, Pedro quitar a dívida, o desconto conseguido corresponde exatamente ao juro que se deixa de pagar. Por isso, lá no Exemplo 7, pudemos verificar a correspondência perfeita entre juro e desconto racional simples. Contudo, para qualquer outra data, a correspondência não é mais perfeita. Para qualquer outra data, o juro que se deixa de pagar (usando juros simples) é um pouco diferente do desconto conseguido (usando desconto racional simples). Prof. Vítor Menezes 90

91 Já no caso de juros compostos e desconto racional composto, esta correspondência perfeita ocorre para qualquer data. Vamos ver outro exercício. Exemplo 15 Pedro pegou emprestado com João R$ 1.000,00, no dia 15/10. A dívida deveria ser quitada em 15/12, no valor de R$ 1.040,40. Contudo, em 15/11, Pedro consegue um dinheirinho a mais, podendo quitar a dívida. Calcule o valor que quita a dívida, considerando: a) que os dois combinam uma taxa de juros compostos de 2% ao mês b) que os dois combinam uma taxa de desconto racional composto de 2% ao mês Resolução: Letra A O montante ao final do primeiro mês é de: E os juros são: 1 ( 1+ 0,02) 1.020, 00 M 1 = = M = C + 1 J = J J1 1 = Ao final do primeiro mês, os juros devidos são de 20,00. Portanto, o valor que quita a dívida em 15/11 é de R$ 1.020,00. Caso Pedro ficasse mais um mês com o dinheiro de João, o montante ao final do segundo mês ficaria: 20 2 ( 1+ 0,02) 1.040, 40 M 2 = = E a dívida seria exatamente de R$ 1.040,40, exatamente como combinado pelos dois amigos, lá em 15/10. Ao final do segundo mês, o total dos juros estaria em: 1.040,40 M = C + J = J J = 40,40 Se pagasse a dívida em 15/12, o total de juros devido seria de R$ 40,40. Contudo, pagando a dívida em 15/11, o total de juros devido é de R$ 20,00. Portanto, com o pagamento antecipado da dívida, Pedro deixa de pagar um juro de R$ 20,40. Letra B Aplicando a fórmula do valor atual para o desconto racional composto, temos: Prof. Vítor Menezes 91

92 A = N A = ( 1+ i n) 1.040,40 = 1.020,00 (1 + 0,02 1) E o valor que quita a dívida foi de R$ 1.020,00. Exatamente o mesmo valor calculado na letra A. O desconto conseguido foi: D = N A D = 1.040, = 20,40 O desconto conseguido corresponde exatamente ao juro que se deixa de pagar. Assim, no caso de juros compostos e desconto racional composto, a correspondência entre o desconto e o juro que se deixa de pagar é perfeita, para qualquer data Desconto composto comercial Este é outro tipo de desconto. Também é chamado de desconto por fora. Ao contrário do desconto racional, a fórmula relativa ao desconto comercial não guarda correspondência com a fórmula de juros compostos. Nessa aula já estudamos o desconto comercial. Só que era o desconto comercial simples. A fórmula do valor atual naquele caso era: A = N ( 1 n i) Pois bem, para chegar à fórmula do valor atual quando o desconto é comercial composto, pegamos o n que está multiplicando e colocamos como expoente. Fica assim: A = N ( 1 i) n TOME NOTA!!! Fórmulas para desconto comercial composto. A ) n = N ( 1 i (vale só para desconto comercial composto) D = N A (vale para qualquer tipo de desconto) Questão 47 SEFAZ PB 2006 [FCC] Um título é resgatado 2 anos antes do vencimento, segundo o critério do desconto racional composto. Se a taxa utilizada foi de 10% ao ano e o valor do desconto resultou em R$ 4.620,00, o valor nominal do título é (A) R$ ,00 Prof. Vítor Menezes 92

93 (B) R$ ,00 (C) R$ ,00 (D) R$ ,00 (E) R$ ,00 Resolução: O desconto é a diferença entre valor nominal e atual. = = No desconto racional composto, o valor atual é dado por: = (1 + ). Logo: = = 1,1 Multiplicando os dois lados da igualdade por 1,1 2 : Gabarito: E ,1 = 1, ,21 = 1,21 = 0,21 = ,21 0,21 = Questão 48 SEFAZ SP 2009 [FCC] Um título é descontado dois anos antes de seu vencimento, a uma taxa positiva i ao ano. Se for utilizado o desconto racional composto, o valor atual do título é igual a R$ ,00 e, se for utilizado o desconto comercial composto, o valor atual é igual a R$ ,00. O valor nominal deste título é igual a (A) R$ ,00 (B) R$ ,00 (C) R$ ,00 (D) R$ ,00 (E) R$ ,00 Pancada!!! Resolução: O período de antecipação é de 2 anos e a taxa é i ao ano. O valor atual no desconto racional composto é: Prof. Vítor Menezes 93

94 = = 1 + O valor atual no desconto comercial composto é: Dividindo a segunda equação pela primeira: Extraindo a raiz quadrada de ambos os lados: Voltando na equação I: Gabarito: B (equação I) 1 + = = 1 (equação II) = ,9216 = ,96 = ,96 = 1 = 0,04 = 0, = 1 + = = ,2 = Questão 49 SEFAZ/CE 2006 [ESAF] Uma empresa desconta um título no valor nominal de R$ ,00 quatro meses antes do seu vencimento por meio de um desconto racional composto calculado à taxa de 3% ao mês. Calcule o valor mais próximo do valor do desconto. a) R$ ,20. b) R$ ,00. c) R$ ,10. d) R$ ,33. e) R$ ,00. Resolução: Vamos calcular o valor atual, quando o desconto é racional composto: N A = 1+ ( i) n Prof. Vítor Menezes 94

95 Consultando a tabela I: A = ( 1+ 0,03) A = 1,12551 A = Tendo o valor atual, podemos calcular o desconto: Gabarito: B D = N A D = , = Questão 50 AFRFB 2005 [ESAF] O valor nominal de uma dívida é igual a 5 vezes o desconto racional composto, caso a antecipação seja de dez meses. Sabendo-se que o valor atual da dívida (valor de resgate) é de R$ ,00, então o valor nominal da dívida, sem considerar os centavos, é igual a: a) R$ ,00 b) R$ ,00 c) R$ ,00 d) R$ ,00 e) R$ ,00 Resolução: Sabemos que: D = N A Mas o valor nominal é igual a 5 vezes o desconto. Substituindo o Valor Atual: D = 5 4 D = D A A 4 D = D = E o valor nominal é igual a 5 vezes o desconto: N = = Gabarito: B Prof. Vítor Menezes 95

96 Questão 51 CVM 2010 [ESAF] Um título é descontado quatro meses antes do seu vencimento a uma taxa de desconto de 5% ao mês, sendo o valor do desconto racional composto calculado em R$ 4.310,00. Marque o valor mais próximo do valor nominal do título. a) R$ ,00 b) R$ ,00 c) R$ ,00 d) R$ ,00 e) R$ ,00 Resolução: Usando a fórmula do valor atual para o caso do desconto racional composto: = 1 + Lembrando que o valor nominal é igual à soma entre o valor atual e o desconto ( = + ). Portanto: = + 1,05 1,05 = + 1,05 1 = = ,05 1 Consultando a tabela I, encontramos o valor de 1,05 4 : = , = , Temos duas possibilidades: podemos fazer a conta exata, ou podemos aproximar. Vamos aproximar: ,2 Essa pequena alteração no denominador já influencia significativamente o resultado. Isso porque o denominador já era bem pequeno (0,215506). Ao aproximarmos para 0,2, em termos percentuais, estamos reduzindo bastante o dividendo. Logo, estamos aumentando indevidamente o resultado. Vamos lá. Prof. Vítor Menezes 96

97 Dividir algo por 0,2 é o mesmo que multiplicar por 5 (pois 0,2 é o inverso de 5): Logo: = = Este é, exatamente, o valor que consta da alternativa D. Mas nós aproximamos. Na verdade, o denominador é um pouco maior que 0,2. Portanto, o resultado para o valor atual deveria ser um pouco menor que Consequentemente, o valor nominal deve ser um pouco menor que Com isso marcamos letra B. Gabarito: B Se você se sentir mais seguro, faça a conta inteira: 7. INFLAÇÃO = , = ,44 = + = , = ,44 Inflação é um aumento generalizado e persistente no valor dos preços dos produtos. Em economias em que existe inflação, o poder de compra do dinheiro varia (diminui) ao longo do tempo. É muito complicado mensurar esta elevação dos preços. Isso acontece porque ela não é homogênea. Os aumentos de preços variam conforme tipo de produto (alimentos, combustíveis, medicamentos etc.), região do país, entre outros fatores. Vários índices são usados para tentar capturar este efeito dos preços. Temos o INPC, o IPCA, o IGP e outros mais. Todos eles se baseiam na ideia de usar uma cesta de produtos padrão, ou seja, escolher alguns produtos que servirão de parâmetro para determinar o valor da inflação em um determinado período. O preço desta cesta de produtos é pesquisado em um período base e depois num período posterior. O aumento ponderado destes preços é tido como a taxa de inflação. Para dar um exemplo bem grosseiro, vamos pensar no preço do quilo da laranja. Imagine que este preço reflita de forma satisfatória a inflação de um mercado. Isto significa que o aumento do quilo da laranja coincide com o aumento médio de todos os preços deste mercado. No dia 1º de janeiro de 2009, o quilo da laranja custava R$ 1,50. Pesquisamos novamente o quilo da laranja em 01/01/2010 e encontramos um valor médio de R$ 1,65. O aumento foi de R$ 0,15. Isto corresponde a um aumento do preço da laranja de 10%. Dizemos, neste nosso exemplo, que a inflação anual acumulada deste período foi de 10% Perda do poder de compra Prof. Vítor Menezes 97

98 Exemplo 16 O salário líquido de Clóvis em junho de 2009 era de R$ 1.000,00. Em 6 meses, houve uma inflação de 5% e o salário de Clóvis não recebeu aumento. Qual foi a perda de poder de compra sofrida pelo salário de Clóvis no período? Resolução: Para facilitar, vamos pensar que Clóvis usa todo o seu salário para comprar carne. Há 6 meses, o quilograma de carne custava R$ 10,00. Clóvis conseguia, então, comprar 100 kg de carne com seu salário. Ok. Passados 6 meses, o quilograma da carne custa R$ 10,50. Isto porque os preços foram aumentados em 5% (taxa de inflação). Neste momento, Clóvis consegue comprar apenas: ,50 = 95,24 kg de carne Antes Clóvis comprava 100 kg de carne. Agora só compra 95,24 kg. Ou seja, o poder de compra de Clóvis foi reduzido: poder _ compra _ atual poder _ compra _ antigo = 95, = 0,9524 = 95,24% A redução no poder de compra de Clóvis foi, portanto, de: 100 % 95,24% = 4,76% Podemos comparar o salário de hoje de Clóvis com o salário de 6 meses atrás. A inflação faz isso, ela diminui o valor do dinheiro. A quantidade de dinheiro é a mesma (R$ 1.000,00). Mas o que interessa é o quanto de mercadorias conseguimos comprar. Clóvis está comprando 4,76% menos do que há 6 meses. Esta foi a perda de seu poder aquisitivo. Note que, em ambientes inflacionários, o poder de compra do dinheiro diminui com o tempo Juros reais e juros aparentes. A inflação pode ser vista como uma taxa de juros que faz os valores aumentarem. Para entendermos isso, vejamos um exemplo. Aplicamos 100,00. Após dois anos, queremos obter um rendimento real (acima da inflação) de 20%. Vamos chamar a taxa real de r. r = 20% Neste período, a taxa de inflação foi de 10%. Vamos chamar a taxa da inflação de j. Prof. Vítor Menezes 98

99 j = 10% Muito bem, a pergunta é: qual o montante que deveremos obter, após dois anos, para conseguirmos o rendimento de 20% acima da inflação. Vamos por partes. Primeiro vamos calcular qual o montante a ser obtido apenas para cobrirmos o efeito inflacionário. Apenas para nos proteger da inflação, nosso dinheiro deve render 10%. Ou seja, devemos obter um montante de: 100 (1 + 10%) = 110 Com 110,00, na prática, ainda não lucramos nada. Apenas conseguimos o suficiente para não sermos atingidos pela inflação. Devemos conseguir, sobre este valor, um rendimento de 20%, para atingirmos o nosso objetivo de ganhar 20% além da inflação. Ou seja, o montante que estamos buscando é de: 110 (1 + 20%) = 132 Com R$ 132,00 nós lucramos 20% acima da inflação. Agora, vamos calcular a chamada taxa aparente (vamos chamar de i). Aparentemente nosso dinheiro rendeu R$ 32,00, ou seja, rendeu 32% do capital. Logo, a taxa aparente seria de 32% i = 32% Se não soubéssemos qualquer coisa sobre a inflação, diríamos que o rendimento foi de 32% em 2 anos. Foi exatamente isso que fizemos em todos os exercícios vistos nesta aula até este momento. Oras, se a questão nada fala sobre a inflação, só temos como calcular a taxa aparente, aquela que indica quanto, aparentemente, rendeu o dinheiro. Todas as fórmulas estudadas nesta aula, até este momento (fórmulas para juros simples, composto, desconto racional simples, desconto racional composto), todas elas levam em conta taxa aparente. Nelas, não temos informação sobre a inflação. A taxa de inflação funciona como uma espécie de juros compostos sobre a taxa real. Uma incide sobre a outra. Assim, estas três taxas (real, aparente e de inflação) se relacionam da seguinte forma: Neste nosso exemplo, note que: 1+ i = (1 + j) (1 + r) ( 1+ 32%) = (1 + 10%) (1 + 20%) TOME NOTA!!! Taxa real, taxa de inflação e taxa aparente: 1+ i = (1 + j) (1 + r) Prof. Vítor Menezes 99

100 Para aplicar esta fórmula, todas as taxas devem estar referidas ao mesmo prazo. Exemplo: todas elas devem ser mensais; ou todas elas anuais; ou todas bimestrais; e assim por diante. Questão 52 INFRAERO 2009 [FCC] Um capital de valor igual a R$ ,00 é aplicado durante um ano apresentando, no final, um montante igual a R$ ,00. Se a taxa real de juros correspondente a esta aplicação foi de 10%, tem-se que a inflação no período considerado foi de (A) 1,75% (B) 2,00% (C) 2,25% (D) 2,50% (E) 2,75% Resolução: O capital é de ,00, e o montante ao final de um período é ,00. Com isso, podemos achar a taxa aparente. A taxa real é de 10% ao ano. = = = 1, = 1,1 Para achar a taxa de inflação (j), fazemos assim: Gabarito: D 1 + = ,1275 = 1, = 1,1275 1,1 = 1,025 = 1,025 1 = 0,025 = 2,5% Questão 53 TJ PI 2009 [FCC] Uma companhia obteve um empréstimo no exterior correspondente a dólares americanos, com prazo de vencimento de 5 anos. Os juros incidem trimestralmente a uma taxa de 8% ao trimestre e são incorporados ao principal. O dólar americano estava cotado para compra no dia do empréstimo a R$ 2,00 e no dia da primeira incidência dos juros a R$ 2,20. Efetuada a atualização cambial do principal, já incorporado o valor dos juros, o débito externo da companhia equivalia, na data da primeira incidência de juros, em R$, a Prof. Vítor Menezes 100

101 (A) ,00. (B) ,00. (C) ,00. (D) ,00. (E) ,00. Resolução: Se considerarmos o dólar como uma mercadoria, ela aumentou de preço (inflação). Assim, cálculos envolvendo alterações na taxa de câmbio podem ser feitos de maneira muito semelhante aos cálculos para aumento nos preços de mercadorias em geral. O dólar aumentou 10% no período. A taxa real de juros é de 8% ao trimestre. Com isso, temos: = 10% = 8% 1 + = = 1,1 1,08 = 1,188 Tendo a taxa aparente, podemos calcular o montante: Gabarito: C = 1 + = ,188 = Questão 54 PREFEITURA DE SÃO PAULO 2007 [FCC] Um capital de R$ ,00 foi aplicado do dia primeiro de junho e no último dia de julho foi resgatado todo o montante de R$ ,30. Neste período, as taxas de inflação foram, respectivamente: Junho: 2% Julho: 2,5% A taxa real deste investimento, nesse período, foi de: a) 6,32% b) 6,00% c) 5,05% d) 5,00% e) 4,50% Resolução: Prof. Vítor Menezes 101

102 Primeiro vamos calcular a taxa de inflação para o período. Se uma mercadoria custava 100,00 no início de junho, ao final do mês seu preço aumentará 2% (por conta da inflação de junho). Seu preço passara a ser: 100 1,02 Passa mais um mês. A mercadoria tem novo aumento. Agora o aumento é de 2,5%, por conta da inflação em julho. A mercadoria custará: 100 1,02 1,025 = 100 1,0455 Logo, por conta da inflação, a mercadoria aumentou 4,55% de preço. A inflação para o bimestre foi de 4,55%. A taxa aparente pode ser obtida a partir da fórmula do montante: = ,30 = = 1, A taxa aparente para o bimestre foi de 10,8230% Finalmente, podemos calcular a taxa real para o bimestre: Gabarito: B 1 + = , = 1 + 1, = 1, ,0455 = 1,06 = 6% Questão 55 AGÊNCIA NACIONAL DE SAÚDE SUPLEMENTAR 2007 [FCC] Um investidor aplica, no início de um ano, R$ ,00; resgata o respectivo montante dois anos após. Nesta aplicação, ele obteve uma taxa real de juros de 5%. Considerando que as taxas de inflação no primeiro e no segundo ano foram, respectivamente, 5% e 8%, o investidor resgatou o montante de (A) R$ ,00. (B) R$ ,00. (C) R$ ,00. (D) R$ ,00. (E) R$ ,00. Resolução: Prof. Vítor Menezes 102

103 A taxa de inflação para o período de 2 anos é tal que: A taxa real é de 5% para o período de 2 anos. Vamos calcular a taxa aparente: 1 + = 1,05 1,08 = 1, = = 1,05 1,134 = 1,1907 = 19,07% A taxa aparente é de 19,07%, para o período de 2 anos. Agora podemos calcular o montante: Gabarito: A = 1 + = ,1907 = ,00 Questão 56 AGÊNCIA NACIONAL DE SAÚDE SUPLEMENTAR 2007 [FCC] O custo efetivo do financiamento de uma determinada operação realizada em um ano foi de 15,5%. Se a taxa de inflação correspondente a este ano foi de 10%, significa que o custo real efetivo referente a esta operação foi de (A) 4,50%. (B) 5,00%. (C) 5,50%. (D) 5,75%. (E) 6,00%. Resolução: Gabarito: B 1 + = ,155 = 1 + 1,1 1 + = 1,155 1,1 = 1,05 = 5% 8. CAPITALIZAÇÃO CONTÍNUA Este é um assunto que nunca vi sendo cobrado pela Esaf. Mas é bem curtinho, não custa nada comentar. Prof. Vítor Menezes 103

104 Existe um número muito especial, que é o chamado número de Euler. Vamos aprender um pouquinho sobre este número. Vamos calcular a seguinte quantia: =? x Primeiro, vamos fazer o caso em que x vale 1. Temos: x = 2 Agora vamos fazer o caso em que x vale 2. Neste caso, temos: Agora, para x = = 2, = 2,3707 E se fôssemos aumentando o valor de x cada vez mais? O que acontece com esta expressão? Por incrível que pareça, ela praticamente não aumenta. Se fizermos x = 1000, a expressão seria igual a 2, Se fosse possível fazer x assumir um valor infinitamente grande, a expressão seria aproximadamente igual a 2,71828, que é o tal do número de Euler, representado pela lera e. e 2,71728 Então o número de Euler é o valor assumido pela expressão 1 +, quando x tende ao infinito. Ok, agora vamos calcular a seguinte quantia: onde k é uma constante qualquer. k 1 + =? x O que acontecerá com esta expressão se formos aumentando o valor de x até o infinito? Conhecendo o número de Euler e usando propriedades da potenciação, é possível concluir que esta expressão assumirá o valor dado por:. Vejamos: 1 + = x Prof. Vítor Menezes 104

105 Vamos chamar x/k de y: = = = Se x tender ao infinito, então y também tende ao infinito. Logo, entre colchetes, temos o número de Euler: = Então o que interessa para gente, no final das contas, é que: TOME NOTA!!! Quando x tende para o infinito, a expressão 1 + tende para o número. Observação: k é uma constante. Muito bem, vamos usar este resultado em matemática financeira. Considere que um capital de R$ 1.000,00 rende 12% ao ano, com capitalização semestral. Qual o montante obtido ao final de 2 anos. A taxa efetiva semestral será de: 12% 2 Além disso, o período é de 2 anos, e cada ano tem dois semestres. O período será de: Temos: 2 2 semestres = 1 + = % 2 = 1.261,99 Prof. Vítor Menezes 105

106 Vamos refazer o exercício. Agora vamos supor que a capitalização é quadrimestral. O taxa efetiva é de: 12% 3 Além disso, o período é de 2 anos, e cada ano tem 3 quadrimestres. O número de quadrimestres é: Ficamos com: 2 3 = 1 + = % 3 = 1.265,32 Vamos refazer o exercício. Agora vamos supor que a capitalização é trimestral. A taxa efetiva é de: 12% 4 Além disso, o período é de 2 anos, e cada ano tem 4 trimestres. O número de trimestres é: Ficamos com: Supondo capitalização mensal, teremos: Se a capitalização for diária, teremos: 2 4 = 1 + = % 4 = 1.266,77 = % 12 = 1.269,73 = % 365 = 1.271,12 Se a capitalização for horária, lembrando que 1 ano tem horas, o montante será de: = % = 1.271,25 Observem que o montante praticamente não se altera. E se continuarmos diminuindo cada vez mais o período de capitalização? O que acontecerá? Prof. Vítor Menezes 106

107 Genericamente, se o prazo de 1 ano for dividido em n períodos menores, a taxa efetiva será igual a % ao período. Em 2 anos, o número de períodos será igual a 2. Com isso, o montante fica: = 1 + = % Se reduzirmos cada vez mais o período de capitalização, n vai sempre aumentando. No limite, se a capitalização for instantânea, isto é, se a todo instante os juros forem capitalizados, então n vai para o infinito. Neste caso, temos: = % Entre colchetes, temos exatamente a expressão que estudamos anteriormente. Já sabemos que a expressão entre colchetes, quando n vai para o infinito, é igual a: Logo: % = % = % = 1.271,25 Genericamente, se o capital for C, a taxa nominal for i ao período, o número de períodos for n, e a capitalização for instantânea, o montante será dado por: = Que é a chamada capitalização contínua, pois a capitalização ocorre instantaneamente. Questão 57 TOME NOTA!!! Montante para a capitalização contínua: SEFAZ SP 2009 [FCC] = Considere que o logaritmo neperiano de 1,8 é igual a 0,6. Aplicando um capital de R$ ,00 a uma taxa de 4% ao mês, com capitalização contínua, verifica-se que o montante, no momento do resgate, é igual a R$ ,00. O período de aplicação é igual a (A) 12 meses. Prof. Vítor Menezes 107

108 (B) 15 meses. (C) 18 meses. (D) 21 meses. (E) 24 meses. Resolução: Temos: O número de meses (=n) é desconhecido. Aplicando a fórmula: = ; = ; = 4% am = = ,, = = 1,8 Aplicando logaritmo dos dois lados da igualdade: ln, = ln 1,8 Neste momento, temos que lembrar de uma importante propriedade do logaritmo. Quando aplicamos o logaritmo sobre uma potência, ele faz com que o expoente caia, desça, ou seja, o que antes estava no expoente passará a multiplicar ln, = ln 1,8 0,04 ln = ln 1,8 O logaritmo neperiano do número e é igual a 1. O logaritmo de 1,8 foi dado pela questão. Gabarito: B 0,04 1 = 0,6 = 0,6 0,04 = 15 Questão 58 SEFAZ SP 2006 [FCC] Um capital de R$ ,00 foi aplicado a uma taxa semestral i, durante 2 anos, com capitalização contínua, apresentando, no final do período, um montante igual a R$ ,00. Utilizando ln2 = 0,69 (ln é o logaritmo neperiano), tem-se que i é igual a: a) 14,02% b) 17,25% c) 30% d) 34,5% e) 69% Prof. Vítor Menezes 108

109 Resolução: = O período é de 2 anos, o que corresponde a 4 semestres = = = 4 ln = ln 4 ln = ln 2 Lembrando que o logaritmo faz descer o expoente: ln = ln 2 Gabarito: D 4i ln = 2 ln 2 4 = 2 0,69 = 1,38 = 1,38 4 = 34,5% 9. QUESTÕES APRESENTADAS EM AULA Questão 1 SEFAZ SP 2009 [FCC] Em toda a sua carreira, um tenista já disputou N partidas, tendo vencido 70% delas. Considere que esse tenista ainda vá disputar, antes de se aposentar, mais X partidas, e que vença todas elas. Para que o seu percentual de vitórias ao terminar sua carreira suba para 90%, X deverá ser igual a (A) N. (B) 1,2 N. (C) 1,3 N. (D) 1,5 N. (E) 2 N. Questão 2 MPU 2010 [CESPE] Em determinado órgão do Poder Executivo, foram alocados R$ ,00 no orçamento para a aquisição de cadeiras de escritório. Com a previsão de realização de um concurso para provimento de novas vagas, constatou-se a necessidade de compra de mais 300 cadeiras, além das já previstas. Com base nas informações da situação hipotética apresentada, julgue os itens a seguir. Prof. Vítor Menezes 109

110 124. Para a aquisição das 300 unidades adicionais, a verba suplementar deverá ser de 35% do valor inicialmente alocado, desde que não haja mudança no preço das cadeiras Se houver aumento de 20% no preço para as 300 cadeiras adicionais, a verba suplementar para aquisição dessas cadeiras será igual a 36% do valor originalmente alocado para a aquisição das cadeiras iniciais. Questão 3 TCE RN 2009 [CESPE] Se o preço original de um produto sofrer reajustes sucessivos de 15% e de 20%, então o percentual de aumento no preço desse produto em relação ao preço original será de 38%. Questão 4 SEFAZ RJ 2009 [FGV] O valor a ser pago por um empréstimo de R$ 4.500,00, a uma taxa de juros simples de 0,5% ao dia, ao final de 78 dias, é de: a) R$ 6.255,00 b) R$ 5.500,00 c) R$ 6.500,00 d) R$ 4.855,00 e) R$ 4.675,50 Questão 5 SEFAZ PB 2006 [FCC] Um investidor aplica em um determinado banco R$ ,00 a juros simples. Após 6 meses, resgata totalmente o montante de R$ ,00 referente a esta operação e o aplica em outro banco, durante 5 meses, a uma taxa de juros simples igual ao dobro da correspondente à primeira aplicação. O montante no final do segundo período é igual a (A) R$ ,00 (B) R$ ,00 (C) R$ ,00 (D) R$ ,00 (E) R$ ,00 Questão 6 IRB 2006 [ESAF] Um capital de 1000 unidades monetárias foi aplicado durante um mês a 3% ao mês, tendo o montante ao fim do mês sido reaplicado no segundo mês a 4% ao mês e o montante ao fim do segundo mês sido reaplicado no terceiro mês a 5% ao mês. Indique o montante ao fim do terceiro mês. a) b) 1 124,76 c) d) 1 116,65 e) Prof. Vítor Menezes 110

111 Questão 7 AFRF 2002 [ESAF] Uma conta no valor de R$ 2.000,00 deve ser paga em um banco na segunda-feira, dia 8. O não pagamento no dia do vencimento implica uma multa fixa de 2% sobre o valor da conta mais o pagamento de uma taxa de permanência de 0,2% por dia útil de atraso, calculada como juros simples, sobre o valor da conta. Calcule o valor do pagamento devido no dia 22 do mesmo mês, considerando que não há nenhum feriado bancário no período. a) R$ 2.080,00 b) R$ 2.084,00 c) R$ 2.088,00 d) R$ 2.096,00 e) R$ 2.100,00 Questão 8 ANCINE 2006 [CESPE] O cálculo financeiro é relevante, tendo em vista as tarefas de escolha de melhores opções de uso do dinheiro. Acerca de matemática financeira, julgue os itens seguintes É 110% ao ano a taxa que, em 3 anos e 4 meses, fará quintuplicar de valor um capital aplicado a juros simples. Questão 9 SEFAZ SP 2009 [FCC] Uma pessoa aplicou um capital em um Banco que remunera os depósitos de seus clientes a uma taxa de juros simples de 12% ao ano. Completando 6 meses, ela retirou o montante correspondente a esta aplicação e utilizou R$ ,00 para liquidar uma dívida nesse valor. O restante do dinheiro, aplicou em um outro Banco, durante um ano, a uma taxa de juros simples de 1,5% ao mês. No final do período, o montante da segunda aplicação apresentou um valor igual a R$ ,60. A soma dos juros das duas aplicações é igual a (A) R$ ,00 (B) R$ 8.506,80 (C) R$ 7.204,40 (D) R$ 6.933,60 (E) R$ 6.432,00 Questão 10 SEFAZ-RJ 2008 [FGV] Um capital é aplicado durante 120 dias a uma taxa de juros simples ordinário de 15% ao ano, produzindo um montante de R$ 8.400,00. Nestas condições, o capital aplicado, desprezando os centavos, é: a) R$ 6.500,00 b) R$ 7.850,00 c) R$ 8.017,00 d) R$ 8.820,00 Prof. Vítor Menezes 111

112 e) R$ 8.000,00 Questão 11 SEFAZ/CE 2006 [ESAF] Qual o capital que aplicado a juros simples à taxa de 2,4% ao mês rende R$ 1.608,00 em 100 dias? a) R$ ,00. b) R$ ,00. c) R$ ,00. d) R$ ,00. e) R$ ,00. Questão 12 SEFAZ PB 2006 [FCC] Certas operações podem ocorrer por um período de apenas alguns dias, tornando conveniente utilizar a taxa diária e obtendo os juros segundo a convenção do ano civil ou do ano comercial. Então, se um capital de R$ ,00 foi aplicado por 5 dias à taxa de juros simples de 9,3% ao mês, em um mês de 31 dias, o módulo da diferença entre os valores dos juros comerciais e dos juros exatos é: a) R$ 7,50 b) R$ 15,00 c) R$ 22,50 d) R$ 30,00 e) R$ 37,50 Questão 13 BANCOP 2007 [CESPE] Suponha que um capital C aplicado por 12 meses à taxa de juros simples de i% ao mês se transforme em um montante de R$ ,00. Esse mesmo capital aplicado à mesma taxa, no mesmo regime de juros, mas por 6 meses se transforma em um montante de R$ ,00. Nessa situação, a taxa anual equivalente à taxa de i% é A inferior a 37%. B superior ou igual a 37% e inferior a 40%. C superior ou igual a 40% e inferior a 43%. D superior ou igual a 43% e inferior a 46%. E superior ou igual a 46%. Questão 14 GDF SEPLAG 2009 [UNIVERSA] Uma empresa aplicou, em uma instituição financeira, R$ ,00, resgatando R$ ,00 quatro meses depois. Assinale a alternativa que determina a taxa de juros simples equivalente, auferida nesta aplicação. (A) 6% ao trimestre. Prof. Vítor Menezes 112

113 (B) 4% ao quadrimestre. (C) 22 % ao ano. (D) 10% ao semestre. (E) 1,5% ao mês. Questão 15 AFRFB 98 [ESAF] Indique, nas opções abaixo, qual a taxa unitária anual equivalente à taxa de juros simples de 5% ao mês. a) 60,0 b) 1,0 c) 12,0 d) 0,6 e) 5,0 Questão 16 SEFAZ SP 2009 [ESAF] Um capital unitário aplicado a juros gerou um montante de 1,1 ao fim de 2 meses e 15 dias. Qual a taxa de juros simples anual de aplicação deste capital? a) 4% b) 10% c) 60% d) 54% e) 48% Questão 17 AFRF 2003 [ESAF] Os capitais de R$ 2.500,00, R$ 3.500,00, R$ 4.000,00 e R$ 3.000,00 são aplicados a juros simples durante o mesmo prazo às taxas mensais de 6%, 4%, 3% e 1,5%, respectivamente. Obtenha a taxa média mensal de aplicação destes capitais. a) 2,9% b) 3% c) 3,138% d) 3,25% e) 3,5% Questão 18 SEFAZ PA 2002 [ESAF] Três capitais nos valores de R$ 1.000,00, R$ 2.000,00 e R$ 4.000,00 são aplicados respectivamente às taxas de 5,5%, 4% e 4,5% ao mês, durante o mesmo número de meses. Obtenha a taxa média mensal de aplicação destes capitais. a) 3,5% Prof. Vítor Menezes 113

114 b) 4% c) 4,25% d) 4,5% e) 5% Questão 19 AFRF [ESAF] Os capitais de R$ 2.000,00, R$ 3.000,00, R$ 1.500,00 e R$ 3.500,00 são aplicados à taxa de 4% ao mês, juros simples, durante dois, três, quatro e seis meses, respectivamente. Obtenha o prazo médio de aplicação destes capitais. a) quatro meses b) quatro meses e cinco dias c) três meses e vinte e dois dias d) dois meses e vinte dias e) oito meses Questão 20 MTE 2010 [ESAF] Um título sofre um desconto simples por dentro de R$ ,00 cinco meses antes do seu vencimento a uma taxa de desconto de 4% ao mês. Qual o valor mais próximo do valor nominal do título? a) R$ ,00. b) R$ ,00. c) R$ ,00. d) R$ ,00. e) R$ ,00. Questão 21 SEFAZ PB 2006 [FCC] Ao descontar em um banco, 2 meses antes de seu vencimento, um título de valor nominal igual a R$ ,00, uma empresa recebe na data da operação de desconto comercial simples o valor de R$ ,00. Utilizando a mesma taxa de desconto anterior e ainda a operação de desconto comercial simples, descontando um título de valor nominal de R$ ,00, 3 meses antes de seu vencimento, receberá (A) R$ ,00 (B)) R$ ,00 (C) R$ ,00 (D) R$ ,00 (E) R$ ,00 Questão 22 INFRAERO 2009 [FCC] Um título de valor nominal igual a R$ ,00 é descontado 3 meses antes de seu vencimento apresentando um valor atual de R$ ,00, segundo uma operação de desconto comercial simples. Um outro título de valor nominal igual a R$ ,00, Prof. Vítor Menezes 114

115 descontado 2 meses antes de seu vencimento, com a mesma taxa mensal e operação de desconto do primeiro título, apresenta um desconto de valor igual a (A) R$ 1.500,00 (B) R$ 1.200,00 (C) R$ 1.000,00 (D) R$ 900,00 (E) R$ 750,00 Questão 23 CVM 2001 [ESAF] Um título de valor de face de R$ ,00 vence no dia 31 de julho. Calcule o desconto comercial simples no dia 11 do mesmo mês, a uma taxa de desconto de 6% ao mês. a) R$ 4.000,00 b) R$ 3.000,00 c) R$ 2.000,00 d) R$ 1.500,00 e) R$ 1.000,00 Questão 24 STN 2005 [ESAF] Marcos descontou um título 45 dias antes de seu vencimento e recebeu R$ ,00. A taxa de desconto comercial simples foi de 60% ao ano. Assim, o valor nominal do título e o valor mais próximo da taxa efetiva da operação são, respectivamente, iguais a: a) R$ ,00 e 3,4% ao mês b) R$ ,00 e 5,4 % ao mês c) R$ ,00 e 64,8 % ao ano d) R$ ,00 e 60 % ao ano e) R$ ,00 e 5,4 % ao mês Questão 25 PREFEITURA DO RIO DE JANEIRO 2010 [ESAF] Um título sofre um desconto simples por fora de R$ 2.500,00 quatro meses antes do seu vencimento a uma taxa de desconto de 2,5% ao mês. Qual é o valor mais próximo do valor nominal do título? a) R$ ,00 b) R$ ,00 c) R$ ,00 d) R$ ,00 e) R$ ,00 Questão 26 MP RS 2008 [FCC] Duas duplicatas com a soma dos respectivos valores nominais igual a R$ ,00 são descontadas em um banco segundo uma operação de desconto bancário simples, a uma Prof. Vítor Menezes 115

116 taxa de 36% ao ano. A primeira é descontada 2 meses antes de seu vencimento e a segunda 3 meses antes. Se a soma dos valores dos descontos das duas duplicatas foi igual a R$ 1.680,00, então o maior valor nominal das duplicatas, em R$, é igual a (A) ,00 (B) ,00 (C) ,00 (D) ,00 (E) ,00 Questão 27 AFRF [ESAF] Um título sofre um desconto comercial de R$ 9.810,00 três meses antes do seu vencimento a uma taxa de desconto simples de 3% ao mês. Indique qual seria o desconto à mesma taxa se o desconto fosse simples e racional. a) R$ 9.810,00 b) R$ 9.521,34 c) R$ 9.500,00 d) R$ 9.200,00 e) R$ 9.000,00 Questão 28 SEFAZ/PA 2002 [ESAF] Uma nota promissória sofre um desconto simples comercial de R$ 981,00, três meses antes do seu vencimento, a uma taxa de desconto de 3% ao mês. Caso fosse um desconto simples racional, calcule o valor do desconto correspondente à mesma taxa. a) R$ 1.000,00 b) R$ 950,00 c) R$ 927,30 d) R$ 920,00 e) R$ 900,00 Questão 29 BACEN 2001 [ESAF] Um título deve sofrer um desconto comercial simples de R$ 560,00 três meses antes do seu vencimento. Todavia uma negociação levou à troca do desconto comercial por um desconto racional simples. Calcule o novo desconto, considerando a taxa de 4% ao mês. a) R$ 500,00 b) R$ 540,00 c) R$ 560,00 d) R$ 600,00 e) R$ 620,00 Prof. Vítor Menezes 116

117 Questão 30 SUSEP 2002 [ESAF] Um título sofre um desconto simples comercial de R$ 1.856,00, quatro meses antes do seu vencimento a uma taxa de desconto de 4% ao mês. Calcule o valor do desconto correspondente à mesma taxa, caso fosse um desconto simples racional. a) R$ 1.600,00 b) R$ 1.650,00 c) R$ 1.723,75 d) R$ 1.800,00 e) R$ 1.856,00 Questão 31 TRE PI 2009 [FCC] Um analista tomou emprestados R$ 3.000,00 por 3 meses, a juros simples, à taxa de 4% ao mês. Na data do empréstimo, ele teve que desembolsar antecipadamente os juros devidos. No final do prazo, devolveu R$ 3.000,00, liquidando a dívida. Para ele, a taxa mensal efetiva desse empréstimo tem valor compreendido entre (A) 4,5% e 4,6% (B) 4,4% e 4,5% (C) 4,3% e 4,4% (D) 4,2% e 4,3% (E) 4,1% e 4,2% Questão 32 BACEN 2001 [ESAF] Uma pessoa recebeu um empréstimo de um banco comercial de R$10.000,00 para pagar R$12.000,00 ao final de cinco meses, mas foi obrigada a manter R$2.000,00 de saldo em sua conta durante a vigência do empréstimo. Considerando que a pessoa retirou os R$2.000,00 do empréstimo recebido e os utilizou para pagamento do montante no final, indique a taxa real de juros paga. a) 20% ao semestre b) 4% ao mês, considerando juros simples c) 10% ao mês, considerando juros simples d) 20% no período e) 5% ao mês, juros simples Questão 33 SEFZ MG 2005 [ESAF] A que taxa mensal de juros compostos um capital aplicado aumenta 80% ao fim de quinze meses. a) 4%. b) 5%. c) 5,33%. d) 6,5%. Prof. Vítor Menezes 117

118 e) 7%. Questão 34 IRB 2004 [ESAF] Um capital é aplicado com capitalização dos juros durante três períodos a uma taxa de juros de 10% ao período. Calcule os juros devidos como porcentagem do capital aplicado. a) 30% b) 31,3% c) 32,2% d) 33,1% e) 34% Questão 35 IRB 2006 [ESAF] Em um financiamento, 80% do capital foram obtidos a juros compostos à taxa de 3% ao mês enquanto os 20% restantes do capital foram obtidos à taxa de 3,5% ao mês, juros simples. Calcule o valor mais próximo do capital financiado, dado que decorrido um ano após o financiamento nenhuma amortização havia sido feita e os juros totais devidos ao fim do ano eram de R$ ,40. a) R$ ,00 b) R$ ,00 c) R$ ,00 d) R$ ,00 e) R$ ,00 Questão 36 AFRFB 2005 [ESAF] Paulo aplicou pelo prazo de um ano a quantia total de R$ ,00 em dois bancos diferentes. Uma parte dessa quantia foi aplicada no Banco A, à taxa de 3% ao mês. O restante dessa quantia foi aplicado no Banco B a taxa de 4% ao mês. Após um ano, Paulo verificou que os valores finais de cada uma das aplicações eram iguais. Deste modo, o valor aplicado no Banco A e no Banco B, sem considerar os centavos, foram, respectivamente iguais a: a) R$ ,00 e R$ ,00 b) R$ ,00 e R$ ,00 c) R$ ,00 e R$ ,00 d) R$ ,00 e R$ ,00 e) R$ ,00 e R$ ,00 Questão 37 Prefeitura de Fortaleza 2003 [ESAF] O capital de R$ ,00 é aplicado à taxa nominal de 24% ao ano com capitalização trimestral. Obtenha o montante ao fim de dezoito meses de aplicação. a) R$ ,00 b) R$ ,11 Prof. Vítor Menezes 118

119 c) R$ ,56 d) R$ ,38 e) R$ ,92 Questão 38 TRE AM 2010 [FCC] A taxa nominal de 10% ao ano com capitalização semestral corresponde à taxa efetiva, ao ano, de (A) 9,76% (B) 10,00% (C) 10,20% (D) 10,25% (E) 10,50% Questão 39 SEFAZ PB 2006 [FCC] A taxa de juros nominal de 36% ao ano, com capitalização mensal, corresponde a uma taxa efetiva de a)[1,36 1] ao mês. b) 9% ao trimestre c) 1,03 1 ao bimestre d) 12 (1,36 1 ) ao ano e) ( 1,36 1) ao semestre Questão 40 MP RS 2008 [FCC] A taxa nominal i ao ano, com capitalização mensal, corresponde a uma taxa efetiva anual de 12 a) 12 (1 + i ) 1 i 12 b) 12 (1 + ) i c) (1 + i) d) i e) Prof. Vítor Menezes 119

120 Questão 41 IRB 2004 [ESAF] Indique qual a taxa anual de juros compostos que equivale a uma taxa de juros compostos de 2% ao mês. a) 24% b) 24,24% c) 24,48% d) 24,96% e) 26,8242% Questão 42 IRB 2006 [ESAF] Indique o valor mais próximo da taxa de juros equivalente à taxa de juros compostos de 4% ao mês. a) 60% ao ano b) 30% ao semestre c) 24% ao semestre d) 10% ao trimestre e) 6% ao bimestre Questão 43 STN 2005 [ESAF] Em uma campanha promocional, o Banco A anuncia uma taxa de juros de 60 % ao ano com capitalização semestral. O Banco B, por sua vez, anuncia uma taxa de juros de 30% ao semestre com capitalização mensal. Assim, os valores mais próximos das taxas de juros efetivas anuais dos Bancos A e B são, respectivamente, iguais a: a) 69 % e 60 % b) 60 % e 60 % c) 69 % e 79 % d) 60 % e 69 % e) 120 % e 60 % Questão 44 AFRFB 2003 [ESAF] Um capital é aplicado a juros compostos à taxa de 40% ao ano durante um ano e meio. Calcule o valor mais próximo da perda percentual do montante considerando o seu cálculo pela convenção exponencial em relação ao seu cálculo pela convenção linear, dado que 1,40 1,5 =1, a) 0,5% b) 1% c) 1,4% d) 1,7% e) 2,0% Prof. Vítor Menezes 120

121 Questão 45 COFECON 2009 [UNIVERSA] Mediante o raciocínio utilizado na matemática financeira por meio de um gráfico comparativo entre o valor dos juros simples e o dos juros compostos, assinale a alternativa incorreta. (A) Os juros crescem linearmente ao longo do tempo no regime de capitalização simples, sendo seu valor constante durante os períodos. (B) Os juros crescem exponencialmente ao longo do tempo no regime de capitalização composta, e o montante calculado até o período anterior serve como base de cálculo para os juros do próximo período. (C) O valor dos juros simples e dos juros compostos é igual no primeiro período de capitalização. (D) É correto afirmar que, antes do primeiro período de capitalização, o valor dos juros simples é inferior ao dos juros compostos, sendo ambos calculados com base na mesma taxa de juros (i) aplicada sobre o mesmo capital (C). (E) Após o primeiro período de capitalização, o valor dos juros compostos é superior ao valor dos juros simples. Questão 46 SEFAZ PB 2006 [FCC] Um capital no valor de R$ ,00 foi investido a uma taxa de juros compostos de 10% ao ano, durante 2 anos e 3 meses. O montante no final do período, adotando a convenção linear, foi igual a (A) R$ ,00 (B) R$ ,05 (C)) R$ ,00 (D) R$ ,00 (E) R$ ,00 Questão 47 SEFAZ PB 2006 [FCC] Um título é resgatado 2 anos antes do vencimento, segundo o critério do desconto racional composto. Se a taxa utilizada foi de 10% ao ano e o valor do desconto resultou em R$ 4.620,00, o valor nominal do título é (A) R$ ,00 (B) R$ ,00 (C) R$ ,00 (D) R$ ,00 (E) R$ ,00 Questão 48 SEFAZ SP 2009 [FCC] Um título é descontado dois anos antes de seu vencimento, a uma taxa positiva i ao ano. Se for utilizado o desconto racional composto, o valor atual do título é igual a R$ ,00 e, Prof. Vítor Menezes 121

122 se for utilizado o desconto comercial composto, o valor atual é igual a R$ ,00. O valor nominal deste título é igual a (A) R$ ,00 (B) R$ ,00 (C) R$ ,00 (D) R$ ,00 (E) R$ ,00 Questão 49 SEFAZ/CE 2006 [ESAF] Uma empresa desconta um título no valor nominal de R$ ,00 quatro meses antes do seu vencimento por meio de um desconto racional composto calculado à taxa de 3% ao mês. Calcule o valor mais próximo do valor do desconto. a) R$ ,20. b) R$ ,00. c) R$ ,10. d) R$ ,33. e) R$ ,00. Questão 50 AFRFB 2005 [ESAF] O valor nominal de uma dívida é igual a 5 vezes o desconto racional composto, caso a antecipação seja de dez meses. Sabendo-se que o valor atual da dívida (valor de resgate) é de R$ ,00, então o valor nominal da dívida, sem considerar os centavos, é igual a: a) R$ ,00 b) R$ ,00 c) R$ ,00 d) R$ ,00 e) R$ ,00 Questão 51 CVM 2010 [ESAF] Um título é descontado quatro meses antes do seu vencimento a uma taxa de desconto de 5% ao mês, sendo o valor do desconto racional composto calculado em R$ 4.310,00. Marque o valor mais próximo do valor nominal do título. a) R$ ,00 b) R$ ,00 c) R$ ,00 d) R$ ,00 e) R$ ,00 Prof. Vítor Menezes 122

123 Questão 52 INFRAERO 2009 [FCC] Um capital de valor igual a R$ ,00 é aplicado durante um ano apresentando, no final, um montante igual a R$ ,00. Se a taxa real de juros correspondente a esta aplicação foi de 10%, tem-se que a inflação no período considerado foi de (A) 1,75% (B) 2,00% (C) 2,25% (D) 2,50% (E) 2,75% Questão 53 TJ PI 2009 [FCC] Uma companhia obteve um empréstimo no exterior correspondente a dólares americanos, com prazo de vencimento de 5 anos. Os juros incidem trimestralmente a uma taxa de 8% ao trimestre e são incorporados ao principal. O dólar americano estava cotado para compra no dia do empréstimo a R$ 2,00 e no dia da primeira incidência dos juros a R$ 2,20. Efetuada a atualização cambial do principal, já incorporado o valor dos juros, o débito externo da companhia equivalia, na data da primeira incidência de juros, em R$, a (A) ,00. (B) ,00. (C) ,00. (D) ,00. (E) ,00. Questão 54 PREFEITURA DE SÃO PAULO 2007 [FCC] Um capital de R$ ,00 foi aplicado do dia primeiro de junho e no último dia de julho foi resgatado todo o montante de R$ ,30. Neste período, as taxas de inflação foram, respectivamente: Junho: 2% Julho: 2,5% A taxa real deste investimento, nesse período, foi de: a) 6,32% b) 6,00% c) 5,05% d) 5,00% e) 4,50% Questão 55 AGÊNCIA NACIONAL DE SAÚDE SUPLEMENTAR 2007 [FCC] Um investidor aplica, no início de um ano, R$ ,00; resgata o respectivo montante dois anos após. Nesta aplicação, ele obteve uma taxa real de juros de 5%. Considerando que as Prof. Vítor Menezes 123

124 taxas de inflação no primeiro e no segundo ano foram, respectivamente, 5% e 8%, o investidor resgatou o montante de (A) R$ ,00. (B) R$ ,00. (C) R$ ,00. (D) R$ ,00. (E) R$ ,00. Questão 56 AGÊNCIA NACIONAL DE SAÚDE SUPLEMENTAR 2007 [FCC] O custo efetivo do financiamento de uma determinada operação realizada em um ano foi de 15,5%. Se a taxa de inflação correspondente a este ano foi de 10%, significa que o custo real efetivo referente a esta operação foi de (A) 4,50%. (B) 5,00%. (C) 5,50%. (D) 5,75%. (E) 6,00%. Questão 57 SEFAZ SP 2009 [FCC] Considere que o logaritmo neperiano de 1,8 é igual a 0,6. Aplicando um capital de R$ ,00 a uma taxa de 4% ao mês, com capitalização contínua, verifica-se que o montante, no momento do resgate, é igual a R$ ,00. O período de aplicação é igual a (A) 12 meses. (B) 15 meses. (C) 18 meses. (D) 21 meses. (E) 24 meses. Questão 58 SEFAZ SP 2006 [FCC] Um capital de R$ ,00 foi aplicado a uma taxa semestral i, durante 2 anos, com capitalização contínua, apresentando, no final do período, um montante igual a R$ ,00. Utilizando ln2 = 0,69 (ln é o logaritmo neperiano), tem-se que i é igual a: a) 14,02% b) 17,25% c) 30% d) 34,5% e) 69% Prof. Vítor Menezes 124

125 10. GABARITO 1 e 2 errado certo 3 certo 4 a 5 a 6 b 7 a 8 errado 9 d 10 e 11 b 12 a 13 e 14 a 15 d 16 e 17 e 18 d 19 a 20 a 21 b 22 c 23 a 24 b 25 b 26 c 27 e 28 e 29 a 30 a 31 a 32 e 33 a 34 d 35 e 36 anulado 37 d 38 d 39 c 40 c 41 e 42 a 43 c 44 c 45 d 46 c 47 e 48 b 49 b 50 b 51 b 52 d 53 c 54 b 55 a 56 b 57 b 58 d 11. RESUMÃO Prof. Vítor Menezes 125

126 Tópico Porcentagem Aumentos percentuais Reduções percentuais Montante (para regime simples e composto) Valor atual (para regime simples e composto) Fórmulas para juros simples Fórmulas para desconto racional simples Fórmula para desconto comercial simples Juros diários Montante (para regime simples e composto) Valor atual (para regime simples e composto) Fórmulas para juros compostos Fórmula para desconto racional composto Fórmula para desconto comercial composto Taxa nominal e taxa efetiva Inflação Capitalização contínua Lembretes [parte] [todo] =[percentual] [parte]=[todo] [percentual] Aumentar alguma coisa em x% é o mesmo que multiplicar por: Diminuir alguma coisa em x% é o mesmo que multiplicar por: = + = = = (1 + ) = 1 + = (1 ) Comercial: mês com 30 dias e ano com 360 dias. Juro exato: contagem conforme calendário. Juro bancário: contagem conforme calendário e ano com 360 dias. = + = = (1 + ) = (1 + ) = (1 ) Se período de capitalização igual ao período da taxa então: Taxa nominal = taxa efetiva. Se o período de capitalização for diferente do período da taxa, então fazemos regra de três para converter taxa nominal em efetiva (e vice versa) 1+ i = (1 + j) (1 + r) = Prof. Vítor Menezes 126

127 12. TABELAS EXTRAÍDAS DA PROVA DA ESAF Trazemos em seguida a tabela que usualmente aparece nas provas da ESAF. Prof. Vítor Menezes 127

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