Capítulo 2 Vetores. 1 Grandezas Escalares e Vetoriais

Capítulo 2 Vetores 1 Grandezas Escalares e Vetoriais Eistem dois tipos de grandezas: as escalares e as vetoriais. As grandezas escalares são aquelas que ficam definidas por apenas um número real, acompanhado de uma unidade adequada. Eemplos: comprimento (m), área (m 2 ), massa (kg) e temperatura ( o C). O termo vetor é usado para indicar uma grandeza vetorial. Um vetor é caracterizado por seu comprimento e sua direção, acompanhado de uma unidade adequada. Eemplos: deslocamento (m), velocidade (m/s) e força (kn). O vetor é geralmente representado por um segmento orientado, isto é, escolhe-se um sentido de percurso considerado positivo o qual é indicado por uma seta. Origem v α Etremidade v Sentido Direção Módulo ou tamanho Notação O nome do vetor em negrito(v) seta acima do nome do vetor (v). Vetor Nulo O vetor nulo, 0, tem comprimento zero e é o único vetor que não tem direção. Matemática Aplicada II - Prof a Rita Carvalho 33

2. Vetores Equivalentes Vetores que possuem o mesmo comprimento e a mesma direção são vetores equivalentes. A diferença entre eles é o ponto de origem. a b v 3. Vetor Posição A representação particular de um vetor a = OP da origem do sistema de coordenadas O até o ponto P(a 1, a 2 ) R 2 ou P(a 1, a 2, a 3 ) R 3 é chamada de vetor posição do ponto P. As coordenadas do ponto P são chamadas de componentes escalares do vetor a e escrevemos a = (a 1, a 2,, a n ) Eemplos 1) Localize os pontos P( 1,0,2) e Q(0,3,2) no sistema de coordenadas z e determine os vetores posição destes pontos. z 2 O 1 P( 1,0,2) 3 Q(0,3,2) OP = ( 1,0,2) OQ = (0,3,2) Matemática Aplicada II - Prof a Rita Carvalho 34

4. Operações com Vetores 4.1. Soma Suponha que uma partícula se move do ponto O até o ponto A, então seu descolamento é representado pelo vetor OA = a, indicado na figura abaio. Depois, a partícula muda de direção e se move de A até B, como indicado pelo vetor AB = b. A combinação dos efeitos destes deslocamentos causa um deslocamento final na partícula de O até B. O vetor resultante OB = a + b é chamado de soma dos vetores OA e AB Soma Sejam dois vetores a = (a 1, a 2, a 3 ) e b = (b 1, b 2, b 3 ) R 3, define-se a + b = (a 1 + b 1, a 2 + b 2, a 3 + b 3 ) B b b A a a 4.2. Multiplicação por escalar Se c é um número real (grandeza escalar) e a é um vetor, então o múltiplo escalar c a é um vetor de comprimentos c vezes o comprimento de a, cuja direção é a mesma de a se c >0 e de direção oposta se c <0. Se c = 0 ou a =0, então c a = 0. Multiplicação por escalar Seja um vetor a = (a 1, a 2, a 3 ) R 3 e c um número real. Define-se c a = (c a 1, c a 2, c a 3 ) a c a c >0 c a c <0 Matemática Aplicada II - Prof a Rita Carvalho 35

4.3. Subtração Em particular, o vetor b = ( 1) b é um vetor de mesmo comprimento de b porém, com direção oposta e é chamado de negativo de b. Assim o vetor diferença de a e b significa: a b = a + ( b ) Subtração Sejam dois vetores a = (a 1, a 2, a 3 ) e b = (b 1, b 2, b 3 ) R 3, define-se a b = (a 1 b 1, a 2 b 2, a 3 b 3 ) b a b ou b a a Propriedades Sejam a, b vetores em R n e c e d escalares então: 1) a + b = b + a 2) a + (b + c ) = (a + b ) + c 3) a + 0 = a 4) a + ( a) = 0 5) c (a + b ) = c a + c b 6) (c + d) a = c a + d a 7) (cd)a = c (d a ) 8) 1 a = a Eemplos 1) Copie os vetores da figura abaio e use-os para desenhar os seguintes vetores: a) u + v b) u v c) 2v d) w + v + u Matemática Aplicada II - Prof a Rita Carvalho 36

2) Dados os vetores a = (1, 3, 1) e b = (2, 0, 4) encontre o vetor c = 3a + 0.5 b c = 3 (1, 3, 1) + 0.5(2,0,4) = ( 3,9,3) + (1,0,2) = ( 2, 9, 5) 3) Dados os vetores a = (2, 1,1) e b = (3, 2,0) encontre o vetor c = 2(a b ) c = 2 [ (2, 1,1) (3,2,0)] = 2[ (2 3, 1 2, 1 0)] = 2( 1, 3,1) c = ( 2, 6, 2) 5. Vetores entre Dois Pontos Sejam dois pontos A(a 1, a 2, a 3 ) e B(b 1, b 2, b 3 ) R 3 e a e b respectivos vetores posição. seus z O a A = (a 1, a 2, a 3 ) c OA = a = (a 1, a 2, a 3 ) OB = b = (b 1, b 2, b 3 ) b B = (b 1, b 2, b 3 ) AB = c = b a = (b 1 a 1, b 2 b 1, c 2 c 1 ) Sejam dois pontos A(a 1, a 2, a 3 ) e B(b 1, b 2, b 3 ) R 3 z O a A = (a 1, a 2, a 3 ) c OA = a = (a 1, a 2, a 3 ) OB = b = (b 1, b 2, b 3 ) b B = (b 1, b 2, b 3 ) AB = c = b a = (b 1 a 1, b 2 b 1, c 2 c 1 ) O vetor c = AB com origem em A e etremidade em B é o vetor dado por c = (b 1 a 1, b 2 b 1, c 2 c 1 ) A distância entre os pontos A e B é o comprimento do vetor AB, ou seja, AB = c = (b 1 a 1 ) 2 + (b 2 a 2 ) 2 + (b 3 a 3 ) 2 OBS: a b = b a = distância entre os pontos A e B Matemática Aplicada II - Prof a Rita Carvalho 37

Eemplos: 1) Sejam os pontos A(0, 2, 3) e B (1, 0, 3): a) Determine o vetor v com origem em A e etremidade em B v = AB = OB OA = ((1 0), (0 2), (3 3) ) = (1, 2, 0) b) Determine o vetor w com origem em B e etremidade em A w = BA = OA OB = ((0 1), (2 0), (3 3) ) = ( 1, 2,0) 2) Dados dois pontos A e B encontre o vetor a = AB. Desenhe o vetor AB e um vetor equivalente a ele com etremidade na origem a) A(2,3) e B( 2,1) a = AB = ( 2 2, 1 3) a = ( 4, 2) b) A( 1, 1) e B( 3, 4) a = AB = ( 3 ( 1), 4 ( 1)) a = ( 2, 5) c) A(0, 3, 1) e B(2, 3, 1) a = (2 0, 3 3, 1 1) a = (2, 0, 2) d) A(4,0, 2) e B(4,2,1) a = (4 4, 2 0, 1 ( 2)) a = (0, 2, 3) Matemática Aplicada II - Prof a Rita Carvalho 38

6. Decomposição de vetores Sejam os vetores a = (a 1, a 2, a 3 ), a = (a 1, 0,0), a = (0, a 2, 0) e a z = (0,0, a 3 ) R 3. Então a z a a a z a = a + a + a z a = (a 1, 0,0) + (0, a 2, 0) + (0,0, a 3 ) a = (a 1, a 2, a 3 ) Onde os vetores a, a, a z são chamados de componentes (vetoriais) do vetor a nas direções, e z, respectivamente. Eemplos: 1) Encontre as componentes escalares e vetoriais e o comprimento dos vetores indicados na figura abaio. a) a = AB = ( 4 + 2, 1 3) = ( 2, 2) a = ( 2,0); a = (0, 2); AB = ( 2) 2 + ( 2) 2 = 8 b) b = CD = (3 2, 1 3) = (1, 2) b = (1, 0); b = (0, 2); CD = (1) 2 + ( 2) 2 = 5 Matemática Aplicada II - Prof a Rita Carvalho 39

c) c = EF = (1 + 1, 3 2) = (2, 1) c = (2,0); c = (0,1); EF = (2) 2 + (1) 2 = 5 d) d = GH = (2 1, 4 4) = (1,0) d = (1,0); d = (0,0); GH = (1) 2 + (0) 2 = 1 e) e = IJ = (1 1, 1 + 2) = (0, 1) e = (0,0); e = (0,1); IJ = (0) 2 + (1) 2 = 1 f) f = KL = ( 3 + 2, 0 + 2) = ( 1,2) f = ( 1,0); f = (0,2); KL = ( 1) 2 + (2) 2 = 5 g) g = MN = ( 1 0, 1 0) = ( 1,1) g = ( 1,0); g = (0,1); MN = ( 1) 2 + (1) 2 = 2 2. Represente os vetores dados e suas componentes no sistema de coordenadas cartesinas. Calcule o comprimento de cada um deles. a) OP = v = ( 5, 0,2) v = ( 5,0,0) v = (0,0,0) v z = (0,0,2) OP = ( 5) 2 + (0) 2 + (2) 2 OP = 29 b) OP = v = (4, 5, 4) v = (4,0,0) v = (0,5,0) v z = (0,0, 4) OP = (4) 2 + (5) 2 + ( 4) 2 OP = 57 c) OP = v = (0, 5, 5) v = (0,0,0) v = (0, 5,0) v z = (0,0,5) OP = (0) 2 + ( 5) 2 + (5) 2 OP = 50 Matemática Aplicada II - Prof a Rita Carvalho 40

7. Módulo ou Norma Euclidiana A norma ou módulo de um vetor a é o comprimento (tamanho, magnitude) de qualquer uma de suas representações e é denotado pelos símbolos a ou a. Eemplos: Se a = (a 1, a 2,, a n ) R n então: a = a 1 2 + a 2 2 + + a n 2 1. Desenhe os vetores indicados no sistema cartesiano e calcule seu módulo: a =(-3,-4) a) a =(-3,-4) a = (-3) 2 +(-4) 2 = 9+16= 25 = 5-3 a -4 b) v = (3, 0, 2) z V =(3, 0, -2) v = 3 2 +0 2 +(-2) 2 = 9+4 v = 13 3-2 z b(-1,2,7) c) b = ( 1, 2,7) b = (-1) 2 +2 2 +7 2 = 1+4+49 b = 54 +7-1 +2 d) v = (3, 1) v =(1,-1) v = 1 2 +(-1) 2 = 2 1-1 2. Sejam os pontos A(0, 2, 3) e B (1, 0, 3) e os vetores :v = AB e w = BA a) Calcule os módulos dos vetores v e w v = w = (1) 2 + ( 2) 2 + (0) 2 = 5 b) Calcule a distância entre os pontos A e B AB = v = 5 8. Vetor unitário Matemática Aplicada II - Prof a Rita Carvalho 41

Um vetor unitário u é um vetor cujo módulo é igual a 1, ou seja, u = 1. Vetor Unitário na direção de um vetor qualquer: Se a é um vetor qualquer, sendo a 1 e a 0, então o vetor unitário na direção de a é dado por: a = s S a a = s. u a u a = a s u a= a a u a u a = a a = (a 1,a 2,,a n ) a = ( a 1 a, a 2 a,, a n a ) Eemplos: 1) Calcule o vetor unitário na direção do vetor indicado a) v = ( 3, 3,1) v = ( 3) 2 + (3) 2 + (1) 2 = 19 u v = ( 3 19, 3 19, 1 19 ) b) v = (4, 0, 3) v = (4) 2 + (0) 2 + (3) 2 = 25 = 5 u v = ( 4 5, 0, 3 5 ) c) v = ( 2, 2 ) v = ( 2) 2 + ( 2) 2 = 4 = 2 u v = ( 2 2, 2 2 ) 2) Encontre um vetor w que tenha a mesma direção do vetor ( 2,4,2) porém de comprimento 6. a = ( 2) 2 + 4 2 + 2 2 = 24 = 4.6 = 2 6 Um vetor unitário na direção ( 2,4,2) é u a = ( 2 2 6, 4 2 6, 2 2 6 ) = ( 1 6, 2 6, 1 1 6 ) w = 6 u a = ( 6 6, 12 6, 6 ) = ( 6, 2 6, 6) 6 9. Representação de Vetores na Base Canônica Matemática Aplicada II - Prof a Rita Carvalho 42

Considere os vetores unitários i, j e k com direções no sentido positivo dos eios, e z, respectivamente, então: i = (1,0,0) j = (0,1,0) k = (0,0,1) Os vetores i e j formam uma base no plano e os vetores i, j e k uma base no espaço z. Estas bases são chamadas de bases canônicas em R 2 e R 3, respectivamente. Qualquer vetor a pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores da base de seu espaço vetorial. Se a = (a 1, a 2 ) R 2 então podemos escrever: a = (a 1, 0) + (0, a 2 ) a = a 1 (1, 0) + a 2 (0,1) a = a 1 i + a 2 j Se a = (a 1, a 2, a 3 ) R 3 então podemos escrever: a = (a 1, 0,0) + (0, a 2, 0) + (0,0, a 3 ) a = a 1 (1, 0,0) + a 2 (0,1,0) + a 3 (0,0,1) a = a 1 i + a 2 j + a 3 k Eemplos: Matemática Aplicada II - Prof a Rita Carvalho 43

1. Represente os vetores a = (1, 2, 3), b = (4,0,7) e v = 2 a + 3b na base canônica a = i + 2 j 3k e b = 4 i + 7 k v = 2 a + 3b = 2( i + 2 j 3k ) + 3(4 i + 7 k ) v = 2i + 4 j 6 k + 12 i + 21 k = (2 + 12)i + (4 + 0)j + ( 6 + 21) k v = 14i + 4 j + 15 k 2. Calcule o módulo e as componentes do vetor F que tem origem no ponto A(1, 4, 0) e etremidade no ponto B(4, 0, 4): F = AB = OB OA = (4 1) i + (0 4) j + (4 0) k = 3 i 4 j + 4 k F = (F, F, F z ) = ( 3, 4, 4) F = 3 F = 4 F z = 4 F = (3) 2 + ( 4) 2 + (4) 2 = 41 3. Dados os pontos A( 1, 3) e B (3, 1) calcule a distância entre A e B (d AB ) e determine o vetor unitário na direção de v = BA v = BA = OA OB = ( 1 3) i + (3 1) j = 4 i + 2 j v = ( 4) 2 + (2) 2 = 20 d AB = v = 20 u v = 4 20 i + 2 20 j 10. Ângulo entre dois Vetores, Ângulos Diretores e Cossenos Diretores Ângulo entre dois vetores O ângulo θ entre dois vetores não nulos a = OA e b = OB é o menor ângulo formado pelos segmentos de reta OA e OB. 0 θ π Matemática Aplicada II - Prof a Rita Carvalho 44

Ângulos Diretores e Cossenos Diretores São chamados de ângulos diretores de um vetor a, os ângulos α, β e γ formados entre os vetores unitários i, j e k e o vetor a, respectivamente. Os cossenos destes ângulos são chamados de cossenos diretores do vetor a. Seja a = a 1 i + a 2 j + a 3 k um vetor em R 3. cos(α) = a 1 a cos(β) = a 2 a cos(γ) = a 3 a cos 2 (α) + cos 2 (β) + cos 2 (γ) = 1 As componentes de um vetor ficam estabelecidas se forem conhecidos seu módulo e seus cossenos diretores. a = a cos(α) i + a cos(β) j + a cos(γ) k Eemplos: 1. Encontre os cossenos diretores dos vetores a) a = 2i + 2 j k a = 2 2 + 2 2 + ( 1) 2 = 9 = 3 cos(α) = a 1 a = 2 3 cos(β) = a 2 a = 2 3 cos(γ) = a 3 a = 1 3 α 48,19 o β 48,19 o γ 109,47 o 2. Conhecidos o módulo e os cossenos diretores de um vetor, represente-o na base canônica e graficamente. a) 59, α = 67,01 o ; β = 49,38 o ; γ = 49,38 o Matemática Aplicada II - Prof a Rita Carvalho 45

a 1 = a cos(α) = 59 cos(67,01 o ) 3 a 2 = a cos(β) = 59 cos(49,38 o ) 5 a 3 = a cos(γ) = 59 cos(49,38 o ) 5 a = (3,5,5) a = 3i + 5 j + 5k b) v = 50, α = 115,104 o ; β = 55,55 o ; γ = 135 o v 1 = v cos(α) = 50 cos(115,104 o ) 3 v 2 = v cos(β) = 50 cos(55,55 o ) 4 v 3 = v cos(γ) = 50 cos(135 o ) 5 v = ( 3, 4, 5) v = 3i + 4 j 5k 3. Duas forças F 1 e F 2 de magnitude 12 kn e 10 kn, respectivamente, atuam num determinado ponto P de uma estrutura, conforme indicado na figura abaio. F 2 F 1 45 0 30 0 a) Calcule a força resultante F R que atua no ponto P, sabendo que a força resultante é o somatório de todas as forças atuantes. F R = F 1 + F 2 Matemática Aplicada II - Prof a Rita Carvalho 46

Força F 1 : F 1 = 12; α = 30 0 ; β = 60 0 F 1 = (F 1, F 1 ) = F 1 i + F 1 j F 1 = F 1 cos(α) = 12 cos(30 0 ) = 12 3 2 = 6 3 F 1 = F 1 cos(β) = 12 cos(60 0 ) = 12 1 2 = 6 F 1 = (6 3, 6) = 6 3 i + 6 j Força F 2 : F 2 = 10; α = 180 0 45 0 = 135 0 ; β = 45 0 F 2 = (F 2, F 2 ) = F 2 i + F 2 j F 2 = F 2 cos(α) = 10 cos(135 0 ) = 10 2 2 = 5 2 F 2 = F 2 cos(β) = 10 cos(45 0 ) = 10 2 2 = 5 2 F 2 = ( 5 2, 5 2) = 5 2 i + 5 2 j Força resultante: F R = F 1 + F 2 F R = (6 3 i + 6 j) + ( 5 2 i + 5 2 j) F R = (6 3 5 2) i + (6 + 5 2) j 3,32 i + 13,07 j b) Determine a magnitude (módulo) e a direção da força resultante F R. Represente graficamente. F R = (6 3 5 2) i + (6 + 5 2) j 3,32 i + 13,07 j F R = (6 3 5 2) 2 + (6 + 5 2) 2 13,48 kn cos(α) = F R 6 3 5 2 = 0,24629 F R 13,48 α = cos 1 (0,24629) 75,74 0 F R = 13,48 kn F R = 13,07 kn 75,74 0 F R = 3,32 kn Matemática Aplicada II - Prof a Rita Carvalho 47

c) Qual a força de reação R que deve atuar na estrutura para que o ponto P esteja em equilíbrio? Para que um ponto esteja em equilíbrio o somatório das forças neste ponto deve ser nulo. F 1 + F 2 + R = 0 F R + R = 0 R = F R R = F R 3,32 i 13,07 j 4. Determinar os esforços de tração F 1 e F 2 nas barras 1 e 2 do tirante, representado na figura abaio, que suporta um peso W = 300 kn. Para o ponto P estar em equilíbrio, o somatório de forças neste ponto deve ser nulo: F 1 + F 2 + W = 0 30 0 30 0 Barra 1 Barra 1 W Força F 1 : F 1 ; α = 45 0 ; β = 45 0 F 1 = (F 1, F 1 ) = F 1 i + F 1 j F 1 = F 1 cos(α) = F 1 cos(45 0 ) = F 1 2 2 F 1 = F 1 cos(β) = F 1 cos(45 0 ) = F 1 2 2 F 1 = ( F 1 2 2, F 1 2 2 ) = F 1 2 2 i + F 1 2 2 j F 2 F 1 P 45 0 45 0 W Força F 2 : F 2 ; α = 180 0 45 0 = 135 0 ; β = 45 0 F 2 = (F 2, F 2 ) = F 2 i + F 2 j F 2 = F 2 cos(α) = F 2 cos(135 0 ) = F 2 2 2 F 2 = F 2 cos(β) = F 2 cos(45 0 ) = F 2 2 2 F 2 = ( F 2 2 2, F 2 2 2 ) = F 2 2 2 i + F 2 2 2 j Força W : W = 300; α = 90 0 ; β = 180 0 Matemática Aplicada II - Prof a Rita Carvalho 48

W = (W, W ) = W i + W j W = W cos(α) = W cos(90 0 ) = 0 W = W cos(β) = W cos(180 0 ) = 300 W = (0, 300) = 300 j Equilíbrio das forças no ponto P: F 1 + F 2 + W = 0 ( F 1 2 2 i + F 1 2 2 j ) + ( F 2 2 2 i + F 2 2 j) + ( 300 j) = 0 i + 0 j 2 Normalmente em problema de engenharia o equilíbrio das forças é feito separadamente por direção, ou seja: F = 0 e F = 0 F = 0 Somatório das forças em deve ser nulo F 1 + F 2 = 0 F 1 2 2 F 2 2 2 = 0 F 1 = F 2 F = 0 Somatório das forças em deve ser nulo F 1 + F 2 + W = 0 F 1 2 2 + F 2 2 2 300 = 0 F 1 2 2 + F 1 2 2 = 300 F 1 = 150 2 kn F 2 = 150 2 kn 212,13 kn 212,13 kn Matemática Aplicada II - Prof a Rita Carvalho 49

11. Produto Interno ou Produto Escalar Sejam a = (a 1, a 2,, a n ) e b = (b 1, b 2,, b n ) dois vetores em R n. O produto escalar dos vetores a e b o número real a. b dado por: a. b = a 1 b 1 + a 2 b 2 + + a n b n Propriedades do Produto interno Sejam a e b dois vetores e c um escalar, então: 1) a. a = a 2 2) a. b = b. a 3) 0. a = 0 4) a. (b + c) = a. b + a. c 5) (c a). b = c (a. b ) = a. (c b) Interpretação Geométrica Seja θ é o ângulo formado entre dois vetores a e b, a. b = a b cos (θ) cos(θ) = a. b a. b θ = arc cos ( a b a b ) Se 0 θ < π 2 então cos(θ) > 0 logo a. b > 0 Se π 2 < θ < π então cos(θ) < 0 logo a. b < 0 Se θ = π 2 então cos(θ) = 0 logo a. b = 0 (vetores perpendiculares) Se θ = 0 então cos(θ) = 1 logo a. b = a b (vetores na mesma direção) Se θ = π então cos(θ) = 1 logo a. b = a b (vetores em direção oposta) Matemática Aplicada II - Prof a Rita Carvalho 50

Eemplos: 1) Calcule o produto interno dos vetores indicados: a) a = 2i + 4 j e b = 3i j a. b = (2.3) + (4. ( 1)) = 6 4 = 2 b) a = i + 7 j + 4 k e b = 6i + 2 j 1 2 k a. b = ( 1. 6) + (7. 2) + (= 4. 1 ) = 6 + 14 2 = 6 2 c) a = (0, 1) e b = ( 1, 1) a. b = (0. ( 1)) + (1. ( 1)) = 0 1 = 1 2) Calcule o produto interno dos vetores indicados: a) a = 12, b = 15 e o ângulo formado entre eles é π/6 a. b = a b cos(θ) = (12)(15) cos ( π ) = 90 3 155,9 6 b) a = 4, b = 10 e o ângulo formado entre eles é 120 o a. b = a b cos(θ) = (4)(10) cos(120 o ) = 40( 0,5) = 20 c) a = 4, b = 6 e o ângulo formado entre eles é π/3 a. b = a b cos(θ) = (4)(6) cos(π/3) = 24(0,5) = 12 3) Encontre o ângulo formado entre os vetores a) v = (3, 4), u = (5, 12) v = 3 2 + 4 2 = 5, u = 5 2 + 12 2 = 13 v. u = (3). (5) + (4). (12) = 63 cos(θ) = v. u u v = 63 5.13 = 63 65 θ = cos 1 ( 63 65 ) 14 b) v = j + k, u = i + 2 j 3k v = 0 2 + 1 2 + 1 2 = 2, u = 1 2 + 2 2 + ( 3) 2 = 14 v. u = (0). 1 + (1). (2) + (1). ( 3) = 1 cos(θ) = v. u u v = 1 2. 14 = 1 28 θ = cos 1 ( 1 28 ) 101 Matemática Aplicada II - Prof a Rita Carvalho 51

4) Determine se os vetores indicados são paralelos, perpendiculares ou nenhuma das duas opções a) a = 2i + 2 j k e b = 5i 4 j + 2 k a. b = (2. 5) + (2. ( 4) ) + ( 1. 2) = 10 8 2 = 0 Se a. b = 0, o coseno do ângulo formado entre eles é 0, logo o ângulo é 90º, portanto os vetores são perpendiculares. b) a = ( 2, 4) e b = (1, 2) a. b = ( 2)(1) + (4)( 2) = 2 8 = 10 a = 20 b = 5 cos(θ) = 10 5.20 = 1 São paralelos (vetor a é múltiplo escalar de b ) c) a = ( 5, 3, 7) e b = (6, 8, 2) a. b = ( 5)(6) + 3( 8) + (7)(2) = 30 24 + 14 = 40 a = 83 b = 104 cos(θ) = Não são ortogonais, nem paralelos. 40 83. 104 = 0.43 12. Produto Interno : Problemas Aplicados O trabalho W realizado por uma força F para produzir em uma partícula um deslocamento u é dado por: W = F. u Eemplos: 1. Uma força, representada pelo vetor F = 10 i + 18 j 6 k, move um objeto ao longo de uma linha reta do ponto A=(2,3,0) ao ponto B=(4,9,15). Encontre o trabalho realizado por esta força para produzir este deslocamento, sendo o deslocamento medido em metros(m) e a força em Newton (N). W = F. u F = 10 i + 18 j 6 k E u = AB u = AB = OB OA = (4 2)i + (9 3)j + (15 0)k = 2 i + 6 j + 15 k W = F. u = (10 i + 18 j 6 k ). ( 2 i + 6 j + 15 k ) W = (10. 2) + (18. 6) + ( 6.15) = 20 + 108 90 = 38 N. m = 38 J (joules) Matemática Aplicada II - Prof a Rita Carvalho 52

2. Calcule o trabalho realizado pela força da gravidade para que um bloco de 1,5 kg escorregue 6 metros sobre um plano inclinado de 30º em relação à horizontal. P = m g (peso = massa. aceleração da gravidade) P = 1,5. 10 (kg. m s2) = 15 N (Newton) 6 m P = 15 N e u = 6 m 30 o u 60 o θ = 60 o P = 15 N W = P. u = P u cos(θ) = 15.6. cos(60 o ) = 90. 0,5 = 45 J 13. Produto Vetorial Sejam a = a 1 i + a 2 j + a 3 k e b = b 1 i + b 2 j + b 3 k dois vetores em R 3. Chama-se produto vetorial dos vetores a e b tomados nesta ordem e representado por a b ao vetor dado por: a b = (a 2 b 3 a 3 b 2 ) i + (a 3 b 1 a 1 b 3 ) j + (a 1 b 2 a 2 b 1 ) k Para facilidade de memorização denotaremos a definição anterior da forma: Matemática Aplicada II - Prof a Rita Carvalho 53

Vetor Resultante a b O vetor resultante a b é um vetor ortogonal a ambos os vetores a e b, portanto é perpendicular ao plano que passa por a e b, ou seja, (a b ). b = 0 Sua direção pode ser determinada pela regra da mão direita, isto é, se os dedos da mão direita forem dobrados na mesma direção da rotação (através do ângulo menor que 180 o ) de a até b, então o polegar estendido apontará a direção de a b Interpretação Geométrica Se θ é o ângulo formado entre dois vetores a e b, sendo 0 θ π, então a b = a b sen (θ) a b é a área do paralelogramo determinado pelos vetores a e b Eemplos 1) Encontre o vetor v obtido pelo produto vetorial dos vetores a e b indicados: a) a = (1, 3, 4) e b = (2, 7, 5) v = a b = [ i j k 1 3 4 ] 2 7 5 v = 15 i + 8 j + 7 k (6 k + 28 i 5 j) = 43 i + 13 j + k b) a = (1, 2, 0) e b = (0, 3, 1) v = a b = [ i j k 1 2 0] 0 3 1 v = 2 i + 0 j + 3 k (0 k + 0 i + 1 j) = 2 i j + 3 k Matemática Aplicada II - Prof a Rita Carvalho 54

c) a = 2 i + j k e b = j + 2 k v = a b = [ i j k 2 1 1] 0 1 2 v = 2 i + 0 j + 2 k (0 k 1 i + 4 j) = 3 i 4 j + 2 k d) a = i 2 k e b = j + k v = a b = [ i j k 1 0 2] 0 1 1 v = 0 i + 0 j + k (0 k 2 i + j) = 2 i j + k 2) Encontre dois vetores perpendiculares ao plano que passa pelos pontos P(1, 4, 6), Q( 2, 5, 1) e R(1, 1, 1) O vetor PQ PR é perpendicular aos vetores PQ e PR e, portanto perpendicular ao plano que contém os pontos P, Q e R. PQ = ( 2 1) i + (5 4) j + ( 1 6) k = 3 i + j 7 k PR = (1 1) i + ( 1 4) j + (1 6) k = 5 j 5 k v 1 = PQ PR = [ i j k 3 1 7] 0 5 5 v 1 = PQ PR = 5i + 0 j + 15 k (35 i + 15 j + 0 k ) = 40 i 15 j + 15 k v 2 = PR PQ = v 1 = 40 i + 15 j 15 k 3) Encontre dois vetores unitários perpendiculares aos vetores a e b dados: a) a = (1, 1, 1) e b = (0, 4, 4) Sabe-se que o vetor a b é um vetor perpendicular a ambos os vetores a e b, assim v = a b = [ i j k 1 1 1] = 4i + 0 j + 4 k (4 i + 4 j + 0 k ) 0 4 4 v = 8 i 4 j + 4 k Um vetor unitário na direção de v é: u 1 = ( 8, 4, 4) 64 + 16 + 16 = ( 8, 4, 4) 96 = ( 8, 4, 4) 4 6 = ( 2 6, 1 6, 1 6 ) O outro vetor unitário tem direção oposta u 2 = u 1 = ( 2 6, 1 6, 1 6 ) Matemática Aplicada II - Prof a Rita Carvalho 55

b) a = i + j + k e b = 2i + k Sabe-se que o vetor a b é um vetor perpendicular a ambos os vetores a e b, assim v = a b = [ i j k 1 1 1] = 1 i + 2 j + 0 k (0 i + 1 j + 2 k ) 2 0 1 v = i + j 2 k Um vetor unitário na direção de v é: (1, 1, 2) (1, 1, 2) u 1 = = = ( 1 1 + 1 + 4 6 6, 1 6, 2 6 ) = 1 6 i + 1 6 j 2 6 k O outro vetor unitário tem direção oposta u 2 = u 1 = ( 1 6, 1 6, 2 6 ) = 1 6 i 1 6 j + 2 6 k 4) Encontre a área do paralelogramo de vértices A( 2, 1), B(0, 4), C(4, 2) e D(2, 1). Plotando os pontos dados, observa-se que o paralelogramo é determinado pelos vetores AB e AD. Sabe-se que a área do paralelogramo é o módulo do vetor obtido pelo produto vetorial entre eles. AB = ( 0 ( 2) ) i + (4 1)j = 2 i + 3 j AD = ( 2 ( 2) ) i + ( 1 1)j = 4 i 2 j v = AB AD = [ i j k 2 3 0] = 0 i + 0 j 4 k (0 i + 0 j + 12 k ) 4 2 0 v = 16 k Área = AB AD = v = 0 + 0 + ( 16) 2 = 16 = 16 u.a (unidade de área) Matemática Aplicada II - Prof a Rita Carvalho 56

5) Encontre a área do triângulo de vértices P(1, 0, 0), Q(0, 2, 0), e R( 0, 0, 3). Observe que a área do triângulo determinado pelos pontos P, Q e R é a metade da área do paralelogramo formado por estes pontos. A área do paralelogramo determinado pelos vetores PQ e PR é dada por: Área paralelogramo = PQ PR PQ = ( 0 1 ) i + (2 0)j + (0 0)k = i + 2 j PR = ( 0 1 ) i + (0 0)j + (3 0)k = i + 3 k PQ PR = [ i j k 1 2 0] = 6 i + 0 j + 0 k (0 i 3 j 2 k ) = 6 i + 3 j + 2 k 1 0 3 Área do paralelogramo = PQ PR = 6 2 + 3 2 + 2 2 = 36 + 9 + 4 = 7 u. a Área do triângulo = PQ PR = 7 = 3,5 u. a 2 2 14. Produto Vetorial: Problemas Aplicados Seja F uma força atuando num corpo rígido em um determinado ponto A de vetor posição r = OA, indicado na figura abaio. Chama-se torque ou momento da força F em relação ao ponto O ao produto vetorial do vetor posição e o vetor força. z τ τ = r F = OA F O r F A θ A magnitude do torque é dada por: τ = r F = r F sen(θ) A direção do vetor torque é dada pela regra da mão direita. O vetor torque é perpendicular ao plano formado pelos vetores r e F. Matemática Aplicada II - Prof a Rita Carvalho 57

Numa linguagem mais informal, podemos dizer que o torque é a medida de quanto uma força que age em um objeto faz com que o mesmo gire. Observe que a única componente da força F que pode causar torque (rotação) é a componente perpendicular ao vertor r. Na figura abaio, por eemplo, a magnitude do torque da força F, aplicada no ponto A, em torno do ponto O é: F τ = r F = r F sen(θ) F θ F onde r = OA e F = F sen(θ) τ O r A θ logo τ = r F z A rotação da força F em torno do ponto O é no sentido anti-horário, portanto, pela regra da mão direita, o vetor torque τ está no sentido positivo do eio z. Na engenharia o torque é chamado de momento. Sua magnitude é geralmente calculada com a decomposição da força. De acordo com o eio de rotação o momento pode ser um momento torsor ou um momento fletor. Momento torsor: quando a rotação se dá em torno do eio da peça. τ r F θ Matemática Aplicada II - Prof a Rita Carvalho 58

Momento fletor: quando a rotação se dá em torno de um dos eios da seção transversal da peça. z Seção transversal em equilíbrio τ z Seção transversal fletida F 14. Produto Misto Produto Misto Interpretação Geométrica Matemática Aplicada II - Prof a Rita Carvalho 59

Paralelismo e Perpendicularismo i) Se a b = 0 a e b são paralelos (sen(θ) = 0 θ = 0 ou θ = π) ii) Se a. b = 0 a e b são perpendiculares (cos(θ) = 0 θ = π 2 ) iii) Se a. ( b c) = 0 a, b e c são coplanares Matemática Aplicada II - Prof a Rita Carvalho 60