UNIVERSIDADE FEDERAL DE PELOTAS FACULDADE DE ENGENHARIA AGRÍCOLA ELETROTÉCNICA GERAL Unidade 08
A base de tudo Tri (três) + gonos (lados) + metro (medida) Então Trigonometria = medida de triângulos Medida da altura de um prédio a partir da projeção de sua sombra As relações trigonométricas de um triângulo retângulo são bem conhecidas: hipotenusa sen cateto oposto hipotenusa b a a b cos cateto adjascente hipotenusa c a c catetos tan cateto oposto cateto adjascente b c
Construindo os gráficos de funções trigonométricas Ângulo Graus Radianos seno cosseno 0 0 0,00 1 30 /6 0,50 0,87 60 /3 0,87 0,50 90 /2 1,00 0,00 120 /3 0,87-0,50............ 360 0,00 1 As formas de onda são iguais, apenas estão posicionadas diferentemente em relação ao eixo das ordenadas! Esta forma de onda é chamada sinusóide
Por quê as funções sinusoidais são importantes? [...] a Natureza, de um modo geral, parece ter um caráter senoidal; o movimento de um pêndulo, uma bola pulando, a vibração de uma corda de violão, a atmosfera política em qualquer país, as ondulações na superfície de uma caneca de leite com chocolate, todos apresentam um razoável caráter senoidal. William H. Hayt e Jack E. Kemmerly in Análise de Circuitos em Engenharia Ed. McGraw-Hill do Brasil Mais exemplos: oscilação de uma mola luz polarizada biorritmo
Por quê as funções sinusoidais são importantes em Eletrotécnica? 1. As funções comumente usadas em circuitos elétricos podem ser geradas a partir de funções sinusoidais. Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830) Séries de Fourier Uma função que se repete f o vezes por segundo pode ser representada pela soma de um número infinito de funções senoidais (harmônicas) com frequências que sejam múltiplos inteiros de f o.
Por quê as funções sinusoidais são importantes em Eletrotécnica? 2. A deriva e a integral de funções sinusoidais também são funções sinusoidais. d dx sen kx sen kxdx k cos kx 1 cos k kx d dx cos kx cos kxdx k sen kx 1 sen kx k
Por quê as funções sinusoidais são importantes em Eletrotécnica? 3. Os geradores de energia elétrica (1) produzem tensões com forma de onda senoidal (CA) O Gerador Elementar Espira Uma fonte externa fornece energia mecânica para fazer a espirar girar com velocidade angular Pólos Escovas Anéis coletores A tensão gerada nos terminais das escovas é do tipo senoidal (C.A.) (1) Existem geradores de CC, porém este não têm a mesma importância comercial dos alternadores
Variáveis de uma função sinusoidal T A A Valor de pico ou amplitude (A): máximo valor atingido durante um ciclo Período (T): tempo que a função leva para completar um ciclo segundos (s) Freqüência (f): número de ciclos completados na unidade de tempo Velocidade angular ( ): ângulo descrito na unidade de tempo f 1 T Hertz (Hz) radianos/segundo (rad/s) 2 T 2 f
Geração de funções sinusoidais (1) O vetor parte com ângulo igual a 0 o Obtém-se as funções seno e cosseno puras
Geração de funções sinusoidais (2) O vetor parte do ângulo igual a Obtém-se as funções seno e cosseno defasadas
Expressando matematicamente as sinusóides Expressão geral: f Asen ( t ) ângulo de fase (em graus decimais) O ângulo de fase expressa de quantos graus a função está defasada da função básica (a função seno pura ) > 0 a forma de onda é deslocada para a esquerda < 0 a forma de onda é deslocada para a direita função seno pura função seno pura = 0 a forma de onda coincide com a função seno pura
Exemplos f Asen ( t 60 o ) f Asen ( t 30 o )
Gráficos em função do ângulo ( t) Exemplo: Funções f 1 = 10 sen 5 t e f 2 = 10 sen 10 t t rad 0 /6 /3 /2 /2 o 0 30 60 90 180 270 360 f 1 0,00 5,00 7,07 10,0 0,00-10,0 0,00 f 2 0,00 5,00 7,07 10,0 0,00-10,0 0,00 f 1 e f 2 A vantagem neste tipo de gráfico é que se as funções ficam padronizadas, independentemente de suas frequências.
Gráficos em função do tempo Exemplo: Funções f 1 = 10 sen 5 t e f 2 = 10 sen 10 t t (s) 0 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 f 1 0,00 7,07 10,0 7,07 0,00-7,07-10,0-7,07 0,00 f 2 0,00 10,0 0,00-10,0 0,00 10,0 0,00-10,0 0,00 f 1 f 2 A vantagem neste tipo de gráfico é que se pode determinar o período e a frequência das funções.
Defasagem entre funções A defasagem entre duas funções sinusoidais é dada por um ângulo ( ), expresso em graus decimais ( o ) = 60 o f(t) está 60 º adiantada em relação a g(t) OU g(t) está 60 º atrasada em relação a f(t) Duas funções sinusoidais só podem ser comparadas em fase se tiverem mesma freqüência.
Defasagem entre funções Para estabelecer a defasagem não é preciso ter-se um ciclo completo da forma de onda. Exemplo: = 45 o g(t) está 45 º adiantada em relação a f(t) OU f(t) está 45 º atrasada em relação a g(t)