VARIÁVEIS ALEATÓRIAS 1
Na prática é, muitas vezes, mais interessante associarmos um número a um evento aleatório e calcularmos a probabilidade da ocorrência desse número do que a probabilidade do evento. Definição: Sejam E um experimento e Ω o espaço amostral associado ao experimento. Uma função X, que associe a cada elemento ω Ω um número real X(ω) é denominada variável aleatória. 2
Ω X ω Variável Aleatória X(ω) 3
Exemplo 1: Considere o experimento E: lançamento de duas moedas e X: número de caras obtidas nas duas moedas. X assume os valores 0, 1 e 2. Então: Ω ={(c,c), (c,r), (r,c),(r,r)} espaço amostral do experimento. X Evento correspondente 0 A1={(r,r)} 1 A2={(c,r);(r,c)} 2 A3={(c,c)} Podemos também associar às probabilidades de X assumir um dos valores, as probabilidades dos eventos correspondentes. Assim: P(X=0)=P(A1)=1/4; P(X=1)=P(A2)=2/4; P(X=2)=P(A3)=1/4 4
Exemplo 2: Se um experimento consiste no lançamento de um dado, a função: X: o dobro do valor obtido menos um, define uma variável aleatória discreta, que pode assumir seis valores possíveis: 1, 3, 5, 7, 9 e 11 com probabilidade igual a 1/6. 5
Exemplo 3: Se um experimento consiste em observar o número de carros vendidos durante um dia em uma garagem, conforme tabela abaixo: Se X for definido como sendo o número de carros vendidos em um dia, X poderá assumir os valores 0; 1; 2; 3; 4 e 5 com probabilidade 0;18; 0;39; 0;24; 0;14; 0;01 e 0;04, respectivamente. 6
Notamos que, a variável aleatória X pode assumir valores em um conjunto finito ou em um conjunto infinito enumerável. Nesses casos denominamos variável aleatória discreta. Indicaremos por Caso a variável aleatória X assuma valores num intervalo de números reais, ela é denominada uma variável aleatória contínua. Estas variáveis podem ser classificadas em unidimensionais discretas (contínuas), quando a variável de estudo é única; bidimensionais discretas (contínuas), quando se tem a análise conjunta de duas variáveis e multidimensionais quando se trabalha com k variáveis. X : x1, x2,..., x n,... 7
Definição: Chama-se função de probabilidade da variável aleatória discreta a função que a cada valor de ocorrência, isto é, X : x1, x2,..., x n,... x i associa a sua probabilidade de p( x ) P( X x ) p, i 1,2,3,... i i i Ao conjunto {( x, p( x ); i 1,2,3,...)} i i denominamos de Distribuição de Probabilidades da variável aleatória discreta X. Podemos representar este conjunto em tabelas ou gráficos. 8
As característica de uma função de probabilidade são: P( X x ) p( x ) 0 n i1 px ( ) 1 i i Exemplo 4: Jogar um dado e considerar : X o dobro do valor obtido menos 1. Neste caso, X poderá assumir os valores 1, 3, 5, 7, 9 e 11 com probabilidade de 1/6 para cada evento. Distribuição de probabilidades do dobro do valor obtido menos um em um lançamento de um dado. i X x i P( X x i ) 1 3 5 7 9 11 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 9
Esperança Matemática ou Valor Médio de uma Variável Aleatória Discreta Muitas vezes tem-se o interesse em estimar parâmetros característicos de uma distribuição de probabilidade de uma variável aleatória qualquer. Um desses parâmetros é a Esperança Matemática, que representa uma média aritmética ponderada ou um valor esperado de uma variável aleatória. Na prática, a esperança pode ser entendida como um centro de distribuição de probabilidade, isto é, a média de uma distribuição de probabilidade. A Esperança Matemática é definida da seguinte forma: 10
Definição: Dada a variável aleatória discreta X, assumindo os valores x 1, x 2,, x k, chamamos esperança matemática ou valor médio de X ao valor: n i i1 E( X ) x p( x) x p( x ) i Notações: E( X ), ( X ),, X Do Exemplo 4 temos 1 1 1 1 1 1 E( X ) x p( x) 1 3 5 7 9 11 6 6 6 6 6 6 6 11
Ou Chamamos de variância de X ao valor Notações: 2 Var X E X E X x p x x p x 2 2 2 ( ) ( ) [ ( )] ( ) ( ) Var X x p x x p x n n 2 ( ) i ( i ) i ( i ) i1 i1 Var( X ), ( X ),, 2 2 2 X 2 e de desvio padrão de X é a raiz quadrada positiva da variância: DP( X ) Var( X ) Notações: DP( X ), ( X ),, X 12
Do exemplo 4 temos E X x p x 1 1 1 1 1 1 6 6 6 6 6 6 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) 1 3 5 7 9 11 47,67 Var X X E X E X 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ( )) 47,67 6 11,67 DP( X ) ( X ) Var( X ) 3,42 13
OBSERVAÇÕES: Procedimentos semelhantes podem ser utilizados para variáveis aleatórias continuas, substituindo o pela integral. Vale ressaltar que no caso da variável continua a probabilidade de ocorrer exatamente um valor é igual a ZERO. Portanto, calcula-se probabilidade apenas para intervalos. a b b P(a<X<b) P ( a X b) f ( x) dx a E ( X ) x f ( x) dx b a Var( X ) E( X onde E( X 2 b 2 ) x a 2 ) [ E( X )] f ( x) dx DP( X ) Var( X ) 2
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É a mais importante das distribuições teóricas de probabilidade para variáveis discretas. Considere n tentativas independentes de um mesmo experimento aleatório. Cada tentativa admitindo apenas dois resultados: fracasso com probabilidade q e sucesso com probabilidade p, p+q=1 ou q=1-p. A probabilidade de sucesso (p) em cada ensaio é constante. Como as probabilidades p de sucesso se mantêm constantes em cada ensaio, a distribuição binomial é indicada para os casos em que a amostragem é feita com reposição. 16
Seja X: número de sucessos em n tentativas. A função de probabilidade da variável X é : k P( X k) C. p. q nk, n k onde k é o número de sucessos em n tentativas e n n! C n,k = = k!(n - k)! k é o coeficiente binomial de n sobre k. A variável X tem Distribuição Binomial, com parâmetros n e p. Notação: X ~ B ( n; p) 17
Exemplo: Uma moeda é lançada 20 vezes. Qual a probabilidade de saírem 8 caras? Solução: Número de tentativas n=20 Número de sucessos desejado k=8 Probabilidade de sucesso em 1 tentativa p=1/2 Probabilidade de insucesso em 1 tentativa q=1/2 Seja X: número de sucessos (caras) então X:0,1,2,3,...,20 Usando estes parâmetros na fórmula da Distribuição Binomial temos P( X 8) C. p. q 20,8 8 20 8 18
1 1 1 p P( c) e q X ~ B 20, 2 2 2 8 208 8 12 1 1 20! 1 1 P( X 8) C20,8 2 2 8!(20 8)! 2 2 PX ( 8) 0,12013 Portanto a probabilidade de sair 8 caras é 0,12013. 19
Os parâmetros da Distribuição Binomial são: Esperança ou média: E( X ) n. p Variância: Var( X ) n. p. q 20
Exercício 1: Achar a média e a variância da variável aleatória X ~ B(20;0,3) Exercício 2: Sabe-se que certo procedimento de inseminação artificial tem probabilidade de 60% de dar certo. Três mulheres são submetidas a este tipo de inseminação. a) Verifique se este experimento se enquadra como binomial b) Calcule a probabilidade de: i) em exatamente 3 mulheres a inseminação funcionar; ii) no máximo em 1 mulher ocorrer o sucesso. c) Determinar o número esperado e o desvio padrão de mulheres em que a inseminação funcionou. 21
Consideremos a probabilidade de ocorrência de sucesso em um determinado intervalo (domínio contínuo). Seja X o número de sucessos no intervalo (v.a discreta), então: onde é a média. P( X k) e. k! k A variável assim definida tem Distribuição de Poisson. Notação: X ~ Po( ) 22
A Distribuição de Poisson é muito usada na distribuição de números de: carros que passam por um cruzamento por minuto, durante uma certa hora do dia; número de nascimentos de crianças por dia mortes por ataque de coração por ano, numa cidade problemas de fila de espera em geral número de focos de dengue por km 2 erros tipográficos por página, em um material. 23
Exercício 3: Num pronto socorro são atendidas 300 pessoas por hora. Qual a probabilidade de que: a) em um minuto não haja nenhum atendimento; b) em 2 minutos haja 2 atendimentos (quadro) Exercício 4: A experiência mostra que de cada 400 lâmpadas, 2 se queimam ao serem ligadas. Qual a probabilidade de que numa instalação de 900 lâmpadas, exatamente 8 se queimam? (quadro) 24
Os parâmetros da Distribuição de Poisson são: Esperança ou média: EX ( ) Variância: Var( X ) 25