APRESENTAÇÃO Olá jovem concurseiro desse imenso Brasil! Tudo bem? Vamos conquistar uma vaga no concurso para Técnico do Seguro Social do INSS? Tenho certeza de que você está otimista e preparado pra encarar o desafio. É hora de cair pra dentro dos estudos, com o melhor PDF do Brasil!!! Falando um pouco de mim, meu nome é Ronilton Loyola, professor de Matemática, Física, Estatística e Raciocínio Lógico nos principais cursos preparatórios do Rio de Janeiro. Também sou autor dos livros RACIOCÍNIO LÓGICO PARA CONCURSOS e MATEMÁTICA FINANCEIRA PARA CONCURSOS, ambos da editora Método/Gen. E também tenho publicado, pela Editora Saraiva, um MANUAL DE DICAS PARA O INSS, junto com uma galera espetacular de outras disciplinas. Sei como é a vida de um concurseiro, pois já fiz parte desse grupo seleto. Com muita disciplina, dedicação e fé, alcancei êxito na maioria dos concursos que prestei (IME, ITA, EN, Polícia Federal, Tribunais, entre outros), inclusive sendo classificado em primeiro lugar em alguns deles. Mas o que interessa aqui é você, meu aluno, minha aluna! Vamos falar um pouco deste nosso curso em PDF para o INSS? Pois bem! Como o edital ainda não foi publicado, vamos tomar como base o edital do último concurso, do ano de 2016. A Banca Organizadora foi o CESPE/Unb. Se houver mudanças no conteúdo programático do próximo concurso, prontamente enviarei um material complementar. Aqui trabalharemos toda a teoria, sem escapar nada, de forma clara e objetiva, além de uma quantidade excessiva de questões inéditas e questões da Banca CESPE, resolvidas e detalhadamente comentadas. Vamos dar prioridade àquelas questões-chave, que ensinam como resolver outras, todas elas bem recentes, inclusive dos anos de 2017 e 2018. Ah!... No final de cada aula, inclusive na AULA 00 (Aula Demonstrativa), tem uma bateria de questões propostas pra você testar o seu aprendizado. Essas questões estão resolvidas e comentadas na própria aula. Falando sobre conteúdo programático, o programa do último concurso, em 2016, para Técnico do Seguro Social do INSS foi o seguinte: 1. Conceitos básicos de Raciocínio Lógico: proposições; valores lógicos das proposições; sentenças abertas; número de linhas da tabela verdade; conectivos; proposições simples; proposições compostas. 2. Tautologia. 3. Operação com conjuntos. 4. Cálculos com porcentagens. Vamos destrinchar esses assuntos nas seguintes aulas:
Aula Assunto Data da Postagem 00 Proposições, Conectivos Lógicos e Questões Propostas. Imediata 01 02 Tautologia, Contradição, Contingência, Implicação Lógica, Equivalências Lógicas, Negação de Proposições Compostas e Questões Propostas. Conceito de Sentença Aberta, Quantificadores, Negação de Proposições com Quantificadores e Questões Propostas. 09/05/2018 25/05/2018 03 Argumentação, Diagramas Lógicos e Questões Propostas. 11/06/2018 04 Teoria dos Conjuntos, Operações com Conjuntos e Questões Propostas. 25/06/2018 05 Cálculos com Porcentagens e Questões Propostas. 09/07/2018 06 Resumo Teórico. 23/07/2018 07 Questões Diversas da Banca CESPE, Resolvidas e Comentadas. 06/08/2018 Muito bem, galera! Agora que já esquematizamos nossos estudos, mãos à obra! AULA 00: Proposições e Conectivos Lógicos Nesta aula faremos uma introdução à Lógica, falando de proposições simples, proposições compostas e conectivos lógicos. Também mostraremos como é a negação de uma proposição simples. A negação de proposições compostas é assunto da próxima aula. Antes vamos fazer um pequeno sumário para organizarmos nossas ideias.
SUMÁRIO 1. CONCEITO DE PROPOSIÇÃO... 07 2. PROPOSIÇÕES SIMPLES E COMPOSTAS... 12 3. NEGAÇÃO DE UMA PROPOSIÇÃO SIMPLES... 14 4. CONECTIVOS LÓGICO... 16 5. QUESTÕES PROPOSTAS... 32
RACIOCÍNIO LÓGICO 1. CONCEITO DE PROPOSIÇÃO O que é proposição? Vamos ver? Podemos conceituar proposição assim: Proposição é toda oração declarativa, que SEMPRE TEM um ÚNICO VALOR LÓGICO, verdadeiro (V) ou falso (F). Vamos entender esse conceito acima, analisando cada palavra destacada (sublinhada). Se proposição é uma oração, então deve possuir pelo menos um verbo, já que o verbo é base de toda oração, ou seja, não existe oração sem verbo. Se é declarativa, então não pode ser interrogativa, nem exclamativa e também não pode ser imperativa. Além disso, toda proposição possui necessariamente um ÚNICO valor lógico, verdadeiro (V) ou falso (F). Vejamos os exemplos seguintes: a) A Lua é menor que a Terra. b) A Seleção Brasileira ganhou a Copa do Mundo de 2014. c) João passou na prova. d) Existe vida após a morte. Veja, meu jovem, que, no exemplo a, temos uma oração (verbo ser ; sujeito: A Lua ; predicado: é menor que a Terra ). Além disso, a oração é declarativa (não é exclamativa, nem interrogativa, nem imperativa) e tem um único valor lógico (verdadeiro). No exemplo b temos uma oração, cujo verbo é ganhar, sujeito A Seleção Brasileira, predicado ganhou a Copa do Mundo de 2014. Além disso, essa oração é declarativa (não é exclamativa, nem interrogativa, nem imperativa) e tem um único valor lógico (falso). Também no exemplo c, temos uma oração declarativa que é verdadeira ou falsa (ou João passou ou não passou na prova; só existe uma ÚNICA possibilidade, verdadeiro ou falso). O exemplo d (que já caiu em prova da Banca CESPE!) também é proposição, pois é uma oração (verbo existir ), declarativa, e que tem valor lógico falso (F). Mas falso, professor? Como posso garantir que Existe vida após a morte é falso ou verdadeiro? Meu jovem, vida é o seu coração bater, você respirar, andar etc. Após a morte, nada disso acontece. Logo, Existe vida após a morte é logicamente falso. 7
As orações interrogativas, as exclamativas e as imperativas, NÃO podem ser classificadas em verdadeiro ou falso. Daí, NÃO são proposições. Orações imperativas são aquelas que exprimem ordem, pedido, advertência, convite etc. Daí, NÃO são proposições as seguintes construções, já que NÃO podem ser classificadas em verdadeiro ou falso: Desça daí, menino. (ordem) Beije-me, querida. (pedido) Escuta primeiro os teus botões. (advertência) Sente-se, por favor. (convite) Agora já sabemos as condições para que uma dada construção seja proposição. Ok? Podemos continuar? Então vamos nessa! Só pra confrontar, vejamos agora algumas frases que NÃO SÃO CONSIDERADAS PROPOSIÇÕES: a) Sete é um número ímpar? b) Que mulher chata! c) Beba Coca cola. d) Duas vezes um número mais três é igual a sete. (2x + 3 = 7) e) Ele é um bom advogado. Vejamos porque esses exemplos NÃO são considerados proposições. A construção a não é proposição, pois é interrogativa (olhe o ponto de interrogação no final da construção). Lembre-se de que proposições são sempre orações declarativas, e nunca interrogativas, nem exclamativas, nem imperativas. A construção b não é proposição, pois é exclamativa (olhe o ponto de exclamação no final). A construção c não é proposição, pois é imperativa (exprime uma ordem). A construção d não é proposição, pois não pode ser classificada como verdadeira nem como falsa. Veja que o valor lógico da expressão depende do valor atribuído à incógnita x. Por exemplo, para x = 2, a expressão 2.2 + 3 = 7 é verdadeira, mas pra qualquer outro valor atribuído a x, a expressão é falsa. E proposição SEMPRE tem um ÚNICO valor lógico determinado (verdadeiro ou falso). Expressões desse tipo, ou seja, expressões que contém incógnitas, são classificadas como sentenças abertas. E sentenças abertas NÃO são consideradas proposições. A construção e também é uma sentença aberta. Veja que ele pode ser qualquer pessoa. Daí, não sabemos se é um bom advogado ou não. Pode ser verdadeiro ou pode ser falso, dependendo de quem seja ele. 8
Prezado, só pra finalizar, vamos acrescentar a seguinte particularidade de uma proposição: Uma proposição deve exprimir um pensamento de sentido completo. Então, NÃO são consideradas proposições as seguintes construções: é diferente de cinco (falta o sujeito da oração); João estava (falta o predicado). Mas cuidado!...existem expressões que exprimem pensamento de sentido completo, mas NÃO são consideradas proposições. Por exemplo, as expressões Atenção!, Viva!, Parabéns!, Raios!, Rua! etc exprimem pensamento de sentido completo, mas NÃO são consideradas proposições. Agora que já sabemos qual o conceito de proposição, vejamos como isso cai na prova. Ah!... Mas antes cabe lembrar que, nas questões, vamos dar prioridade ao modelo CESPE, que foi a organizadora do último concurso do INSS. Como o tema poderia ser cobrado em prova! 1. (QUESTÃO INÉDITA) Das cinco frases abaixo, quatro delas têm uma mesma característica lógica em comum, enquanto uma delas não tem essa característica. I. Que belo dia! II. Um excelente livro de Raciocínio Lógico. III. O jogo terminou empatado? IV. Existe vida em outros planetas do Universo. V. Escreva uma poesia. A frase que não possui essa característica comum é a: a) I b) II c) III d) IV e) V RESOLUÇÃO E COMENTÁRIOS: Perceba, meu caro, que a característica lógica comum ao que o enunciado se refere é que 4 dessas frases NÃO são proposições e uma delas é proposição. Daí, vejamos a frase que NÃO POSSUI a tal característica comum, ou seja, a frase que É PROPOSIÇÃO. Vamos analisar cada uma delas. 9
I. Que belo dia! NÃO é proposição, pois é uma frase exclamativa, e proposição tem de ser declarativa, e nunca interrogativa, nem exclamativa, nem imperativa. II. Um excelente livro de Raciocínio Lógico. NÃO é proposição, pois não possui verbo, que é a base de uma oração. E sabemos que toda proposição é oração, e daí tem de ter pelo menos um verbo. III. O jogo terminou empatado? NÃO é proposição, pois é uma frase interrogativa. IV. Existe vida em outros planetas do Universo. É proposição, pois trata-se de uma oração (verbo existir ) declarativa (veja o ponto no final da frase), tem sentido lógico completo, e tem um ÚNICO valor lógico, verdadeiro ou falso, embora não sabemos, no momento, que valor lógico é esse. V. Escreva uma poesia. NÃO é proposição, pois é uma frase imperativa, exprime um pedido. A única frase que NÃO possui essa característica comum, ou seja, que é proposição, é a frase IV. GABARITO: letra D. Como o tema poderia ser cobrado em prova! 2. (QUESTÃO INÉDITA) Considere as seguintes frases: I. Ele foi o melhor jogador do mundo em 2005. II. 5x + y é um número inteiro. III. João da Silva foi o Secretário da Fazenda do Estado de São Paulo em 2000. É verdade que apenas: a) I e II são sentenças abertas; b) I e III são sentenças abertas; c) II e III são sentenças abertas; d) I é uma sentença aberta; e) II é uma sentença aberta. RESOLUÇÃO E COMENTÁRIOS: Mais uma questãozinha mamão com açúcar, bem facilzinha. Vamos nessa? Avante! Vamos analisar cada item. 10
I. Ele foi o melhor jogador do mundo em 2005. É sentença aberta, pois não sabemos quem é ele. Daí, não podemos classificar a frase em verdadeiro (V) nem em falso(f), o que caracteriza uma sentença aberta. II. 5x + y é um número inteiro É sentença aberta, pois não podemos classificar em verdadeiro (V) nem em falso (F). O valor lógico da sentença depende dos valores atribuídos às incógnitas x e y. Por exemplo, para x = 1 e y = 2, o valor lógico é verdadeiro (5.1 + 2 = 7, o que é inteiro); porém, por exemplo, para x = 0,5 e y = 3, o valor lógico é falso (5.0,5 + 3 = 5,5, o que NÃO é inteiro). III. João da Silva foi o Secretário da Fazenda do Estado de São Paulo em 2000. NÃO é sentença aberta, pois tem um ÚNICO valor lógico (ou é verdadeiro ou é falso). Perceba, meu caro, que você não precisa saber se isso é verdade ou não. O importante é entender que tem um ÚNICO valor lógico (verdadeiro ou falso). Ou João foi ou não foi Secretário da Fazenda do Estado de São Paulo, e disso temos certeza. Aqui temos um exemplo de proposição, cuja base da oração é o verbo ser. Conclusão: apenas I e II são sentenças abertas, e III é proposição. GABARITO: letra A. Passemos para o próximo item. Vamos falar em proposições simples e proposições compostas. Avante! 11
2. PROPOSIÇÃO SIMPLES E PROPOSIÇÃO COMPOSTA Já sabemos qual o conceito de proposição. Mas qual a diferença entre uma proposição simples e uma proposição composta? Vamos verificar? É fácil! Basta lembrar, da Língua Portuguesa, que o verbo é a base da oração, ou seja, um único verbo (ou locução verbal) constitui uma única oração, uma única proposição, chamada proposição simples (ou atômica), conforme os casos vistos anteriormente. Já uma proposição composta (ou molecular) é constituída por dois ou mais verbos, ou seja, são duas ou mais proposições simples ligadas por conectivos lógicos (ou operadores lógicos). Vejamos os exemplos abaixo: a) Marcos é advogado e João é dentista. b) Samanta mentiu ou Márcia falou a verdade. c) Se não chover, então Carlos irá à praia. No exemplo a temos uma proposição composta formada por duas proposições simples, ligadas pelo conectivo lógico e. No exemplo b, temos uma proposição composta formada por duas proposições simples, ligadas pelo conectivo ou. No exemplo c, temos uma proposição composta formada por duas proposições simples, ligadas pelo conectivo se então. No próximo item, faremos um estudo detalhado de todos os conectivos lógicos. Agora que já sabemos a diferença entre uma proposição simples (ou atômica) e uma proposição composta (ou molecular), vamos resolver mais uma questão, agora uma questão inédita, que pode cair na sua prova. Mãos à obra! Como o tema poderia ser cobrado em prova! 3. (QUESTÃO INÉDITA) Considere as construções abaixo e assinale aquela que representa uma proposição simples. a) O homem sábio agiu com tranquilidade e foi embora. b) Vou à praia se, e somente se, faz sol. c) José não passou, mas Mário foi classificado no concurso. d) Se não chove, então Beto vai ao cinema. e) Carlos e Antenor foram aprovados no concurso 12
RESOLUÇÃO E COMENTÁRIOS: Vamos analisar cada alternativa. (A) é proposição composta constituída por duas proposições simples, ligadas pelo conectivo e. As proposições simples são as seguintes: O homem sábio agiu com tranquilidade. O homem foi embora. (B) é proposição composta constituída por duas proposições simples, ligadas pelo conectivo se e somente se. As proposições simples são as seguintes: Vou à praia. Faz sol. (C) é proposição composta constituída por duas proposições simples, ligadas pelo conectivo mas (=e). As proposições simples são as seguintes: José não passou no concurso. Mário foi classificado no concurso. (D) é proposição composta constituída por duas proposições simples, ligadas pelo conectivo se então. As proposições simples são as seguintes: Não chove. Beto vai ao cinema. (E) é proposição simples, pois aqui temos uma única oração, um único verbo (verbo ir ). Mas professor, e aquele conectivo e que aprece entre Carlos e Antenor? Meu jovem, aquilo não é um conectivo lógico, e sim um conectivo da Língua Portuguesa, que liga os núcleos de um sujeito composto. Veja também que só temos um verbo (verbo ser ), caracterizando uma proposição simples. GABARITO: letra E. Muito bem, meu jovem! Vamos em frente! Veremos agora como negar uma proposição simples. Quanto à negação de uma proposição composta, deixaremos esse assunto pra frente, quando estudarmos equivalências lógicas. 13
3. NEGAÇÃO DE UMA PROPOSIÇÃO SIMPLES Dada uma proposição simples P qualquer, sempre podemos obter outra proposição P (lê-se: não P ) chamada negação de P, e cujo valor lógico é oposto ao P, ou seja, se P é verdadeira (V), P é falsa (F); se P é falsa (F), P é verdadeira (V). Veja a tabela seguinte: P P V F F V Alguns exemplos de como negar uma proposição simples: a) P: João é advogado. P: João não é advogado. b) P: Aline é mentirosa. P: Aline não é mentirosa (ou Aline só fala a verdade). c) P: Oito é menor que vinte. P: Oito não é menor que vinte (ou Oito é maior ou igual a vinte). Já sabemos como se nega uma proposição simples, ok? Mas antes de partirmos para o próximo item, cabe acrescentar que podemos empregar outras expressões que são equivalentes a não P. Vejamos as expressões que podem substituir não P : Não é verdade que P. É falso que P. É mentira que P. Daí, as seguintes proposições são equivalentes: Estudar não é fácil. 14
Não é verdade que estudar é fácil. É falso que estudar é fácil. É mentira que estudar é fácil. Ah!...Outra coisa importante: é comum o uso do no lugar do, ou seja, escrever P é o mesmo que escrever P. Como o tema poderia ser cobrado em prova! 4. (QUESTÃO INÉDITA) Julgue o item seguinte em certo (C) ou errado (E). Considere como verdadeiro que Não é verdade que Marcos não está mentindo. Logo, podemos concluir que é mentira que Marcos não está mentindo. RESOLUÇÃO E COMENTÁRIOS: Caríssimo, repare que a proposição dada no enunciado é equivalente a Marcos está mentindo, já que trata-se da negação (não é verdade) da proposição Marcos não está mentindo. E a negação de Marcos não está mentindo é a proposição Marcos está mentindo. Bom lembrar que a negação da negação é a afirmação ( P = P). O item afirma que podemos concluir que É mentira que Marcos não está mentindo. Repare que Marcos não está mentindo é uma mentira. Concluímos então que é verdade que Marcos está mentindo. Portanto, esta correto o item. GABARITO: certo (C). Vamos partir pra outro assunto? Avante, rumo ao INSS! Agora falaremos sobre conectivos lógicos, aqueles usados pra formar proposições compostas. Quando fizemos a diferença entre proposição simples e proposição composta, falamos nos conectivos e, ou e se então. Vamos, no item seguinte, fazer um estudo detalhado desses e dos demais conectivos lógicos. 15
4. CONECTIVOS LÓGICOS Já sabemos que proposição composta é aquela formada por duas ou mais proposições simples, que vêm ligadas por conectivos lógicos. Daí, conectivos lógicos são palavras (ou símbolos) que usamos para formar proposições compostas, a partir de proposições simples dadas. São conectivos usuais em Lógica Matemática: e, ou, ou...ou..., se então, se e somente se. Façamos, a partir de agora, um estudo detalhado desses conectivos lógicos. 4.1. Conectivo Λ (lê-se: e ) Quando colocamos o conectivo Λ entre duas proposições simples P e Q, obtemos uma proposição composta P Λ Q, chamada conjunção. Vejamos o exemplo seguinte: P: Oito é numero par. (proposição simples) Q: Dois é divisor de 6. (proposição simples) P Λ Q: Oito é número par e dois é divisor de seis. (proposição composta formada pela conjunção de P e de Q) Já vimos o que é uma conjunção. Mas, resta acrescentar o seguinte: assim como as proposições simples possuem um valor lógico verdadeiro (V) ou falso (F), devemos também atribuir um valor lógico (V ou F) para as proposições compostas. Vamos postular um critério para estabelecer o valor lógico da conjunção P Λ Q, a partir dos valores lógicos (conhecidos) das proposições simples. Veja: A conjunção P Λ Q será verdadeira se P for verdadeira e Q for verdadeira. Se ao menos uma delas for falsa, P Λ Q será falsa. Vamos resumir esse critério em uma pequena tabela, chamada tabela-verdade, onde são analisadas todas as possibilidades para os valores lógicos de P e de Q. P Q P Λ Q V V V V F F F V F F F F 16
Jovem, memorize esse e os demais critérios para julgar uma proposição composta em verdadeira ou falsa. Isso é fundamental para o perfeito entendimento do conteúdo das aulas posteriores. Pra facilitar a memorização segue um bizu. BIZU!!! Um pai prometeu ao filho que daria um carrinho (P) e uma bicicleta (Q) de presente de aniversário. Para que o pai cumpra sua promessa, falando a verdade, diante do conectivo e, o pai tem de presentear com os dois brinquedos, ou seja, tem de dar o carrinho (P verdadeiro) e a bicicleta (Q verdadeiro). Se der apenas o carrinho (P verdadeiro e Q falso), apenas a bicicleta (P falso e Q verdadeiro), ou se não der nenhum dos dois presentes (P falso e Q falso), estará agindo com falsidade. Exemplos: a) P: Dois é menor que sete. (verdadeiro) Q: Dez é maior que cinco. (verdadeiro) P Λ Q: Dois é menor que sete e dez é maior que cinco. (verdadeiro) b) P: A Lua é menor que a Terra. (verdadeiro) Q: O Sol é um planeta. (falso) P Λ Q: A Lua é menor que a Terra e o Sol é um planeta. (falso) Agora que você já sabe o que é uma conjunção, e como se atribui o seu valor lógico, vamos resolver mais uma questãozinha. 17
Como o tema poderia ser cobrado em prova! 5. (QUESTÃO INÉDITA) Considere a proposição: Paula estuda, mas não passa no concurso. Nessa proposição, o conectivo lógico é uma: a) disjunção inclusiva; b) conjunção; c) disjunção exclusiva; d) condicional; e) bicondicional. RESOLUÇÃO E COMENTÁRIOS: A proposição dada pode ser escrita na forma Paula estuda, e não passa no concurso. O conectivo mas equivale ao conectivo e, ou seja, trata-se de uma conjunção. GABARITO: letra B. Agora falaremos do conectivo ou, a chamada disjunção inclusiva ou simplesmente disjunção. 4.2. Conectivo v (lê-se: ou ) Quando colocamos o conectivo v entre duas proposições P e Q, obtemos uma proposição composta P v Q, chamada disjunção. Observe o exemplo seguinte: P: Cinco é número natural. (proposição simples) Q: Dois é número inteiro. (proposição simples) P v Q: Cinco é número natural ou dois é número inteiro. (proposição composta formada, chamada disjunção) Vamos postular um critério para estabelecer o valor lógico (V ou F) da disjunção P v Q, a partir dos valores lógicos de P e de Q. A disjunção P v Q será verdadeira se ao menos uma das proposições P ou Q for verdadeira. Se P e Q forem ambas falsas, então P v Q será falsa. Vejamos esses valores na tabela-verdade a seguir: 18
P Q P v Q V V V V F V F V V F F F BIZU!!! Um pai prometeu ao filho que daria um carrinho (P) ou uma bicicleta (Q) de presente de aniversário. Para que o pai cumpra sua promessa, falando a verdade, diante do conectivo ou, ele pode dar o carrinho e não dar a bicicleta (P é verdadeiro e Q é falso), pode dar a bicicleta e não dar o carrinho (P é falso e Q é verdadeiro), como também pode dar os dois (P é verdadeiro e Q é verdadeiro). Só estará agindo com falsidade se não der o carrinho nem a bicicleta (P é falso e Q é falso). Vejamos os exemplos: a) P: Cinco é maior que três. (verdadeiro) Q: número sete é par. (falso) P v Q: Cinco é maior que três ou o número sete é par. (verdadeiro) b) P: Flamengo é time paulista. (falso) Q: A Lua é maior que o Sol. (falso) P v Q: Flamengo é time paulista ou a Lua é maior que o Sol. (falso) Agora que já apresentamos o conectivo v, vamos resolver mais uma questão da FCC. Avante, meu jovem, que tá gostosinho. 19
Como o tema poderia ser cobrado em prova! 6. (QUESTÃO INÉDITA) Considere as seguintes premissas: P: Trabalhar é saudável. Q: O cigarro mata. A afirmação Trabalhar não é saudável ou o cigarro mata é falsa se: a) P é falsa e ~Q é falsa; b) P é falsa e Q é falsa; c) P e Q são verdadeiras; d) P é verdadeira e Q é falsa; e) ~P é verdadeira e Q é falsa. RESOLUÇÃO E COMENTÁRIOS: Questãozinha tranquilinha, molezinha. A afirmação Trabalhar não é saudável ou o cigarro mata é simbolicamente representada por: ~P v Q. O enunciado pede que essa afirmação, ~P v Q, seja falsa. Vimos que a disjunção ou é falsa quando as proposições simples componentes são todas falsas (F v F = F). Logo, devemos ter: ~P deve ser falsa, o que equivale a dizer que P é verdadeira. E também Q é falsa. GABARITO: letra D. Além da disjunção inclusiva, ou simplesmente disjunção, que acabamos de estudar, existe a chamada disjunção exclusiva ou... ou.... Vejamos no item a seguir. 4.3. Conectivo v (lê-se: ou... ou... ) Caríssimo jovem, é importante não confundir a disjunção ou (símbolo v ) com a disjunção exclusiva ou...ou... (símbolo v). Vamos exemplificar a diferença entre elas? Veja as proposições as proposições seguintes: Mário vai ganhar um relógio ou vai ganhar uma pulseira. (disjunção) Ou Mário vai ganhar um relógio ou vai ganhar uma pulseira. (disjunção exclusiva) 20
Repare, no primeiro exemplo, onde temos um simples disjunção, que sendo a proposição Mário vai ganhar um relógio verdadeira, a segunda Mário vai ganhar uma pulseira também pode ser verdadeira, ou seja, Mário pode ganhar os dois presentes. Já no segundo exemplo, temos uma disjunção exclusiva, ou seja, Mário pode ganhar um ou outro presente, mas não os dois presentes. Daí, vejamos qual o critério utilizado para estabelecer o valor lógico da disjunção exclusiva. A disjunção exclusiva P v Q será verdadeira se uma das proposições for verdadeira e a outra for falsa. Nos demais casos, ou seja, quando ambas as proposições forem verdadeiras ou falsas, a disjunção exclusiva será falsa. Observe a tabela verdade da disjunção exclusiva: P Q P v Q V V F V F V F V V F F F Vejamos os exemplos seguintes: a) P: O Brasil será campeão da Copa do Mundo de 2018. (verdadeiro) Q: A Argentina será campeã da Copa do Mundo de 2018. (falso) P v Q: Ou o Brasil será campeão da Copa do Mundo de 2014 ou a Argentina será campeã da Copa do Mundo de 2014. (verdadeiro) Repare, nesse exemplo, que não há possibilidade de as duas seleções serem, ao mesmo tempo, campeãs do torneio. Para que a disjunção exclusiva seja verdadeira, devemos ter que se uma proposição for verdadeira, a outra deverá ser necessariamente falsa. b) P: 4 é múltiplo de 3. (falso) Q: 7 é par. (falso) P v Q: Ou 4 é múltiplo de 3 ou 7 é par. (falso) Como esse assunto pode aparecer na sua prova? Vamos resolver mais uma questão. Avante! 21
Como o tema poderia ser cobrado emprova! 7. (QUESTÃO INÉDITA) Em lógica de programação, denomina-se de duas proposições P e Q a proposição representada por ou P ou Q cujo valor lógico é a falsidade (F) quando os valores lógicos das proposições P e Q são ambos falsos ou ambos verdadeiros, e o valor lógico é a verdade (V) nos demais casos. Preenche corretamente a lacuna anterior, o seguinte conectivo: a) disjunção inclusiva; b) proposição bicondicional; c) negação; d) disjunção exclusiva; e) proposição bidirecional. RESOLUÇÃO E COMENTÁRIOS: Caríssimo jovem, tá na lata que o texto trata da disjunção exclusiva. Ainda tem dúvidas? Claro que não! GABARITO: letra D. Agora só falta falarmos em dois conectivos lógicos: o condicional e o bicondicional. Vamos lá? 4.4. Conectivo (lê-se: se então ) Quando colocamos o conectivo entre duas proposições simples P e Q, obtemos uma proposição composta P Q (lê-se: se P então Q ), chamada condicional. Vejamos os exemplos seguintes: a) P: Ana foi ao parque. Q: Marcos ficou em casa. P Q: Se Ana foi ao parque, então Marcos ficou em casa. 22
b) P: Cinco divide trinta. Q: Vinte é múltiplo de quatro. P Q: Se cinco divide trinta, então vinte é múltiplo de quatro. Vamos postular um critério para a determinação do valor lógico (V ou F) de P Q. A proposição P Q é falsa somente quando P é verdadeira e Q é falsa. Em qualquer outro caso, P Q é verdadeira. Veja a tabela verdade que resume o critério anterior: P Q P Q V V V V F F F V V F F V BIZU!!! Veja que em apenas um caso a condicional é falsa: V F = F ( Vera Fischer é Falsa). Exemplos: a) P: Cinco é menor que sete. (verdadeiro) Q: Dois é divisor de seis. (verdadeiro) P Q: Se cinco é menor que sete, então dois é divisor de seis. (verdadeiro) 23
b) P: Todo número par é múltiplo de dois. (verdadeiro) Q: Cinco não é primo. (falso) P Q: Se todo número par é múltiplo de dois, então cinco não é primo. (falso) Antes de partirmos para as questões, é importante acrescentar que: Na proposição P Q, dizemos que P é condição suficiente para Q; e Q é condição necessária para P. Também podemos dizer que P é o antecedente e Q é o consequente. Exemplo: P: Maria foi aprovada no concurso. Q: João largou o emprego. P Q: Se Maria foi aprovada no concurso, então João largou o emprego. Veja que Maria ser aprovada no concurso é condição suficiente para João largar o emprego. E também João largar o emprego é condição necessária para Maria ser aprovada no concurso. E segue mais uma questão de prova! Avante, rumo ao INSS! Como o tema poderia ser cobrado em prova! 8. (QUESTÃO INÉDITA) Na figura abaixo, p e q são proposições simples. A proposição composta que substitui corretamente o ponto de interrogação é: a) p Λ q b) p q c) ~(p q) d) p q e) ~(p v q) 24
RESOLUÇÃO E COMENTÁRIOS: Sabemos que na condicional: V V = V V F = F F V = V F F = V Observe, na tabela, na última coluna, que os valores lógicos são opostos aos valores lógicos da condicional. Em outras palavras, essa coluna é a negação da condicional: ~(p q). GABARITO: letra C. Prezado jovem! Vamos ao último conectivo? Agora é o conectivo se e somente se. Com ele, encerramos a teoria dessa AULA 00. Avante! 4.5. Conectivo (lê-se: se e somente se ) Quando colocamos o conectivo entre duas proposições P e Q, obtemos uma nova proposição P Q (lê-se: P se, e somente se, Q ), chamada bicondicional. Exemplos: a) P: Sete é número ímpar. Q: Dezoito é divisor de trinta e seis. P Q: Sete é número ímpar se, e somente se, dezoito é divisor de trinta e seis. b) P: Um trapézio tem dois lados paralelos. Q: Um triângulo tem três lados. P Q: Um trapézio tem dois lados paralelos se, e somente se, um triângulo tem três lados. Vamos postular um critério para determinar o valor lógico (V ou F) da bicondicional P Q, a partir dos valores lógicos conhecidos de P e de Q. 25
A bicondicional P Q é verdadeira somente quando P e Q são ambas verdadeiras ou ambas falsas. Em qualquer outro caso, a bicondicional é falsa. Vejamos a tabela-verdade que resume o critério anterior: P Q P Q V V V V F F F V F F F V Exemplos: a) P: Oito divide dezesseis. (verdadeiro) Q: Cinco é múltiplo de dez. (falso) P Q: Oito divide dezesseis se, e somente se, cinco é múltiplo de dez. (falso) b) P: Num triângulo retângulo, o cateto é maior que a hipotenusa. (falso) Q: A área de triângulo é a base vezes a altura. (falso) P Q: Num triângulo retângulo, o cateto é maior que a hipotenusa se, e somente se, a área de um triângulo é a base vezes a altura. (verdadeiro) Importante saber que: na bicondicional P Q, dizemos que P é condição necessária e suficiene para Q; e Q é condição necessária e suficiente para P. Simbora, gente! O INSS nos aguarda! 26
Como o tema poderia ser cobrado em prova!!! 9. (QUESTÃO INÉDITA) Sabe-se que a ocorrência de B é condição necessária para a ocorrência de C e condição suficiente para a ocorrência de D. Sabe-se, também, que a ocorrência de D é condição necessária e suficiente para a ocorrência de A. Assim, quando C ocorre: a) D ocorre e B não ocorre; b) D não ocorre e A não ocorre; c) B e A ocorrem; d) nem B nem D ocorrem; e) B não ocorre ou A não ocorre. RESOLUÇÃO E COMENTÁRIOS: Sabemos que, na condicional P Q, a proposição P é condição suficiente para Q, e a proposição Q é condição necessária para P; Na bicondicional P Q, a proposição P é condição necessária e suficiente para Q, e a proposição Q é condição necessária e suficiente para P. De acordo com o enunciado, temos: C B; B D; D A. Assim, quando C ocorre, temos: C B: Como C é verdadeira (ocorre), B é necessariamente verdadeira, para que a condicional seja verdadeira. B D: Como B é verdadeira (ocorre), D é necessariamente verdadeira, para que a condicional seja verdadeira. D A: Como D é verdadeira (ocorre), A é necessariamente verdadeira, para que a bicondicional seja verdadeira. Resumindo: A, B, C e D são logicamente verdadeiras, isto é, ocorrem. GABARITO: letra C. 27
Como o tema poderia ser cobrado em prova! 10. (QUESTÃO INÉDITA) Dadas as proposições simples p e q, tais que p é verdadeira e q é falsa, considere as seguintes proposições compostas: (1) p Λ q; (2) ~p q; (3) ~(p V ~q); (4) ~(p q). Quantas dessas proposições compostas são verdadeiras? a) nenhuma b) uma c) duas d) três e) quatro RESOLUÇÃO E COMENTÁRIOS: Já sabemos que a proposição p é verdadeira e que a proposição q é falsa. Daí, temos: (1) p Λ q tem valor lógico V Λ F = F. (2) ~p q Veja que a negação de p (a proposição ~p) tem valor lógico falso, já que p é verdadeira. Logo, o valor lógico de ~p q é dado por: F F = V. (3) ~(p V ~q) Veja que temos, nesse caso, a negação da disjunção: ~(p v~q). Vamos primeiramente achar o valor lógico da disjunção (p v~q), e depois negar (lembrando, segundo o enunciado, que p é verdadeira e q é falsa): (p v ~q) = V v ~F = V v V = V. Finalmente, o valor lógico da proposição ~(p v~q) = ~V = F. (4) ~(p q) Aqui temos a negação da bicondicional ~(p q), lembrando, do enunciado, que p é verdadeira e q é falsa. Daí, temos: ~(p q) = ~(V F) = ~(F) = V. Portanto, as proposições verdadeiras são: 2 e 4. GABARITO: letra C. 28
Como o tema poderia ser cobrado em prova! 11. (QUESTÃO INÉDITA) Paloma fez as seguintes declarações: Sou inteligente e não trabalho. Se não tiro férias, então trabalho. Supondo que as duas declarações sejam verdadeiras, é falso concluir que Paloma: a) é inteligente; b) tira férias; c) trabalha; d) não trabalha e tira férias; e) trabalha ou é inteligente. RESOLUÇÃO E COMENTÁRIOS: Sejam as proposições: P: Paloma é inteligente. Q: Paloma trabalha. R: Paloma tira férias. Vamos representar simbolicamente as declarações de Paloma: Sou inteligente e não trabalho, isto é, P Λ Q. Se não tiro férias, então trabalho, isto é, R Q. Sabe-se, do enunciado, que as declarações de Paloma são todas verdadeiras (mais tarde veremos que trata-se de premissas, admitidas todas como verdadeiras). Daí, como P Λ Q é uma conjunção verdadeira, devemos ter que P é verdadeira e Q é verdadeira. Como Q é verdadeira, concluímos que Q é falsa. Também sabemos que a declaração R Q é verdadeira. Daí, como Q é falsa, R também deve ser falsa, e R é verdadeira. Resumindo, temos: P é verdadeira, isto é, Paloma é inteligente. Q é falsa, isto é, Paloma não trabalha. R é verdadeira, isto é, Paloma tira férias. Veja que a questão pede a alternativa falsa, isto é, é falso concluir que Paloma trabalha, já que vimos que Paloma não trabalha. GABARITO: letra C. 29
Como o tema poderia ser cobrado em prova! 12. (QUESTÃO INÉDITA) Considere as seguintes afirmações: Se ocorrer uma crise econômica, então o dólar não subirá. Ou o dólar subirá ou os salários serão reajustados, mas não ambos. Os salários serão reajustados se, e somente se, não ocorrer uma crise econômica. Sabendo que as três afirmações são verdadeiras, é correto concluir que, necessariamente: a) o dólar não subirá, os salários não serão reajustados e não ocorrerá uma crise econômica; b) o dólar subirá, os salários não serão reajustados e ocorrerá uma crise econômica; c) o dólar não subirá, os salários serão reajustados e ocorrerá uma crise econômica; d) o dólar subirá, os salários serão reajustados e não ocorrerá uma crise econômica; e) o dólar não subirá, os salários serão reajustados e não ocorrerá uma crise econômica. RESOLUÇÃO E COMENTÁRIOS: Sejam as proposições: P: Ocorrerá uma crise econômica. Q: O dólar subirá. R: Os salários serão reajustados. Vamos escrever, em símbolos, as proposições dadas no enunciado: Se ocorrer uma crise econômica, então o dólar não subirá, isto é, P Q. Ou o dólar subirá, ou os salários serão reajustados, mas não ambos, isto é, Q v R. Os salários serão reajustados se, e somente se, não ocorrer uma crise econômica, isto é, R P. O enunciado garante que todas essas afirmações são verdadeiras. E Queremos chegar a uma conclusão também verdadeira, que é exatamente a alternativa correta da questão. Vamos, por hipótese, admitir que a proposição P seja verdadeira (poderíamos admitir o contrário, ou seja, P falsa). Daí, temos: Como a premissa P Q é verdadeira, e admitimos que P é verdadeira, Q deve ser falsa, para que tenhamos: V F = V V = V. Como a premissa Q v R é verdadeira, e Q é falsa, R deve ser verdadeira, para que tenhamos: F v V = V. Veja que chegamos a uma CONTRADIÇÃO, já que é impossível termos a terceira premissa R P como verdadeira, sendo R verdadeira e P falsa (vimos que P é verdadeira); teríamos, nesse caso, V F = F. 30
Como nossa hipótese gerou uma contradição, vamos admitir o contrário, ou seja, P é falsa. Daí, temos: Como a premissa R P é verdadeira, e P é verdadeira (P é falsa), concluímos que R é verdadeira, para que tenhamos: V V = V. Como a premissa Q v R é verdadeira, e R é verdadeira, concluímos que Q é falsa. Como P é falsa e Q é verdadeira (Q é falsa), temos que a premissa P Q também é verdadeira. Veja que agora não temos mais contradição. Resumindo, temos: P é falsa, ou seja, Não ocorrerá uma crise econômica. Q é falsa, ou seja, O dólar não subirá. R é verdadeira, ou seja, Os salários serão ajustados. GABARITO: letra E. Ufa!... Finalmente encerramos a AULA 00 (Aula Demonstrativa). Espero que tenham tido 100% de aproveitamento. Pra conferir, segue uma coletânea de questões de provas anteriores, além de questões inéditas similares, todas com gabarito comentado. Capriche, meu jovem, e até a próxima! 31
5. QUESTÕES PROPOSTAS Caiu na prova! 1. (CESPE/BB) Julgue o item seguinte em certo (C) ou errado (E). Há duas proposições no seguinte conjunto de sentenças: O BB foi criado em 1980. Faça seu trabalho corretamente. Manuela tem mais de 40 anos de idade. ( ) Certo ( ) Errado Como o tema poderia ser cobrado em prova! 2. (QUESTÃO INÉDITA) Considere as construções abaixo e julgue os itens seguintes em certo (C) ou errado (E). O homem sábio agiu com tranquilidade. Carlos e Antenor foram aprovados no concurso. José não passou, mas Mário foi classificado no concurso. Se não chover, então Beto irá à praia. I. A primeira é uma proposição lógica simples. ( ) Certo ( ) Errado II. A segunda é uma proposição lógica composta. ( ) Certo ( ) Errado III. A terceira é uma proposição lógica simples. ( ) Certo ( ) Errado IV. A quarta tem dois conectivos lógicos. ( ) Certo ( ) Errado 32
Como o tema poderia ser cobrado em prova! 3. (QUESTÃO INÉDITA) Julgue os itens seguintes em certo (C) ou errado (E). Considere como verdadeiro que Não é verdade que Marcos não está mentindo. Logo, podemos concluir que: I. É mentira que Marcos não está mentindo. ( ) Certo ( ) Errado II. Não é mentira que Marcos está dizendo verdade. ( ) Certo ( ) Errado III. É verdade que Marcos não está mentindo. ( ) Certo ( ) Errado IV. É mentira que Marcos está dizendo a verdade. ( ) Certo ( ) Errado Caiu na prova! 4. (CESPE/TRT BA) Considerando a proposição P: Mário pratica natação e judô, julgue o item seguinte em certo (C) ou errado (E). Simbolizando a proposição P por A Λ B, então a proposição Mário pratica natação, mas não pratica judô é corretamente simbolizada por A Λ B. ( ) Certo ( ) Errado Caiu na prova! 5. (CESPE/BB) Julgue o item seguinte em certo (C) ou errado (E). Considere que A seja a proposição As palavras têm vida e B seja a proposição Vestem-se de significados, e que sejam consideradas verdadeiras. Nesse caso, a proposição A Λ B é falsa. ( ) Certo ( ) Errado 33
Como o tema poderia ser cobrado em prova! 6. (QUESTÃO INÉDITA) Julgue o item seguinte em certo (C) ou errado (E). Considere que a proposição Mário é artista ou jogador de futebol seja logicamente verdadeira. Então, a proposição Mário é artista é necessariamente verdadeira. ( ) Certo ( ) Errado Caiu na prova! 7. (CESPE/TRT-ES) Considere que cada uma das proposições abaixo sejam verdadeiras, e julgue os itens seguintes em certo (C) ou errado (E). Tânia estava no escritório ou Jorge foi ao centro da cidade. Manuel declarou o imposto de renda na data correta e Carla não pagou o condomínio. Jorge não foi ao centro da cidade. I. A partir dessas proposições, é correto afirmar que a proposição Manuel declarou o imposto de renda na data correta e Jorge foi ao centro da cidade tem valor lógico verdadeiro. ( ) Certo ( ) Errado II. Carla pagou o condomínio tem valor lógico falso. ( ) Certo ( ) Errado III. Tânia não estava no escritório tem, obrigatoriamente, valor lógico verdadeiro. ( ) Certo ( ) Errado Como o tema poderia ser cobrado em prova! 8. (QUESTÃO INÉDITA) Julgue o item seguinte em certo (C) ou errado (E) Amanda, Bia e Cátia são atrizes que vão desempenhar diferentes papeis em uma peça: bruxa, fada e princesa. Sabe-se que: ou Amanda é bruxa, ou Cátia é bruxa; ou Amanda é fada, ou Bia é princesa; ou Cátia é princesa, ou Bia é princesa; ou Bia é fada ou Cátia é fada. Com essas informações é correto concluir que Amanda desempenhará o papel de bruxa. ( ) Certo ( ) Errado 34
Caiu na prova! 9. (ESAF/PREF. NATAL) X, Y e Z são números inteiros. Um deles é par, outro é ímpar, e o outro é negativo. Sabe-se que: ou X é par ou Z é par; ou X é ímpar ou Y é negativo; ou Z é negativo ou Y é negativo; ou Y é ímpar ou Z é ímpar. Assim: a) X é par, Y é ímpar e Z é negativo; b) X é par, Y é negativo e Z é ímpar; c) X é ímpar, Y é negativo e Z é par; d) X é negativo, Y é par e Z é ímpar; e) X é ímpar, Y é par e Z é negativo. Caiu na prova! 10. (CESPE/INSS) Proposições são sentenças que podem ser julgadas como verdadeiras ou falsas, mas não admitem ambos os julgamentos. A esse respeito, considere que A represente a proposição simples É dever do servidor apresentar-se ao trabalho com vestimentas adequadas ao exercício da função e que B represente a proposição simples É permitido ao servidor que presta atendimento ao público solicitar dos que o procuram ajuda financeira para realizar o cumprimento de sua missão. Considerando as proposições A e B, julgue os itens seguintes, com respeito ao Código de Ética Profissional do Servidor Público Civil do Poder Executivo Federal e às regras inerentes ao Raciocínio Lógico. I. A proposição composta Se A, então B é necessariamente verdadeira. II. Sabe-se que uma proposição na forma A ou B tem valor lógico falso quando A e B são ambos falsos; nos demais casos, a proposição é verdadeira. Portanto, a proposição composta A ou B, em que A e B são as proposições referidas acima, é verdadeira. ( ) Certo ( ) Errado Caiu na prova! 11. (CESPE/TCU) Suponha que P represente a proposição Hoje choveu, Q represente a proposição José foi à praia e R represente a proposição Maria foi ao comércio. Com base nessas informações, julgue os itens a seguir: I. A sentença Hoje não choveu, então Maria não foi ao comércio e José não foi à praia pode ser corretamente representada por P ( R Λ Q). ( ) Certo ( ) Errado 35
II. A sentença Hoje choveu e José não foi à praia pode ser corretamente representada por P Λ Q. ( ) Certo ( ) Errado III. Se a proposição Hoje não choveu for valorada como falsa e a proposição José foi à praia for valorada como verdadeira, então a sentença representada por P v Q é falsa. ( ) Certo ( ) Errado GABARITO 1. Certo 2. Certo Errado Errado Errado 3. Certo Errado Errado Errado Certo 4. Certo 5. Certo 6. Errado 7. Errado Certo Errado 8. Certo 9. B 10. Errado Certo 11. Certo Certo Errado 36
RESOLUÇÃO E COMENTÁRIOS SOBRE AS QUESTÕES PROPOSTAS Questão 1 Vimos que proposição é toda oração declarativa (nunca exclamativa, interrogativa ou imperativa), que exprime um pensamento de sentido completo, e que tem necessariamente um único valor lógico, verdadeiro (V) ou falso (F). Com base nesse conceito, vamos analisar cada uma das construções dadas: O BB foi criado em 1980 é proposição, pois temos uma oração declarativa (sujeito: O BB; predicado: foi criado em 1980; não é exclamativa, nem interrogativa, nem imperativa), que exprime um pensamento de sentido completo, e tem o valor lógico falso. Faça seu trabalho corretamente não é proposição, pois é imperativa. Manuela tem mais de 40 anos é proposição, pois trata-se de uma oração declarativa, que exprime um pensamento de sentido completo, e que possui um único valor lógico, verdadeiro ou falso (Manuela tem ou não mais de 40 anos; não existe outra possibilidade). Conclusão: Há duas proposições no conjunto de sentenças, conforme afirma o item. GABARITO: certo (C). Questão 2 item I A primeira construção é O homem sábio agiu com tranquilidade. Vejam que não há conectivos lógicos. Portanto, é uma proposição lógica simples, conforme afirma o item. GABARITO: certo (C). item II A segunda construção é Carlos e Antenor foram aprovados no concurso. Reparem que o e sublinhado não é um operador lógico, não liga duas proposições simples; ele está apenas unindo os núcleos do sujeito composto Carlos e Antenor. Logo, como não aparecem conectivos lógicos, temos uma proposição lógica simples. Como o item afirma que temos uma proposição composta, o item está errado. GABARITO: errado (E). item III A terceira construção é José não passou, mas Mário foi classificado no concurso. Vejam que aqui temos o conectivo mas = e que liga duas proposições simples, duas orações: José não passou; Mário foi classificado no concurso. Portanto, é uma proposição lógica composta, contrariando a afirmação do item. GABARITO: errado (E). 37
item IV A quarta construção é Se não chover, então Beto irá à praia. Temos aqui um único conectivo lógico: Se...então.... Embora sejam duas palavras ( se e então ), o conectivo é único. Como o item afirma que a construção tem dois conectivos lógicos, o item está errado. GABARITO: errado (E). Questão 3 Caríssimos! Reparem que a proposição dada no enunciado é equivalente a Marcos está mentindo, já que trata-se da negação (não é verdade) da proposição Marcos não está mentindo. Agora vamos analisar cada item dado. Estará certo aquele que equivaler a Marcos está mentindo. item I É mentira que Marcos não está mentindo. Reparem que o item afirma que Marcos não está mentindo é uma mentira. Concluímos então que Marcos está mentindo. Portanto, o item está correto. GABARITO: certo (C). item II Se Não é mentira que Marcos está dizendo a verdade, é porque Marcos está dizendo a verdade. Portanto, o item está errado. GABARITO: errado (E). item III Se É verdade que Marcos não está mentindo, então é fácil concluir que Marcos não está mentindo. O item está, portanto, errado. GABARITO: errado (E). item IV Se É mentira que Marcos está dizendo a verdade, então concluímos que Marcos está mentindo. O item está, portanto, correto. GABARITO: certo (C). Questão 4 Sejam as proposições: A: Mário pratica natação. B: Mário pratica Judô. B: Mário não pratica judô. 38
A proposição composta Mário pratica natação mas não pratica judô também pode ser escrita da forma Mário pratica natação e Mário não pratica judô. Em símbolos, temos: A Λ B. O item está correto. GABARITO: certo (C). Questão 5 Como as proposições A e B são verdadeiras, concluímos que a negação de B, ou seja, B é falsa. Logo, A Λ B é falsa, já que V Λ F = F. GABARITO: certo (C). Questão 6 Para facilitar o entendimento, vamos chamar de P a proposição Mário é artista e de Q a proposição Mário é jogador de futebol. O enunciado afirma que P v Q é verdadeira. Vimos que a disjunção P v Q é verdadeira quando ao menos uma das proposições for verdadeira. Então, P pode ser falsa e Q verdadeira. O item está errado, já que ele afirma que P é necessariamente verdadeira. GABARITO: errado (E). Questão 7 Muito bem, caríssimos! Para facilitar a resolução, vamos representar cada proposição simples por uma letra maiúscula do nosso alfabeto. P: Tânia estava no escritório. Q: Jorge foi ao centro da cidade. R: Manuel declarou o imposto de renda na data correta. S: Carla não pagou o condomínio. Agora vamos representar, em símbolos, as proposições compostas dadas no enunciado. Tânia estava no escritório ou Jorge foi ao centro da cidade é simbolicamente dada por P v Q. Manuel declarou o imposto de renda na data correta e Carla não pagou o condomínio é simbolicamente dada por R Λ S. Jorge não foi ao centro da cidade é dada por Q. Vejam que o enunciado da questão nos garante que TODAS ESSAS PROPOSIÇÕES SÃO VERDADEIRAS. Logo, como Q é verdadeira, Q é falsa. Como P v Q é verdadeira e Q é falsa, concluímos que P é necessariamente verdadeira (lembrem-se de que V v F = V). Como R Λ S é verdadeira, necessariamente R é verdadeira e S é verdadeira. (lembrem-se de que V Λ V = V). Agora que já sabemos o valor lógico de cada proposição simples dada, vamos analisar os itens I, II e III. 39
item I O item afirma que a proposição Manuel declarou o imposto de renda na data correta e Jorge foi ao centro da cidade tem valor lógico verdadeiro, ou seja, afirma que R Λ Q é verdadeira. O item está errado, pois vimos que R é verdadeira e Q é falsa; portanto, R Λ Q é falsa. GABARITO: errado (E). item II O item afirma que a proposição Carla pagou o condomínio tem valor lógico falso, ou seja, afirma que S é falsa. O item está correto, pois vimos que S é verdadeira e, consequentemente, sua negação S é falsa. GABARITO: certo (C). item III O item afirma que a proposição Tânia não estava no escritório tem valor lógico verdadeiro, ou seja, afirma que P é verdadeira. O item está errado, já que P é verdadeira e, obrigatoriamente, sua negação P é falsa. GABARITO: errado (E). Questão 8 Sejam as proposições: P: Amanda é bruxa. Q: Cátia é bruxa. R: Amanda é fada. S: Bia é princesa. T: Cátia é princesa. U: Bia é fada. V: Cátia é fada. De acordo com o enunciado, temos as seguintes premissas, admitidas como VERDADEIRAS: Ou Amanda é bruxa ou Cátia é bruxa, isto é, P v Q. (premissa 1) Ou Amanda é fada ou Bia é princesa, isto é, R v S. (premissa 2) Ou Cátia é princesa ou Bia é princesa, isto é, T v S. (premissa 3) Ou Bia é fada ou Cátia é fada, isto é, U v V. (premissa 4) A partir desse conjunto de premissas verdadeiras, vamos chegar a uma conclusão também verdadeira. Vamos lá?! Como a proposição S aparece mais vezes, nas premissas 2 e 3, vamos atribuir a ela o valor V(verdadeiro) e depois o valor F (falso); não é possível um terceiro valor. Veremos que apenas um desses dois valores (V ou F, para a proposição S ) satisfaz à condição de todas as premissas serem verdadeiras. 40
Mas antes de atribuirmos esses valores, lembrem-se de que, com o conectivo v ( ou exclusivo ), a proposição composta será verdadeira se uma das proposições simples for verdadeira e a outra for falsa. Como dissemos anteriormente, vamos atribuir valores pra S nas premissas 2 e 3. premissa 2: R v S. Se admitirmos que S é verdadeira, R deve ser falsa, para que R v S seja verdadeira, conforme o enunciado. premissa 3: T v S. Foi Admitido que S é verdadeira. Então, T deve ser falsa, para que a premissa T v S seja verdadeira, conforme o enunciado. Muito bem! Vejam que, admitindo S como verdadeira, podemos escrever o seguinte: Bia é a princesa. ( S é verdadeira) Amanda não é a fada. ( R é falsa) Cátia não é a princesa. ( T é falsa) Conclusão: Bia é a princesa. Como Amanda não é a fada nem a princesa (a princesa é Bia), Amanda é a bruxa. Por eliminação, Cátia só pode ser a fada. Bem, ainda não terminamos! Devemos testar esses valores nas outras premissas (1 e 4), e verificar se não há contradição, ou seja, se as premissas 1 e 4 também são verdadeiras. premissa 1: P v Q. Ou Amanda é bruxa (V) ou Cátia é bruxa (F) é logicamente verdadeira. premissa 4: U v V. Ou Bia é fada (F) ou Cátia é fada (V) é logicamente verdadeira. Veja que NÃO HÁ CONTRADIÇAO; todas as premissas são verdadeiras. Logo, a nossa conclusão anterior é correta, ou seja, Cátia é a fada, Bia é a princesa e Amanda é a bruxa. O item está, portanto, correto. GABARITO: certo (C). Ah! Antes de encerrar a questão, cabe lembrar que, se admitíssemos a proposião S como falsa, chegaríamos a uma contradição, ou seja, as premissas não seriam todas verdadeiras. Vamos ver? Nas premissas 2 e 3 (verdadeiras), se S é falsa (Bia não é a princesa), então R deve ser verdadeira (Amanda é a fada), e T deve ser verdadeira (Cátia é a princesa). Por eliminação, concluímos que Bia é a bruxa. Agora vamos atribuir esses valores às outras premissas (1 e 4), e chegaremos a uma contradição, isto é, as premissas 1 e 4 serão falsas, contrariando o enunciado da questão. premissa 1: P v Q. Ou Amanda é a bruxa (F) ou Cátia é bruxa (F) é uma proposição logicamente falsa. premissa 4: U v V. Ou Bia é a fada (F) ou Cátia é a fada (F) é uma proposição logicamente falsa. E então, perceberam porque S só admite o valor verdadeiro (V)? Esse tipo de solução pode ser chamado de MÉTODO DAS TENTATIVAS: Admitimos uma hipótese, e verificamos se há ou não contradição; se não houver, a hipótese admitida é a correta. 41
Questão 9 Mais uma questão de disjunção exclusiva que resolveremos pelo MÉTODO DAS TENTATIVAS. Sejam as proposições: P: X é par. P: X é ímpar. Q: Z é par. Q: Z é ímpar. R: Y é negativo. S: Z é negativo. T: Y é ímpar. Vamos representar com símbolos todas as premissas verdadeiras do enunciado. Ou X é par ou Z é par, isto é, P v Q. Ou X é ímpar ou Y é negativo, isto é, P v R. Ou Z é negativo ou Y é negativo, isto é, S v R. Ou Y é ímpar ou Z é ímpar, isto é, T v Q. Por hipótese, vamos admitir que P é verdadeira (X é par). Então: Na disjunção exclusiva P v Q, como P é verdadeira, Q deve ser falsa. Na disjunção exclusiva P v R, como P é falsa (já que P é verdadeira), R deve ser verdadeira. Na disjunção exclusiva S v R, como R é verdadeira, S deve ser falsa. Na disjunção exclusiva T v Q, como Q é verdadeira (pois já vimos que Q é falsa), T deve ser falsa. Resumindo, temos: P é verdadeira, ou seja, X é par. Q é falsa, ou seja, Z é ímpar. R é verdadeira, ou seja, Y é negativo. GABARITO: letra B. Reparem que nossa hipótese foi: P é verdadeira (X é par). Se admitirmos qualquer uma das outras duas hipóteses para X (ímpar ou negativo), chegaremos a uma CONTRADIÇÃO. Por exemplo, façamos X ímpar; teremos que Z é par, e Y não é negativo, o que é uma contradição, pois se já temos o número par (Z) e o ímpar (X), o terceiro (Y) deveria ser, necessariamente, o número negativo. Questão 10 item I Sabemos que a proposição Se A, então B, simbolicamente representada por A B, é falsa se tivermos V (verdadeiro) F (falso); em todos os outros casos, a proposição A B é verdadeira, ou seja, V F = F, V V = V, F F = V, F V = V. 42
De acordo com o texto, no que se refere ao Código de Ética Profissional do Servidor Público Civil do Poder Executivo Federal, a proposição A é verdadeira e a proposição B é falsa. Logo, a proposição composta A B é falsa (V F = F). Como o item afirma que A B é verdadeira, o item está errado. GABARITO: errado (E). item II Sabemos que a proposição composta A ou B, chamada disjunção e representada simbolicamente por A v B, é falsa quando A e B são ambas falsas; em todos os outros casos, A v B é verdadeira, ou seja, V v V = V, V v F = V, F v V = V, F v F = F. No texto dado no enunciado, vimos que A é verdadeira e B é falsa. Logo, A v B é verdadeira (V v F = V). O item está, portanto, correto. GABARITO: certo (C). Questão 11 Muito bem! Vamos lá? Primeiramente, vamos esquematizar os dados do enunciado. As proposições simples e suas respectivas negações são: P: Hoje choveu. Q: José foi à praia. R: Maria foi ao comércio. P: Hoje não choveu. Q: José não foi à praia. R: Maria não foi ao comércio. Agora vamos analisar cada item. item I A sentença (Se) Hoje não choveu, então Maria não foi ao comércio e José não foi à praia é simbolicamente representada por P ( R Λ Q). O item está correto. GABARITO: certo (C). item II A sentença Hoje choveu e José não foi à praia é simbolicamente representada por P Λ Q. O item está certo. GABARITO: certo (C). item III Temos que: Hoje não choveu = P = F (falsa). José foi à praia = Q = V (verdadeira). 43
Vimos que a disjunção (v) será verdadeira se pelo menos uma das proposições for verdadeira, e será falsa quando ambas as proposições forem falsas. Logo, a sentença representada por P v Q é logicamente verdadeira (V), já que F v V = V. Como o item afirma que a sentença é falsa, o item está errado. GABARITO: errado (E). 44