MA092 - Geometria plana e analítica - Segundo projeto Levantamento topográfico Francisco A. M. Gomes Outubro de 2014 1 Descrição do projeto Nessa atividade, vamos usar a lei dos senos e a lei dos cossenos para desenhar um mapa topográfico, e para calcular a área e o perímetro de uma região delimitada em um terreno. Para tanto, vamos supor que as medidas do terreno tenham sido coletadas com o auxílio de um teodolito, que é um aparelho usado em topografia. O teodolito é composto, basicamente, por um telescópio que pode ser girado em torno de dois eixos perpendiculares, um horizontal e outro vertical. Usando o telescópio para mirar pontos diferentes, e medindo os ângulos entre eles, podemos determinar as coordenadas no plano e a altura desses pontos. Apesar de existirem teodolitos eletrônicos sofisticados, um bom teodolito ótico-mecânico, como o que é mostrado na figura abaixo, é suficiente para que se obtenha dados precisos. Figura 1: Teodolito ótico-mecânico. 1
2 Determinação das medidas do terreno A região da UNICAMP selecionada para o projeto é mostrada na Figura 2. Nela, foram cravadas cinco estacas que representam os vértices do polígono a ser demarcado. Como o terreno tem declividade suave e não possui acidentes, trabalharemos apenas com esses cinco vértices. Figura 2: Região que contém o que contém o terreno a ser mapeado. A determinação precisa das coordenadas de pontos topográficos envolve algumas técnicas que fogem ao escopo desse projeto. Assim, fizemos apenas uma medição simples e rápida de ângulos, mantendo o teodolito em uma posição fixa próxima ao centro da região a ser mapeada, de modo que, a partir desse ponto, pudéssemos ver todas as estacas. Cada observação feita com o teodolito é chamada visada. Os dados fornecidos pelo teodolito são suficientes par que se calcule os ângulos θ 1,..., θ 5 entre as visadas, as distâncias d 1,..., d 5 entre o aparelho e as estacas, e os lados do polígono, p 1,..., p 5. A Figura 3 resume as medidas horizontais que podem ser determinadas. 2.1 Determinação dos ângulos θ 1,..., θ 5 A primeira etapa necessária à correta locação dos pontos em um mapa é a a determinação dos ângulos horizontais θ 1,..., θ 5 mostrados na Figura 3. Seguindo uma estratégia muito simples para a obtenção desse ângulos, usamos uma bússola para determinar o norte magnético da Terra, que define a direção a partir da qual o ângulo horizontal do teodolito será medido (ou seja, a direção correspondente a 0 ). Em seguida, medimos o azimute, z i, de cada uma das estacas i = 1,..., 5. Em topografia, azimute é o ângulo que uma determinada visada faz com o norte. Esse ângulo é medido no 2
Figura 3: Medidas horizontais a serem determinadas. sentido horário, de modo que o azimute de um ponto perfeitamente a leste é 90, enquanto um ponto perfeitamente a oeste tem azimute 270. Os ângulos θ 1,..., θ 5 desejados podem ser obtidos pela diferença dos azimutes. A Figura 4 mostra as estacas i e i + 1, bem como seus azimutes. Nessa figura, o ângulo θ i é dado simplesmente por θ i = z i+1 z i. Figura 4: Azimutes de duas estacas sucessivas. Apesar de não ser muito precisa, essa estratégia exige um número pequeno de visadas e permite que incorporemos facilmente o norte magnético da Terra ao nosso mapa. Além disso, ela garante que os ângulos θ 1,..., θ 5 somem exatamente 360. 2.2 Determinação das distâncias d 1,..., d 5 e do desnível do terreno A determinação das distâncias d 1,..., d 5 é um pouco mais complexa, exigindo não só algumas medições com o teodolito, como também uma boa dose de trigonometria. Usando os mesmos 3
dados, também é possível calcular o desnível h i entre a posição do teodolito e a estaca. Para calcular a distância d i entre o teodolito e a estaca i é necessário mirar dois pontos r i e s i diferentes da régua, e fazer duas leituras α i e β i do ângulo zenital, que é o ângulo medido em relação à semirreta vertical que parte do centro do teodolito em direção ao zênite, o ponto da esfera celeste exatamente acima do observador (ou do teodolito, em nosso caso). A Figura 5 mostra os quatro valores lidos no teodolito r i, α i, s i e β i, bem como as medidas verticais que queremos determinar d i e h i. O desenho da esquerda corresponde a uma estaca situada em um ponto mais alto que o teodolito, enquanto a imagem da direita mostra uma estaca abaixo do nível do teodolito. (a) Ângulo zenital menor que 90 (b) Ângulo zenital maior que 90 Figura 5: Medidas verticais a serem lidas e determinadas. O cálculo de d i e h i é feito de forma indireta. Primeiramente, aplicamos a lei dos senos para obter a distância q i em função dos ângulos zenitais α i e β i e da diferença entre os valores lidos na régua, v i = r i s i. O triângulo usado nesse cálculo é reproduzido na Figura 6. q i sen(α i ) = v i sen (β i α i ). Figura 6: Triângulo usado para a determinação de q i através da lei dos senos. 4
De posse dos valores de q i, s i, t (altura do teodolito) e do ângulo β i, é possível determinar o desnível h i entre o ponto no qual está localizado o teodolito e a estaca i, bem como a distância d i entre o teodolito e a estaca. Para tanto, usa-se os triângulos mostrados na Figura 7. (a) Ângulo zenital menor que 90 (b) Ângulo zenital maior que 90 Figura 7: Triângulos usados para determinar d i e h i. Vejamos, inicialmente, como determinar d i. Da Figura 7(a), concluímos que, para β i 90, d i = q i sen(β i ). Por outro lado, a Figura 7(b) indica que, para β i > 90, d i = q i sen (180 β i ). Felizmente, como sen(180 β i ) = sen(β i ), podemos escrever uma fórmula única para a obtenção de d i : d i = q i sen(β i ). Passemos, agora, à determinação de h i. Se β i 90, a Figura 7(a) nos fornece h i = t + w i s i = t + q i cos (β i ) s i. Já se β i > 90, a Figura 7(b) nos permite escrever h i = t w i s i = t q i cos (180 β i ) s i. Lembrando, então, que cos(180 β i ) = cos(β i ), podemos reunir as duas fórmulas acima em uma só, escrevendo simplesmente h i = t + q i cos (β i ) s i. Observe, entretanto, que cos(β i ) < 0 se β i > 90. Dessa forma, h i pode ser negativo, o que indica que há um declive no terreno, ou seja, que o ponto do terreno em que foi fincada a estaca i está abaixo do nível do terreno no qual se encontra o teodolito. 5
2.3 Determinação das medidas p 1,..., p 5 Obtidas as distâncias d 1,..., d 5, podemos determinar, finalmente, os comprimentos p 1,..., p 5 dos lados do polígono. Isso nos permite, por exemplo, obter o perímetro da região, informação muito útil quando queremos cercá-la. Para calcular o valor de p i, aplicamos a lei dos cossenos ao triângulo que tem como vértices o teodolito e as estacas i e i + 1 (usando a estaca 1 no cálculo de p 5 ). Tomando como base o triângulo apresentado na Figura 8, escrevemos p i = d 2 i + d2 i+1 2 d i d i+1 cos(θ i ). Figura 8: Triângulo usado para determinar p i. 3 Planilhas do projeto Agora que você já sabe como obter as informações necessárias para a elaboração de um mapa topográfico, podemos passar ao problema prático que será objeto desse projeto. Nesse semestre, como não teremos tempo para efetuar as medidas em campo, suporemos que os dados do levantamento topográfico já foram coletados. Esses dados, obtidos com um teodolito instalado a 1,36 m do chão, são apresentados na Tabela 1. Tabela 1: Dados coletados no campo. Estaca Azimute Leitura Ângulo Leitura Ângulo (i) (z i ) régua 1 zenital 1 régua 2 zenital 2 (r i ) (α i ) (s i ) (β i ) 1 188,17 3,9 87,80 0,1 89,67 2 260,00 3,9 84,52 0,1 88,92 3 12,68 3,9 86,22 0,1 89,72 4 97,23 3,9 85,02 0,1 87,83 5 168,40 3,9 84,95 0,1 90,98 A partir da Tabela 1, você deve criar uma outra tabela que contenha os valores de θ i, q i, d i, h i e p i, para i = 1,..., 5. 6
4 Confecção do mapa Para a confecção do mapa topográfico do terreno, empregamos os valores de z i, d i e h i. O mapa pode ser feito à mão ou com o emprego de um programa de computador. Entretanto, as seguintes diretrizes devem ser seguidas: 1. A escala deve ser 1:700, e deve ser indicada no mapa. 2. O ponto que representa o teodolito deve coincidir com a origem dos eixos coordenados. 3. A direção do norte magnético da Terra deve coincidir com o eixo y, e também deve ser mostrada no mapa. 4. É preciso indicar o comprimento dos lados do terreno. 5. É preciso apresentar ao menos quatro curvas de nível, com a indicação da cota do terreno em relação ao seu ponto mais baixo. Um modelo de mapa é apresentado na Figura 9. Observe que o seu mapa não precisa conter os eixos x e y. Figura 9: Modelo de mapa do terreno. 7
5 Cálculo da área e do perímetro do terreno Como última tarefa do projeto, você deve calcular a área e o perímetro do terreno. O perímetro pode ser facilmente obtido a partir das medidas p 1,..., p 5. Já para a determinação da área, pode-se somar as áreas dos triângulos que têm como vértices o teodolito e duas estacas sucessivas (vide a Figura 3). Para tanto, é preciso lembrar que a área do i-ésimo triângulo é dada por A i = 1 2 d id i+1 sen(θ i ). Como alternativa para o cálculo da área, pode-se empregar o mesmo procedimento adotado no primeiro projeto, que consiste em aplicar a fórmula A = 1 6 (x 2 i y i+1 x i+1 y i ), i=1 considerando que (x 6, y 6 ) = (x 1, y 1 ). Para tanto, é preciso conhecer as coordenadas Cartesianas dos vértices do polígono, que podem ser extraídas do mapa ou obtidas usando trigonometria. 8