MTEMÁTI - 3o ciclo Teorema de Pitágoras (8 o ano) Propostas de resolução Exercícios de provas nacionais e testes intermédios 1. omo a reta T P é tangente à circunferência no ponto T é perpendicular ao raio [T ], e por isso, o triângulo [T P ] é retângulo em T ssim, recorrendo ao Teorema de Pitágoras, podemos afirmar que P = T + P T E substituindo os valores conhecidos, vem que: P = 9, + 4 P = 84, 64 + 16 T P P = 100, 64 P = 100, 64 P >0 Escrevendo o resultado arredondado às unidades, temos P = 100, 64 10 M Prova Final 3 o iclo 015, Época especial. omo o triângulo [] é um triângulo retângulo em, podemos, recorrer ao Teorema de Pitágoras, e afirmar que = + Logo, substituindo os valores dados, vem que: Resposta: Opção = 6 + 9 = 36 + 81 = 117 = 117 cm Prova Final 3 o iclo 015, a chamada 3. omo [O] e [O] são raios da mesma circunferência, O = O = ssim, como o triângulo [O] é retângulo, usando o Teorema de Pitágoras, temos que = O + O = + 3 = 4 + 9 = 13 = 13 Resposta: Opção Prova Final 3 o iclo 014, a chamada Página 1 de 10
4. Designado por M o ponto médio do lado [], temos que o triângulo [M] é retângulo em M, e que M = = 6 = 3 omo l = M, usando o Teorema de Pitágoras, temos: l = M + M 7 = M + 3 49 = M + 9 49 9 = M 40 = M 40 = M Resposta: Opção M>0 D 3 cm 4 cm M 6 cm E Prova Final 3 o iclo 014, 1 a chamada 5. Designado por M o ponto médio do lado [EF ], temos que o triângulo [OME] é retângulo em M, e que: EM = EF = 5 =, 5 omo a altura do triângulo [DEF ] é h = OM, usando o Teorema de Pitágoras, temos: O OE = OM + EM 7 = OM +, 5 D 49 = OM + 6, 5 49 6, 5 = OM 4, 75 = OM 4, 75 = OM 6, 54 OM OM>0 E M F ssim, calculando a área do triângulo [EF O], vem: [EF O] = b h = EF OM 5 6, 54 16, 35 Desta forma, o valor, arredondado às unidades, da área do triângulo [EF O] é 16 m. Teste Intermédio 9 o ano 1.03.014 6. Seja Q a projeção vertical do ponto D sobre a reta. 3 D Logo Q = D = 3 e que DQ = = 4 Podemos também observar que = Q + Q Q = Q, pelo que Q = 5 3 = ssim, como o triângulo [DQ] é retângulo em Q, usando o Teorema de Pitágoras, temos que: 4 P x Q 5 D = DQ + Q D = 4 + D = 16 + 4 D = 0 D = 0 D>0 Logo o perímetro do quadrilátero [D] é: Resposta: Opção P [D] = + + D + D = 4 + 5 + 0 + 3 = 1 + 0 16, 5 Prova Final 3 o iclo 013, a chamada Página de 10
7. omo o triângulo [] é retângulo em (porque um dos lados coincide com o diâmetro da circunferência e o vértice oposto a esse lado está sobre a circunferência), usando o Teorema de Pitágoras e substituindo as medidas conhecidas, temos que: = + = 6 + 10 = 36 + 100 = 136 = 136 Logo, como [] é um diâmetro do círculo, a medida do raio, r, é: 136 r = 5, 83 E assim, calculando a área do círculo de diâmetro [], em cm, e arredondando o resultado às unidades, vem = πr π 5, 83 107 cm Prova Final 3 o iclo 013, 1 a chamada 8. omo o triângulo [F ] é retângulo em, então o lado [F ] é um diâmetro da circunferência que passa nos pontos, F e Temos ainda que = 1 cm e que o triângulo [F ] é isósceles, pelo que também F = 1 cm, e recorrendo ao Teorema de Pitágoras podemos determinar a medida do segmento [F ]: F = + F F = 1 + 1 E F = 144 + 144 F = 88 F = 88 F D ssim, temos que o raio circunferência é r = centímetros, arredondado às unidades, é 88, pelo que o comprimento da circunferência em 88 P = πr = π = π 88 53 cm Prova Final 3 o iclo 01, a chamada 9. omo os triângulos [] e [DE] têm um ângulo em comum, e são ambos retângulos, têm dois pares de ângulos com a mesma amplitude, o que é suficiente para afirmar que são semelhantes, pelo critério. omo os triângulos são semelhantes, podemos afirmar que a razão entre lados correspondentes é igual, ou seja, D = E Logo, substituindo os valores dados, vem que: 0 = 40 5 = 40 0 5 = 3 E podemos calcular, recorrendo ao Teorema de Pitágoras: = + 40 = 3 + 1600 104 = 576 = 576 = 4 = Prova Final 3 o iclo 01, 1 a chamada Página 3 de 10
10. omo os triângulos [O] e [OD] têm um ângulo em comum, e os segmentos [] e [D] são paralelos, definem sobre a mesma reta (O) ângulos iguais, e assim os triângulos, têm dois pares de ângulos com a mesma amplitude, o que é suficiente para afirmar que são semelhantes, pelo critério. omo os triângulos são semelhantes, podemos afirmar que a razão entre lados correspondentes é igual, ou seja, O O = OD O Logo, substituindo os valores dados, vem que: O 5 = 18 1 O = 15 5 1 E podemos calcular D, recorrendo ao Teorema de Pitágoras: D = O +OD D = 7, 5 +18 D = 56, 5+34 O = 7, 5 D = 380, 5 = D = 19, 5 D>0 Exame Nacional 3 o iclo 011, Época Especial 11. omo o lado [D] do triângulo [ED] é um diâmetro de uma circunferência e o vértice E pertence à mesma circunferência, então o triângulo [ED] é retângulo e o lado [D] é a hipotenusa. ssim, recorrendo ao Teorema de Pitágoras, e substituindo os valores dados, vem que: D = E +DE D = 6, 8 +3, D = 46, 4+10, 4 D = 56, 48 D>0 = 56, 48 56, 48 ssim, como o lado [D] é um diâmetro da circunferência, temos que o raio é r =, pelo que o perímetro da circunferência em centímetros, arredondado às décimas, é 56, 48 P = πr = π = π 56, 48 3, 6 cm Exame Nacional 3 o iclo 011, 1 a chamada 1. omo [D] é um quadrado, o triângulo [] é retângulo isósceles ( = e o lado [] é a hipotenusa. ssim, recorrendo ao Teorema de Pitágoras, e substituindo o valor conhecido, vem que: = + = = 6 = 36 = 7 = 7 = >0 ssim, como o lado [] é um diâmetro da circunferência, temos que o raio é r = perímetro da circunferência, arredondado às décimas, é 7, pelo que o 7 P = πr = π = π 7 6, 7 13. omo o triângulo [] é retângulo e o lado [] é a hipotenusa, sabemos que = + Teste Intermédio 9 o ano 17.05.011 Podemos assim, verificar qual das opções apresenta valores que verificam o Teorema de Pitágoras, ou seja, que são medidas dos comprimentos de um triângulo retângulo: Opção (): 1 = 4 + 11 Opção (): 13 = 5 + 1 Opção (): 14 = 6 + 13 Opção (D): 15 = 7 + 14 Resposta: Opção 144 = 4 + 11 144 = 15 é uma proposição falsa 169 = 5 + 144 169 = 169 é uma proposição verdadeira 196 = 36 + 169 196 = 05 é uma proposição falsa 5 = 49 + 196 5 = 45 é uma proposição falsa Teste Intermédio 8 o ano 11.05.011 Página 4 de 10
14. omo [D] é um rectângulo [D] é um triângulo rectângulo e o lado [] é a hipotenusa. ssim, recorrendo ao Teorema de Pitágoras, e substituindo os valores dados, vem que: = + = + 4 = 4 + 16 = 0 = 0 >0 omo E =, temos que E = 0 omo ao ponto corresponde o número 1 0, ao ponto E corresponde o número 1 0 + 0 = 1 Teste Intermédio 9 o ano 07.0.011 15. onsiderando o triângulo retângulo [O], podemos calcular a medida da hipotenusa (o lado [O]) recorrendo ao Teorema de Pitágoras, identificano que = O = porque é a medida do raio das circunferências, ou metade da medida dos lados do quadrado. ssim, vem que O = + O O = + I O = 4 + 4 O = 8 O = 8 O>0 Verificando que [I] é um raio de uma circunferência, e por isso, I =, e como IO = O + I, vem que o comprimento de [IO], arredondado às décimas, é IO = 8 + 4, 8 H O Exame Nacional 3 o iclo 010, a chamada 16. Utilizando a propriedade enunciada, temos que, como [D] é um trapézio inscrito na circunferência, então D + D = D omo D =, e subsituindo as medidas conhecidas, temos que 1 9 + D D = 150 150 108 + D = ( 150 ) D = 150 108 D = 4 D = 4 D>0 Teste Intermédio 9 o ano 11.05.010 17. omo o lado maior de um triângulo retângulo é a hipotenusa, se o triângulo for retângulo, as medidas dos comprimentos verificam o Teorema de Pitágoras. Fazendo a verificação temos: 30 = 8 + 1 900 = 784 + 441 900 = 15 Prop. Falsa Logo como as medidas dos lados do triângulo não verificam o Teorema de Pitágoras, podemos concluir que o triângulo não é retângulo. Teste Intermédio 8 o ano 7.04.010 Página 5 de 10
18. omo os pontos E e F são os pontos médios dos lados [] e [], respetivamente, e a medida do lado do quadrado é 10, temos que E = F = 5 E assim, recorrendo ao Teorema de Pitágoras, e substituindo os valores conhecidos, vem que: EF = E + F EF = 5 + 5 EF = 5 + 5 EF = 50 EF = 50 EF >0 Escrevendo o resultado arredondado às décimas, temos EF = 50 7, 1 Teste Intermédio 9 o ano 03.0.010 19. omo [OF G] é um quadrado, o ângulo OF é reto e o triângulo [OF ] é retângulo em G, pelo que podemos recorrer ao Teorema de Pitágoras: O = OF + F omo [OF ] e [F ] são lados de um quadrado temos que OF = F, e assim O = OF + F O = OF + OF O = OF omo [O] e [O] são raios de uma circunferência temos que O = O =, pelo que O = OF = OF 4 = OF = OF = OF OF >0 E assim, vem que o valor exacto, em centímetros, da medida do lado do quadrado [OF G] é Exame Nacional 3 o iclo 009, a chamada 0. omo =, então a reta O é perpendicular ao segmento [], e assim, temos que o triângulo [DO] é retângulo em D Temos ainda que o ponto D é o ponto médio do lado [], pelo que D = = 6, 4 = 3, ssim, recorrendo ao Teorema de Pitágoras, e substituindo os valores conhecidos, vem que: O = D + DO 6, 8 = 3, + DO 46, 4 = 10, 4 + DO 46, 4 10, 4 = DO 36 = DO 36 = DO 6 = DO DO>0 omo [EO] é um raio da circunferência, tal como [O], então EO = O = 6, 8 omo EO = DE + DO DE = EO DO, e podemos calcular a medida do comprimento de [DE], em centímetros: DE = 6, 8 6 DE = 0, 8 cm Exame Nacional 3 o iclo 009, 1 a chamada Página 6 de 10
1. omo o lado [] do triângulo é um diâmetro da circunferência e o vértice pertence à mesma circunferência, então o triângulo [] é retângulo e o lado [] é a hipotenusa. ssim, recorrendo ao Teorema de Pitágoras, e substituindo os valores dados, vem que: = + 15 = 1 + 5 = 144 + 5 144 = 81 = 81 = 9 = omo os lados [] e [] do triângulo são perpendiculares, se considerarmos um deles como a base, o outro será a altura, e assim temos que a área do triângulo é [] = = 1 9 = 108 = 54 omo [] é um diâmetro da circunferência, então o raio é r = = 15 = 7, 5, e a área do círculo é = π r = π 7, 5 = 56, 5π área da região sombreada, S, pode sr calculada como a diferença da área do círculo e da área do triângulo, pelo que calculando a área da região sombreada e escrevendo o resultado arredondado às unidades, temos S = [] = 56, 5π 54 13 Teste Intermédio 9 o ano 11.05.009. omo [DF ] é um quadrado de lado 4, temos que F = 4 e que o triângulo [F E] é retângulo. ssim, recorrendo ao Teorema de Pitágoras, e substituindo os valores dados, calculando a medida do comprimento de [E] e escrevendo o resultado arredondado às décimas, vem E = F + EF E = 4 + 1 E = 16 + 1 E = 17 E = 17 E 4, 1 E>0 Teste Intermédio 8 o ano 30.04.009 3. omo o triângulo [] é retângulo em, recorrendo ao Teorema de Pitágoras para determinar a mediada do lado [], vem: = + = 10 + 160 = 14 400 + 5 600 = 40 000 ssim, a área do retângulo [EF ] é = 40 000 = 00 cm [EF ] = E = 180 00 = 36 000 cm Teste Intermédio 9 o ano 09.0.009 4. Recorrendo ao Teorema de Pitágoras para calcular a medida do comprimento do outro cateto, c, e escrevendo o resultado na forma de valor exato, temos 15 = 10 + c 5 = 100 + c 5 100 = c 15 = c c>0 15 = c Exame Nacional 3 o iclo 008, a chamada 5. omo a medida da área do quadrado [EF ] é 64, podemos calcular a medida do lado: = 64 = 8 omo [EF ] é um quadrado, então o triângulo [F ] é retângulo em e = F, pelo que, recorrendo ao Teorema de Pitágoras, podemos calcular a mediada do lado [F ]: F = + F F = 8 + 8 = 64 + 64 = 18 F = 18 F >0 omo as diagonais de um quadrado se bissetam mutuamente, podemos calcular a medida do comprimento do segmento de recta [O] e escrever o resultado arredondado às décimas: O = F 18 = 5, 7 Exame Nacional 3 o iclo 008, 1 a chamada Página 7 de 10
6. omo [GH] é um quadrado, então o triângulo [HG] é retângulo em H e H = HG, pelo que, recorrendo ao Teorema de Pitágoras, podemos calcular a mediada do lado [G], ou seja, a medida do comprimento da diagonal do quadrado [GH] e indicar o resultado arredondado às décimas: G = H + HG G = 6 + 6 G = 36 + 36 G = 7 G = 7 G 8, 5 G>0 Teste Intermédio 8 o ano 30.04.008 7. omo [F G] é um quadrado de área 36 e [DE] é um quadrado de área 64, podemos calcular as medida dos lados: F G = 36 = 6 e E = 64 = 8 omo o ponto F pertence ao segmento [E], e F G = F temos que: E = F + F E 8 = 6 F E 8 6 = F E = F E omo o segmento [F G] é perpendicular ao segmento [E], temos que o triângulo [GF E] é retângulo em F, e assim recorrendo ao Teorema de Pitágoras, calculamos o valor exato de EG: EG = F G + F E EG = 6 + EG = 36 + 4 EG = 40 EG = 40 EG>0 Teste Intermédio 9 o ano 31.01.008 8. Desenhando um esboço do sólido (representado na figura ao lado), temos que o sólido é uma pirâmide quadrangular. EF GH omo = 6, temos que QP = Q = = 6 = 3 E como a altura relativa ao triângulo [F ] relativa à base [] é 5, QF = 5 Q P D altura da pirâmide é o segmento [P F ], e como a altura á perpendicular à base, o triângulo [QP F ] é retângulo, pelo que, recorrendo ao Teorema de Pitágoras, calculamos a altura da pirâmide, ou seja a medida do comprimento do segmento [P F ]: QF = QP + P F 5 = 3 + P F 5 = 9 + P F 5 9 = P F 16 = P F 16 = P F 4 = P F P F >0 Exame Nacional 3 o iclo 007, a chamada Página 8 de 10
9. Num retângulo com 4 cm de comprimento e 3 cm de largura podemos calcular a medida da diagonal, d, recorrendo ao Teorema de Pitágoras: d = 4 + 3 d = 16 + 9 d = 5 d>0 d = 5 d = 5 omo sabemos que a medida do comprimento diagonal do televisor é D = 70, e os retângulos são semelhantes, temos que as medidas dos lados são proporcionais, tal como as medidas das diagonais, pelo que podemos calcular a medida, c, do comprimento do televisor: c 4 = D d c 4 = 70 5 c = 70 4 5 c = 80 5 nalogamente podemos calcular a medida, l, da largura do televisor: c = 56 cm l 3 = D d l 3 = 70 5 l = 70 3 5 l = 10 5 l = 56 cm Exame Nacional 3 o iclo 007, 1 a chamada 30. omo o retângulo está inscrito numa circunferência, a medida do diâmetro da circunferência é igual à medida da diagonal do retângulo. ssim, recorrendo ao Teorema de Pitágoras para determinar o valor exato da medida d da diagonal do retângulo, temos 3 d = + 3 d = 4 + 9 d = 13 d>0 d = 13 Exame Nacional 3 o iclo 006, 1 a chamada 31. 31.1. Recorrendo ao Teorema de Pitágoras para determinar a medida h da hipotenusa do triângulo: h = 3 + 6 h = 9 + 36 h = 45 h>0 h = 45 Pelo que podemos afirmar que o Vitor respondeu corretamente. 31.. omo num triângulo retângulo, a hipotenusa é sempre o lado de maior comprimento, a opção () não pode ser a correta porque, neste caso a hipotenusa seria menor que o cateto de comprimento 6. omo num triângulo, a medida do comprimento do lado maior tem que ser inferior à soma das medidas dos comprimentos dos lados menores, neste caso, como a soma dos comprimentos dos lados menores é 6 + 3 = 9, 10 não pode ser a medida do comprimento do lado maior, pelo que a opção () também não é a opção correta. Prova de ferição 004 3. omo a altura é perpendicular ao solo, a torre forma, com o solo, um triângulo retângulo em que os catetos medem 36 m e 9,6 m e a hipotenusa tem medida h ssim, recorrendo ao Teorema de Pitágoras, para calcular a medida do comprimento, h, da torre e apresentando o resultado aproximado às unidades, temos: h = 36 + 9, 6 h = 196 + 9.16 h = 1388, 16 h>0 h = 1388, 16 h 37 m Prova de ferição 003 Página 9 de 10
33. De acordo com a figura observamos que o bambu forma, com o chão um triângulo retângulo em que os catetos medem,75 cm e 1,5 m de comprimento. ssim, recorrendo ao Teorema de Pitágoras, para calcular a medida do comprimento, h, da hipotenusa, temos: h =, 75 + 1, 5 h = 5, 17565 +, 5 h = 7, 4565 h>0 h = 7, 4565 h =, 75 m ssim, e de acordo com a figura, a altura inicial do bambu, a i, é a soma do comprimento da hipotenusa com o comprimento do cateto maior do triângulo: a i =, 75 +, 75 = 5 m Prova de ferição 00 Página 10 de 10