Aula 16 Parábola - continuação MÓDULO 1 - AULA 16 Objetivos Descrever a parábola como um lugar geométrico, determinando a sua equação reduzida nos sistemas de coordenadas com eixo y paralelo à diretriz l, eixo x como eixo de simetria e origem no vértice V. Determinar as coordenadas do foco F, do vértice V e da diretriz l. Esboçar o gráfico da parábola, a partir da sua equação. Fazer translações. Aprender a propriedade reflexiva da parábola. Conceitos: Sistemas de coordenadas cartesianas e distâncias no plano. Referências: Aulas 13 e 14. Na aula anterior encontramos uma equação reduzida da parábola quando o seu eixo de simetria é o eixo y, o eixo x é paralelo à diretriz l e a origem é o vértice. Poderíamos ter procedido de outra maneira. Vamos construir outro sistema de coordenadas e escrever equações reduzidas para a parábola. Para isto, seja ainda 2p, onde p > 0, a distância do foco F à reta diretriz l. Consideramos a origem O situada na reta perpendicular à reta l passando por F e eqüidistante de F e l. A reta perpendicular a l passando por F será o eixo x com uma orientação fixada. O eixo y será a reta paralela a l, com a orientação conveniente (lembre-se que girando a parte positiva do primeiro eixo, o eixo x, no sentido anti-horário em torno de O, obtemos o sentido positivo do segundo eixo, o eixo y). A posição relativa de F, com respeito à diretriz l e à escolha dos eixos coordenados, está ilustrada na Figura 16.1. Figura 16.1: Sistemas de coordenadas com eixo y paralelo à diretriz. Observe que a origem O = (0, 0) do sistema de coordenadas construído é novamente o vértice V da parábola. Temos dois casos a considerar, conforme a Figura 16.1. 225 CEDERJ
Primeiramente, vamos determinar a equação da parábola no caso em que F = (p, 0) e a equação da reta diretriz l é x = p, conforme o desenho à esquerda da Figura 16.1. Para cada ponto P = (x, y), o ponto P l, pé da perpendicular passando por P, é P = ( p, y). Portanto, um ponto P = (x, y) pertence à parábola d(p, F ) = d(p, P ) d((x, y), (p, 0)) = d((x, y), ( p, y)) (x p) 2 + (y 0) 2 = (x ( p)) 2 + (y y)) 2 (x p) 2 + y 2 = (x + p) 2, elevando ao quadrado ambos os membros da igualdade, (x p) 2 + y 2 = (x + p) 2, desenvolvendo ambos os membros da igualdade, x 2 2px + p 2 + y 2 = x 2 + 2px + p 2, somando x 2 + 2px p 2 a ambos os membros da igualdade, y 2 = x. Como p > 0 e y 2 0 para todo y R, temos x = y2 0. Logo, os pontos da parábola diferentes da origem estão à direita do eixo y. O gráfico desta equação, ilustrado na Figura 16.2, é: { } { ( ) Graf(y 2 = x) = (x, y) x = y2 y = 2, y y R Na Figura 16.3 estão os gráficos das parábolas: x = y2 4, x = y2 e x = 2y 2. Exemplo 16.1 Vamos encontrar as coordenadas do foco e a equação da diretriz da parábola x = 1 4 y2. Escrevendo 1 = 1, obtemos = 4, logo p = 1. Então, o foco é 4 F = (p, 0) = (1, 0) e a diretriz é x = p = 1. Consideremos, agora, o caso em que F = ( p, 0) e a equação da reta diretriz é x = p, conforme o desenho à direita da Figura 16.1. Para cada ponto P = (x, y), o ponto P l, pé da perpendicular passando por P, é P = (p, y). }. CEDERJ 226
MÓDULO 1 - AULA 16 Figura 16.2: Parábola x = y2 foco F = (p, 0). com Figura 16.3: Gráficos de x = y2 4, x = y2 e x = 2y 2. Portanto, um ponto P = (x, y) pertence à parábola d(p, F ) = d(p, P ) d((x, y), ( p, 0)) = d((x, y), (p, y)) (x ( p)) 2 + (y 0) 2 = (x p) 2 + (y y) 2 (x + p) 2 + y 2 = (x p) 2, elevando ao quadrado ambos os membros da igualdade, (x + p) 2 + y 2 = (x p) 2, desenvolvendo ambos os membros da igualdade, x 2 + 2px + p 2 + y 2 = x 2 2px + p 2, somando x 2 2px p 2, y 2 = x. Como p < 0 e y 2 0 para todo y R, temos x = y2 0. Logo, os pontos da parábola diferentes da origem estão à esquerda do eixo y. O gráfico desta equação, ilustrado na Figura 16.4, é: Graf(y 2 = x) = { } { ( ) (x, y) x = y2 = y 2, y } y R. Exemplo 16.2 Vamos determinar as coordenadas do foco e a equação da diretriz da parábola de equação x = 2y 2. Escrevendo 2 = 1, obtemos p = 1. 8 F = ( p, 0) = ( 1, 0) e a equação da diretriz é x = p = 1. 8 8 Exemplo 16.3 Então, Qual é a equação da parábola com foco F = ( 3, 0) e vértice V = (0, 0)? 2 227 CEDERJ
Figura 16.4: Parábola x = y2 com foco F = ( p, 0) e vértice V = (0, 0). Escrevendo a equação da parábola na forma reduzida x = y2 e sabendo que F = ( p, 0), temos p = 3. Logo, p = 3, = 4 3 = 6, 1 = 1 e 2 2 2 6 x = y2 = y2. 4 p 6 Nos dois casos, a equação da parábola na forma reduzida é: x = ay 2, onde a R e a 0. Note que esta parábola tem foco F = ( 1 1, 0), diretriz x = e o seu 4a 4a gráfico é: Graf(x = ay 2 ) = {(x, y) x = ay 2 } = {(ay 2, y) y R}. Observe, na Figura 16.5, como o gráfico desta equação se comporta, em termos do número real a. A parábola está voltada para a direita quando a > 0 e, para a esquerda, quando a < 0. Figura 16.5: Parábolas x = ay 2, com a > 0 e a < 0. Figura 16.6: Parábolas x = ay 2 e x h = a(y k) 2, com a > 0. CEDERJ 228
MÓDULO 1 - AULA 16 De modo geral, a parábola x = ay 2 tem vértice (0, 0) e eixo de simetria y = 0. Quando esta parábola é transladada de h unidades, horizontalmente, e de k unidades, verticalmente, obtemos uma parábola congruente de equação x h = a(y k) 2. Na Figura 16.6 estão esboçados os gráficos das parábolas x = ay 2 e x h = a(y k) 2, com a > 0. O vértice (0, 0) é transladado para (h, k) e o foco, a diretriz l e o eixo de simetria são transladados como indicado a seguir: x = ay 2 x h = a(y k) 2 vértice: (0, 0) (h, k) foco: ( 1 1, 0) (h + 4a 4a, k) diretriz: x = 1 x = h 1 4a 4a eixo de simetria: y = 0 y = k Exemplo 16.4 Qual é a equação reduzida da parábola com vértice V = ( 3, 2) e diretriz x = 9 2? Sendo a diretriz uma reta vertical, a equação da parábola é da forma x h = a(y k) 2, onde (h, k) = ( 3, 2). Escrevendo a equação da diretriz x = h 1 4a = 9 2, obtemos 1 4a = 9 2 h = 9 2 + 3 = 3 2. Logo, 4a = 2 3 e, portanto, a = 1. Assim, a equação reduzida 6 da parábola é x ( 3) = 1 6 (y ( 2))2, que é equivalente a x+3 = 1 6 (y +2)2. Agora já sabemos identificar a equação da parábola na forma reduzida. Na prática, as aplicações da parábola são decorrência da sua propriedade de reflexão: se uma fonte de luz for colocada no foco F, então os raios que esta fonte irradia incidem na parábola e são refletidos ao longo de retas paralelas ao eixo de simetria. Figura 16.7: Linhas paralelas ao eixo focal são refletidas pela parábola em linhas que passam pelo foco. 229 CEDERJ
Um holofote ou um farol de automóvel utilizam este princípio numa superfície parabólica espelhada por dentro. Esta superfície, chamada parabolóide, é obtida pela rotação da parábola em torno do seu eixo de simetria e se constitui de uma infinidade de parábolas com mesmo foco e mesmo eixo de simetria, conforme a Figura 16.8. Figura 16.8: Parabolóide. As antenas parabólicas são utilizadas para amplificar os sinais captados, concentrando-os no foco. Os sinais incidem no parabolóide, a superfície da antena, paralelos ao eixo de simetria, refletindo para o foco. Resumo Você aprendeu a determinar a equação reduzida da parábola, a partir da sua propriedade geométrica, no sistema de coordenadas com origem no vértice, eixo y paralelo à diretriz l e eixo x como o eixo de simetria ou eixo focal; a esboçar o gráfico da parábola; a fazer translações; a determinar as coordenadas do foco F, do vértice V e a equação da diretriz l, a partir da equação da parábola, além da propriedade reflexiva da parábola. Exercícios 1. Determine o vértice, o foco, a equação da diretriz, o eixo de simetria e trace o gráfico das parábolas: (a) x = 6y 2 (b) 2x = 2y 2 (c) x = y 2 2y + 1 (d) x = y 2 3y + 4 (e) x = y 2 + 2y + 5 (f) x = y 2 4y + 7 CEDERJ 230
MÓDULO 1 - AULA 16 (g) x = 2y 2 + 4y 5 (h) 8x + y 2 4y 20 = 0 2. Determine o ponto de interseção de cada uma das parábolas do exercício anterior com o eixo x. Lembre que a equação do eixo x é y = 0. 3. Determine a equação reduzida da parábola que satisfaz a propriedade dada e esboce o gráfico: (a) Foco F = ( 3 4, 0) e diretriz x = 3 4. (b) Foco F = (1, 0) e vértice (0, 0). (c) Diretriz x = 3 e vértice (0, 0). 2 (d) Vértice ( 1, 3) e diretriz x = 3. (e) Vértice (0, 1), eixo de simetria horizontal e o ponto ( 2, 2) está na parábola. (f) Vértice (0, 0), eixo de simetria y = 0 e passa pelo ponto (2, 3). (g) Foco F = (4, 5) e diretriz x = 1. (h) Vértice (4, 1) e diretriz x = 3. 4. Esboce os subconjuntos do plano: (a) A = { (x, y) y + 3 x < 2y 2 }. (b) B = { (x, y) y 2 2y x < 4y y 2 }. (c) C = { (x, y) y 2 2y x y 2 + y 1 }. (d) D = { (x, y) y 2 2 x < 2y 2 + 6y + 7 }. A parábola x = ay 2 + by + c, assim como uma reta vertical, divide o plano em dois subconjuntos disjuntos: os pontos à direita (x > ay 2 + by + c) e os pontos à esquerda da parábola (x < ay 2 + by + c). Auto-avaliação Se você souber determinar o vértice, o foco e a equação da diretriz da parábola, a partir da sua equação, e esboçar o seu gráfico, então pode passar para a próxima aula. É claro que resolveu os exercícios 1 a 4! Vamos para a Aula 20, onde há interessantes aplicações relacionando as propriedades do gráfico da parábola com problemas do nosso cotidiano. 231 CEDERJ