Exercício No mesmo prédio do exemplo anterior, considere a projeção sob o plano da frente, ver figura 4, analise e responda qual é a projeção

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1 Aula 8 8. Visualização Espacial Nesta aula, nos ocuparemos em visualizar figuras tridimensionais, isto é, figuras que não estão num mesmo plano. Lembraremos que qualquer representação que fazemos no papel de uma figura tridimensional é basicamente uma projeção desta figura segundo a perspectiva do observador. O costume de ver alguns modelos no plano relacionados a figuras tridimensionais pode levarnos a pequenas confusões, para ter uma ideia disto, visite a página do professor Humberto Bortolossi: nesta página experimente os módulos "Experimento 3: O que é? O que é? "e "Experimento 4: O que são? O que são? ". Seguidamente muniremos o espaço com um sistema de Referência, usualmente chamado de sistemas de coordenadas ; assim cada ponto do espaço ganha uma etiqueta de localização com relação ao sistema de coordenadas fixado; com isto podemos representar algumas figuras conhecendo apenas as coordenadas de seus vértices. Estas notas não é um curso de geometria espacial, apenas apresentar alguns recursos de visualização de corpos tridimensionais Noção Espacial Um objeto sólido simples é o cubo, o cubo é o sólido limitado (ou cujo bordo consiste) por seis faces quadrados congruentes. Vamos a colocar o cubo em diferentes posições e projetaremos o cubo sob 1

2 um plano, no caso vamos considerar um plano horizontal acima do cubo, é como se toma uma fotografia do objeto por cima; isto é, vamos ver desde cima para cubo, inicialmente consideramos a projeção por retas paralelas que são perpendiculares ao plano horizontal que contém o cubo. Exemplo Considere um cubo apoiado sobre uma face, neste caso a projeção sob o plano de cima é um quadrado ( ver figura 1-b), neste caso a projeção sob o plano de cima são dois retângulos unidos por um lado. Exercício Consideremos agora o cubo apoiado sobre um vértice, cuja diagonal do cubo saindo do vértice de apoio é perpendicular ao plano da base. Na figura, temos quatro alternativas para a projeção do cubo sob o plano de cima; analise e escolha uma alternativa.

3 Dica: Na página do professor Humberto Bortolossi, no exemplo dessa página, você tem um cubo ou melhor dito, a projeção de um cubo dinâmico, basta arrastrar ele nas diferentes posições. Pode aproveitar e experimentar os diferentes sólidos apresentados para se familiarizar com as projeções. Exemplo Neste exemplo vamos a passar para um objeto sólido mais complicado, pode pensar num prédio, ver figura 3, note que vista de cima por linhas paralelas não conseguimos ver as paredes do prédio. 3

4 Exercício No mesmo prédio do exemplo anterior, considere a projeção sob o plano da frente, ver figura 4, analise e responda qual é a projeção no plano da frente. Neste caso, pode também pensar como se você virasse o prédio com a frente para cima e projeta-se sobre o plano de cima. 4

5 8.. Sistema de Referênica Agora vamos munir o espaço de um sistema de referência, a exemplo do plano, que foi munido de um sistema de referência chamado de coordenadas cartesianas retangulares que consiste e fixar um ponto, chamado de origem, por o qual passam duas retas reais (graduadas) mutuamente perpendiculares, tradicionalmente uma é horizontal, chamada de eixo das abcissas e outra reta vertical, chamada de eixo das ordenadas. Desse modo podemos pensar no plano como o produto cartesiano Os pares ordenados (x, y), são ordenados, pois o primeiro termos x pertence à reta do primeiro fator do produto cartesiano (geometricamente a reta horizontal, abcissa) e o segundo termos y pertence à reta do segundo fator da reta (geometricamente a reta vertical, ordenada). Seguindo a construção acima, fixamos um ponto no espa co, por este ponto passamos três retas reais (graduadas) mutuamente perpendiculares. Desse modo podemos pensar no plano como o produto cartesiano as ternas ordenados (x, y, z) temos que o primeiro termo jxj pertence à reta do primeiro fator do produto cartesiano, o segundo termo y pertence à reta do segundo fator e o terceiro termo z pertence a reta do terceiro fator. A posi c~ao dos eixos vai depender do observador, tradicionalmente coloca-se o plano gerado pelas retas (ou eixos) x e y na posição horizontal (denotado plano xy), com o eixo x (positivo) apontando para a frente; o eixo z é representada por uma reta perpendicular ao plano, ver figura 5 abaixo. 5

6 Exemplo Considerando um cubo cuja aresta mede uma unidade (1 u.), vamos a fixar o ponto de origem num vértice do cubo e três das arestas estão sobre os eixos coordenados positivos, assim as coordenadas dos outros vértices são como indicados na figura 6. No que segue vamos a considerar sempre um cubo cuja aresta mede uma unidade (1 u.). Recomendamos não se limitar a encontrar apenas as coordenadas dos vértices solicitados, e se de todos os vértices. Agora fixemos como ponto de origem para um novo sistema de coordenadas uma aresta da frente do cubo (ver fig 7), nesta posição encontre as coordenadas dos vértices A, B e C. Exercício Na figura 8, encontre as coordenadas dos vértices A, B e C. Exercício Consideremos o prédio da figura 4, munido com o 6

7 sistema de coordenadas (ver fig 9), encontre as coordenadas dos vértices A, B, C e D. Exercício Na figura 10, o cubo esta apoiado sobre uma aresta, basta lembrar que a aresta mede 1u. e a diagonal de uma das faces esta sobre o eixo z, para ver que as coordenadas do vértice G é ( 0,,. Encontre as coordenadas dos vértices A, B, C, D, E e F Resposta dos Exercícios Exercício 1. (c) Exercício. (c) Exercício 3. (d) Exercício 4. (c) Exercício 5. A(0,, 5), B(6,, 3), C (3, 6, 3) e D (6, 4, 0). Exercício 6. A (0,, ), B (1, ), E ( 1, 0, 0) e F (1, Exercício 7. A ( 3 3, 3 3, 0), G( 3 3, 33, 3),, ). 7