FÍSICA. Capacitância

FÍSICA Capacitância

Definição de capacitância Sejam dois condutores a e b com cargas +Q e Q, respectivamente, conforme figura ao lado. Assumiremos que ambos tratamse de condutores perfeitos (ideais) e, portanto, podemos considerar que a superfície de cada um deles é uma equipotencial e denominaremos estes potenciais por V a e V b

Definição de capacitância A diferença de potencial entre estes dois condutores pode ser calculada a partir de: V b V a = W ab / q o (I) Em que: q o : valor de uma carga positiva W ab : trabalho realizado por uma força para mover esta carga de a para b

Definição de capacitância Se considerarmos um caminho qualquer entre a e b, podemos escrever: W ab F. dl q0 E. dl (II) Em que: q o : valor de uma carga positiva W ab : trabalho realizado por uma força para mover uma carga de a para b F : força exercida pelo agente externo sobre a carga de prova q o para que não haja aceleração em todo o percurso. E : campo elétrico (vetor) formado entre as duas cargas dl : deslocamento ao longo do percurso

Definição de capacitância Assim, podemos encontrar uma equação geral que representa a relação entre a diferença de potencial entre os dois condutores e o campo elétrico existente entre os mesmos em decorrência de os mesmos possuírem cargas elétricas combinando as equações (I) e (II) anteriores. V b V a E. dl (III)

Definição de capacitância Sabemos que, de forma geral, podemos encontrar a seguinte associação entre campo elétrico e carga: E de dq de 4 r Em que: de : contribuição incremental do campo elétrico em um dado ponto no espaço devido a uma carga incremental dq dq : carga incremental ԑ : constante de permissividade do meio 2 (IV) (V)

Definição de capacitância Vejamos de forma mais detalhada as equações (III), (IV) e (V) anteriores. V b V a E. dl (III) E de de dq 4 r 2 (IV) (V)

Definição de capacitância V b V a = - ʃ E.dl (III) E = ʃ de (IV) de = dq / (4 ԑr 2 ) (V) Por estas equações, podemos que deduzir que qualquer aumento na carga provocará igual aumento no campo elétrico (equações IV e V) e, qualquer aumento no campo elétrico, acabará acarretando em aumento proporcional na diferença de potencial entre os dois pontos em análise (equação III).

Definição de capacitância Vejamos de forma mais detalhada as equações (III) e (V) anteriores. V b V a = - ʃ E.dl (III) E = ʃ de (IV) de = dq / (4 ԑr 2 ) (V) Pelo exposto, podemos intuir que a relação q / V, será sempre constante. Assumindo: q: módulo da carga em qualquer um dos condutores, e V: diferença de potencial entre os dois condutores (no caso, V b V a )

Definição de capacitância A essa razão (q / V) é que denominou-se capacitância que, como vimos, é uma constante. Como pode ser observado, a unidade de capacitância (sistema MKS) é o Coulomb/Volt (Farad em homenagem a Michael Faraday, responsável pelo desenvolvimento deste conceito de capacitância). Um capacitor, assim, será considerado todo sistema composto por condutores metálicos isolados, com formato diverso, e que possam conter carga elétrica, sendo que seus dois condutores (ou conjunto desses) possuam cargas opostas.

Considerações sobre o cálculo da capacitância (Exemplo) Considere um capacitor de placas paralelas (condutores assumem a forma de duas placas paralelas).

Considerações sobre o cálculo da capacitância (Exemplo) Assumindo as simplificações mencionadas anteriormente, podemos calcular a capacitância desse sistema com o uso da Lei de Gauss. A figura a seguir, mostra uma outra representação do sistema proposto com o acréscimo de uma superfície gaussiana, em linhas tracejadas, com altura h e cujas bases possuem área A exatamente iguais às placas do capacitor.

Considerações sobre o cálculo da capacitância (Exemplo) Se observarmos a superfície gaussiana adotada, podemos observar que o fluxo do campo elétrico E, através de uma parte desta, está dentro da placa do capacitor e, portanto, será nulo (não há campo elétrico no interior de um condutor em equilíbrio).

Considerações sobre o cálculo da capacitância (Exemplo) Também, será nulo o valor do fluxo do campo elétrico E através das duas laterais, pois, com o desprezo de distorções este campo nessa região, o vetor será paralelo a esta superfície.

Considerações sobre o cálculo da capacitância (Exemplo) Desta forma, teremos apenas fluxo através da superfície gaussiana que está localizada entre as placas. Nessa região, o campo elétrico E é constante e o fluxo do campo elétrico Φ E é dado, simplesmente, pelo produto (E.A).

Considerações sobre o cálculo da capacitância (Exemplo) A Lei de Gauus nos fornece: Φ E = ʃ E.dA = q / ԑ Com o campo elétrico E constante através da superfície com área total A, podemos reescrever a equação acima como: Φ E = EA = q / ԑ

Considerações sobre o cálculo da capacitância (Exemplo) Assim, temos q = ԑea (VI)

Considerações sobre o cálculo da capacitância (Exemplo) Como já vimos anteriormente: V b V a = - ʃ E.dl (III) Podemos adotar, de forma conveniente uma da placas como nossa referência (potencial nulo) e um caminho perpendicular entre as placas de forma a termos o percurso de comprimento igual a d, ou seja, um percurso entre as superfícies das placas (pois as mesmas são equipotenciais).

Considerações sobre o cálculo da Assim, temos: capacitância (Exemplo) V = E.d (VII)

Considerações sobre o cálculo da capacitância (Exemplo) Como vimos anteriormente, a capacitância C é definida como a constante de proporcionalidade da relação q/v. Com as equações (VI) e (VII), temos: q = ԑea (VI) V = E.d (VII) Logo, podemos escrever: C = q/v = ԑa / d

Considerações sobre o cálculo da capacitância (Exemplo) Analisando a relação: C = ԑa / d válida somente para capacitores de placas paralelas, podemos observar que a capacitância depende da geometria dos condutores e da constante de permissividade elétrica do meio (material) entre as placas.

Considerações sobre o cálculo da capacitância (Exemplo) Uma consequência é a possibilidade da medida da constante de permissividade elétrica (ԑ) através da construção de um capacitor com área das placas e distância entre as mesmas conhecida (e com grande precisão) e de medições da carga e diferença de potencial. (ԑ o = 8,854187818 x 10-12 C 2 /N.m 2 )

Acumulação de energia em campo elétrico Sabemos que qualquer configuração de cargas possui uma energia potencial elétrica U igual ao trabalho W (positivo ou negativo) necessário para reunir as cargas nesta configuração (a partir de uma condição de repouso e com afastamento infinito). Dessa forma, um capacitor carregado possuirá uma energia elétrica potencial acumulada (igual ao trabalho despendido para carregá-lo).

Acumulação de energia em campo elétrico Vamos considerar, num capacitor qualquer, que após um tempo t, uma da carga dq tenha sido transferida de uma placa para outra. Como vimos anteriormente, o trabalho para essa transferência de cargas pode ser calculado por: dw = V.dq = (q/c).dq Em que q é a quantidade de carga efetivamente acumulada neste período de tempo t.

Acumulação de energia em campo elétrico Se o processo continuar até que uma carga Q (assumindo que inicialmente temos as placas descarregadas), o trabalho total despendido pode ser obtido por: W = ʃ dw = ʃ (q/c).dq no intervalo de carga igual a zero até o valor Q. Assim, temos: W = Q 2 / (2C) Como q = CV, podemos reescrever a equação acima como: W = CV 2 / 2 (= U)

Acumulação de energia em campo elétrico Num capacitor de placas paralelas, desprezando-se as distorções das linhas de força na borda, o campo elétrico tem o mesmo valor em qualquer ponto entre as placas. Dessa forma, podemos calcular a densidade de energia u (energia acumulada por unidade de volume) da seguinte forma: u = U / Ad = (CV 2 /2) / Ad Em que Ad é o volume limitado pelas placas. Para um capacitor de placas paralelas, como visto, podemos calcular a capacitância C pela equação seguinte: C = ԑa/d

Acumulação de energia em campo elétrico Assim, combinando as equações u = U / Ad = (CV 2 /2) / Ad C = ԑa/d Então: u = ԑe 2 / 2 Assim, podemos dizer que, se existe um campo elétrico num ponto qualquer do espaço, podemos considerar que este ponto como sede de uma acumulação de energia cuja densidade, por unidade de volume, depende da intensidade do campo elétrico E.

Capacitores comerciais

Exemplo

Exemplo Efetue o cálculo para o caso de um capacitor cilíndrico de comprimento L, seção interna com raio r a e carga Q, seção externa com raio r b e carga Q. Supor que o capacitor é muito longo (comprimento muito maior que os raios) de modo que as distorções das linhas de força nos dois extremos possam ser desprezados no cálculo da capacitância.

Associação de capacitores Como vimos, os capacitores são dispositivos com capacidade de armazenar energia em seu campo elétrico. Também vimos que a capacidade de armazenamento depende de características físicas do capacitor (além do meio). Muitas vezes, para podermos administrar a quantidade de energia armazenada, podemos trabalhar associando capacitores. Existem essencialmente duas maneiras de conectar capacitores: em série ou em paralelo.

Associação de capacitores

Associação de capacitores - série Na associação em série, uma das placas de um capacitor é conectada, por meio de fios condutores, a uma placa de um outro capacitor como ilustra a figura. Se colocarmos uma carga elétrica negativa -Q na placa do capacitor C 1, ligada pelo fio ao ponto x, aparecerá, por indução, uma carga igual e de sinal contrário +Q na placa da direita do capacitor. Como esta placa está ligada por outro fio, à placa da esquerda do capacitor C 2, também por indução aparecerá uma carga -Q nesta placa. Novamente por indução, surgirá uma carga +Q na placa da direita do capacitor C 2. Assim, as cargas nas placas dos capacitores serão iguais em módulo.

Associação de capacitores - série

Exemplo

Associação de capacitores - paralelo

Exemplo

Influência dos dielétricos

Exemplo

Considerações Nos dielétricos (ou isolantes) os elétrons estão presos aos núcleos dos átomos e portanto, ao contrário dos metais, não existem elétrons livres nessa substância. Sabemos que, se um campo elétrico for aplicado a um dielétrico, vai haver uma tendência de afastar os elétrons de seus núcleos devido à força externa. Mas o que acontece se aumentarmos muito o campo elétrico externo? É claro que a força que age em cada elétron vai aumentando também, proporcionalmente. Isto pode chegar ao ponto em que a força externa fica maior do que a força que liga o elétron ao seu núcleo. Quando isto acontece, os elétrons passarão a ser livres transformando, então, um dielétrico em um condutor!

Considerações Esse processo pode ocorrer com qualquer isolante e o campo elétrico aplicado que o transforma em condutor vai depender da estrutura de cada material. O valor mínimo do campo elétrico que deve ser aplicado a um dielétrico para transformá-lo em condutor é denominado rigidez dielétrica. Cada material tem seu valor próprio de rigidez dielétrica, dadas as diferentes estruturas microscópicas de cada um.

Considerações

Exemplo