Eletromagnetsmo Indutores e Indutânca
Eletromagnetsmo» Indutores e Indutânca Introdução Indutores são elementos muto útes, pos com eles podemos armazenar energa de natureza magnétca em um crcuto elétrco. Sob este aspecto, ele tem algo em comum com um capactor. Trata-se, portanto, de elemento atvo de um crcuto no qual ele está nserdo. Podemos defnr ndutor como um elemento de um crcuto contendo dos termnas, e composto por enrolamentos. Quando os enrolamentos são fetos de fos deas, sem resstênca elétrca, o ndutor é consderado deal. Seu papel é produzr ndutânca, defnda como uma propredade do ndutor, medante a qual uma corrente que o percorre, varando com o tempo, leva a uma tensão agndo sobre ele. Essa tensão será ndcada pela letra ε e receberá o nome de tensão auto-nduzda. Um ndutor comum é representado pelo prmero símbolo abaxo: Fgura : Tpos de ndutores e sua representação. Os ndutores são caracterzados por uma grandeza físca denomnada ndutânca (ou coefcente de autondutânca), representada pela letra L. Veremos que tal grandeza é, em últma análse, determnada pela geometra do ndutor, além de outros parâmetros, como o número de enrolamentos. Veremos que a ndutânca aumenta consderavelmente com o número de espras numa bobna. De partcular relevânca no sentdo de amplfcar seu efeto como elemento atvo do crcuto, a ndutânca de uma bobna, por exemplo, depende do materal magnétco que consttu seu núcleo. Como é sabdo, alguns materas magnétcos (aqueles dotados de alta permeabldade magnétca) realçam o campo magnétco. Assm, a ndutânca é aumentada por um fator dado pela permeabldade relatva do materal do núcleo. Os ndutores podem ser construídos de forma a terem uma ndutânca varável. A fgura 000 lustra a representação desses tpos de ndutores. Outros coefcentes mportantes são aqueles relatvos à ndução mútua. Ela ocorre quando crcutos nteragem entre s. este caso, os coefcentes mportantes são os coefcentes de ndutânca
Eletromagnetsmo» Indutores e Indutânca mútua, que serão representados por uma matrz M, cuo elemento de matrz M representa a ndutânca mútua entre o crcuto e o crcuto. Como a ndução é um fenômeno comum a todo crcuto, ele é ndssocável do mesmo. Ou sea, de um ponto de vsta rgoroso, devemos sempre assocar uma ndutânca a um crcuto. Fgura : Indutores podem ser elementos bem smples, como, por exemplo, uma espra ou um arrano de váras delas, no caso das bobnas. Auto-Indução e Coefcente de Indutânca Consderemos o caso de um crcuto solado pelo qual crcula uma corrente elétrca I que vara com o tempo. Ou sea: I = I(t) ( ) Tal corrente produzrá um campo magnétco que vara com o tempo e, consequentemente, o crcuto fca merso nesse campo produzdo por sua própra corrente elétrca. Tendo em vsta que a corrente é varável, o mesmo ocorre com o campo magnétco produzdo por essa corrente. Como resultado, o fluxo desse campo através do crcuto será varável. Ou sea, Φ = Φ(t) ( )
Eletromagnetsmo» Indutores e Indutânca 3 De acordo com a le de Faraday, um condutor percorrdo por uma corrente varável expermenta uma ndução magnétca que, por sua vez, leva ao surgmento de uma corrente elétrca nduzda. Para determnar seu sentdo, devemos utlzar a le de Lenz. O fato é que o condutor fca merso nesse campo magnétco produzdo por sua própra corrente. Esse campo produz no própro condutor um fluxo Φ (Fgura 000). Como a corrente vara, o seu campo também será varável e, por consequênca, o fluxo Φ será varável. essas crcunstâncas, o condutor, sendo atravessado por um fluxo varável, sofre ndução eletromagnétca. Portanto, como consequênca da corrente ser varável, surge no condutor uma corrente elétrca nduzda. Esse fenômeno é denomnado autondução. Ocorre autondução magnétca sempre que um condutor leva a uma ndução magnétca sobre s mesmo. Isso ocorre sempre que a corrente no crcuto vara com o tempo. Portanto, estamos tratando de um caso de autondução. Ou sea, uma força eletromotrz nduzda pelo crcuto sobre s mesmo. esse caso o fluxo do campo elétrco através do crcuto dependerá do tempo apenas através da corrente elétrca. Logo, podemos escrever: Fgura 3 dφ ε= = dt dφ di di dt ( 3 ) Essa tensão é conhecda como tensão auto-nduzda. Ao prmero coefcente do lado dreto dessa expressão, damos o nome de coefcente de ndutânca mútua ou, smplesmente, ndutânca, representada pela letra L. Assm, temos: L dφ di ( 4 ) Tendo em vsta a dependênca lnear do fluxo com a corrente orgnal, a corrente que percorre o condutor, podemos defnr a ndutânca como o quocente entre o fluxo e a corrente: L Φ I ( 5 ) o sstema SI, a undade de fluxo é o Weber. Tendo em vsta que a undade do campo elétrco no mesmo sstema é o Tesla (T), tem-se que: Weber = T.m ( 6 )
Eletromagnetsmo» Indutores e Indutânca 4 A ndutânca é medda na undade Henry, símbolo H. weber T m Henry = H = = ampére A ( 7 ) Como veremos nos próxmos exemplos, o coefcente de autondutânca envolve certas característcas do ndutor, como sua geometra, número de enrolamentos e o materal do núcleo de uma bobna. Utlzando o coefcente de ndutânca, escrevemos a Le de Faraday para a tensão autonduzda da segunte forma: ε= L di dt ( 8 ) Fgura 4: A ndutânca pode ser aumentada por meo do uso de um núcleo de ferro. exercícos resolvdos
Eletromagnetsmo» Indutores e Indutânca 5 Abertura e Fechamento de um Crcuto Um dos efetos da autondução, sendo perceptível e mensurável, é aquele que acontece quando abrmos e fechamos um crcuto. Para entendê-lo, é mportante lembrar que, nos casos de corrente varável, se a corrente elétrca I que percorre o crcuto estver dmnundo (di/dt < 0), a corrente resultante do processo de autondução, a corrente I tem o mesmo sentdo que ela. o entanto, se a corrente estver numa fase crescente (di/dt > 0), sto é, aumentando, a corrente decorrente do processo de autondução (I ) tem sentdo oposto a ela. Tal regra decorre do uso da Le de Lenz. Pode-se constatar que, quando fechamos um crcuto, a corrente não atnge medatamente o valor fnal I. Um comportamento típco da corrente em função do tempo é lustrado na Fgura 000. Ou sea, a corrente não atnge o valor esperado medatamente, mas o faz depos de um ntervalo de tempo Δt. O ntervalo de tempo depende da ndutânca do crcuto. Este fenômeno é mas pronuncado para valores elevados da ndutânca (quando nele nsermos uma bobna, por exemplo). Uma vez que a corrente vara, no caso da abertura, ela está aumentando com o tempo, e apenas durante o ntervalo de tempo Δt, o fenômeno da autondução tem exatamente essa duração. O fato é que, nesse caso, a corrente é uma soma de correntes geradas por dos efetos. A corrente gerada quando abrmos o crcuto argumentar e a corrente gerada pela autondução. Quando fechamos um crcuto, ocorre um fenômeno análogo, mutas vezes bastante pronuncado. Um gráfco típco, nesse caso, é aquele esboçado na Fgura 000. ovamente, como no caso da abertura do crcuto, a corrente não ca medatamente a zero. Ao fechar o crcuto, surge uma corrente nduzda. Essa corrente, de acordo com a Le de Lenz, atua no sentdo de elevar a corrente elétrca. A soma dos dos efetos, corrente deslgada mas a corrente nduzda, é a elevação do valor da corrente elétrca por um pequeno lapso de tempo, para depos r reduzndo até atngr o valor nulo. Este efeto pode ser bastante pronuncado gerando, em alguns casos, faíscas na chave. Fgura 5: Comportamento típco da corrente como função do tempo quando abrmos um crcuto. Fgura 6:. Ilustração do comportamento da corrente no crcuto quando ele é fechado.
Eletromagnetsmo» Indutores e Indutânca 6 Indutânca Mútua Em mutas stuações de nteresse físco, os crcutos podem nteragr entre s. E sso acontece quando crcutos próxmos têm suas correntes varando com o tempo. esse caso, os campos magnétcos através deles, ou de um deles, varam com o tempo. Consderemos o caso em que temos crcutos, os quas serão desgnados pelos índces,,...; e que um certo número, n, desse crcutos tenham correntes varando com o tempo. Essa varação das correntes elétrcas acarretará uma varação no fluxo do campo elétrco através dos demas crcutos. Assm, o fluxo no -ésmo crcuto, aqu desgnado por Φ, poderá ser escrto como uma soma sobre n crcutos: Φ = n = Φ ( 9 ) o caso em que todos os crcutos tenham correntes varáves, escrevemos: Φ = = Φ ( 0 ) Φ é o fluxo do campo magnétco através do -ésmo crcuto gerado pela varação da corrente no -ésmo crcuto. Ou sea, o fluxo no -ésmo crcuto é a somatóra dos fluxos assocados aos campos magnétcos produzdos pelos demas crcutos (e o dele mesmo, como vsto antes). O campo magnétco produzdo pelo -ésmo crcuto depende da corrente no mesmo (a corrente I ). Assm, podemos escrever para a taxa de varação do fluxo: dφ dt = = dφ di Se houver varação da corrente em apenas um dos crcutos, rotulado com o índce, a taxa de varação do fluxo nos demas sstemas e no própro crcuto é dada como função da taxa de varação da corrente neste crcuto. Assm, escrevemos: di dt ( ) dφ dt dφ = di di dt ( )
Eletromagnetsmo» Indutores e Indutânca 7 Denomna-se coefcente de ndutânca mútua M o coefcente dado pela taxa de varação: M = dφ di ( 3 ) essa notação, podemos escrever o coefcente de autondutânca do -ésmo crcuto (L ) como sendo um dos coefcentes acma. Isto é, nessa notação, escrevemos : L = M ( 4 ) Tendo em vsta a dependênca lnear do fluxo com a corrente, podemos escrever, de forma smplfcada: M = Φ I Em termos dos coefcentes de ndutânca mútua, podemos escrever a força eletromotrz nduzda no -ésmo crcuto como sendo dada pela somatóra: ( 5 ) ε = = M di dt ( 6 ) A famosa experênca de Faraday, colocando duas bobnas próxmas uma da outra, se encaxa nesse contexto. A força eletromotrz na segunda bobna é proporconal à taxa de varação da corrente elétrca na prmera bobna. Ou sea: di dt ε = M ( 7 ) A constante nessa relação lnear é o coefcente de ndutânca mútua, que envolve característcas dos dos sstemas. Como regra geral, podemos escrever: M = M = k LL ( 8 ) Sendo que L, L são as ndutâncas de cada uma das bobnas.
Eletromagnetsmo» Indutores e Indutânca 8 Fórmula de eumann Fgura 7: esquema da experênca de Faraday É possível escrever uma expressão bastante geral para a ndutânca mútua e a autondutânca em termos de uma ntegral dupla de camnhos envolvendo os crcutos. Essa é a fórmula de eumann. Lembrando que força eletromotrz sobre o -ésmo crcuto pode ser escrta como: dφ d B ds ε = = dt dt S ( 9 ) O campo magnétco pode ser escrto como o rotaconal do potencal vetor: B= A ( 0 ) Substtundo a expressão acma em (000) e utlzando o teorema de Stokes, podemos escrever a força eletromotrz como uma ntegral de camnho do potencal vetor. Tal camnho Γ ao longo do -ésmo crcuto. Isto é: ε d = Adl dt Γ ( )
Eletromagnetsmo» Indutores e Indutânca 9 A contrbução para o potencal vetor assocada ao -ésmo crcuto é: A ( r)= µ I r r dl 0 Γ ( ) Portanto, a força eletromotrz sobre o -ésmo crcuto poderá ser escrta como uma soma da forma: ε = µ = 0 di dl dl dt r r Γ Γ Conclu-se assm, utlzando-nos das expressões (000) e (000), que o coefcente de ndutânca mútua entre os crcutos e é dada pela dupla ntegral de camnho: M = µ 0 dl dl r r Γ Γ ( 3 ) ( 4 ) Enquanto que expressão análoga vale para o coefcente de autondutânca. Para o -ésmo crcuto, escrevemos: L = µ 0 dl dl r r Γ Γ ( 5 ) Fgura 8
Eletromagnetsmo» Indutores e Indutânca 0 Energa armazenada num sstema de Indutores Um ndutor armazena energa de natureza magnétca. Ela fca dstrbuída no espaço e concentrada nos pontos próxmos do ndutor. Ou sea, a densdade de energa ρ M é maor nos pontos próxmos do ndutor. Ela é dada pela expressão: ρ M ( xyz,, ) = B xyz µ (,, ) ( 6 ) Em que B é o campo magnétco na regão na qual o ndutor está nserdo. A energa armazenada pode ser expressa em termos da corrente e da ndutânca. Para sso, determnamos a varação de energa quando deslocamos uma quantdade de carga dq pelo ndutor. Para um deslocamento vrtual dl, temos que a força à qual devemos nos opor é a força elétrca: F = dqe ( 7 ) A energa é dada, portanto, pela ntegral de camnho: du = dq Edl = dqε ( 8 ) Lembrando que I = dq/dt, a expressão acma se escreve como: de dq di dt L I di dt Ldt d LI = = = dt Conclu-se daí que a potênca suprda pelo ndutor é: P = L di dt I = vi dt ( 9 ) ( 30 ) E que a energa armazenada é dada por: E = LI ( 3 )
Eletromagnetsmo» Indutores e Indutânca o caso de város ndutores, a energa é dada pela expressão: E = M II = = ( 3 ) exercícos resolvdos Assocação de Indutores Assm como no caso de resstores e capactores, exstem duas formas báscas de assocar ndutores: em paralelo ou em sére. Assocação em sére esse tpo de assocação, dspomos os ndutores de tal forma que o térmno de um deles concde com o níco do próxmo ndutor (vde fgura). Ou sea, eles têm termnas que são, dos a dos, em comum. Fgura 9: Indutores em sére. Para um determnado trecho da assocação em sére (trecho esse fazendo parte, por exemplo, de um crcuto), comprenddo, por exemplo, entre dos termnas A e E, trecho esse contendo resstores, podemos chegar às seguntes conclusões:
Eletromagnetsmo» Indutores e Indutânca a. Corrente Elétrca A corrente elétrca percorrendo tal arrano é a mesma que passa ao longo de cada um dos ndutores. Ou sea, a corrente que passa pelo prmero é a mesma que passa pelo segundo e assm por dante. Isso decorre do prncípo de conservação da carga elétrca. Como as cargas não se acumulam em um ndutor e não têm para onde se desvar, o número daquelas que passam pelo prmero termnal A é gual ao número das que passam pelo termnal E. b. Tensões nos Termnas de cada Elemento As tensões sobre cada um dos ndutores são dferentes. Desgnando as resstêncas L, L,...L, respectvamente, dos resstores,..., podemos escrever a tensão sobre o EQ ndutor como sendo dada pelo produto: ε = L ( 33 ) Lembrando que: ε = ε AB + ε BC +... + ε DE ( 34 ) Obtemos que a tensão entre os termnas do prmero e o últmo resstor é dada pela soma: ε= ε = = = L ( 35 ) c. Indutor equvalente Defnmos ndutor equvalente aquele cua ndutânca é equvalente à do conunto de ndutores em sére. Por essa defnção, a ndutânca equvalente é tal a obedecer a relação: ε = L ( 36 )
Eletromagnetsmo» Indutores e Indutânca 3 Da equação (000), segue que: ε= L = Portanto, a resstênca do ndutor equvalente é dada pela soma das resstêncas dos resstores que compõem o arrano. Ou sea: ( 37 ) L= L = ( 38 ) Assocação em Paralelo esse caso, os resstores são dspostos de tal forma que todos eles têm os mesmos termnas. Podemos pensar esse arrano como sendo de condutores lgados em dos pontos A e B (vde Fgura 000) Para um determnado trecho da assocação em sére (fazendo parte, por exemplo, de um crcuto), comprenddo, por exemplo, entre dos termnas A e E, trecho esse contendo ndutores, podemos chegar às seguntes conclusões: Fgura 0: Indutores em paralelo. a.tensões nos Termnas de Cada Elemento A tensão sobre cada um dos elementos é a mesma, desgnada por ε. Podemos escrever a tensão sobre o -ésmo ndutor como sendo: ε = ε ( 39 ) b. Corrente Elétrca A corrente elétrca percorrendo cada um dos resstores dspostos em paralelo é dferente. Desgnando L, L,...L as ndutâncas, respectvamente, dos ndutores,..., e por,,... as respectvas correntes, podemos escrever a tensão sobre o -ésmo ndutor como sendo dada pelo produto: ε = L ( 40 )
Eletromagnetsmo» Indutores e Indutânca 4 Portanto, a corrente elétrca no -ésmo resstor é dada por: = ε L ( 4 ) A relação acma vale para qualquer um dos elementos que compõem o arrano em paralelo c. Indutor equvalente Consderemos uma corrente elétrca, que chega ao prmero termnal comum a todos os ndutores. Essa corrente se bfurca, produzndo correntes em cada um deles. De acordo com o prncípo da conservação da carga elétrca, podemos afrmar que = + +... + ( 4 ) Defnmos capactor equvalente aquele percorrdo pela corrente elétrca, a corrente total, cua ndutânca é equvalente à do conunto de ndutores em sére. Por defnção, a ndutânca equvalente é dada por: ε = L = L ( + +...+ ) Lembrando a relação (000), segue de (000) que: ( 43 ) Fgura : Substtu-se um conunto de ndutores por um que lhe sea equvalente. ε = + + + ε L L L L Portanto, a ndutânca do ndutor equvalente é dada, em função das ndutâncas em sére, pela expressão: ( 44 ) = = + + + L = L L L L ( 45 )
Eletromagnetsmo» Indutores e Indutânca 5 Exercíco Resolvdo: Auto-ndução e coefcente de ndutânca Exemplo Determne a ndutânca de uma bobna torodal, com rolamentos, cuo núcleo é consttuído de uma materal ferromagnétco de permeabldade μ. o caso de um Torode, o campo produzdo por uma corrente I que o percorre é tal que o campo magnétco nos pontos externos ao mesmo é nulo. Se o número de enrolamentos for e o seu comprmento for l, então no seu nteror esse campo é dado por: B =µ I l e ϕ ( 46 ) Em que μ é a permeabldade do materal magnétco do núcleo. Tendo em vsta que o campo magnétco é paralelo à normal de uma espra, o fluxo desse campo sobre cada uma delas é dado pelo produto da área da secção transversal da espra, A, pelo campo magnétco. Ou sea: Φ 0 = BA= µ I l A ( 47 ) Portanto, o fluxo do campo elétrco, quando consderamos os enrolamentos ( espras), é dado por: Φ = Φ = BA= IA 0 µ L ( 48 ) Consequentemente, a ndutânca do enrolamento defnda por: Φ Φ L = = I I ( 49 ) nos leva ao resultado: L A =µ l ( 50 )
Eletromagnetsmo» Indutores e Indutânca 6 O mesmo resultado vale para uma bobna consttuída por um enrolamento na forma de solenode, desde que admtamos que o resultado para um solenode nfnto se aplca também para um solenode de comprmento l. Fgura : Um ndutor torodal contendo enrolamentos
Eletromagnetsmo» Indutores e Indutânca 7 Exercíco Resolvdo: Energa armazenada num sstema de ndutores Exemplo Determnar a energa e os coefcentes de autondução e ndução mútua no caso de dos crcutos torodas, tendo em vsta que um tem enrolamentos, enquanto o outro tem enrolamentos. Resolução O campo magnétco produzdo pelos dos enrolamentos, baseado no prncípo da superposção, é dado pela soma: B I = µ + µ I eϕ l l Portanto, a densdade de energa magnétca é unforme, concentrada no nteror do torode e dada por: ( 5 ) ρ M µ = B = ( I + I) µ l ( 5 ) A energa eletromagnétca total é dada por: E = ρmv = BV µ ( 53 ) Em que V é o volume nterno do Torode. Sendo sua área transversal dada por A e seu comprmento sendo l, tal volume é dado por: V = Al ( 54 ) Portanto, de (000) e (000), concluímos que a energa desses dos crcutos é dada por: E = A l I + I µ + II ( 55 )
Eletromagnetsmo» Indutores e Indutânca 8 Expressão a partr da qual nfermos os seguntes resultados: µ A L = M = l µ A L = M = l µ A M = M = = l LL ( 56 ) Fgura 3: Dos ndutores torodas contendo e enrolamentos.
Eletromagnetsmo» Indutores e Indutânca 9 Como usar este ebook Orentações geras Caro aluno, este ebook contém recursos nteratvos. Para prevenr problemas na utlzação desses recursos, por favor acesse o arquvo utlzando o Adobe Reader (gratuto) versão 9.0 ou mas recente. Botões Indca pop-ups com mas nformações. Snalza um recurso mdátco (anmação, áudo etc.) que pode estar ncluído no ebook ou dsponível onlne. Auda (retorna a esta págna). Crédtos de produção deste ebook. Indca que você acessará um outro trecho do materal. Quando termnar a letura, use o botão correspondente ( ) para retornar ao ponto de orgem. Bons estudos!
Eletromagnetsmo» Indutores e Indutânca 0 Crédtos Este ebook fo produzdo pelo Centro de Ensno e Pesqusa Aplcada (CEPA), Insttuto de Físca da Unversdade de São Paulo (USP). Autora: Gl da Costa Marques. Revsão Técnca e Exercícos Resolvdos: Paulo Yamamura. Coordenação de Produção: Beatrz Borges Casaro. Revsão de Texto: Marna Keko Tokumaru. Proeto Gráfco e Edtoração Eletrônca: Danella de Romero Pecora, Leandro de Olvera e Prscla Pesce Lopes de Olvera. Ilustração: Alexandre Rocha, Alne Antunes, Benson Chn, Camla Torrano, Celso Roberto Lourenço, João Costa, Lda Yoshno, Mauríco Rhenlander Klen e Thago A. M. S. Anmações: Celso Roberto Lourenço e Mauríco Rhenlander Klen.