Universidade Federal do Ceará Faculdade de Economia Vicente Lima Crisóstomo Fortaleza, 2011 1
Sumário Introdução Estatística Descritiva Probabilidade Distribuições de Probabilidades Amostragem e Distribuições Amostrais Estimação Testes de Significância Análise de Variância Teste de Significância para Proporções Testes Não Paramétricos Correlação e Regressão 2
Amostragem Amostragem Técnica de pesquisa na qual um sistema preestabelecido de amostras é considerado idôneo para representar o universo pesquisado, com margem de erro aceitável. Inferência Estatística Envolve formulação de juízo sobre um todo a partir do exame de um subconjunto, ou amostra, deste todo. 3
Amostragem Exemplos de Amostragem do cotidiano e outros Provar um pouco da comida Ouvir uma fração de uma música Assistir uma fração/parte de um filme Ler uma parcela de um livro Provar um pouco de certo vinho Fazer um teste de um carro Hospedar-se alguns dias numa cidade Conhecer alguns moradores da cidade para conhecer os costumes do local Conhecer algumas empresas para saber sobre o conjunto delas 4
Amostragem População Universo completo de estudo Censo Exame de todos os elementos do universo, ou população Amostragem Exame de uma parcela, ou fração, da população 5
Amostragem Finalidade Permitir fazer-se generalizações sobre uma população sem necessitar realizar-se um censo. Importante Obter a amostra que melhor represente a população É importante definir-se claramente População e amostra em cada estudo População pode ser, quanto ao tamanho: Limitada ou finita Ilimitada ou infinita 6
Amostragem População Limitada ou finita Produtos disponíveis em um estabelecimento comercial Alunos do curso T da universidade Y Automóveis da cidade de Goiânia Eleitores da cidade de Manaus Eleitores do Brasil 7
Amostragem População ilimitada ou infinita Resultados do lance de um dado Resultados do lance de uma moeda Produção de uma indústria ou de um setor Nascimentos de indivíduos de certa espécie Peixes no oceano Atlântico 8
Amostragem Amostragem X Censo Censo seria o ideal mas nem sempre possível Censo viável quando População muito pequena Um grupo de 20 pessoas reunidas Grande tamanho da amostra em relação à população Uma amostra com grande desvio padrão com tamanho pouco inferior ao da população Precisão completa exigida Levantamento do faturamento de caixas de uma loja Situações nas quais se dispõe de toda a informação 9
Amostragem Amostragem X Censo Censo seria o ideal mas nem sempre possível Censo inviável para população infinita Habitantes de um país Animais de certa espécie na floresta Censo incompatível com limitação temporal Coleta de dados individuais implicará muito tempo para grande amostra Censo inviável para testes destrutivos Teste de produtos industriais: lâmpadas, alimentos Censo para grande população pode ter custo proibitivo Pesagem e mensuração de animais Censo pode ter menor precisão na coleta de dados Grande quantidade de indivíduos observados pode depreciar precisão dos dados 10
Amostragem Plano de Amostragem Estratégia para obtenção da amostra ideal, ou, a amostra que melhor represente a população objeto de estudo Amostragem Aleatória Cada indivíduo da população tem igual probabilidade de compor a amostra 11
Amostragem Amostragem Aleatória Cada indivíduo da população tem igual probabilidade de compor a amostra Populações com variável discreta Cada valor tem a mesma chance de compor a amostra Populações com variável contínua A probabilidade de incluir na amostra qualquer intervalo de valores é igual à percentagem da população que se encontra naquele intervalo 12
Amostragem Amostragem Aleatória O processo de escolha de indivíduos é aleatório Assim a amostra será aleatória Cada indivíduo tem a mesma possibilidade de figurar na amostra a cada prova (teste): (1 / n) Grupos de indivíduos têm a mesma chance que outros do mesmo tamanho de figurar na amostra Grupos maiores têm maior probabilidade de compor a amostra 13
Amostragem Amostragem Aleatória Há processos naturalmente aleatórios Chegada de clientes a uma loja Chamadas telefônicas a um help-desk Número de mensagens eletrônicas que chegam por dia Compra de produtos em uma loja virtual Outros casos Conhece-se o universo de pesquisa Pode-se enumerar os indivíduos Escolha aleatória de componentes da amostra 14
Amostragem Amostragem Aleatória Probabilística Sempre mais recomendável Amostragem Não Probabilística Subjetiva Por julgamento Julga-se a priori os elementos mais representativos indivíduos que devem ser representados na amostra Conhece-se bem a população e quer-se ter elementos representativos de cada sub grupo Populações e/ou amostras pequenas 15
Amostragem Amostragem Não Probabilística Por julgamento Exemplos Matriz de uma empresa pesquisando filiais Pesquisa sobre determinada terapia médica Pesquisa de um novo medicamento Pesquisa em um determinado grupo de pessoas Pesquisa em um determinado grupo de trabalhadores 16
Amostragem Amostragem Probabilística (Aleatória) Sistemática Sistematização da escolha aleatória Estratificada Segmentação da população em grupos homogêneos Por conglomerado Formação de grupos heterogêneos 17
Amostragem Amostragem Probabilística (Aleatória) Sistemática Sistematiza-se a escolha aleatória Aleatoriza-se os indivíduos Escolhe-se cada k-ésimo elemento K = tamanho população / tamanho amostra Exemplo Pesquisa sobre funcionários da empresa X 18
Amostragem Amostragem Probabilística (Aleatória) Estratificada Divide-se a população em subgrupos (estratos) Grupos de características similares Pouca variabilidade em amostras do mesmo grupo Exemplos Tempo de lazer de pessoas de distintas faixas de renda Duração de férias de pessoas de distintas faixas de renda Hábitos de lazer por faixa etária Pode-se compor a amostra com alguns elementos de cada subgrupo? 19
Amostragem Amostragem Probabilística (Aleatória) Por conglomerado Formação de grupos heterogêneos Ideal é que cada grupo represente bem a população Seria uma minipopulação Exemplo Pesquisa de intenção de voto Coloca-se na amostra um grupo de indivíduos heterogêneos que represente a população Pesquisa sobre municípios brasileiros A amostra deve conter municípios com características distintas de modo a bem representar o conjunto Pesquisa sobre satisfação de funcionários Deve-se ter funcionários de todas as categorias? 20
Amostragem Amostragem tem como finalidade Obter uma indicação de valores de parâmetros da população Média Mediana Desvio padrão (variabilidade) Proporção de elementos com certa característica Haverá divergência entre valores Amostrais e populacional? De distintas amostras da mesma população? Qual a proximidade entre parâmetro populacional e amostral? 21
Amostragem Qual a proximidade entre parâmetro populacional e amostral? Fatores que influem na resposta Tamanho da amostra Menor variabilidade entre estatísticas de grandes amostras Variabilidade da população em si População com alta variabilidade leva a estatísticas amostrais com elevada variabilidade A estatística sendo considerada Variabilidade de distintas estatísticas são descritas por distintas distribuições de probabilidades Populações com muita variabilidade geram estatísticas amostrais com maior variabilidade 22
Distribuições Amostrais Uma distribuição amostral é uma distribuição de probabilidades que indica ate que ponto uma estatística amostral tende a variar devido a variações casuais na amostragem aleatória 23
Distribuições Amostrais Pode usar-se parâmetros amostrais para inferir-se sobre parâmetros populacionais? Inferência Estatística (raciocínio indutivo) Envolve formulação de juízo sobre a população a partir do exame de uma amostra extraída desta população Uma Distribuição Amostral é uma distribuição de probabilidades que indica até que ponto uma estatística amostral tende a variar devido a variações casuais na amostragem aleatória 24
Distribuições Amostrais Suponha uma população sobre a qual quer-se saber algo Comprimento e peso de peixes de um lago Peso dos animais de um rebanho Altura dos alunos de determinada faixa etária Salário dos trabalhadores de determinada categoria no país Rentabilidade das empresas de um setor Nível de recolhimento de impostos de empresas de certo setor 25
Distribuições Amostrais Se é viável fazer-se um censo, ok Se não é viável o censo Tem-se que usar amostras Peso dos animais de um rebanho de 1.000 cabeças Pode-se escolher amostras de 2, 3, 4... 1.000 animais Exemplo: população de 5 animais com pesos de 200, 203, 206, 209, 212 Amostras de 3 indivíduos Qual a Proporção de animais com peso inferior a 205? Analisar todas as amostras possíveis 26
Amostras de 3 indivíduos => 10 combinações Animal Peso Amostras Pesos Média amostral proporção abaixo de 205 A 200 ABC 200 203 206 203 1 1 0 2/3 0,1 0,3 B 203 ABD 200 203 209 204,5 1 1 0 2/3 0,1 C 206 ABE 200 203 212 206 1 1 0 2/3 0,1 D 209 ACD 200 206 209 204,5 1 0 0 1/3 0,1 0,6 E 212 ACE 200 206 212 206 1 0 0 1/3 0,1 Média: 206 ADE 200 209 212 206 1 0 0 1/3 0,1 BCD 203 206 209 206 1 0 0 1/3 0,1 BCE 203 206 212 207,5 1 0 0 1/3 0,1 BDE 203 209 212 207,5 1 0 0 1/3 0,1 CDE 206 209 212 209 0 0 0 0/3 0,1 0,1 27
Distribuições Amostrais Efeito do tamanho da amostra sobre uma distribuição amostral Parâmetro amostral X populacional Amostragem aleatória Alta propensão a que a estatística amostral se aproxime do parâmetro populacional Quanto maior a amostra Mais próximo Parâmetro amostral do populacional 28
Efeito do tamanho da amostra sobre uma Distribuição Amostral Maior amostra => Mais proximidade da Normal Exemplo: Distribuição Binomial com p = 0,5 e crescente n n = 8 n = 32 29
Maior amostra => Mais proximidade da Normal n = 64 30
Maior amostra => Mais proximidade da Normal n = 128 31
Distribuições Amostrais Efeito do tamanho da amostra sobre uma distribuição amostral Aumento no tamanho da amostra Distribuição tende para a Normalidade População mais simétrica em relação à média Mais acelerada normalidade Menos variabilidade entre proporções amostrais Erro do parâmetro amostral em relação ao populacional decresce Distribuição Normal Adequada para descrever distribuições de Médias Amostrais 32
Distribuições de Médias Amostrais Uma Distribuição Amostral de Médias Indica probabilidade de diversas médias amostrais Distribuição de Freqüências de médias amostrais Tende à Normalidade Média da Distribuição Amostral de Médias é igual à média populacional Aumentando-se o número de observações por amostra Há uma redução do desvio padrão da distribuição amostral 33
Amostra representa bem a população? 34
População de 5 animais com pesos de 200, 203, 206, 209, 212 Amostras de 3 indivíduos => 10 combinações Animal Peso Amostras Pesos Média amostral Freqüência MA*Freq A 200 ABC 200 203 206 203 1 203 B 203 ABD 200 203 209 204,5 2 409 C 206 ABE 200 203 212 206 4 824 D 209 ACD 200 206 209 204,5 E 212 ACE 200 206 212 206 Média: 206 ADE 200 209 212 206 BCD 203 206 209 206 BCE 203 206 212 207,5 2 415 BDE 203 209 212 207,5 CDE 206 209 212 209 1 209 206 10 2060 35
indiv peso pesos Média amostral Fr Amostras Pesos Média amostral Fr A 200 AB 200 203 201,5 MA=201,5 1 ABC 200 203 206 203 MA=203 1 B 203 AC 200 206 203 MA=203 1 ABD 200 203 209 204,5 MA=204,5 2 C 206 AD 200 209 204,5 MA=204,5 2 ABE 200 203 212 206 MA=206 4 D 209 AE 200 212 206 MA=206 2 ACD 200 206 209 204,5 MA=207,5 2 E 212 BC 203 206 204,5 MA=207,5 2 ACE 200 206 212 206 MA=209 1 Méd 206 BD 203 209 206 MA=209 1 ADE 200 209 212 206 DP 4,243 BE 203 212 207,5 MA=210,5 1 BCD 203 206 209 206 CD 206 209 207,5 BCE 203 206 212 207,5 CE 206 212 209 BDE 203 209 212 207,5 DE 209 212 210,5 CDE 206 209 212 209 Méd 206 Méd 206 DP 2,598 DP 1,643 36
Distribuições Amostrais Média da Distribuição Amostral é igual à Média Populacional Para população muito grande, desvio padrão amostral será: Onde: Desvio Padrão da distribuição amostral ( ) Desvio Padrão da distribuição populacional ( ) 37
Distribuições Amostrais Teorema do Limite Central 1- Se População em estudo tem Distribuição Normal, a Distribuição de Médias Amostrais será Normal para todos os tamanhos de amostra 2- Se População em estudo não é Normal, a Distribuição de Médias Amostrais será aproximadamente Normal para grandes amostras 38
Distribuições Amostrais Teorema do Limite Central Não é necessário conhecer a distribuição de uma população para fazer-se inferências sobre ela a partir de amostras Pode-se fazer inferência a partir de amostras grandes 30 (trinta) ou mais observações 39
Distribuições Amostrais Fórmulas para cálculos com Distribuições Amostrais de Médias Média da Distribuição Amostral = Média da População Desvio Padrão da DA (população grande) 40
Distribuições Amostrais Aplicação Grande população com: Média = 20; Desvio Padrão = 1,4 Amostra de 49 observações Variabilidade das médias amostrais com relação à média populacional 41
Distribuições Amostrais Aplicação Grande população com: Média = 20; Desvio Padrão = 1,4 Amostra de 49 observações N > 30 => Distribuição Amostral Normal Porcentagem de possíveis médias amostrais que diferem por mais 0,2 da média populacional % de médias acima de 20,2 mais % de médias abaixo de 19,8 Equivale a % de médias acima de +1DPA (Desvio Padrão Amostral) (x=20,2) mais % de médias abaixo de +1DPA (x=19,8) 42
P(x<19,8 ou x > 20,2) = P(x < 19,8) + P(x > 20,2) = P(z < -1) + P(z > +1) = 0,1587 + 0,1587 = 0,3174 P(x < 19,8)=P(z < -1) = 0,5 0,3413 = 0,1587 P(x > 20,2)=P(z > +1)= 0,5 0,3413 = 0,1587 43
Um fabricante declara que sua pilha tem vida esperada (média) de 12 meses. Sabe-se que o desvio padrão (populacional) correspondente é de 2 meses. Que porcentagem de amostras de pilhas de N observações terá vida média de 1/3 de mês em torno da média? N = 36; N = 64;... 11,67meses 12 12,33meses 44
Distribuições Amostrais Média Populacional = 12 meses Desvio Padrão Populacional = 2 mês % de amostras de pilhas com vida média variando 1/3 de mês (0,3333 mês) em torno da média? N = 32; N = 64; N = 128; N = 256; N = 512. N Média DA DP DA MDA inferior MDA superior z inferior z superior P(inf < MDA < sup) = P(inf < z < sup) 32 12 0,354 11,67 12,33-0,93 0,93 0,3238 0,3238 0,6476 64 12 0,250 11,67 12,33-1,32 1,32 0,4049 0,4049 0,8098 128 12 0,177 11,67 12,33-1,87 1,87 0,4693 0,4693 0,9386 256 12 0,125 11,67 12,33-2,64 2,64 0,4959 0,4959 0,9918 512 12 0,088 11,67 12,33-3,73 3,73 0,4999 0,4999 0,9998 45
Distribuições Amostrais Distribuições de Proporções Amostrais Uma DPA indica quão provável é determinado conjunto de proporções amostrais, conhecidos o Tamanho da Amostra e a Proporção Populacional Média (proporção ou porcentagem média) da DA é igual à proporção populacional Para grande população, fórmula do DP Amostral 46