Departamento de Engenharia Qímica e de Petróleo UFF Diciplina: TEQ- CONTROLE DE PROCESSOS cto ESTABILIDADE Método critério de Roth-Hrwitz Cao Epeciai Prof a Ninoka Bojorge ESTABILIDADE MALHA FECHADA Regiõe de etabilidade no plano complexo da raíze da eqação caracterítica Parte Imaginária Região Etável Região Intável Parte Real Obervação: A mema eqação caracterítica ocorre tanto para a mdança na carga e no etpoint dede o termo + G OL. Aim, e o itema de malha fechada é etável para pertrbaçõe de carga, ele também erá etável para mdança de et-point.
Contribiçõe do pólo na repota malha fechada Im Decaimento exponencial com ocilaçõe Raíze complexa (parte real - ) mito ocilatório Crecimento exponencial com ocilaçõe rápido crecim. exponencial Decaimento exponencial raíze reai (+) raíze reai ( - ) rápido lento lento rápido Re raíze complexa (parte real -) mito ocilatório raíze complexa (parte real +) Etável (Eqerda ) Intável (Direita) Exercício Ex) Seja etde a etabilidade º pao: D() + + ++ º pao: todo coeficiente de D() ão poitivo portanto nada pode-e conclir ºpao: contrir arranjo trianglar de Roth-Hrwitz (Lembrando...) n n n n n : a a a a6 a b a b a b a7 b c c c c d d d d : : e f g e............ b c d aa a a a ba ab b cb bc c b c aa a a a ba ab b cb bc d c b c aa 6 a a a 7 ba 7 ab b
CRITÉRIO DE ROUTH Cao Epeciai Critério de Roth o. Cao) Nenhm elemento da a colna é zero avalia-e a etabilidade pelo reltado do arranjo. o. Cao) Exite m zero na a colna btiti-e o zero por m valor ε (épilon) e faz-e a análie da etabilidade pelo arranjo. o. Cao) Todo o elemento de ma linha ão zero btiti-e eta linha pelo coeficiente orindo da derivação da linha anterior e faz-e a análie da etabilidade pelo arranjo. Exercício Ex) Seja + G( ) de R-H. + + + + Aim: - 6 6 6 etde a etabilidade pelo critério Nete cao, o elemento da º colna ão: 6 Ocorrem da mdança de inai, m de para -6 e otra de -6 para, logo ete itema tem doi pólo de lado direito do plano-, então o itema é intável. 6
Exercício Ex) Seja + G( ) + + + + x Repota Degra A fim de verificar, podemo plotar a repota deta G() para m degra >> tf(''); >> nm [ ]; >> den [ ]; >> tep (nm, den) Se analiamo pelo Lgar da raíze, no Matlab >> G tf([ ],[ ]); >> rloc(g) Imaginary Axi (econd - ) Repota - - - - - - Tempo (econd) Root Loc - - - - - - - - Real Axi (econd - ) 7 Cao Epeciai ) Linha com primeiro elemento igal a zero btita ete elemento por m ε > e proiga na contrção do arranjo. Na análie de etabilidade, faça ε. Ex : Indiqe qanto polo fora do emiplano eqerdo tem o eginte polinômio: + + + 6 + 6 + 9 Ob: o polinômio atende à condição neceária; no entanto, ando o Matlab, obtéme o eginte polo:
Cao Epeciai ) Linha com primeiro elemento igal a zero... (Cont.) Ex : Indiqe qanto pólo fora do emiplano eqerdo tem o eginte polinômio: + + + 6 + 6 + 9 o arranjo trianglar de Roth ame a forma: 6 6 9 Nova ε 6ε 9 9 ε ε ε 9 Aim, o critério de Roth indica a exitência de pólo fora do emiplano eqerdo. ma alternativa aqi é realizar a eginte mdança de variávei: z / e obter o polinômio em z, egido da aplicação do critério de Roth Cao Epeciai ) Linha com todo o elemento igai a zero Ex : Indiqe qanto polo fora do emiplano eqerdo tem o eginte polinômio: + + + + 8 + repare qe o polinômio atende à condição neceária; no entanto, ando o Matlab, obtém-e o eginte polo: Ob: veja-e a perda de precião nmérica no cálclo ao lado. A raíze do polinômio ão efetivamente, +j, j, e. Eta perda de precião é devida ao proceo de qantização nmérica empregado pelo comptador. Dependendo do algoritmo, ete efeto é maior o menor.
Cao Epeciai ) Linha com todo o elemento igai a zero Ex : Indiqe qanto pólo fora do emiplano eqerdo tem o eginte polinômio: + + + + 8 + o arranjo trianglar de Roth ame a forma: 8 6,,6 Linha nla Nova 6 Cao Epeciai ) Linha com todo o elemento igai a zero Ex : Indiqe qanto pólo fora do emiplano eqerdo tem o eginte polinômio: + + + + 8 + o arranjo trianglar de Roth ame a forma: 8 6,,6 Nova 6 Aim, o critério de Roth indica a inexitência de pólo fora do emiplano eqerdo, embora falta ainda analiar o polinômio p() +. Ete polinômio vai apreentar raíze no eixo imaginário, +j e j, portanto, fora do emiplano eqerdo.
Cao Epeciai Ex : Determine o intervalo de Kc, ganho do controlador, para o qal o itema realimentado eja etável. olção: A F.T.M.F. é dada por: Note qe não é poível obter o pólo de H() ando a calcladora. Cao Epeciai Ex : Determine o intervalo de Kc, ganho do controlador, para o qal o itema realimentado eja etável. Uando o método de Roth-Hrwitz: ºpao: D() + + (Kc - 6) + Kc ºpao: Para qe todo o coeficiente ejam poitivo: Kc- 6 > Kc>6 e Kc > Kc > 6 atifaz (I)
Cao Epeciai Ex : Determine o intervalo de Kc, ganho do controlador, para o qal o itema realimentado eja etável. Uando o método de Roth-Hrwitz: D() + + (Kc - 6) + Kc ºpao: ( Kc 6) Kc Kc Kc 6 K c Cao Epeciai Ex : Determine o intervalo de Kc, ganho do controlador, para o qal o itema realimentado eja etável. Uando o método de Roth-Hrwitz: D() + + (Kc - 6) + Kc ºpao: Para qe elemento da ª. colna ejam todo poitivo, é neceário qe: ( Kc 6) Kc > Kc Kc > Kc > Kc > 7, (II) e Kc > (III)
Cao Epeciai Ex : Determine o intervalo de Kc, ganho do controlador, para o qal o itema realimentado eja etável. Uando o método de Roth-Hrwitz: D() + + (Kc - 6) + Kc ºpao: Kc 6 7, Logo, para Kc > 7, o itema terá etabilidade abolta. Como já foi dito, e tiver m zero () na primeira colna de tabela o e ma linha for nla, então deve-e ar o cao epecial anterior. Ex : Determine o intervalo de Kc, ganho do controlador, para o qal o itema realimentado eja etável. Verificação A m p litd e 8 x 6 Step Repone Kc Am plitde x 8 Step Repone Kc 6 6 8-6. Step Repone Kc 7.. Step Repone Kc.8.6 Step Repone Kc.... Amplitde. Amplitde Amplitde.8..6. -.. - 6 Time (econd) Time (econd)... Time (econd) 8
Etabilidade pelo método de btitição direta Dada a Eqação caracterítica da FTMF, determinar etabilidade Kc S + +.S..7 + + + Kc +... 7 +... 7+ Kc + Kc +. + ( Kc. ) + ( Kc. 7) Sbtitir jω, Κc Κc ( jω) +. ( jω ) + ( Kc. ) jω + ( Kc. 7) jω. ω + ( Kc. ) jω + ( Kc. 7) 9 Parte real Parte Complexa. ω + K c. 7 ( K c. ) ω ω Kc. ω +. 7 (. ω +. 7. ) ω ω Step Repone 7. ω +. ω ± /, Kc 6 Amplitde 6 8 6 8 Time (econd)
Exercício No eginte itema, determinar o valor do ganho, qe faz com qe o itema e torne intável Ue o eginte dado: (a) τ, min e (b) τ, min. O balanço de energia em torno de cada tanqe: Aim, em termo de variávei de devio e tomando a T. L obtemo itema da forma de ª ordem: onde: poi não há aqecedore nee tanqe.
O eginte diagrama de bloco motra o itema de controle de feedback. onde o parâmetro do itema erá: O eginte diagrama de bloco motra o itema de controle de feedback. eqação caracterítica erá:
Logo, o arranjo de Roth: Pelo teorema de Roth - Hrwitz: Agora, analiaremo o valore de Kc para o τ D 6