MA33 - Introdução à Álgebra Linear Unidade 7 - Bases e dimensão A. Hefez e C. S. Fernandez Resumo elaborado por Paulo Sousa PROFMAT - SBM 10 de agosto de 2013
Nesta unidade introduziremos dois conceitos fundamentais no contexto dos espaços vetoriais: base e dimensão. Esses dois conceitos esclarecem a estrutura desses espaços e ao mesmo tempo simplificam as demonstrações de vários resultados sobre eles. Dizemos que um espaço vetorial V é finitamente gerado se existir um subconjunto finito S V tal que V = G(S). São exemplos de espacos vetoriais finitamente gerados: 1. R[x] n = G(1, x, x 2,..., x n ); 2. R n é gerado por S = {e 1 = (1, 0,..., 0),..., e n = (0,..., 0, 1)}; 3. M(m, n) é gerado pelas matrizes E kl = (δ (k,l) ) m n, onde k = 1,..., m, l = 1..., n e δ (k,l) = 1 se (i, j) = (k, l) ou δ (k,l) = 0 caso contrário. PROFMAT - SBM MA33 - Introdução à Álgebra Linear slide 2/8
Nem todos os espaços vetoriais são finitamente gerados, veja exemplo abaixo: Exemplo: Seja V = R[x] o espaco vetorial formado por todos os polinômios. Afirmamos que V não é finitamente gerado. De fato, note que R[x] n R[x] para todo n N. Se R[x] fosse finitamente gerado existiriam polinômios p 1 (x), p 2 (x),..., p k (x) tais que V = G(p 1 (x), p 2 (x),..., p k (x)). Seja N o grau mais alto dentre os polinômios p 1 (x), p 2 (x),..., p k (x). É evidente que x N+1 G(p 1 (x), p 2 (x),..., p k (x)), gerando uma contradição. Nosso objetivo principal é mostrar que em todo espaço vetorial finitamente gerado V existe um subconjunto finito S tal que todo elemento de V é combinação linear, de uma única maneira, desse subconjunto. Em outras palavras, queremos determinar um conjunto de vetores que gere V e tal que todos os elementos sejam realmente necessários para gerar V. PROFMAT - SBM MA33 - Introdução à Álgebra Linear slide 3/8
Seja V {0} um espaco vetorial finitamente gerado. Uma base de V é uma sequência de vetores linearmente independentes B = {v 1,..., v n } de V que também gera V, isto é, V = G(B). São exemplos de bases: 1. B = {1, x, x 2,..., x n } é uma base de R[x] n ; 2. B = {e 1 = (1, 0,..., 0),..., e n = (0,..., 0, 1)} é base de R n ; 3. B = {E kl = (δ (k,l) ) m n }, onde k = 1,..., m, l = 1..., n e δ (k,l) = 1 se (i, j) = (k, l) ou δ (k,l) = 0 caso contrário, é uma base de M(m, n). Os exemplos apresentam bases para alguns espaços vetoriais mais comumente trabalhados, a pergunta natural é: todo espaço finitamente gerado possui uma base? PROFMAT - SBM MA33 - Introdução à Álgebra Linear slide 4/8
O resultado a seguir responde à pergunta. Teorema : Todo espaco vetorial V {0} finitamente gerado admite uma base. Para provarmos o teorema acima, faremos uso do seguinte lema: Lema: Se os vetores v 1,..., v m geram o espaço vetorial V, então qualquer conjunto com mais de m vetores em V é LD. Idéia da Dem.: Dados w 1,..., w n em V, com n > m, para cada j = 1,..., n temos w j = α 1j v 1 + + α mj v m, pois os vetores v i s geram V. Para mostrar que os vetores w j s são LD, devemos garantir a existência de coeficientes x 1,..., x n não todos nulos tais que vale a igualdade x 1 w 1 + + x n w n = 0. Usando a expressão de cada w j, o problema reduz-se a garantir a existência de soluções para um sistema linear homegêneo com m equações e n variáveis. Sendo n > m, um tal sistema possui solução diferente da solução trivial. PROFMAT - SBM MA33 - Introdução à Álgebra Linear slide 5/8
Relativo ao lema anterior, temos a seguinte consequência: qualquer conjunto de vetores de V LI tem no máximo m vetores. Idéia da prova do Teorema : Como V e finitamente gerado existem v 1,..., v n tais que V = G(v 1,..., v n ). Se {v 1,..., v n } é LI, então esta sequência é uma base de V. Caso contrário, podemos excluir vetores de {v 1,..., v n } de modo a obtermos uma base. Uma das principais consequências da existência de bases para espaços vetoriais finitamente gerados é expressa na proposição abaixo: Proposição: Seja α = {v 1,..., v n } uma base de V, então cada vetor v em V pode ser escrito de modo único na forma v = a 1 v 1 + + a n v n. A demonstração é deixada a cargo do leitor. PROFMAT - SBM MA33 - Introdução à Álgebra Linear slide 6/8
Os números reais a 1,..., a n que aparecem no teorema anterior, são chamados as coordenadas do vetor v na base α. A matriz [v] α = (a 1... a n ) é chamada a matriz das coordenadas de v na base α. Exemplo: Determine as coordenadas do polinômio p(x) = 1+x +x 2 na base α = {1, 1 + x, 1 + x 2 }. Sejam a, b, c tais que 1 + x + x 2 = a 1 + b (1 + x) + c (1 + x 2 ). Então [p(x)] α = ( 1 1 1). Conhecida uma base do espaço vetorial V, fica relativamente mais simples inferir informações sobre V. Contudo, todo espaço vetorial possui mais de uma base. Mudando de base as informações obtidas são alteradas? Algumas informações sim, por exemplo as coordenadas do vetor. Porém, outras informações não. Vejamos teorema a seguir. PROFMAT - SBM MA33 - Introdução à Álgebra Linear slide 7/8
Teorema: Sejam α = {v 1,..., v r } e α = {u 1,..., u s } duas bases de um espaço vetorial V. Então r = s. Dem.: Como α gera V e β é LI, temos que s r. Analogamente, segue que r s. Daí, r = s. Como consequência deste resultado, a dimensão (definição a seguir) de um espaço vetorial está bem posta. Definição: O número de elementos de uma base de um espaço vetorial V é denominado a dimensão de V, denotamos por dim V. Exemplos: dim R[x] n = n; dim R n = n e dim M(m, n) = m n. PROFMAT - SBM MA33 - Introdução à Álgebra Linear slide 8/8